中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題4.4特殊三角形知識點(diǎn)演練(6大題型93題)(講練)(原卷版+解析)

專題4.4特殊三角形考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)和判定例1．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，連結(jié)(1)求證：△ABD≌(2)求∠BEC的度數(shù)；(3)過點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M，若AM=3.5，BD=5，求線段BC的長．例2．（2022秋·浙江金華·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=AC=210，AD是邊BC上的高線，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)(1)求證：△ADE是等腰三角形；(2)連結(jié)CE交AD于點(diǎn)H，若∠DCE=45°，求EH知識點(diǎn)訓(xùn)練1．（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=4．則BD的長為（

）A．1 B．32 C．2 D．2．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，點(diǎn)D、E分別在AC邊和AB邊上，沿著直線DE翻折△ADE，點(diǎn)A落在BC邊上，記為點(diǎn)F，如果CF=2，則BE的長為（

）A．6 B．52 C．3223．（2023秋·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖，在△ABC中，∠B=45°，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE=AF．判斷△DEF的形狀是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．無法判斷4．（2022秋·重慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠ABE的度數(shù)為（

）A．30° B．35° C．40° D．50°5．（2023秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，∠DAB的平分線交CD于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)G，∠ABC的平分線交CD于點(diǎn)F，交AD的延長線于點(diǎn)H，AG與BH交于點(diǎn)O，連接BE，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．AB=AE6．（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，則下列五個(gè)結(jié)論：①AD⊥BC，且BD=CD；②AE=AF；③∠BDE=∠BAD；④連接EF，AD垂直平分EF；⑤若∠BDE=30°，則BC=AC．其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)7．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谀┤鐖D，等腰△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作∠ACB的平分線交DF于點(diǎn)G，∠BED=2∠DFC，DG=4，BC=16，求BE的長為_________________．8．（2022秋·黑龍江大慶·七年級大慶市第三十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=12S△ABC；④BE+CF=EF，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P9．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AD⊥BC，且AD=BD，點(diǎn)E是線段AD上一點(diǎn)，且BE=AC，連接BE．(1)求證：△ACD≌(2)若∠C=78°，求∠ABE的度數(shù)．10．（2022秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°．(1)如圖，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，BD=CE，BE與CD交于點(diǎn)F．試判斷BF與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(2)點(diǎn)D是AB邊上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，且BD=CE，BE與CD交于點(diǎn)F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度數(shù)．11．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連結(jié)DE并延長至點(diǎn)F，使EF=ED，連結(jié)CF．(1)求證：△AED≌△CEF．(2)若CA平分∠BCF，求證：AB=BC．12．（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D、E、F分別在AB，AC，BC邊上，且AD=BF，BD=AE．(1)求證：△DEF是等腰三角形；(2)當(dāng)∠C=40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．13．（2023秋·遼寧葫蘆島·八年級?？计谀┤鐖D，在?ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分線AF，DE分別與線段BC交于點(diǎn)F，E，AF與(1)求證：AF⊥DE，(2)若AD=10，AB=6，14．（2023秋·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，連接CP．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t秒．(1)填空：AB=______；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，線段CP的長最??；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形．15．（2023秋·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，BC上的動點(diǎn)，且始終滿足CE=BF．(1)求證：DE=DF；(2)求∠EDF的大??；(3)已知AC=20，求出四邊形CEDF的面積，并直接寫出四邊形CEDF的面積與三角形ABC的面積之間的關(guān)系．16．（2023秋·遼寧鐵嶺·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在△ACB中，∠ACB=90°,CA=CB，點(diǎn)D，E分別在邊CA,CB上，CD=CE，連接DE,AE,BD，過點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為H，直線CF交直線BD于F．(1)求證：DF=BF；(2)將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，如圖2，（1）的結(jié)論是否成立？如果成立，請證明：如果不成立，請說明理由；(3)若CD=2,CB=4，將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)A，E，D三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出AE的長．17．（2023秋·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，△ABC中，BD⊥AC于D，AD=BD=4，CD=2，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，交BD于P．回答下列問題：(1)求線段DP的長；(2)連結(jié)DH，求證：∠AHD=45°；(3)如圖2，若點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段BD延長線上一動點(diǎn)，連結(jié)MO，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交線段DA延長線于點(diǎn)N，則S△BOM考點(diǎn)2：等邊三角形的性質(zhì)和判定例3．（2023秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB是等邊三角形，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為4，0，點(diǎn)A在反比例函數(shù)（1）反比例函數(shù)y=k（2）把△OAB向右平移a個(gè)單位長度，對應(yīng)得到△O①若此時(shí)另一個(gè)反比例函數(shù)y=k1x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A1，則k和k1的大小關(guān)系是：k______k1（填“②當(dāng)函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)△O例4．（2023秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于點(diǎn)M，交BE于點(diǎn)G，AD平分∠MAC，交BC于點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)F，∠ADB=∠C+∠4．(1)判斷直線BE與線段AD之間的關(guān)系，并說明理由．(2)若∠C=30°，試判斷△ABD的形狀，并說明理由．知識點(diǎn)訓(xùn)練1．（2023秋·云南楚雄·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，若AB=AC=3，∠B=60°，則BC的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023秋·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期末）如圖，D為等邊△ABC邊BC上一點(diǎn)，∠BAD=∠CDE，BD=2，CD=4，則CE的長為（

）A．23 B．1 C．433．（2022秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，AC=3，△ABC的周長為12，設(shè)AB的長為x，下列說法不正確的是（

）A．△ABC為等腰三角形時(shí)，x=4.5 B．△ABC不可能是等邊三角形C．△ABC為直角三角形時(shí)，x=4 D．3<x<64．（2023秋·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的點(diǎn)，四邊形ABCO是平行四邊形，OF⊥OC，交⊙O于點(diǎn)F，則∠BAF的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．25° D．30°5．（2023秋·遼寧沈陽·八年級?？计谀┤鐖D，D為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，DA=5，DB=4，DC=3，將線段AD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD'，下列結(jié)論：①點(diǎn)D與點(diǎn)D'的距離為5；②△ACD'可以由△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；③∠ADC=150°A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)6．（2023秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如圖，O為△ABC的外心，△OCP為正三角形，OP與AC相交于D點(diǎn)，連接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，則∠ADP為（

