2024屆陜西省渭南市高三一模數(shù)學(xué)（理）試題含答案解析

渭南市2024屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（1）數(shù)學(xué)試題（理科）命題人：王建龍韓黎波蔡雯偉注意事項(xiàng)：1.本試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答卷前務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡和答題紙上.3.將選擇題答案填涂在答題卡上，非選擇題按照題號(hào)完成在答題紙上的指定區(qū)域內(nèi).第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.在正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.4.“米”是象形字.數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線和構(gòu)造了一個(gè)類似“米”字型的圖案，如圖所示，若拋物線，的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.65.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的A.2 B.3 C.4 D.56.設(shè)定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.7.甲乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.90種 D.120種8.已知圓的方程為，直線過(guò)點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí)，（）A B. C.4 D.89.如圖，一個(gè)直四棱柱型容器中盛有水，底面為梯形，，側(cè)棱長(zhǎng).當(dāng)側(cè)面ABCD水平放置時(shí)，液面與棱的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn).當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為（）A3 B.4 C.5 D.610.我國(guó)人臉識(shí)別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，余弦相似度為向量，夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知，，，若P，Q的余弦距離為，，則Q，R的余弦距離為（）A. B. C. D.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.12.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)極值點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)；②的最小正周期可能是；③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增.其中正期結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，用最小二乘法得到其線性回歸方程為，若，則_______．14.在中，，，，則面積為_(kāi)_____.15.已知函數(shù)滿足，，，則滿足條件的函數(shù)可以是______.16.已知函數(shù)，方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知等差數(shù)列滿足：，，其前項(xiàng)和.（1）求及；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.如圖，在等腰梯形ABCD中，，，將沿著AC折到的位置，使.（1）求證：平面平面ABC；（2）求二面角的正弦值.19.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至2023年10月8日舉行，國(guó)球再創(chuàng)輝煌，某校掀起乒乓球運(yùn)動(dòng)熱潮，組織乒乓球運(yùn)動(dòng)會(huì).現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分．（1）己知某局比賽中雙方比分為，此時(shí)甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4．乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為0.5，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，求該局比賽甲以獲勝的概率；（2）已知在本場(chǎng)比賽中，前兩局甲獲勝，在后續(xù)比賽中每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，兩人又進(jìn)行了X局后比賽結(jié)束，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．20.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：.21.已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓上、下焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線MN的斜率為.求證：為定值.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）P為l上一點(diǎn)，過(guò)P作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍．[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解；（2）對(duì)任意．關(guān)于x的不等式總有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．渭南市2024屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（1）數(shù)學(xué)試題（理科）命題人：王建龍韓黎波蔡雯偉注意事項(xiàng)：1.本試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答卷前務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡和答題紙上.3.將選擇題答案填涂在答題卡上，非選擇題按照題號(hào)完成在答題紙上的指定區(qū)域內(nèi).第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算求復(fù)數(shù)z，即可求模.【詳解】由題設(shè)，故.故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次不等式求解集合，再求并集即可.【詳解】∵，∴．故選：D3.在正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出線面角的平面角，利用正三柱的性質(zhì)設(shè)出邊長(zhǎng)即可求得結(jié)果.【詳解】取是的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：設(shè)三棱柱底面邊長(zhǎng)為，可得，由正三棱柱性質(zhì)可知平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，易知，由勾股定理可得，所以；即直線與平面所成角的正弦值為.故選：B4.“米”是象形字.數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線和構(gòu)造了一個(gè)類似“米”字型的圖案，如圖所示，若拋物線，的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，再由拋物線定義求出即可.【詳解】因?yàn)椋?，由拋物線的對(duì)稱性知，由拋物線定義可知，，即，解得，故選：D5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【詳解】閱讀流程圖，初始化數(shù)值.循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；第六次：，結(jié)束循環(huán)，輸出.故選B.點(diǎn)睛:算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.求解時(shí)，先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如：是求和還是求項(xiàng).6.設(shè)定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性和周期性的性質(zhì)可求出，代入即可得出答案.【詳解】由得.又為偶函數(shù)，所以.故選：A.7.甲乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.90種 D.120種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分類分步計(jì)數(shù)原理，利用組合數(shù)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，首先選取1種相同課外讀物的選法有種，再選取另外兩種課外讀物需不同，則共有種，所以這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有種；故選：B8.已知圓的方程為，直線過(guò)點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí)，（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可知，當(dāng)最短時(shí)，直線，然后再結(jié)合向量的數(shù)量積，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)最短時(shí)，直線，，.故選：B.9.如圖，一個(gè)直四棱柱型容器中盛有水，底面為梯形，，側(cè)棱長(zhǎng).當(dāng)側(cè)面ABCD水平放置時(shí)，液面與棱的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn).當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)梯形各邊長(zhǎng)的關(guān)系可求得水的體積占整個(gè)容器體積的，由等體積法可知當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為5.【詳解】取底面梯形兩腰的中點(diǎn)為，如下圖所示：由可得，所以四邊形與四邊形的面積之比為，即可知容器中水的體積占整個(gè)容器體積的；當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，可知液面高為直四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)的,即可得液面高為.故選：C10.我國(guó)人臉識(shí)別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，余弦相似度為向量，夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知，，，若P，Q的余弦距離為，，則Q，R的余弦距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦相似度和余弦距離的定義，代入計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，，，則，又，所以，可得；所以Q，R的余弦距離.