海南省天一2024屆高三高考模擬卷（六）數(shù)學(xué)試題

2023—2024學(xué)年海南省高考模擬卷（六）

數(shù)學(xué)

1.本試卷滿分150分，測試時(shí)間120分鐘，共4頁.

2.考查范圍：高考全部內(nèi)容.

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

1.已知復(fù)數(shù)z滿足（3+4i）z=5i,則z的共軟復(fù)數(shù)I在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合2=｛司2<%（療—機(jī)+7,xeN*｝,5=何4<x<7｝,若/口8中恰有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)〃?

的取值范圍為（）

A.（-1,0）B.（0,1）C.[0,1]D.R

3.已知x>0,貝ij“。=1”是“〔2x+亍]的二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)為60”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.如圖，點(diǎn)、P,A,8均在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格上，貝U莎?（而-2萬）=（）

5.等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，已知％o=7,S]o=4O,則｛4｝的前100項(xiàng)中，%為整數(shù)的各項(xiàng)之和為

（）

A.1089B.1099C.1156D.1166

6.在一次立體幾何模型的實(shí)踐課上，老師要求學(xué)生將邊長為4的正方形沿對角線NC進(jìn)行翻折，使得。

到達(dá)￡>'的位置，此時(shí)平面。平面A4C,連接AD',得到四面體4BC。'，記四面體4BC。'的外接球

球心為O,則點(diǎn)O到平面ABD'的距離為（）

7.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線C:/=2px（夕>0）的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸且傾斜角為120。的直線/

與拋物線C交于HB兩點(diǎn),其中點(diǎn)/在第一象限，若[48|=8,則△08尸的面積為（)

373

~T~

4i,----

8.若a=ln—,Z?=—,c=#e二1,則。，8c的大小關(guān)系為（）

34

A.a>b>cB.ob>aC.c>a>bD.b>a>c

二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.下列說法正確的是（）

A.68,60,62,78,70,84,74,46,73,81這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是78

B.若一組數(shù)據(jù)為,工2,…,x”的方差為0.2,貝！15X1，5%,…,5x”的方差為1

C.樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性

D.若變量J:^（170,CT2）,P（172<^<180）=0.4,貝U尸（J<164）=0.1

10.已知函數(shù)/（x）=Zsin（0x+e）2>0,?！?,例<引的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

B.直線x=-?是函數(shù)/（x）的一條對稱軸

C.當(dāng)/（x）>l時(shí)，x的取值范圍為1左匹左〃

D.若方程/（x）=機(jī)在-],0上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則加的取值范圍為卜2,-6]

11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是其中一種，因其形

狀像心形而得名，其平面直角坐標(biāo)方程可表示為k+了2+即=#+V,a〉0,圖形如圖所示.當(dāng)。=1時(shí),

點(diǎn)片（石,必）,巴（X2，%）在這條心形線°上，且苞馬70,則下列說法正確的是（）

A.若西〃。月，則由可=2

B.若西〃漉，貝1]|。用?|。?=1

C.|。制+|。囿＜4

D.C上有4個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知函數(shù)/（x）=alnx（awO）,過原點(diǎn)作曲線y=/（x）的切線/,則切線/的斜率為.

13.設(shè)耳，鳥分別為橢圓C:3+/=1的左、右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，若|P0|=G,則APRF?

的內(nèi)切圓的面積為.

14.已知數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，且—?jiǎng)t實(shí)數(shù),的取值范圍為.

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（13分）

A-L-C

已知A45C的內(nèi)角力,B,。所對的邊分別為Q,b,c,且Z?sin（B+C）=Qsin--—

（I）求3；

a

（II）若點(diǎn)。在NC上，且AD=BD=2DC,求一.

c

16.（15分）

2023年杭州亞運(yùn)會于2023年9月23日至10月8日舉行，亞洲45個(gè)國家和地區(qū)的奧委會代表參會.某校想

趁此機(jī)會帶動(dòng)學(xué)生的鍛煉熱情，準(zhǔn)備開設(shè)羽毛球興趣班，在全校范圍內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，分別抽取了

男生和女生各100名作為樣本，調(diào)查學(xué)生是否喜歡羽毛球運(yùn)動(dòng)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到了如圖所示的等高堆積條形圖.

男生女生

□不喜歡?喜歡

(I)根據(jù)等高堆積條形圖，填寫下列2x2列聯(lián)表，并依據(jù)a=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷是否可以認(rèn)為該校

學(xué)生的性別與是否喜歡羽毛球運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián);

性別是否喜歡羽毛球運(yùn)動(dòng)合計(jì)

是否

男生

女生

合計(jì)

(II)已知該校男生與女生人數(shù)相同，將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取30名學(xué)生，設(shè)其中

喜歡羽毛球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為X,求尸(X=k)取得最大值時(shí)的左(左eN*)值.

