17.2 勾股定理的逆定理（原卷版）

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十七章勾股定理》17.2勾股定理的逆定理知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一互逆命題與互逆定理●互逆命題：如果兩個(gè)命題題設(shè)、結(jié)論正好相反.那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.

如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.●互逆定理：一般地，如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，稱這兩個(gè)定理互為逆定理.◆1、對(duì)互逆命題的理解：①“題設(shè)、結(jié)論正好相反”是指位置相反，即第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，第二個(gè)命題的題設(shè)是第一個(gè)命題的結(jié)論，而不是指它們的意義相反；②每個(gè)命題都有逆命題，只有將原命題的題設(shè)改寫成結(jié)論，并將結(jié)論改成題設(shè)，就可以得到原命題的逆命題，但原命題是否為真命題與逆命題是否為真命題沒有關(guān)系.③寫某個(gè)命題的逆命題時(shí)要先認(rèn)真分析命題結(jié)構(gòu)，分清命題的條件和結(jié)論，再改寫成“如果……那么……”的形式.◆2、每個(gè)命題都有逆命題，但并不是每個(gè)定理都有逆定理，只有當(dāng)一個(gè)定理的逆命題為真命題時(shí)，它才有逆定理，也就是說定理一定有逆命題，但不一定有逆定理.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二勾股定理的逆定理●勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.我們把這個(gè)定理叫做勾股定理的逆定理.◆1、用勾股定理判定直角三角形的步驟：①先確定最長(zhǎng)邊，算出最長(zhǎng)邊的平方；②計(jì)算另兩邊的平方和；．③比較最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則此三角形為直角三角形，且最長(zhǎng)邊所對(duì)的角就是直角，否則不是直角三角形.◆2、勾股定理與勾股定理的逆定理的區(qū)別與聯(lián)系：勾股定理勾股定理的逆定理?xiàng)l件在Rt△ABC中，∠C=90°在△ABC中，a2+b2=c2結(jié)論a2+b2=c2∠C=90°區(qū)別勾股定理是一個(gè)直角三角形為條件進(jìn)而得到三邊滿足的數(shù)量關(guān)系a2+b2=c2，是由“形”到“數(shù)”.勾股定理的逆定理的是以一個(gè)三角形的三邊滿足a2+b2=c2為條件進(jìn)而得到這個(gè)三角形是直角三角形,即由“數(shù)”到“形”.聯(lián)系兩者都與三角形的三邊有關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三勾股數(shù)●勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．◆1、三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．◆2、一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．◆3、記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…◆4、判斷一組數(shù)是否為勾股數(shù)的一般步驟：①確定是否為三個(gè)正整數(shù)a，b，c;②確定最大數(shù)c；③計(jì)算較小兩數(shù)的平方和是否等于c2;④若相等，則這三個(gè)數(shù)是一組勾股數(shù)，否則不是一組勾股數(shù).題型一逆命題與逆定理題型一逆命題與逆定理【例題1】下列定理中，逆命題是假命題的是（）A．在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊 B．全等三角形對(duì)應(yīng)角相等 C．有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形 D．等腰三角形兩個(gè)底角相等解題技巧提煉1、寫出一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是分清原命題的題設(shè)和結(jié)論，然后將題設(shè)和結(jié)論交換位置，寫出它的逆命題，判斷一個(gè)命題是真命題要證明，判斷一個(gè)命題是假命題只有舉一個(gè)反例即可.2、判斷一個(gè)定理是否有逆定理的方法：先把定理作為命題，寫出它的逆命題，然后判斷其逆命題是否正確，如果不正確，舉一個(gè)反例即可，如果是真命題，加以證明即可判斷原定理有逆定理.【變式1-1】（2022秋?長(zhǎng)春期末）命題“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”的逆命題是．【變式1-2】下列三個(gè)定理中，存在逆定理的有（）個(gè)．①有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周長(zhǎng)相等；③同位角相等，兩直線平行A．0 B．1 C．2 D．3【變式1-3】下列定理中，沒有逆定理的是（）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) B．兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 C．直角三角形的兩個(gè)銳角互余 D．兩內(nèi)角相等的三角形是等腰三角形【變式1-4】下列命題：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；②如果a＞0，b＞0，那么ab＞0；③等邊三角形是銳角三角形，其中原命題和它的逆命題都正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【變式1-5】下列定理：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②如果三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么該三角形是直角三角形；③全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；④同位角相等，兩直線平行．