）A．110° B．90° C．85° D．80°7．（2023·云南昭通·?？家荒＃┤鐖D、等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上．若OA=4，則劣弧BC的長是_____．8．（2023秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示：已知△ABC是等邊三角形，邊長為2，面積為3，AD是BC邊的高，若點(diǎn)M、N分別是線段AC和AD上的兩個(gè)動點(diǎn)，則MN+NC的最小值是______．9．（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=10cm，DE=6cm，則BC的長是______10．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，點(diǎn)N，點(diǎn)M分別為BC，DE的中點(diǎn)，AB=6,AD=4，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，MN的最大值為___________．11．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=60°，AD=CE，AE與BD相交于點(diǎn)F，若EF=4，則E到BF的距離為___________．12．（2023秋·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=5，點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動，以AD為邊向右邊作等邊三角形ADE，連接CE，以下結(jié)論正確的有_____________．（填序號即可）①AC=2.5；②∠BAD=∠CAE；③當(dāng)∠BAD=30°時(shí)，AE=BD；④CE長度的最小值為1.25．13．（2023秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示：△ABC和△DEF都是等邊三角形．(1)求證：△ADF≌△CFE．(2)若CF=2AF，求∠CFE14．（2023秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，ED的延長線與BC相交于點(diǎn)F，連接AF、EC．(1)求證：AB∥EC；(2)求證：△DAF∽△DEC．15．（2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知Aa,b，AB⊥y軸于B，且滿足a?2(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖1所示，分別以AB,AO為邊作等邊△ABC和等邊△AOD，①求證：△ABO≌△ACD②試判定線段AC和DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．(3)如圖2所示，過A作AE⊥x軸于E，F(xiàn)，G分別為線段OE,AE上的兩個(gè)動點(diǎn)，滿足∠FBG=45°，試探究FG與OF+AG的大小關(guān)系？并說明理由．16．（2023秋·河北保定·九年級?？计谀┤鐖D1，D，E分別是△ABC中AB，AC上的兩點(diǎn)，且AB=AC，AD=AE．(1)當(dāng)∠A=60°時(shí)，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，連接BD，則BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，∠DBC的度數(shù)是______．(2)當(dāng)∠A=90°時(shí)，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖3所示，連接BD，請寫出BD與CE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由．(3)當(dāng)∠A=90°時(shí)，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)C落在ED的延長線上，如圖4所示，試判斷AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．17．（2022春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，連接BD、AE，BD與AE相交于點(diǎn)O，AE與CD相交于點(diǎn)M，BD與AC相交于點(diǎn)(1)如圖1，若點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，猜想線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系，以及BD與AE相交構(gòu)成的銳角∠AOB(2)如圖2，將△ECD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B、C、E不在一條直線上時(shí)，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．18．（2023秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP.(1)觀察猜想如圖①，當(dāng)α=60°時(shí)，BDCP的值是_______，直線BD與直線CP(2)類比探究如圖②，當(dāng)α=90°時(shí)，請寫出BDCP的值及直線BD與直線CP考點(diǎn)3：含有30°銳角的直角三角形例5.（1）（2023·廣東·一模）已知A、B是圓O上的點(diǎn)，以O(shè)為圓心作弧，交OA、OB于點(diǎn)C、D．分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于12CD長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E．作線段OE，交AB于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G．若OF=3cm，∠AOB=120°，則⊙O（2）（2023秋·云南楚雄·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，D是BC上一點(diǎn)，連接AD，若∠DAC=60°，AC=4．則A．8 B．10 C．12 D．16例6.（2022秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°(1)請用尺規(guī)作圖法，在BC邊上求作一點(diǎn)P，使PA=PB（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(2)連接AP，若∠ABC=30°，BC=6，求知識點(diǎn)訓(xùn)練1．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖DAD是△ABC的高，AB=4，∠BAD=60°，tan∠CAD=12，則BCA．3+1 B．23+2 C．22．（2023·廣西河池·?？家荒＃┰诰匦蜛BCD中，過AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，連接AE、CF．若AB=3，∠DCF=30°，則EFA．2 B．3 C．23 D．3．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4．將△ABC繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，若點(diǎn)O是BC中點(diǎn)，點(diǎn)P是A．4 B．6 C．8 D．104．（2023秋·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC中高AD恰好平分邊BC，∠B=30°，點(diǎn)P是BA延長線上一動點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一動點(diǎn)，且OP=OC，下面的結(jié)論：①AO+AP=AB；

②OP+OC的最小值為2AB；③∠APO+∠PCB=90°；

④S△ABC其中正確的有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．45．（2023秋·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將一塊含30°角的三角板AOB按如圖所示擺放在平面直角坐標(biāo)系中，∠B=60°，∠BAO=90°，△AOB的面積為4，BO與x軸的夾角為30°，若反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則A．3 B．23 C．6 6．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在ΔABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步驟作圖：①分別以A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑做弧，兩弧相交于點(diǎn)P和Q．②作直線PQ交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接AE．若CE=47．（2023秋·貴州黔東南·九年級統(tǒng)考期末）將等腰直角三角板ACB(∠ACB=90°)繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°得到△A'C'8．（2023秋·湖北咸寧·八年級統(tǒng)考期末）等腰三角形中有一個(gè)內(nèi)角為120°，底邊上的高為4，則腰長為_______9．（2022秋·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠BAC=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥DE，已知10．（2022秋·湖北黃石·八年級?？计谀┤鐖D，△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，DE∥AC，交BC于點(diǎn)E，若AC=6，則11．（2023秋·貴州六盤水·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E．(1)判斷四邊形ABEC的形狀，并說明理由；(2)若∠DBC=30°，BO=6，求四邊形ABED的面積．12．（2023秋·山東德州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線，以AB上一點(diǎn)O為圓心作圓，使⊙O經(jīng)過A，D(1)尺規(guī)作圖：作出⊙O（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）；(2)求證：BC為⊙O的切線．(3)若AB=10，∠B=30°，求⊙O的周長．考點(diǎn)4：直角三角形斜邊上的中線例7.（1）（2023秋·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測得AC=5km，BC=12km（2）（2023秋·遼寧阜新·九年級阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）如圖，在菱形ABCD中，∠A=100°，M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，MP⊥CD于點(diǎn)P．則∠NPC的度數(shù)為（