附：

a0.100.050.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

X。

參考公式:

2n^ad-bc^

其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

17.(15分)

如圖，在四棱柱ABCD-451GA中,四邊形為菱形，四邊形N5CD為矩形，4B=4,BC=2^,

AAAXBX=60°,二面角2—CD—N的大小為60。，M,N分別為BC,GQ的中點(diǎn).

18.(17分)已知雙曲線C:^-%=1(?！?力〉0)的一條漸近線方程為y=J^x，右焦點(diǎn)為尸(G,o卜

(/)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)過點(diǎn)尸且相互垂直的兩條直線/和/'分別與C交于點(diǎn)4,2和點(diǎn)尸，Q,記/瓦尸。的中點(diǎn)分別為

N,求證：直線A/N過定點(diǎn).

19.(17分)

已知函數(shù)=m—￡sinx,且/⑴的圖象在x=?處的切線斜率為2.

(/)求加；

(II)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(III)若/(x)=有兩個(gè)不等的實(shí)根X],與，求證：XjX2<a.

2023—2024學(xué)年海南省高考模擬卷(六)

數(shù)學(xué)?答案

5i(3-4i)-5i_43.43

1.D*/(3+4i)z=5i,z=——-—(3+4i)(3-4i)+5n/.F=—--i,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于

3+4i55

第四象限，故選D.

2.D由2口8中恰有兩個(gè)元素，可知幺n8={5,6},故加2—〃z+7〉6,即加之—機(jī)+i〉o.

又方程加2一機(jī)+1=0的△<(),故機(jī)2-機(jī)+1>0在R上恒成立，故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為R,故選D.

=Crar26-r-x6~^

3.B的展開式的通項(xiàng)為IM=鼠⑵尸6

3

令6——r=0,得井=4,的常數(shù)項(xiàng)為C)/.22=60/.

2

...當(dāng)。=1時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為60；

當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為60時(shí)，a=±l,

6

“。=1”是“2x+的二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)為60”的充分不必要條件，故選B.

4.A如圖，以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則尸2=(1,—3),尸5=(6,—2)：,

.?.而-2萬=(6,-2)-(2,-6)=(4,4),

5.C設(shè)等差數(shù)列｛g｝的公差為d,

a、+9d=7,%=1,

解得

由%(；=7,510=40<

lOt/j+45d=40,d=T

by1/1、22〃+l

所以%=I+(〃—I)xm=--—?

要使為為整數(shù)，則2〃+l是3的倍數(shù)，又l?〃Vl00,〃eN*,

所以可令〃=3左一2(1V左V34,左eN*).

記｛%｝的前100項(xiàng)中的整數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列為｛4｝,

則4=2(3-12)+1=29_1(]《后434,左eN*),

所以他｝的前34項(xiàng)的和&=弘義(；+67)=]”6,故選c.

6.A根據(jù)題意作出圖形如圖所示，連接02,OD',

則OA=OB=OC=OD'=2V2,顯然四面體ABCD'的外接球球心。為/C的中點(diǎn).

__________h

BD'=yJOD'+OB22=4A/3.

=4/,SLX./AiDBLDJ,=—x4

設(shè)點(diǎn)O到平面ABD'的距離為〃，則由VO_ABD,=VD,_AB0,

nT^-x/?x4V3=-X2V2X-X2A/2X2A/2,解得，=挺

,故選A.

3323

7.B根據(jù)題意得直線/:>=

得/—5夕%+—^―=0.(*)

設(shè)4>1，%）,3（%2，%）,%>0,%<0,則玉+工2，

8

故|AB|=再+/+夕=一2=8，

19

解得夕=3,代入（*）式，解得再=a，/二萬.

將工2二：9代入直線/的方程中，

解得為=—3日故工x*小手，故選B.

8.C設(shè)/(x)=ln(x+l)------

x+1

則?。猉

(X+1)2

.?.x>0時(shí)，f\x)>0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

.??/［；］〉/(0),即lng—；〉0,

??In—>一，a>b.

34

1

設(shè)g(x)=e"—l—ln(x+l)：，貝！Jg<x)=e"—

x+1

???當(dāng)x>0時(shí),g'(x)>0,即g(x)在(0，+8)上單調(diào)遞增.

.?.且［；［〉8(0),Ve-l-lnj>0,Ve-1>In-^,即.

綜上，故選C.