其中有逆定理的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型二利用三邊關(guān)系判定直角三角形題型二利用三邊關(guān)系判定直角三角形【例題2】（2022秋?大渡口區(qū)校級(jí)期末）下列給出的四組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形三邊的一組是（）A．5，12，14 B．6，8，9 C．7，24，25 D．8，13，15解題技巧提煉判斷一個(gè)三角形時(shí)否是直角三角形有兩種方法：（1）定義法，利用定義即如果已知條件與角度有關(guān)，可借助三角形的內(nèi)角和定理判斷；（2）利用直角三角形的判定條件，即若已知條件與邊有關(guān)，一般通過計(jì)算得出三邊的數(shù)量關(guān)系（即a2+b2＝c2）來判斷，看是否符合較短兩邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方.【變式2-1】（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）滿足下列條件時(shí)，△ABC不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝2∠B＝2∠C C．AB=34，BC＝3，AC＝5 D．∠A＝20°，∠B＝【變式2-2】（2022秋?綠園區(qū)校級(jí)期末）木工師傅想利用木條（單位都為：米）制作一個(gè)直角三角形的工具，那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．7，24，25 D．9，12，15【變式2-3】（2022秋?招遠(yuǎn)市期末）已知△ABC的三邊為a，b，c，下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝2，c=5 B．a(chǎn)＝40，b＝50，c＝60C．a(chǎn)=54，b＝1，c=34 D．a(chǎn)=41，b＝【變式2-4】（2022秋?萊陽市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c且a2﹣b2＝c2，則下列說法正確的是（）A．∠A是直角 B．∠B是直角 C．∠C是直角 D．∠A是銳角【變式2-5】已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，根據(jù)下列條件，判斷△ABC是不是直角三角形．（1）a＝11，b＝31，c＝21；（2）a＝m2﹣n2，b＝m2+n2，c＝2mn（m＞n，m，n為正整數(shù)）．【變式2-6】（2022秋?埇橋區(qū)期中）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．題型三根據(jù)三邊滿足的關(guān)系式判斷三角形的形狀題型三根據(jù)三邊滿足的關(guān)系式判斷三角形的形狀【例題3】（2022秋?市中區(qū)校級(jí)月考）若三角形的三邊滿足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，則此三角形的形狀是．解題技巧提煉解題過程中主要運(yùn)用了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，已知三角形三邊長(zhǎng)，判斷三角形是否為直角三角形，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.【變式3-1】（2022春?嵐皋縣期末）已知三角形三邊長(zhǎng)為a，b，c，如果a-6+|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，則△ABCA．以a為斜邊的直角三角形 B．以b為斜邊的直角三角形 C．以c為斜邊的直角三角形 D．不是直角三角形【變式3-2】（2021秋?興隆縣期末）已知a，b，c滿足|a-8|+b2-10b+25+（c-（1）求a，b，c的值；（2）試問以a，b，c為邊能否構(gòu)成直角三角形？請(qǐng)說明理由．【變式3-3】已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，試判斷△ABC的形狀．小明的解題過程如下：因?yàn)閍2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），②所以c2＝a2+b2，③所以△ABC是直角三角形．④請(qǐng)根據(jù)上述解題過程回答下列問題：（1）小明的解題過程中，從第（填序號(hào)）步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)你將正確的解答過程寫下來．題型四勾股定理及其逆定理解決面積問題題型四勾股定理及其逆定理解決面積問題【例題4】（2022春?惠城區(qū)期末）在海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖甲，小明據(jù)此構(gòu)造處該島的一個(gè)數(shù)學(xué)模型（如圖乙四邊形ABCD），AC是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，CD=32千米，AD=4（1）求小溪流AC的長(zhǎng)．（2）求四邊形ABCD的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）解題技巧提煉不規(guī)則圖形的面積不能直接求得，往往通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)化法將不規(guī)則圖形的面積割補(bǔ)為規(guī)則圖形的面積的和與差，本題中通過連線構(gòu)造出直角三角形，將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形的面積差，利用勾股定理求出各線段的長(zhǎng)，從而計(jì)算三角形的面積.【變式4-1】（2022秋?下城區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，則圖中陰影部分的面積為．【變式4-2】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，一塊四邊形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．（1）求四邊形花圃ABCD的面積；（2）求C到AD的距離．題型五巧添輔助線構(gòu)造直角三角形題型五巧添輔助線構(gòu)造直角三角形【例題5】（2022春?廣西月考）在△ABC中，若AB＝2，AC＝6，BC＝210，求BC邊上的高．解題技巧提煉當(dāng)問題中沒有呈現(xiàn)直角三角形，但需要用勾股定理時(shí)，就要通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形.