）A．50° B．60° C．70° D．80°例8.如圖：BE、CF是銳角△ABC的兩條高，M、N分別是BC、EF的中點(diǎn)，若EF=6，BC=24．(1)證明∠ABE=(2)判斷EF與MN的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)求MN的長．知識點(diǎn)訓(xùn)練1．（2022秋·黑龍江大慶·八年級?？计谀┤鐖D，在一個(gè)等邊三角形紙片中取三邊中點(diǎn)，以虛線為折痕折疊紙片，若三角形紙片的面積是8cm2，則圖中陰影部分的面積是（A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2．（2023·安徽滁州·校考一模）如圖，兩點(diǎn)E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的AD和CD邊上，AB=6，AD=8，∠BEF=90°，且BE=EF，點(diǎn)M為BF的中點(diǎn)，則ME的長為（

）A．92 B．25 C．323．（2023秋·云南楚雄·九年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，E為AB邊的中點(diǎn)，若菱形的周長為24，則OE的長是（

）A．1 B．20 C．3 D．44．（2022秋·廣西南寧·九年級廣西大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）如圖Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．以點(diǎn)A為圓心，BC的長為半徑作弧交AB于點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)A，D為圓心，以AB，AC的長為半徑作弧交于點(diǎn)E，連接AE，DE，若點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，則DFA．4 B．5 C．6 D．85．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E為對角線AC的中點(diǎn)，連接BE，ED，BD，若∠BAD=58°，則A．118° B．108° C．120° D．116°6．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谀┤鐖D，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N為CD，BC上的點(diǎn)，且DM=CN，AM與DN交于點(diǎn)P，連接AN，點(diǎn)Q為AN中點(diǎn)，連接PQ，若AB=10，DM=4，則PQ的長為________．7．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD為BC邊上的中線，若AD=1，則△ABC的面積為________．8．（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)G為△ABC的重心，過點(diǎn)G作GD∥BC交AB于點(diǎn)D．已知AB=109．（2022·廣東云浮·校聯(lián)考三模）如圖，∠MON=90°，動線段AB的端點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．點(diǎn)B由點(diǎn)O開始沿ON方向運(yùn)動，此時(shí)點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，運(yùn)動停止．若AB=10cm，則中點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑與OM10．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在△ABC中，∠ACB是鈍角，AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AC、AB的中點(diǎn)，∠FCE=∠CED．連接DF，EF，設(shè)DF與EC交于點(diǎn)O．(1)求證：OD=OF．(2)若OF=52，tanB=11．（2023·廣東·一模）如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AD=BD，將△ACB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△MNB，連接CD，DM．求證：△ACB≌12．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的中線，過點(diǎn)C作CD的垂線交AB的延長線于點(diǎn)E，BF⊥CE于點(diǎn)F(1)求證：BC平分∠ABF；(2)求證：BC考點(diǎn)5：勾股定理及逆定理例9.（1）（2022秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）以下列各組數(shù)據(jù)為邊長作三角形，其中不能組成直角三角形的是（）A．4，6，8 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25（2）（2023秋·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期末）如圖，長方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示－1，AB=3，AD=1．若以點(diǎn)A為圓心，對角線AC長為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M所表示的數(shù)為（

）A．10?1 B．10 C．10+1 （3）（2023秋·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC，以AB，BC，AC三邊為邊長的三個(gè)正方形面積分別為S1，S2，例10.（2023·四川宜賓·校考模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長線上的一點(diǎn)，且BE=DF，連接AE、AF、EF．(1)求證△ABE≌△ADF；(2)若AE=5，請求出EF的長．知識點(diǎn)訓(xùn)練．（2022秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A．122cm B．285cm C．2．（2022秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A3,5，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,?2，則線段ABA．4 B．5 C．6 D．73．（2023·吉林長春·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，將△ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)A．3cm B．2.5cm C．1.5cm4．（2023·遼寧阜新·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，正方形ABCD，BEFG的邊長分別為3，4，H為線段DF的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）A．12 B．6 C．72 D．55．（2022秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，邊AC，AB上的中線BE，CD相交于點(diǎn)F，若AC=6，BC=4，則BF=（

A．103 B．52 C．4136．（2023秋·貴州黔東南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABG的位置，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B．若DF=3，則BE的長為（）A．12 B．34 C．17．（2023秋·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則tan∠BAC8．（2022秋·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖中，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC(1)求tanB(2)若BC=24，求斜邊AB的長．9．（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）定義：三角形一邊上的點(diǎn)到三角形的另兩條邊的距離相等，稱此點(diǎn)為這個(gè)三角形這邊上的雅實(shí)心，如：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的AC邊上時(shí)，若PD⊥BC于點(diǎn)D，PE⊥AB于點(diǎn)E，且PD=PE，則稱點(diǎn)P為△ABC的AC邊上的雅實(shí)心，△ABC各邊上的三個(gè)雅實(shí)心為頂點(diǎn)構(gòu)成新三角形，叫做△ABC的雅實(shí)三角形．(1)如圖2，△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，求BC邊上的雅實(shí)心P到AB的距離(2)如圖3，等邊△ABC的邊長為4cm，求等邊△ABC(3)如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B分別在x，y軸上，且A2,0，∠BAO=60°，求△AOB的斜邊上的雅實(shí)心P10．（2023秋·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）【問題原型】如圖①，△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連接AD、BE．求證：∠DAC=∠EBC【問題延伸】如圖②，Rt△ACB∽Rt△DCE，∠ACB=∠DCE=90°，連接AD、BE．試問∠DAC【問題應(yīng)用】如圖③，Rt△ACB∽Rt△DCE，∠ACB=∠DCE=90°，AC=4，BC=3．點(diǎn)E在邊AB上，且BE=1，連接AD11．（2023秋·福建福州·八年級福建省福州延安中學(xué)校考期末）如圖，△ABC中，AB>AC，AD是BC邊上的高，將△ADC沿AD所在的直線翻折，使點(diǎn)C落在BC邊上的點(diǎn)E處．(1)若AB=20，AC=13，CD=5，求△ABC的面積：(2)求證：AB考點(diǎn)6：等腰三角形的存在性問題例11.（2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）(1)如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且CE=1，則BC的長為______________(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A4,3，點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，若以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P例12.（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谀┰谡叫尉W(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形，現(xiàn)有A，B兩個(gè)格點(diǎn)，請以AB為邊分別畫出符合下列要求的格點(diǎn)三角形．(1)在圖甲中畫一個(gè)面積為4的直角三角形；(2)在圖乙中畫一個(gè)等腰（非直角）三角形，且這個(gè)等腰三角形的腰長為_______________．知識點(diǎn)訓(xùn)練1．（2022秋·山東日照·八年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A2,?2，在y軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的有（