9.CD對于A,這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：46,60,62,68,70,73,74,78,81,又10x80%=8,

7R-1-21

第8位數(shù)字是78,第9位數(shù)字是81,故這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是=79.5,故A錯(cuò)誤；

2

對于B,5西,5%,…,5%的方差為52x0.2=5,故B錯(cuò)誤；

對于C,樣本相關(guān)系數(shù)廠的符號反映了相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性，當(dāng)r>0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，當(dāng)「<0時(shí)，成

對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，故C正確；

對于D,JV(172,CT2),P(172<^<180)=0.4,

/.<164)=>180)=0.5-P(172<^<180)=0.5-0.4=0.1,

故D正確，故選CD.

j-rr八/c32?71(3?

10.AD對于A,由圖可知4=2,------=——------=—,

4G1213J4

co=2,/(x)=2sin(2x+(p).

n

又/2sin(2x^-+^l=2,

12

即sin*+o)=1,

—\-co——F2kjc，左￡Z,

62

71

J.-2k兀，左￡Z.

TT7T/7T1\

V=—,/(x)=2sinI2x+yI,故A正確;

3

對于B,f

對于C,/(x)>1,

TTTT\冗

：.-+2k7i<2x+-<—+2k7r,keZ,

636J

77TT

解得---\-kn<x<——卜k兀,k€Z,故C錯(cuò)誤;

124

對于D,當(dāng)xej—色,o]時(shí)2x+工ej—物，色.

2333

當(dāng)2x+§e——時(shí)，/(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)+萬,§時(shí)，/(x)單調(diào)遞增.

?；2sin[-g]=-G,2sin^-^=-2,2siny=V3,

jr

...要使方程/(x)=加在-上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

則機(jī)4-2,-6]，故D正確，故選AD.

11.ACD依題意，心形線。的直角坐標(biāo)方程為》2+y+妻="棚+=2,過原點(diǎn)o(o,o).

由西〃碩，可知。,片,《三點(diǎn)共線，

可設(shè)直線用B：y=/X,由F+y+y=dX+y，

[y=tx

消去乃得(1+/濡-Ji+『國+笈=0.

不妨設(shè)陽>0,x2<0,

.J1+1、-t—Jl+/—t

則須二------丁，％2=---------;一

11+/21+/

.____________)/]*/2

|P1P2|=Jl+??|玉—%|=J1+/.—j----=2,故A正確;

1困?1。巴1=行?書口.而落胃!1

1+7

當(dāng),70時(shí)，I。6Ho6上1,故B錯(cuò)誤;

設(shè)點(diǎn)尸(x,y)在心形線C上，ZPOx=a,角a以x軸非負(fù)半軸為起始邊,

則心形線C的方程轉(zhuǎn)化為I0尸『+1opsina=\OP\,

即|0件(|0尸|+sina_1)=0,

/.\OP\=l-sin?<2,又X[X2豐0,

：.\OP{\+\OP2\<4,故C正確；

由|。0|=42,可知—2<y<2.

令人/^+產(chǎn)口之。),則心形線C的方程可

化為-/+/—y=o,A=i-4yNO：,

-2<j,當(dāng)y=0,得x=±l或0,

當(dāng)y=—1時(shí)，方程無整數(shù)解；

當(dāng)y=-2時(shí)，x=0

???。上有4個(gè)整點(diǎn)(一1,0),(1,0),(0,0),(0,-2),故D正確，故選ACD.

12.-根據(jù)題意得，f\x)=-.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(為,%),則/'(%)=巴，

exx0

所以切線/的方程為y=q（x—Xo）+v0,

%

將點(diǎn)（0,0）代入，可得0=色（0—x0）+Vo,

%

整理得％=。，故Qln%o=a,解得％o=e,

故ra0）=q,即切線/（/）=@的斜率為q.

eee

13.（7-4A/3）7T不妨設(shè)/片尸6二8,|尸盟二加,10=〃，則加+〃=4.

在△尸大鳥中，由余弦定理得，（I片鳥1）2=12=/+”2—2加〃cos8.

---------k2，所+電丫

由尸。=,且|尸O|=G,

、2,

-c加2+/+2mncos@

可得3二-------------------

4

即加2+/+2mmcos6=12,

所以cosS=0,90°,

ZFXPF2=

所以內(nèi)切圓半徑為?尸耳+叫I片曰=2-73,

2

所以△尸片鳥的內(nèi)切圓的面積為(7-46)萬.

14.:數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，

n2

an<a,,-(n>2),即￡—<一<?~t-,

化簡得〃一2?！?)>；.