【變式5-1】（2021春?勃利縣期末）如圖所示，在四邊形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度數(shù)．【變式5-2】如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，邊BC上的中線AD＝6，那么邊BC的長(zhǎng)為（）A．61 B．261 C．13 D．12【變式5-3】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．（1）求證：AB⊥BC．（2）若AB＝3CD，AD＝17，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)．【變式5-4】（2022?北京模擬）已知：如圖，在△ABC中，D是BC中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一點(diǎn)．若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求證：∠BAC＝90°．題型六勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用題型六勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用【例題6】（2022春?開福區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，三個(gè)村莊A，B，C之間的距離分別是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要從B修一條公路BD直達(dá)AC，已知公路的造價(jià)260萬元/km，修這條公路的最低造價(jià)是多少？解題技巧提煉解答此類問題的關(guān)鍵是應(yīng)從實(shí)際問題入手，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用勾股定理及其逆定理來解答即可結(jié)合.【變式7-1】（2021秋?楚雄州期末）為響應(yīng)政府的“公園城市建設(shè)”號(hào)召，某小區(qū)進(jìn)行小范圍綠化，要在一塊如圖四邊形空地上種植草皮，測(cè)得∠B＝90°，AB＝4m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，如果種植草皮費(fèi)用是200元/m2，那么共需投入多少錢？【變式7-2】（2021秋?連州市期末）如圖，有一艘貨船和一艘客船同時(shí)從港口A出發(fā)，客船與貨船速度的比為4：3，出發(fā)1小時(shí)后，客船比貨船多走了5海里．貨船沿東偏南10°方向航行，2小時(shí)后貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，若此時(shí)兩船相距50海里．（1）求兩船的速度分別是多少？（2）求客船航行的方向．【變式7-3】（2022秋?萊西市期中）如圖，小明的家位于一條南北走向的河流MN的東側(cè)A處，某一天小明從家出發(fā)沿南偏西30°方向走60m到達(dá)河邊B處取水，然后沿另一方向走80m到達(dá)菜地C處澆水，最后沿第三方向走100m回到家A處．問小明在河邊B處取水后是沿哪個(gè)方向行走的？并說明理由．【變式7-4】（2021秋?陳倉區(qū)期中）如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，6分鐘后同時(shí)到達(dá)C處將其攔截．已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?3°．（1）求甲巡邏艇的航行方向；（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時(shí)沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？【變式7-5】（2021春?淮南期中）如圖紅星村A和幸福村B在一條大河CD的同側(cè)，它們到河岸的距離AC、BD分別為1千米和3千米，又知道CD的長(zhǎng)為3千米，現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用每千米20000元．（1）請(qǐng)?jiān)贑D上選擇水廠位置，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最?。?）并求出鋪設(shè)水管的最省總費(fèi)用．題型七勾股數(shù)的辨別題型七勾股數(shù)的辨別【例題7】（2022秋?邢臺(tái)期末）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是（）A．1，3，2 B．12，16，20 C．32，42，52 D．0.5，1.2，1.3解題技巧提煉判斷三個(gè)數(shù)是否為勾股數(shù)，關(guān)鍵是看這三個(gè)數(shù)是否為正整數(shù)且滿足兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方.【變式7-1】（2022秋?嶧城區(qū)校級(jí)期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．32，42，52 B．3，4，7 C．0.5，1.2，1.4 D．9，12，15【變式7-2】（2021秋?東源縣校級(jí)期末）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．5，12，13 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．7，24，25【變式7-3】（2021春?河間市期末）古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c為勾股數(shù)．你認(rèn)為對(duì)嗎？如果對(duì)，你能利用這個(gè)結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎？題型八勾股數(shù)的規(guī)律猜想題題型八勾股數(shù)的規(guī)律猜想題【例題8】（2022秋?皇姑區(qū)校級(jí)月考）觀察下列幾組勾股數(shù)，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，則第⑤組勾股數(shù)為．解題技巧提煉對(duì)于任何一組已知的勾股數(shù)都擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，就得到了一組新的勾股數(shù)．例如：32+42=52，若把它擴(kuò)大2倍、3倍，就分別得到62+82=102和92+122=