2024屆陜西省渭南市高三一模數(shù)學（理）試題含答案解析

渭南市2024屆高三教學質(zhì)量檢測（1）數(shù)學試題（理科）命題人：王建龍韓黎波蔡雯偉注意事項：1.本試題滿分150分，考試時間120分鐘.2.答卷前務(wù)必將自己的姓名、學校、班級、準考證號填寫在答題卡和答題紙上.3.將選擇題答案填涂在答題卡上，非選擇題按照題號完成在答題紙上的指定區(qū)域內(nèi).第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.在正三棱柱中，，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.4.“米”是象形字.數(shù)學探究課上，某同學用拋物線和構(gòu)造了一個類似“米”字型的圖案，如圖所示，若拋物線，的焦點分別為，，點在拋物線上，過點作軸的平行線交拋物線于點，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.65.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的A.2 B.3 C.4 D.56.設(shè)定義在上的偶函數(shù)滿足，當時，，則（）A. B. C. D.7.甲乙兩位同學從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.90種 D.120種8.已知圓的方程為，直線過點且與圓交于兩點，當弦長最短時，（）A B. C.4 D.89.如圖，一個直四棱柱型容器中盛有水，底面為梯形，，側(cè)棱長.當側(cè)面ABCD水平放置時，液面與棱的交點恰為的中點.當?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為（）A3 B.4 C.5 D.610.我國人臉識別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識別，就是利用計算機檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個點，，為坐標原點，余弦相似度為向量，夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知，，，若P，Q的余弦距離為，，則Q，R的余弦距離為（）A. B. C. D.11.在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，為雙曲線右支上一點，連接交軸于點．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.12.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個極值點，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點；②的最小正周期可能是；③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增.其中正期結(jié)論的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知一組數(shù)據(jù)點，用最小二乘法得到其線性回歸方程為，若，則_______．14.在中，，，，則面積為______.15.已知函數(shù)滿足，，，則滿足條件的函數(shù)可以是______.16.已知函數(shù)，方程有7個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知等差數(shù)列滿足：，，其前項和.（1）求及；（2）若數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.18.如圖，在等腰梯形ABCD中，，，將沿著AC折到的位置，使.（1）求證：平面平面ABC；（2）求二面角的正弦值.19.杭州第19屆亞運會于2023年9月23日至2023年10月8日舉行，國球再創(chuàng)輝煌，某校掀起乒乓球運動熱潮，組織乒乓球運動會.現(xiàn)有甲乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分．（1）己知某局比賽中雙方比分為，此時甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，甲發(fā)球時甲得分的概率為0.4．乙發(fā)球時乙得分的概率為0.5，各球的結(jié)果相互獨立，求該局比賽甲以獲勝的概率；（2）已知在本場比賽中，前兩局甲獲勝，在后續(xù)比賽中每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨立，兩人又進行了X局后比賽結(jié)束，求X的分布列與數(shù)學期望．20.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：.21.已知橢圓的離心率為，長軸長為4.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)橢圓上、下焦點分別為、，過點作斜率為的直線交橢圓于A，B兩點，直線，分別交橢圓于M，N兩點，設(shè)直線MN的斜率為.求證：為定值.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；（2）P為l上一點，過P作曲線C的兩條切線，切點分別為A，B，若，求點P橫坐標的取值范圍．[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)，．（1）當時，求不等式的解；（2）對任意．關(guān)于x的不等式總有解，求實數(shù)a的取值范圍．渭南市2024屆高三教學質(zhì)量檢測（1）數(shù)學試題（理科）命題人：王建龍韓黎波蔡雯偉注意事項：1.本試題滿分150分，考試時間120分鐘.2.答卷前務(wù)必將自己的姓名、學校、班級、準考證號填寫在答題卡和答題紙上.3.將選擇題答案填涂在答題卡上，非選擇題按照題號完成在答題紙上的指定區(qū)域內(nèi).第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)乘除法運算求復數(shù)z，即可求模.【詳解】由題設(shè)，故.故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次不等式求解集合，再求并集即可.【詳解】∵，∴．故選：D3.在正三棱柱中，，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出線面角的平面角，利用正三柱的性質(zhì)設(shè)出邊長即可求得結(jié)果.【詳解】取是的中點，連接，如下圖所示：設(shè)三棱柱底面邊長為，可得，由正三棱柱性質(zhì)可知平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，易知，由勾股定理可得，所以；即直線與平面所成角的正弦值為.故選：B4.“米”是象形字.數(shù)學探究課上，某同學用拋物線和構(gòu)造了一個類似“米”字型的圖案，如圖所示，若拋物線，的焦點分別為，，點在拋物線上，過點作軸的平行線交拋物線于點，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的對稱性求出P點橫坐標，再由拋物線定義求出即可.【詳解】因為，即，由拋物線的對稱性知，由拋物線定義可知，，即，解得，故選：D5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【詳解】閱讀流程圖，初始化數(shù)值.