A．5 B．4 C．3 D．22．（2023秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在3×4正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在小方格的頂點(diǎn)上，要在小方格的頂點(diǎn)上確定一點(diǎn)C，且使△ABC是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為___________．3．（2022秋·江西九江·八年級統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)A3,?1和點(diǎn)B0,2，點(diǎn)C在y軸上，若△ABC是等腰三角形，則點(diǎn)4．（2022秋·浙江溫州·八年級校考期中）如圖，在8×8正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)請?jiān)趫D中作出△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A(2)在線段A'B'上找一點(diǎn)P（點(diǎn)P5．（2023秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期末）在直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．如圖，直線AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A(?3，(1)畫一個(gè)等腰△ABC，且點(diǎn)C為第一象限內(nèi)的整點(diǎn)，并寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)畫一個(gè)△OAD，使△OAD與△AOB重疊部分的面積是△AOB面積的一半，且點(diǎn)D為整點(diǎn)，并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．6．（2023秋·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）（1）動手嘗試：如圖，有甲、乙、丙、丁四張三角形紙片，甲是直角三角形紙片，乙是內(nèi)角分別為40°，60°，80°的三角形紙片；丙是內(nèi)角分別為x40°，60°，80°的三角形紙片；丁是的內(nèi)角分別為35°，40°，105°的三角形紙片，你能把每一張三角形紙片一條剪痕剪成兩個(gè)等腰三角形嗎？請把能剪的用虛線畫出剪痕并標(biāo)出各角的度數(shù)．（2）項(xiàng)目研究：綜合上述嘗試，請思考?xì)w納出一張三角形紙片能剪成兩個(gè)等腰三角形需具備的條件，畫出相應(yīng)的示意圖，并標(biāo)出能說明是等腰三角的相應(yīng)的角．7．（2022秋·上海寶山·八年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，直線y=12x經(jīng)過點(diǎn)Am,2，反比例函數(shù)y=k(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在x軸上找一點(diǎn)C，△ABC為等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．專題4.4特殊三角形考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)和判定例1．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，連結(jié)(1)求證：△ABD≌(2)求∠BEC的度數(shù)；(3)過點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M，若AM=3.5，BD=5，求線段BC的長．【答案】(1)見解析；(2)90°；(3)13．【分析】（1）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，得到∠BAD=∠CAE，即可證明（2）由題意得：AD=AE，∠DAE=90°，得到∠ADE=∠AED=45°，∠ADB=180°?∠ADE=135°（3）已知AM⊥DE，得到∠AMD=∠AME=90°，△ADM和△AEM都是等腰直角三角形，推出DM=EM=AM=3.5．BE=12，由（1）△ABD≌△ACE，得到CE=BD=5，在【詳解】（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90∴AB=AC，AD=AE，∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC．∴∠BAD=∠CAE．∴△ABD≌（2）∵AD=AE，∠DAE=90∴∠ADE=∠AED=45∴∠ADB=180∵△ABD≌∴∠AEC=∠ADB=135∴∠BEC=∠AEC?∠AED=135（3）∵AM⊥DE，∴∠AMD=∠AME=90∵∠ADE=∠AED=45∴△ADM和△AEM都是等腰直角三角形．∴DM=EM=AM=3.5．∴BE=BD+DM+EM=5+3.5+3.5=12．∵△ABD≌∴CE=BD=5．在Rt△BECBC=B【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·浙江金華·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=AC=210，AD是邊BC上的高線，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)(1)求證：△ADE是等腰三角形；(2)連結(jié)CE交AD于點(diǎn)H，若∠DCE=45°，求EH【答案】(1)見解析；(2)2【分析】（1）利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BD=CD，∠DAC=∠EAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDA=∠DAC，等量代換得到∠EAD=∠EDA，根據(jù)等角對等邊即可得到結(jié)論；（2）作EF∥BC，交AD于G，交AC于點(diǎn)F，連接FH，則EG⊥AD，得出AG=GD，進(jìn)而得出△CDH，△EGH是等腰直角三角形，得出EF=2EH，GH=12EF，證明△DEC≌△FCEASA，得出【詳解】（1）證明：在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠DAC=∠EAD∵DE∥∴∠EDA=∠DAC∴∠EAD=∠EDA∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；（2）作EF∥BC，交AD于G，交AC于點(diǎn)F，連接FH，則∵△AED是等腰三角形，EG⊥AD∴AG=GD，∵AD⊥BC，∠DCE=45°，∴△CDH是等腰直角三角形，∴DH=DC，∠DHC=45°∵EG⊥AD，∴△EGH是等腰直角三角形，∵EF∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠ACB,又∵∠B=∠ACB∴∠AEF=∠AFE∴AE=AF，又∵AD⊥EF∴HE=HF∴∠HEF=∠HFE=45°，∴△HEF是等腰直角三角形，∴EF=2EH，又∵∠B=90°?∠EAD=90°?∠EDA=∠EDB，∠B=∠ACB∴ED∥∴∠DEC=∠FCE，∵EF∴∠FEC=∠ECD在△DEC與△FCE中，∠FEC=∠ECD∴△DEC≌△FCEASA∴EF=DC∴GD=GH+DH=∵GA=GD=1∴AD=3DC，∵AB=AC=210，A∴40=9DC∴DC=2，∴EF=∴EH=2∴EH的長為2．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)訓(xùn)練1．（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=4．則BD的長為（

）A．1 B．32 C．2 D．【答案】C【分析】延長BD與AC交于點(diǎn)E，由∠A=∠ABD可推出BE=AE，依據(jù)等角的余角相等，即可得等腰三角形△BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根據(jù)AC=8，BC=4，即可推出【詳解】延長BD與AC交于點(diǎn)E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=90°，∴∠CBD+∠BCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，又CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠CBD=∠CED∴BC=CE，∴BD=DE，∵AC=8，BC=4，∴AE=AC?CE=AC?BC=4，∴BE=AE=4，∴BD=2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，比較簡單，關(guān)鍵在于正確地作出輔助線，構(gòu)建等腰三角形，通過等量代換，即可推出結(jié)論．2．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，點(diǎn)D、E分別在AC邊和AB邊上，沿著直線DE翻折△ADE，點(diǎn)A落在BC邊上，記為點(diǎn)F，如果CF=2，則BE的長為（

