2024屆廣東省仲元中學(xué)等七校聯(lián)合體數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆廣東省仲元中學(xué)等七校聯(lián)合體數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸方程為（）A． B． C． D．2．已知向量，向量，且，那么等于()A． B． C． D．3．已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．4．已知直線，若，則的值為（）A．8 B．2 C． D．-25．如圖，在正方體中，已知，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角等于（）A．90° B．60°C．45° D．30°6．已知直線：，：，：，若且，則的值為A． B．10 C． D．27．書架上有2本數(shù)學(xué)書和2本語(yǔ)文書，從這4本書中任取2本，那么互斥但不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有1本數(shù)學(xué)書”和“都是語(yǔ)文書”B．“至少有1本數(shù)學(xué)書”和“至多有1本語(yǔ)文書”C．“恰有1本數(shù)學(xué)書”和“恰有2本數(shù)學(xué)書”D．“至多有1本數(shù)學(xué)書”和“都是語(yǔ)文書”8．已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，滿足，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．34B．39C．51D．689．從甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選出人參加志愿活動(dòng)，則甲被選中的概率為（）A． B． C． D．10．如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中：①與平行②與是異面直線③與成角

④與是異面直線以上四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線：與圓交于，兩點(diǎn)，過(guò)，分別作的垂線與軸交于，兩點(diǎn)，若，則__________．12．若直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值____．13．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．14．已知兩個(gè)數(shù)k＋9和6－k的等比中項(xiàng)是2k，則k＝________．15．一個(gè)扇形的半徑是，弧長(zhǎng)是，則圓心角的弧度數(shù)為_(kāi)_______.16．已知x、y、z∈R,且，則的最小值為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知直線l過(guò)點(diǎn)（1，3），且在y軸上的截距為1．

（1）求直線l的方程；

（2）若直線l與圓C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求實(shí)數(shù)a的值．18．如圖半圓的直徑為4，為直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，為半圓周上任一點(diǎn)，以為邊作等邊（、、按順時(shí)針?lè)较蚺帕校?）若等邊邊長(zhǎng)為，，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系；（2）問(wèn)為多少時(shí)，四邊形的面積最大？這個(gè)最大面積為多少？19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若函數(shù)在的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值.20．（1分）設(shè)數(shù)列{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=2，a3﹣a2=1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn．21．如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，平面平面是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，證明：

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

對(duì)稱軸為【詳解】依題意有解得故選B【點(diǎn)睛】本題考查的對(duì)稱軸，屬于基礎(chǔ)題。2、D【解析】

由兩向量平行，其向量坐標(biāo)交叉相乘相等，得到.【詳解】因?yàn)?，所以，解得?【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，考查基本運(yùn)算，注意符號(hào)的正負(fù).3、A【解析】

由給出的遞推式變形，構(gòu)造出新的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的表達(dá)式，再利用等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】解：解：在數(shù)列中，

由，得，

，

，

則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

.，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推式，考查了等比關(guān)系的確定以及等比數(shù)列的求和公式，屬中檔題.4、D【解析】

根據(jù)兩條直線垂直，列方程求解即可.【詳解】由題：直線相互垂直，所以，解得：.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)兩條直線垂直，求參數(shù)的取值，關(guān)鍵在于熟練掌握垂直關(guān)系的表達(dá)方式，列方程求解.5、B【解析】

連接，可證是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，求出此角即可．【詳解】連接，因?yàn)椋謩e為棱，的中點(diǎn)，所以，又正方體中，所以是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，是等邊三角形，＝60°．所以異面直線與所成的角為60°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，解題時(shí)需根據(jù)定義作出異面直線所成的角，同時(shí)給出證明，然后在三角形中計(jì)算．6、C【解析】

由且，列出方程，求得，，解得的值，即可求解．【詳解】由題意，直線：，：，：，因?yàn)榍?，所以，且，解得，，所以．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩直線的位置關(guān)系，列出方程求解的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

兩個(gè)事件互斥但不對(duì)立指的是這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，也可以都不發(fā)生，逐一判斷即可【詳解】對(duì)于A：“至少有1本數(shù)學(xué)書”和“都是語(yǔ)文書”是對(duì)立事件，故不滿足題意對(duì)于B：“至少有1本數(shù)學(xué)書”和“至多有1本語(yǔ)文書”可以同時(shí)發(fā)生，故不滿足題意對(duì)于C：“恰有1本數(shù)學(xué)書”和“恰有2本數(shù)學(xué)書”互斥但不對(duì)立，滿足題意對(duì)于D：“至多有1本數(shù)學(xué)書”和“都是語(yǔ)文書”可以同時(shí)發(fā)生，故不滿足題意故選：C【點(diǎn)睛】本題考查互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的判斷，考查互斥事件、對(duì)立事件的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．8、D【解析】由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且滿足，得，所以，所以，設(shè)數(shù)列的公差為，則，故選D.9、C【解析】分析：用列舉法得出甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選出人參加志愿活動(dòng)的事件數(shù)，從而可求甲被選中的概率.詳解：從甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選出人參加志愿活動(dòng)，包括：甲乙；甲丙；甲?。灰冶?；乙丁；丙丁6種情況，甲被選中的概率為.故選C.點(diǎn)睛：本題考查用列舉法求基本事件的概率，解題的關(guān)鍵是確定基本事件，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