當(dāng)/<0時(shí)，/-1<0,廣2的值有正有負(fù)，

.?""一2。一1)〉；不恒成立；

當(dāng)0</41時(shí)，Z-l<0,tn-2>0,

..""-2Q—1)〉；不成立；

當(dāng)/>1時(shí)，/—1>0廣2〉。

由題意得，［廣2。一川出〉；，

..?當(dāng)〃=2時(shí)，/"2。一1)取得最小值，

即有/一1〉工，解得/〉3,

44

實(shí)數(shù)/的取值范圍為［j,+oo)

15.解：(I)'：A+B+C=K,

sin(5+C)=sinN,

.,.,.兀一BB

..bsmA=asm-----=acos一，

22

B

由正弦定理得，sin5sinA=sin/cos一，

即sinS=cos一，

2

….BBB

故2sm—cos—=cos—.

222

???c』0,

222

^B=~.

3

2

(ID???AD=BD=2DC,：.BD=-b,

3

BD=BA+-AC=BA+-(BC-BA)=-BA+-BC

3333

|^D|2=-1A4|2+-\BA\BC\cos5+-15CI2,即3/=工02+3M*工+3/，

99999929

整理得〃=-c2+-ca+a2,

42

工"-acc2+—1(

~42

3a_1

BP-c2=—ac，??

42c2

16.解：（I）由題意，完成2x2列聯(lián)表如下:

性別是否喜歡羽毛球運(yùn)動(dòng)合計(jì)

是否

男生7525100

女生5545100

合計(jì)13070200

零假設(shè)為

Ho：該校學(xué)生的性別與是否喜歡羽毛球運(yùn)動(dòng)沒有關(guān)聯(lián).

200x(75x45-55x2?/,791〉6.635=x0010

100x100x130x700010

依據(jù)小概率值a=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn),

我們推斷Ho不成立，即能認(rèn)為該校學(xué)生喜歡羽毛球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián).

（II）由列聯(lián)表可知，該校學(xué)生喜歡羽毛球運(yùn)動(dòng)的頻率1為30次=二13,

20020

???隨機(jī)變量X?

k30—k

13

P(X=k)=C；o

20

要使尸（X=左）取得最大值,

30-左k-\331-k

1-3\

瀉“:1

20J<20j\、20

則需《

30-kk+\29-k

,13、(131<13

1----->C祟—I1-----

20JU|l20j120

…383,,403

解得——<k<——,

2020

左eN*,

當(dāng)左=20時(shí)，尸(X=左)取得最大值.

17.解：(I)取的中點(diǎn)O,連接。M,ON,AN,DN.

在菱形QCG2中，易知DN=2退，且DNLCD

又4DLCD,故NNZM即為二面角N的平面角，

故NNDZ=60。.

所以△NON為等邊三角形，所以

顯然2。，。腸，且<wnoN=o,

所以4D_L平面MON

又MNu平面MON,所以40_LMV,

又ADHBC,所以8dW,

故N7WC=90°.

(II)由(I)可知，CD_L平面/DN.

又C￡>u平面48CD,,

所以平面ADNA平面ABCD.

又平面4DNn平面4SCD=4D，ONu平面/DN,且ON，4D,

故ONJ_平面48CD,故。/,OM,ON兩兩相互垂直.

以。為原點(diǎn)，以CM,OM,ON所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則8(0,4,0),C(-V3,4,0),N(0,0,3),。(0,2,3),

故屈=(2行,0,0),CN=(73,-4,3),

您=西=(百,一2,3).

貝!].《

取z=4,則"=(0,3,4).

記直線AAX與平面2CN所成角為巴

AA-n

則sin￡=^^=3

io

3

故直線幺4與平面8CN所成角的正弦值為士.

18.解：(I)設(shè)雙曲線C的半焦距為c,根據(jù)題意

j,

a々2=1,

2

得《c=V3?解得＜b=2,

a2+Z>2=c2c1=3,

;.c的標(biāo)準(zhǔn)方程為——匕=1.

2

(II)當(dāng)直線/和/'斜率均存在時(shí),

設(shè)直線/的方程為x=+w0),N(X],yJ,B(x2,y2),中點(diǎn)

x-my+G,

由＜2歹2消去X,得(2/—1)V+4cmy+4=0,加w±.

X-],

2

21+21_2近m

=，……一萬』

,,Jo22m2-1

V32-73m、

：.M

、2m2—192m2

(/y、

設(shè)直線/'的方程為x=〃y+G±---，且〃wO,

\2/

尸(M,QO；，"),中點(diǎn)N/',比'卜

同理可得+招，-翁I

N