）A．6 B．52 C．322【答案】D【分析】過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，先求出AB=62,BF=4，則FG=22,AG=42，設(shè)AE=x【詳解】過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，∴∠BGF=90°，∵∠C=90°，AC=BC=6，CF=2，∴AB=2∴FG=BG=2∴AG=AB?BG=42設(shè)AE=x，則EF=x,EG=42在Rt△EFG中，由勾股定理得E即42解得x=∴BE=AB?AE=62故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，能夠準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖，在△ABC中，∠B=45°，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE=AF．判斷△DEF的形狀是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．無法判斷【答案】B【分析】連接AD，∠B=45°，AB=AC，得出∠B=∠C=45°，求出∠BAC=180°?45°?45°=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AD⊥BC，AD=BD=CD，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，證明△BDE≌△ADF，得出DE=DF，∠BDE=∠ADF【詳解】解：連接AD，如圖所示：∵在△ABC中，∠B=45°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∴∠BAC=180°?45°?45°=90°，∵D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，AD=BD=CD，∠BAD=∠CAD=1∴∠B=∠DAF，∵BE=AF，∴△BDE≌△ADFSAS∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，∵∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADF+∠ADE=90°，即∠EDF=90°，∴△EDF為等腰直角三角形，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明△BDE≌△ADF．4．（2022秋·重慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠ABE的度數(shù)為（