故選：A11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由長(zhǎng)度關(guān)系可得，知，在中，利用可構(gòu)造齊次方程求得雙曲線離心率.【詳解】設(shè)，為等邊三角形，，，又，，，，，，，解得：（舍）或，雙曲線的離心率為.故選：C.12.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)極值點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)；②的最小正周期可能是；③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增.其中正期結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】令，，則,，結(jié)合條件可得有4個(gè)整數(shù)符合題意，可求出的取值范圍，再利用三角函數(shù)圖象性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)，令，可得，，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有4個(gè)極值點(diǎn)，即可得有且僅有4個(gè)整數(shù)符合題意，解得，即，可得，即，解得，即③正確；對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，即可得，顯然當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有且僅有4個(gè)不同的零點(diǎn)；即①錯(cuò)誤；對(duì)于②，的最小正周期為，易知，所以的最小正周期可能是，即②正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，；由可知，由三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，即④正確；即可得②③④正確.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解三角函數(shù)中的取值范圍時(shí)，經(jīng)常利用整體代換法由圖象性質(zhì)限定出取值范圍即可求得結(jié)果，特別注意端點(diǎn)處的取值能否取到等號(hào)即可.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，用最小二乘法得到其線性回歸方程為，若，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意可知該組數(shù)據(jù)點(diǎn)，所以，所以，故答案為：14.在中，，，，則的面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可解得，再由面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理可知，即，解得；所以的面積為.故答案為：15.已知函數(shù)滿足，，，則滿足條件的函數(shù)可以是______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】結(jié)合常數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即滿足，，故答案為：（答案不唯一）.16.已知函數(shù)，方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】或【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，得單調(diào)性和極值，并作出函數(shù)的大致圖象，由，令，得或，然后分類和討論，它們一個(gè)有3個(gè)根，一個(gè)有4個(gè)根，由此可得參數(shù)范圍．【詳解】因?yàn)?，令，得到，解得或，又?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，其圖像如圖，所以，當(dāng)時(shí)，有2上解，有2個(gè)解，又因?yàn)榉匠逃?個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)解，又時(shí)，，則，所以時(shí)，，時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)解，所以或，解得或，故答案為：或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題經(jīng)常用到的方法就是數(shù)形結(jié)合，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知等差數(shù)列滿足：，，其前項(xiàng)和為.（1）求及；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由等比中項(xiàng)求出，進(jìn)而求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，再用公式法寫出其通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和.（2）先求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和即為.【小問(wèn)1詳解】是等差數(shù)列，，數(shù)列公差，首項(xiàng)，，.，為所求.【小問(wèn)2詳解】令，由題意有；數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列其前n項(xiàng)和，，數(shù)列的前n項(xiàng)和故為所求.18.如圖，在等腰梯形ABCD中，，，將沿著AC折到的位置，使.（1）求證：平面平面ABC；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）過(guò)C做，交AB于E，連接AC，根據(jù)余弦定理求得AC，可證，又，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證平面APC，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可得證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面，的法向量，，利用向量的夾角公式，即可求得二面角的正弦值，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】由等腰梯形ABCD中，，過(guò)C做，交AB于E，連接AC，如圖所示，根據(jù)對(duì)稱性可得，，所以，可得，又由，所以，即，所以，即，又因?yàn)?，且，所以平面APC，又由平面ABC，所以平面平面ABC.【小問(wèn)2詳解】取AC的中點(diǎn)E，AB的中點(diǎn)F，因?yàn)?，所以，由?）知，平面平面，易知，而平面平面，平面，所以平面，故兩兩垂直.以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA為x軸，EF為y軸，EP為z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，得一個(gè)法向量，，得一個(gè)法向量，所以，設(shè)二面角的平面角為，，所以二面角的平面角的正弦值為.19.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至2023年10月8日舉行，國(guó)球再創(chuàng)輝煌，某校掀起乒乓球運(yùn)動(dòng)熱潮，組織乒乓球運(yùn)動(dòng)會(huì).現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分．（1）己知某局比賽中雙方比分為，此時(shí)甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4．乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為0.5，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，求該局比賽甲以獲勝的概率；（2）已知在本場(chǎng)比賽中，前兩局甲獲勝，在后續(xù)比賽中每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，兩人又進(jìn)行了X局后比賽結(jié)束，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式計(jì)算即得.（2）求出X的所有可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望即得.【小問(wèn)1詳解】在比分為后甲先發(fā)球的情況下，甲以獲勝的情況分三種：第一種：后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為，第二種：后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為，第三種：后四球勝方依次為甲甲乙甲，概率為，所以所求事件的概率為：．【小問(wèn)2詳解】隨機(jī)變量X的可能取值為2，3，4，5，，，，，所以X的分布列為X2345P數(shù)學(xué)期望.20.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到，分和進(jìn)行討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中的單調(diào)性，得到的最小值為，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系，求出的最小值，即可證明結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所?易知，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由，得到，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，所以要證，即證明在區(qū)間上恒成立，整理得，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故的最小值為，即時(shí)，恒成立，所以時(shí)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式；特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題．21.已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線MN的斜率為.求證：為定值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于方程，求得的值，即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，，求得為，聯(lián)立方程組，求得，得到,同理，利用斜率公式，化簡(jiǎn)得到，即可得證.【小問(wèn)1詳解】解：由橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，可得，設(shè)直線的方程為，設(shè)，則，由，所以直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則且，所以，可得，即,同理可得，所以，即，所以為定值.【點(diǎn)睛】方法總結(jié)：解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問(wèn)題的策略：1