循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；第六次：，結(jié)束循環(huán)，輸出.故選B.點睛:算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.求解時，先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學問題，如：是求和還是求項.6.設(shè)定義在上的偶函數(shù)滿足，當時，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性和周期性的性質(zhì)可求出，代入即可得出答案.【詳解】由得.又為偶函數(shù)，所以.故選：A.7.甲乙兩位同學從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.90種 D.120種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分類分步計數(shù)原理，利用組合數(shù)計算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，首先選取1種相同課外讀物的選法有種，再選取另外兩種課外讀物需不同，則共有種，所以這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有種；故選：B8.已知圓的方程為，直線過點且與圓交于兩點，當弦長最短時，（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可知，當最短時，直線，然后再結(jié)合向量的數(shù)量積，從而得到結(jié)果.【詳解】當最短時，直線，，.故選：B.9.如圖，一個直四棱柱型容器中盛有水，底面為梯形，，側(cè)棱長.當側(cè)面ABCD水平放置時，液面與棱的交點恰為的中點.當?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)梯形各邊長的關(guān)系可求得水的體積占整個容器體積的，由等體積法可知當?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為5.【詳解】取底面梯形兩腰的中點為，如下圖所示：由可得，所以四邊形與四邊形的面積之比為，即可知容器中水的體積占整個容器體積的；當?shù)酌嫠椒胖脮r，可知液面高為直四棱柱側(cè)棱長的,即可得液面高為.故選：C10.我國人臉識別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識別，就是利用計算機檢測樣本之間相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個點，，為坐標原點，余弦相似度為向量，夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知，，，若P，Q的余弦距離為，，則Q，R的余弦距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦相似度和余弦距離的定義，代入計算即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，，，則，又，所以，可得；所以Q，R的余弦距離.故選：A11.在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，為雙曲線右支上一點，連接交軸于點．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由長度關(guān)系可得，知，在中，利用可構(gòu)造齊次方程求得雙曲線離心率.【詳解】設(shè)，為等邊三角形，，，又，，，，，，，解得：（舍）或，雙曲線的離心率為.故選：C.12.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個極值點，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點；②的最小正周期可能是；③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增.其中正期結(jié)論的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】令，，則,，結(jié)合條件可得有4個整數(shù)符合題意，可求出的取值范圍，再利用三角函數(shù)圖象性質(zhì)逐項分析即可得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)，令，可得，，因為在區(qū)間上有且僅有4個極值點，即可得有且僅有4個整數(shù)符合題意，解得，即，可得，即，解得，即③正確；對于①，當時，，即可得，顯然當時，在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點；當時，在區(qū)間上有且僅有4個不同的零點；即①錯誤；對于②，的最小正周期為，易知，所以的最小正周期可能是，即②正確；對于④，當時，；由可知，由三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，即④正確；即可得②③④正確.故選：C【點睛】方法點睛：求解三角函數(shù)中的取值范圍時，經(jīng)常利用整體代換法由圖象性質(zhì)限定出取值范圍即可求得結(jié)果，特別注意端點處的取值能否取到等號即可.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知一組數(shù)據(jù)點，用最小二乘法得到其線性回歸方程為，若，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)回歸方程必過樣本中心點，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意可知該組數(shù)據(jù)點，所以，所以，故答案為：14.在中，，，，則的面積為______.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可解得，再由面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理可知，即，解得；所以的面積為.故答案為：15.已知函數(shù)滿足，，，則滿足條件的函數(shù)可以是______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】結(jié)合常數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即滿足，，故答案為：（答案不唯一）.16.已知函數(shù)，方程有7個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】或【解析】【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，得單調(diào)性和極值，并作出函數(shù)的大致圖象，由，令，得或，然后分類和討論，它們一個有3個根，一個有4個根，由此可得參數(shù)范圍．