）A．30° B．35° C．40° D．50°【答案】C【分析】先根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理得到∠A=40°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE=BE，則∠ABE=∠A=40°．【詳解】解：∵AB=AC，∠C=70°，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠A=180°?∠ABC?∠C=40°，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，∠DAB的平分線交CD于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)G，∠ABC的平分線交CD于點(diǎn)F，交AD的延長線于點(diǎn)H，AG與BH交于點(diǎn)O，連接BE，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．AB=AE【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AH∥BG，∴∠H=∠HBG，∵∠HBG=∠HBA，∴∠H=∠HBA，∴AH=AB，同理可證BG=AB，∴AH=BG，∵AD=BC，∴DH=CG，故C正確，∵AH=AB，∠OAH=∠OAB，∴OH=OB，故A正確，∵DF∥∴∠DFH=∠ABH，∵∠H=∠ABH，∴∠H=∠DFH，∴DF=DH，同理可證EC=CG，∵DH=CG，∴DF=CE，故B正確，無法證明AE=AB，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決問題．6．（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，則下列五個(gè)結(jié)論：①AD⊥BC，且BD=CD；②AE=AF；③∠BDE=∠BAD；④連接EF，AD垂直平分EF；⑤若∠BDE=30°，則BC=AC．其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】證明△DEB≌△DFCAAS，可得DB=DC，BE=CF，∠BDE=∠CDF，AD是等腰△ABC的中線，即有AD⊥BC，AD是∠BAC的平分線，可判斷①正確；結(jié)合AB=AC，BE=CF，可判斷②正確；結(jié)合AD⊥BC，DE⊥AB，可得∠B+∠BAD=90°，∠B+∠BED=90°，即可判斷③正確；連接EF，證明△AEF是等腰三角形，根據(jù)“三線合一”可知AD垂直平分EF，即④正確；證明△ABC是等邊三角形，即可得⑤【詳解】∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵DE=DF，∴△DEB≌△DFCAAS∴DB=DC，BE=CF，∠BDE=∠CDF，∴AD是等腰△ABC的中線，∴AD⊥BC，AD是∠BAC的平分線，即①正確；∵AB=AC，BE=CF，∴AE=AB?BE=AC?CF=AF，即②正確；∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠B+∠BAD=90°，∠B+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠BAD，即③正確；連接EF，如圖，∵AE=AF，∴△AEF是等腰三角形，∵AD是∠BAC的平分線，∴AD是△AEF底邊EF的中線和高線，∴AD垂直平分EF，即④正確；∵∠BDE=30°，∴∠DBE=60°，∵AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，即⑤正確；即正確的有5個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谀┤鐖D，等腰△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作∠ACB的平分線交DF于點(diǎn)G，∠BED=2∠DFC，DG=4，BC=16，求BE的長為_________________．【答案】6【分析】在FC上截取CM=CD，CG是∠BCA的平分線，即可證明△DCG≌△MCG，證明GM=FM，然后根據(jù)【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠DCA，又∵BE=CD，BD=CF，∴△BED≌∴∠BDE=∠CFD，∠BED=∠CDF，∵∠BED=2∠DFC，設(shè)∠DFC=x，∴∠BED=2x=∠FDC，在FC上截取CM=CD，如圖所示：∵CG是∠BCA的平分線，∴∠DCG=∠GCM，在△DCG和△MCG中，CM=CD∠DCG=∠MCG∴△DCG≌∴DG=DM=4，DC=CM，∠DGC=∠GMC=2x，∴∠FGM=∠GMC?∠GFM=2x?x=x，∴∠FGM=∠GFM，∴GM=FM=4，設(shè)CD=EB=y，則FC=4+y=BD，BC=BD+CD=4+y+y，∴16=4+2y，則y=6，即BE=6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確做出輔助線，構(gòu)造全等三角形，是本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·黑龍江大慶·七年級大慶市第三十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=12S△ABC；④BE+CF=EF，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P【答案】①②③【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，根據(jù)同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，然后利用“角邊角”證明△APE和△CPF全等，根據(jù)全等三角形的可得AE=CF，判定①正確，等腰直角三角形的定義得到△EFP是等腰直角三角形，判定②正確；根據(jù)全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于△CPF的面積相等，然后求出四邊形AEPF的面積等于△ABC的面積的一半，判定③正確，根據(jù)BE+CF=BE+AE=AB，只有當(dāng)E與A、【詳解】如圖,連接EF,∵AB=AC,∠BAC=90°，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴AP⊥BC,AP=PC,∠EAP=∠C=45°，∴∠APF+∠CPF=90°，∵∠EPF是直角，∴∠APF+∠APE=90°，∴∠APE=∠CPF；在△APE和△CPF中，∠APE=∠CPFAP=PC∴△APE≌△CPFASA∴AE=CF，PE=PF，故①正確；∴△EPF是等腰直角三角形，故②正確；∵△APE≌△CPF，∴S△APE∴S四邊形故③正確，∵BE+CF=BE+AE=AB，只有當(dāng)E與A、B重合時(shí)，BE+CF=EF=AB．∴④不正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②③．故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，從而得到△APE≌△CPFASA9．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AD⊥BC，且AD=BD，點(diǎn)E是線段AD上一點(diǎn)，且BE=AC，連接BE．(1)求證：△ACD≌(2)若∠C=78°，求∠ABE的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)∠ABE=33°【分析】（1）根據(jù)垂直得到∠ADB=∠ADC=90°，在利用“HL”即可證明△ACD≌（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到∠DAC=∠DBE，再利用垂直，得到∠DBE=∠DAC=12°，證明△ABD是等腰直角三角形，得到∠ABD=45°，即可求出∠ABE的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ACD和RtAD=BDAC=BE∴Rt（2）解：∵△ACD≌∴∠DAC=∠DBE，∵∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∵∠C=78°，∴∠DBE=∠DAC=90°?78=12°，∵AD=BD，AD⊥BC，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABE=∠ABD?∠DBE=45°?12°=33°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2022秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°．(1)如圖，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，BD=CE，BE與CD交于點(diǎn)F．試判斷BF與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(2)點(diǎn)D是AB邊上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，且BD=CE，BE與CD交于點(diǎn)F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度數(shù)．【答案】(1)BF=CF，證明見解析(2)∠FBD=30°或45°【分析】（1）證明△BCD?△CBESAS，得出∠FBC=∠FCB（2）先求出∠ABC=∠ACB=12180?∠BAC=67.5°，由（1）得出∠DBF=∠ECF，設(shè)∠FBD=∠ECF=x，則∠FBC=∠FCB=67.5°?x，∠BDF=∠ECF+∠BAC=x+45°，∠DFB=2∠FBC=267.5°?x=135?2x【詳解】（1）解：BF=CF，理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCD與△CBE中BC=BC∠ACB=∠ABC∴△BCD?△CBESAS∴∠FBC=∠FCB，∴BF=CF；（2）解：∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=1由（1）知，∠FBC=∠FCB，∴∠DBF=∠ECF，設(shè)∠FBD=∠ECF=x，則∠FBC=∠FCB=67.5°?x，∠BDF=∠ECF+∠BAC=x+45°∠DFB=2∠FBC=267.5°?x∵△BFD是等腰三角形，故分三種情況討論：①.當(dāng)BD=BF時(shí)，此時(shí)∠BDF=∠DFB，∴x+45°=135°?2x,得x=30°，即∠FBD=30°；②當(dāng)BD=DF時(shí)，此時(shí)∠FBD=∠DFB，∴x=135°?2x,得x=45°，即∠FBD=45°；③當(dāng)BF=DF時(shí)，此時(shí)∠FBD=∠FDB，∴x=x+45°,不符題意，舍去；綜上所述，∠FBD=30°或45°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連結(jié)DE并延長至點(diǎn)F，使EF=ED，連結(jié)CF．(1)求證：△AED≌△CEF．(2)若CA平分∠BCF，求證：AB=BC．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)E為AC的中點(diǎn)，得到AE=CE，結(jié)合∠AED=∠CEF，ED=EF，即可得到證明；（2）根據(jù)△AED≌△CEF可得∠DAE=∠ECF，CA平分∠BCF可得∠BCA=∠ECF，即可得到證明；【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，∵AE=CE∴△AED≌△CEF(SAS（2）證明：由（1）得：△AED≌△CEF，∴∠DAE=∠ECF，∵CA平分∠BCF，∴∠BCA=∠ECF∴∠BAC=∠BCA∴AB=BC；【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是找到三角形全等的條件．12．（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D、E、F分別在AB，AC，BC邊上，且AD=BF，BD=AE．(1)求證：△DEF是等腰三角形；(2)當(dāng)∠C=40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)55°．【分析】（1）根據(jù)等邊對等角得到∠B=∠A，利用“SAS”證明△ADE≌△BFD，得到（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，得到∠A=∠B=70°，再根據(jù)△ADE≌△BFD，得到∠AED=∠BDF，然后利用三角形的外角性質(zhì)推出∠EDF=∠A=70°，最后利用三角形內(nèi)角和即可求出【詳解】（1）證明：∵AC=BC，∴∠B=∠A，在△ADE和△BFD中，AD=BF∠A=∠B∴△ADE≌△BFD∴DE=DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）解：∵AC=BC，∠C=40°，∴∠A=∠B=1∵△ADE≌∴∠AED=∠BDF，∵∠BDE=∠BDF+∠EDF=∠A+∠AED，∴∠EDF=∠A=70°，∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE=1【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2023秋·遼寧葫蘆島·八年級校考期末）如圖，在?ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分線AF，DE分別與線段BC交于點(diǎn)F，E，AF與(1)求證：AF⊥DE，(2)若AD=10，AB=6，【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD+∠ADC=180°，再由角平分線的定義證明∠DAF+∠ADE=12∠BAD+12∠ADC=90°，得到∠AGD=90°，即可證明AF⊥DE；再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明∠BAF=∠AFB，得到（2）過點(diǎn)C作CK∥AF交AD于K，交DE于點(diǎn)I，證明四邊形AFCK是平行四邊形，∠KID=90°，得到AF=CK=8，再證明∠DKI=∠DCI，得到DK=DC=6，則KI=CI=4，同理證明CE=CD，得到EI=DI，求出DI=25，則DE=2DI=4【詳解】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，∴∠BAD+∠ADC=180°．∵AE，DF分別是∴∠DAF=∠BAF=1∴∠DAF+∠ADE=1∴∠AGD=90°．∴AF⊥DE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠AFB，又∵∠DAF=∠BAF，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，同理可得CD=CE，∴BF=CE；（2）解：過點(diǎn)C作CK∥AF交AD于K，交DE于點(diǎn)I，∵AK∥FC，∴四邊形AFCK是平行四邊形，∠AGD=∠KID=90°，∴AF=CK=8，∵∠KDI+∠DKI=90°，∴∠DKI=∠DCI，∴DK=DC=6，∴KI=CI=4，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC=∠CDE，∴CE=CD，∵CI⊥DE，∴EI=DI，∵DDI=C∴DE=2DI=45【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，連接CP．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t秒．(1)填空：AB=______；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，線段CP的長最小；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形．【答案】(1)10(2)t=(3)t=2或5【分析】（1）勾股定理即可得解；（2）根據(jù)垂線段最短，得到當(dāng)CP⊥AB時(shí)，線段CP的長最小，利用等積法求出CP的長，進(jìn)而求出AP的長，即可得解；（3）分BP=BC,BP=PC,BC=PC，三種情況，討論求解即可．【詳解】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=A故答案為：10；（2）解：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，可知：當(dāng)CP⊥AB時(shí)，線段CP的長最小，如圖，∵S△ABC∴AC?BC=AB?CP，即：6×8=10CP，∴CP=24在Rt△APC中，AP=∴t=18∴當(dāng)t=185時(shí)，線段（3）解：①當(dāng)BP=BC時(shí)，如圖，∵AB=10,BP=BC=8，∴AP=2，∴t=2÷1=2；②當(dāng)BP=PC時(shí)，如圖，則：∠B=∠BCP，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=∠BCP+∠ACP=90°，∴∠A=∠ACP，∴PA=PC，∴PA=PB=∴t=5÷1=5；③當(dāng)BC=PC時(shí)，此種情況不存在；綜上：當(dāng)t=2或5時(shí)，△BCP為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，垂線段最短以及等腰三角形的判斷和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，利用分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，BC上的動點(diǎn)，且始終滿足CE=BF．(1)求證：DE=DF；(2)求∠EDF的大小；(3)已知AC=20，求出四邊形CEDF的面積，并直接寫出四邊形CEDF的面積與三角形ABC的面積之間的關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)90°(3)100，S【分析】（1）連接CD，證明△ECD≌△FBD即可得出結(jié)論；（2）由△ECD≌△FBD可證出∠EDF=∠CDB，再根據(jù)∠CDB=90°即可得出答案；（3）求出S△ABC=1【詳解】（1）證明：連接CD，如圖，∵在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∴CD=12AB=BD在△ECD與△FBD中，CE=BF∠ECD=∠B∴△ECD≌△FBD，∴DE=DF；（2）∵△ECD≌△FBD，∴∠EDC=∠FDB，∴∠EDC+∠FDC=∠FDB+∠FDC即∠EDF=∠CDB，∵在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∴∠CDB=90°，∴∠EDF=∠CDB=90°；（3）∵在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=20，∴S△ABC∴S△BCD∵△ECD≌△FBD，∴S四邊形四邊形CEDF的面積與三角形ABC的面積之間的關(guān)系為:S四邊形【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．16．（2023秋·遼寧鐵嶺·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在△ACB中，∠ACB=90°,CA=CB，點(diǎn)D，E分別在邊CA,CB上，CD=CE，連接DE,AE,BD，過點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為H，直線CF交直線BD于F．(1)求證：DF=BF；(2)將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，如圖2，（1）的結(jié)論是否成立？如果成立，請證明：如果不成立，請說明理由；(3)若CD=2,CB=4，將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)A，E，D三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出AE的長．【答案】(1)見解析(2)DF=BF仍然成立，理由見解析(3)14【分析】（1）證明△CAE≌△CBD(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)可得∠CAE=∠CBD，由直角三角形的性質(zhì)可得出∠BDC=∠FCD,∠CAE=∠CBD=∠BCF，進(jìn)而可證明CF=DF,CF=BF，即可得出結(jié)論；（2）作BP∥CD交直線CF于點(diǎn)P，證明△CAE≌△BCP(ASA)，由全等三角形的性質(zhì)可得出CE=BP，再證明△CDF≌△PBF(ASA)，由全等三角形的性質(zhì)可證明（3）分兩種情況畫出圖形，由直角三角形的性質(zhì)即勾股定理可得出答案．【詳解】（1）證明：在△CAE和△CBD中，CE=CD∠ACE=∠BCD∴△CAE≌△CBD(SAS)，∴∠CAE=∠CBD，∵CF⊥AE，∴∠AHC=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠AHC=∠ACB=90°，∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°，∴∠CAH=∠BCF，∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，∴∠BDC=∠FCD,∠CAE=∠CBD=∠BCF，∴CF=DF,CF=BF，∴DF=BF；（2）DF=BF仍然成立，理由如下：如下圖，作BP∥CD交直線CF于點(diǎn)∴∠PBC+∠BCD=180°，又∵∠ACE+∠BCD=360°?∠ACB?∠DCE=360°?90°?90°=180°，∴∠PBC=∠ACE，又∵CF⊥AE，∴∠AHC=90°，∴∠ACH+∠CAH=90°，又∵∠ACH+∠PCB=180°?∠ACB=180°?90°=90°，∴∠CAH=∠PCB，又∵CA=CB，∴△CAE≌△BCP(ASA)，∴CE=BP，又∵CE=CD，∴CD=BP，又∵BP∥∴∠CDF=∠PBF,∠DCF=∠P，∴△CDF≌△PBF(ASA)，∴DF=BF；（3）解：①當(dāng)點(diǎn)E在AD延長線上時(shí)，過點(diǎn)B作BG⊥CF于點(diǎn)G，如下圖，∵CD=CE,CH⊥DE,CD=2，∴CH=2∵CA=CB=4，∴AH=A∵∠BCG=∠CAH,∠BGC=∠AHC,BC=AC，∴△BCG≌△CAH(AAS)，∴CG=AH=14由（2）可知，DF=BF，又∵∠DHF=∠BGF=90°,∠DFH=∠BFG，∴△DHF≌△BGF(AAS)，∴HF=GH，∴HF=1∴CF=CH+HF=2②當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，過點(diǎn)B作BG⊥CF于點(diǎn)G，如下圖，同理可得AH=CG=14，CH=2，∴GH=CH+CG=2∴CF=HF?CH=2綜上所述，CF的長為14+22【點(diǎn)睛】本題是旋轉(zhuǎn)變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用所學(xué)知識是解題關(guān)鍵．17．（2023秋·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，△ABC中，BD⊥AC于D，AD=BD=4，CD=2，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，交BD于P．回答下列問題：(1)求線段DP的長；(2)連結(jié)DH，求證：∠AHD=45°；(3)如圖2，若點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段BD延長線上一動點(diǎn)，連結(jié)MO，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交線段DA延長線于點(diǎn)N，則S△BOM【答案】(1)2(2)證明見詳解(3)不發(fā)生變化，4【分析】（1）證△DAP≌△DBCASA，即可得出DP=DC=2（2）過D分別作DM⊥CB于M點(diǎn)，作DN⊥HA于N點(diǎn)，證△CDM≌△PDN(AAS)，得出DM=DN．得出HD平分（3）連接OD，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出OD⊥AB，∠BDO=∠ADO=45°，OD=OA=BO，則∠OAD=45°，證出∠OAN=∠MDO．證△DOM≌△AONASA，得S【詳解】（1）解：∵BD⊥AC，AH⊥BC，∴∠ADP=∠BDC=∠AHC=90°，∴∠DAP+∠C=∠DBC+∠C=90°，∴∠DAP=∠DBC，在△DAP和△DBC中，∠ADP=∠BDCAD=BD∴△DAP≌△DBCASA∴DP=DC=2；（2）過D分別作DM⊥CB于M點(diǎn)，作DN⊥HA于N點(diǎn)，如圖1所示：在四邊形DMHN中，∠MDN=360°?3×90°=90°，∴∠CDM=∠PDN=90°?∠MDP．在△CDM與△PDN中，∠CDM=∠PDN∠DMC=∠DNP=90°∴△CDM≌△PDNAAS∴DM=DN．∵DM⊥CB，DN⊥HA，∴HD平分∠CHA，∴∠DHP=1（3）S△BOM連接OD，如圖2所示：∵∠ADB=90°，DA=DB，O為AB的中點(diǎn)，∴OD⊥AB，∠BDO=∠ADO=45°，OD=OA=BO∴∠OAD=45°，∠MDO=90°+45°=135°，∴∠OAN=135°=∠ODM．∵M(jìn)O⊥NO，即∠MON=90°，∴∠MOD=∠NOA=90°?∠MOA．在△DOM和△AON中，∠MOD=∠NOAOD=AO∴△DOM≌△AONASA∴S∴S【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形面積等知識；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：等邊三角形的性質(zhì)和判定例3．（2023秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB是等邊三角形，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為4，0，點(diǎn)A在反比例函數(shù)（1）反比例函數(shù)y=k（2）把△OAB向右平移a個(gè)單位長度，對應(yīng)得到△O①若此時(shí)另一個(gè)反比例函數(shù)y=k1x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A1，則k和k1的大小關(guān)系是：k______k1（填“②當(dāng)函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)△O【答案】