把平面展開(kāi)圖還原原幾何體，再由棱柱的結(jié)構(gòu)特征及異面直線定義、異面直線所成角逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案．【詳解】把平面展開(kāi)圖還原原幾何體如圖：由正方體的性質(zhì)可知，與異面且垂直，故①錯(cuò)誤；與平行，故②錯(cuò)誤；連接，則，為與所成角，連接，可知為正三角形，則，故③正確；由異面直線的定義可知，與是異面直線，故④正確．∴正確命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查異面直線定義及異面直線所成角，是中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解析】

由題，根據(jù)垂徑定理求得圓心到直線的距離，可得m的值，既而求得CD的長(zhǎng)可得答案.【詳解】因?yàn)?，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何知識(shí)知在梯形中，．故答案為4【點(diǎn)睛】解決直線與圓的綜合問(wèn)題時(shí)，一方面，要注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法（即幾何問(wèn)題代數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，準(zhǔn)確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識(shí)使問(wèn)題較為簡(jiǎn)捷地得到解決．12、【解析】

點(diǎn)O到的距離，將的面積用表示出來(lái)，再利用均值不等式得到答案.【詳解】曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的上半圓，若直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，則直線的斜率，則點(diǎn)O到的距離，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．所以，解得舍去)．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，三角形面積，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.13、【解析】

在等式兩邊取倒數(shù)，可得出，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式，即可求出.【詳解】，等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，.所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，.因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用倒數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)，同時(shí)也考查了等差數(shù)列的定義，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14、3【解析】由已知得(2k)2＝(k＋9)(6－k)，k∈N*，∴k＝3.15、2【解析】

直接根據(jù)弧長(zhǎng)公式，可得．【詳解】因?yàn)?，所以，解得【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用．16、【解析】試題分析：由柯西不等式，，因?yàn)?所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.考點(diǎn)：柯西不等式三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）y=2x+1；（2）a=-2或【解析】

（1）求得直線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得所求直線方程；（2）運(yùn)用直線和圓相切的條件，即圓心到直線的距離等于半徑，解方程可得所求值．【詳解】（1）直線l過(guò)點(diǎn)（1，3），且在y軸上的截距為1，可得直線l的斜率為=2，則直線l的方程為y3=2（x1），即y=2x+1；

（2）若直線l與圓C：（xa）2+（y+a）2=5相切，

可得圓心（a，a）到直線l的距離為，即有

=，解得a=2或．【點(diǎn)睛】本題考查直線方程和圓方程的運(yùn)用，考查直線和圓相切的條件，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）θ＝時(shí)，四邊形OACB的面積最大，其最大面積為．【解析】

（1）根據(jù)余弦定理可求得（2）先表示出△ABC的面積及△OAB的面積，進(jìn)而表示出四邊形OACB的面積，并化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為正弦型函數(shù)的形式，再結(jié)合正弦型函數(shù)最值的求法進(jìn)行求解．【詳解】（1）由余弦定理得則（2）四邊形OACB的面積＝△OAB的面積+△ABC的面積則△ABC的面積△OAB的面積?OA?OB?sinθ?2?4?sinθ＝4sinθ四邊形OACB的面積4sinθ=sin（θ﹣）∴當(dāng)θ﹣＝，即θ＝時(shí)，四邊形OACB的面積最大，其最大面積為．【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理求解面積最值，其中準(zhǔn)確列出面積表達(dá)式是關(guān)鍵，考查化簡(jiǎn)求值能力，是中檔題19、(1)；(2)或【解析】

（1）根據(jù)二倍角公式進(jìn)行整理化簡(jiǎn)可得，從而可得最小正周期；（2）將通過(guò)換元的方式變?yōu)?，；討論?duì)稱軸的具體位置，分別求解最大值，從而建立方程求得的值.【詳解】（1）最小正周期（2）令，則由得①當(dāng)，即時(shí)當(dāng)時(shí)，由，解得（舍去)②當(dāng)，即時(shí)當(dāng)時(shí)，由得，解得或（舍去）③當(dāng)，即時(shí)當(dāng)時(shí)，，由，解得綜上，或【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)最小正周期的求解、利用二次函數(shù)性質(zhì)求解與三角函數(shù)有關(guān)的值域問(wèn)題，解題關(guān)鍵是通過(guò)換元的方式將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式，再利用對(duì)稱軸的位置進(jìn)行討論；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略了換元后自變量的取值范圍.20、（1）an=2×【解析】試題分析：（1）設(shè)出等比數(shù)列{an}的公比q，利用條件a1=4，a3﹣a4（4）數(shù)列{an+bn}是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加得來(lái)的，所以可以采用拆項(xiàng)分組的方法，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題來(lái)解決.試題解析：解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a1=4，a3﹣a4=1，得：4q4﹣4q﹣1=4，即q4﹣q﹣6=4．解得q=3或q=﹣4，∵q＞4，∴q=﹣4不合題意，舍去，故q=3．∴an=4×3n﹣1；（4）∵數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1=1，公差d=4的等差數(shù)列，∴bn=4n﹣1，∴Sn=（a1+a4++an）+（b1+b4++bn）=+=3n﹣1+n4．考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列.21、（1）證明見(jiàn)解析，（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）首先