【詳解】因為，令，得到，解得或，又當時，，則，當時，，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時，，時，，時，，其圖像如圖，所以，當時，有2上解，有2個解，又因為方程有7個不同的實數(shù)解，所以當時，有3個實數(shù)解，又時，，則，所以時，，時，，即當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又當時，，當時，，又當時，有3個實數(shù)解，所以或，解得或，故答案為：或.【點睛】方法點睛：解決函數(shù)零點問題經(jīng)常用到的方法就是數(shù)形結(jié)合，用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知等差數(shù)列滿足：，，其前項和為.（1）求及；（2）若數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由等比中項求出，進而求出等差數(shù)列的首項與公差，再用公式法寫出其通項公式和前n項和.（2）先求等比數(shù)列的前n項和，數(shù)列的前n項和即為.【小問1詳解】是等差數(shù)列，，數(shù)列公差，首項，，.，為所求.【小問2詳解】令，由題意有；數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列其前n項和，，數(shù)列的前n項和故為所求.18.如圖，在等腰梯形ABCD中，，，將沿著AC折到的位置，使.（1）求證：平面平面ABC；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過C做，交AB于E，連接AC，根據(jù)余弦定理求得AC，可證，又，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證平面APC，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可得證.（2）建立空間直角坐標系，求得平面，的法向量，，利用向量的夾角公式，即可求得二面角的正弦值，即可得答案.【小問1詳解】由等腰梯形ABCD中，，過C做，交AB于E，連接AC，如圖所示，根據(jù)對稱性可得，，所以，可得，又由，所以，即，所以，即，又因為，且，所以平面APC，又由平面ABC，所以平面平面ABC.【小問2詳解】取AC的中點E，AB的中點F，因為，所以，由（1）知，平面平面，易知，而平面平面，平面，所以平面，故兩兩垂直.以E為坐標原點，EA為x軸，EF為y軸，EP為z軸正方向建立空間坐標系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，得一個法向量，，得一個法向量，所以，設(shè)二面角的平面角為，，所以二面角的平面角的正弦值為.19.杭州第19屆亞運會于2023年9月23日至2023年10月8日舉行，國球再創(chuàng)輝煌，某校掀起乒乓球運動熱潮，組織乒乓球運動會.現(xiàn)有甲乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分．（1）己知某局比賽中雙方比分為，此時甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，甲發(fā)球時甲得分的概率為0.4．乙發(fā)球時乙得分的概率為0.5，各球的結(jié)果相互獨立，求該局比賽甲以獲勝的概率；（2）已知在本場比賽中，前兩局甲獲勝，在后續(xù)比賽中每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨立，兩人又進行了X局后比賽結(jié)束，求X的分布列與數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學期望為.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算即得.（2）求出X的所有可能值及各個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學期望即得.【小問1詳解】在比分為后甲先發(fā)球的情況下，甲以獲勝的情況分三種：第一種：后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為，第二種：后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為，第三種：后四球勝方依次為甲甲乙甲，概率為，所以所求事件的概率為：．【小問2詳解】隨機變量X的可能取值為2，3，4，5，，，，，所以X的分布列為X2345P數(shù)學期望.20.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導得到，分和進行討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)間的關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中的單調(diào)性，得到的最小值為，從而將問題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)，對求導，利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)間的關(guān)系，求出的最小值，即可證明結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以,易知，恒成立，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當時，由，得到，當時，；當時，，所以時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上，當時，在上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】由（1）知，當時，函數(shù)的最小值為，所以要證，即證明在區(qū)間上恒成立，整理得，令，則，所以當時，，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故的最小值為，即時，恒成立，所以時，.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式；特別地：當作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．21.已知橢圓的離心率為，長軸長為4.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)橢圓的上、下焦點分別為、，過點作斜率為的直線交橢圓于A，B兩點，直線，分別交橢圓于M，N兩點，設(shè)直線MN的斜率為.求證：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于方程，求得的值，即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，，求得為，聯(lián)立方程組，求得，得到,同理，利用斜率公式，化簡得到，即可得證.【小問1詳解】解：由橢圓的離心率為，長軸長為4.可得，解得，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：由（1）知，可得，設(shè)直線的方程為，設(shè)，則，由，所以直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則且，所以，可得，即,同理可得，所以，即，所以為定值.【點睛】方法總結(jié)：解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1