y=43x

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【分析】（1）如圖所示，過點(diǎn)A作AC⊥OB于C，利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出A2（2）求出A12+a，23，由a>0（3）分當(dāng)函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過O1A1【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)A作AC⊥OB于C，∵4，∴OB=4，∵△AOB是等邊三角形，∴OC=BC=1∴AC=O∴A2∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=k∴23∴k=43∴反比例函數(shù)y=kx的表達(dá)式為故答案為：y=4（2）①∵把△OAB向右平移a個(gè)單位長度，對應(yīng)得到△O∴A1∵反比例函數(shù)y=k1x∴23∴k1∵a>0，∴2+a>2，∴k1故答案為：<；（3）當(dāng)函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過∵O1∴函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)∴3=∴a=3；當(dāng)函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過∵B1∴函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)∴3=∴a=1，故答案為：1或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，坐標(biāo)與圖形變化—平移，等邊三角形的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．例4．（2023秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于點(diǎn)M，交BE于點(diǎn)G，AD平分∠MAC，交BC于點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)F，∠ADB=∠C+∠4．(1)判斷直線BE與線段AD之間的關(guān)系，并說明理由．(2)若∠C=30°，試判斷△ABD的形狀，并說明理由．【答案】(1)BE垂直平分AD，理由見解析(2)△ABD是等邊三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)AM⊥BC可得∠ABC+∠5=90°，根據(jù)∠BAC=90°可得∠ABC+∠C=90°，則∠5=∠C，再根據(jù)角平分線的定義，進(jìn)一步得出∠BAD=∠ADB，則△BAD是等腰三角形，最后根據(jù)“三線合一”即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)∠C=30°得出∠DBA=60°，根據(jù)（1）中△BAD是等腰三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：BE垂直平分AD，理由：∵AM⊥BC，∴∠ABC+∠5=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°，∴∠5=∠C，∵AD平分∠MAC，∴∠3=∵∠BAD=∠5+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠5=∠C，∴∠BAD=∠ADB，∴△BAD是等腰三角形，又∵∠1=∠2，∴BE垂直平分AD．（2）△ABD是等邊三角形．理由：∵∠C=30°，∵∠BAC=90°，∴∠DBA=60°，由（1）知∠BAD=∠ADB，∴△BAD是頂角為60°的等腰三角形，∴∠DBA=∠BAD=∠ADB=60°，∴△ABD是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，三角形的內(nèi)角和，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練正確等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)訓(xùn)練1．（2023秋·云南楚雄·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，若AB=AC=3，∠B=60°，則BC的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先判斷△ABC為等邊三角形，然后等邊三角形的性質(zhì)得到BC=AB．【詳解】解：∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴BC=AB=3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期末）如圖，D為等邊△ABC邊BC上一點(diǎn)，∠BAD=∠CDE，BD=2，CD=4，則CE的長為（

）A．23 B．1 C．43【答案】C【分析】證明△ABD∽△DCE，繼而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABD=∠DCE，AB=BC=BD+CD=6，又∵∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴BD∴2∴CD=4故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，AC=3，△ABC的周長為12，設(shè)AB的長為x，下列說法不正確的是（

）A．△ABC為等腰三角形時(shí)，x=4.5 B．△ABC不可能是等邊三角形C．△ABC為直角三角形時(shí)，x=4 D．3<x<6【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的定義以及三角形的三邊關(guān)系分析解答即可．【詳解】解：A、當(dāng)AB=BC=4.5，即x=4.5時(shí)，△ABC是等腰三角形，說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；B、周長為12的等邊三角形，邊長為4，而AC=3，故△ABC不可能是等邊三角形，說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；C、△ABC是直角三角形時(shí)，根據(jù)勾股定理的逆定理可知AC=3，AB=x=4時(shí)，BC=5或AC=3，AB=x=5，BC=4都可以，原說法錯(cuò)誤，故選項(xiàng)符合題意；D、根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知3<x<6，說法正確，故選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的定義以及三角形的三邊，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各種三角形的判定方法．4．（2023秋·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的點(diǎn)，四邊形ABCO是平行四邊形，OF⊥OC，交⊙O于點(diǎn)F，則∠BAF的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和圓的半徑相等得到△AOB為等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到∠BOF=∠AOF=30°，根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接OB，∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB為等邊三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°，由圓周角定理得∠BAF=1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，掌握同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半、等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·遼寧沈陽·八年級校考期末）如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，DA=5，DB=4，DC=3，將線段AD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD'，下列結(jié)論：①點(diǎn)D與點(diǎn)D'的距離為5；②△ACD'可以由△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；③∠ADC=150°A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】連接DD'，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AD'，∠DAD'=60°，可判斷△ADD'為等邊三角形，則DD'=AD=5，可對①進(jìn)行判斷；由△ABC為等邊三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，則把【詳解】解：連接DD∵線段AD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD∴AD=AD∴△ADD∴DD∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∴把△ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6