高三數(shù)學一輪復習-空間向量與立體幾何訓練Ⅲ卷（人教版）

一輪復習必刷空間向量與立體幾何專題訓練ni卷

高三一輪復習

注意事項：

i.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

一、單選題

1.在如圖所示的幾何體中，平面PDC,△PDC是等腰直角三角形，四邊形ABCD

為平行四邊形，且PD=OC=AD=2,則點C到平面的距離為（）.

(J

2底

A.1B.V2C.6

2.正三棱柱ABC-A4G中，=為BC的中點，M為棱4G上的動點,

MNMO

N為棱期上的動點，且嬴=加，則線段"N長度的取值范圍為（）

B.忤手

D.[6,司

3.已知向量。=（-1,2,1）,6=（1,1,-1）,則以下說法不正確的是（）

A.a.LbB.|?|>|^|C.cos（a+b,a）=D.|a+/?|=|a-Z?|

4.已知A（l,-2,1）,B（l,-5,4）,C（2,3,4）,則AC在AB上的投影向量為（）

A.（O,-l,l）B.（O,l,-l）C.（0,72,-72）D.（0,-"亞）

5.己知兩向量1=（2,0,3），1=（-3,0,2），則以向量［，［為方向向量的直線4，4的

夾角為（）

A.90°B.45°C.60°D.30°

6.已知平面。內(nèi)兩向量@=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c為平面a

..

..

..

..

..

的法向重，則m,n的值分別為（）OO

A.-1,2B.1,-2..

..

C.1,2D.-1,-2..

..

..

7.己知點4（一2,3,0）,3（1,3,2）,AD=3AB，則點。的坐標為（）..

翔

鄭

A.（-11,3,-6）B.（9,0,6）C.（7,3,6）D.（-1,15,6）..

..

..

..

8.如圖所示的多面體，底面ABCD為長方形，DF2平面ABCD,DF//CQ〃BE,AB=4,..

..

..

..

BC=2,CQ=3,BE=l,則3尸與平面AEC7所成角正弦值為（）..

OO

.※.

.※.

.鼠.

.※.

.※.

.題.

※

※

1

出

.※.

.※.

.會.

A/TTD.叵.※.

2211.※.

區(qū)

※

O※O

二、多選題.堞.

.※.

※

9.如圖，長方體ABC。一AAGA中，AB=BC=2,A4,=布，點尸是底面所..

.W.

.※.

※

塌

在平面內(nèi)的動點，點R是線段A2的中點，點Q是直線4月上的動點，下列結(jié)論正確的期

郵

※

.

.※.

有（）..

.氐.

..

.※.

.※.

..

鵬.

..

.派.

O※O

..

..

..

..

..

..

氐

宅

..

A.的面積的最小值是2班..

..

..

..

B.四面體A-PQG的體積為定值..

..

..

..

C.若2P與C|A所成角為則動點尸的軌跡是拋物線OO

6

..

D.若點尸在直線BD上，則PR與平面GB。所成角的最大值為gTT..

..

試卷第2頁，共4頁

UUH

10.已知色,%分別為平面a，夕的法向量(a,4不重合)，V為直線/的方向向量，

那么下列選項中，正確的是()

A.v_L“o〃/aB.njln10aHl3

C.u_L40/_LaD.±?2<^>6Z±/?

11.已知正方體ABC。-A與GA，棱長為1,￡1分別為棱A氏CG的中點，貝！J()

A.直線AR與直線E尸共面B.A.E1AF

c.直線與直線3月的所成角為60°D.三棱錐G-AD尸的體積為，

三、填空題

12.已知正四面體ABCD的棱長為6,P是四面體ABCD外接球的球面上任意一點，則

PAPB的取值范圍為.

13.在下列命題中：

①若向量共線，則向量與所在的直線平行；

②若向量a,6所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；

③若三個向量a,b,c兩兩共面，則向量a,6,c不一定共面；

④已知空間的三個向量a,4c,則對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)％Xz使得

p-xa+yb+zc.

其中正確命題的是.

ULIUUUU1LLL1U

14.已知O為坐標原點,向量04=(1,2,3),OB=(2,1,2),O尸=(1,1,2),點Q在直線

OP上運動，則QA-QB最小值為.

四、解答題

15.在四棱柱ABCD-A'B'C-'中，底面為矩形，化簡下列各式.

D'::

OO

..

..

..

..

..

三

鄭

..

..

..

（1）AB+BB-DA+DD-BC-..

..

..

..

⑵AC,-AC+AD-AA-..

..

OO

16.如圖，已知空間四邊形ABC。，連接AC,BD,E,F,G分別是2C,CD,DB

.※.

.※.

的中點，請化簡以下式子，并在圖中標出化簡結(jié)果.

.鼠.

.※.

.※.

.題.

※

※

1

出

.※.

.※.

.會.

.※.

.※.

區(qū)

※

O※O

.堞.

.※.

(1)AB+BC-DC;.※.

.W.

(2)AB-DG-CE..※.

※

塌

期

17.如圖，E,尸分別是長方體的棱AB,C。的中點、化簡下列表達式,郵

※

..

.※.

.氐.

..

.※.

.※.

..

鵬.

..

.派.

O※O

..

..

..

..

..

..

氐

宅

..

..

（3）AB-AD+B'D'^（4）AB+CF...

..

..

..

..

..

..

OO

..

..

..

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】建立空間直角坐標系，求得平面朋8的一個法向量，根據(jù)空間距離的向量求法,

解得答案.

【詳解】如圖，以。為原點，OCQEZM分別為x,yz軸建立空間直角坐標系

則4（0,0,2）,尸（0,2,0）,C（2,0,0）,B（2,0,2）,

AB=（2,0,0）,PA=（0,-2,2）,CB=（0,0,2）.

設(shè)平面PAB的一個法向量為。=（尤,y,z）,

n-AB=012x=0

則由n-PA=0^[-2〉+2z=0令y=l,得z=l,故〃=（o,l,l）,

\n'CB\2r-

則點C到平面PAB的距離為d==與=也,

|?|四

故選：B.

2.B

【分析】根據(jù)正三棱柱建立空間直角坐標系，設(shè)動點坐標，結(jié)合線線關(guān)系求線段MN的表達

式，利用函數(shù)求最值即可.

【詳解】因為正三棱柱ABC-44C中，。為BC的中點，取用G中點。，連接。0,

如圖，以。為原點，OCOA。。為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

答案第1頁，共11頁

//

則C（O,O,O）,A（O,后0），411,0,⑹,C（1,O,⑹,

因為M是棱耳￡上一動點，設(shè)Af（0,0,若），且

所以O(shè)M.OA=（a,0,』＞（0,若,0）=0,則CM1.OM,

MNMO

因為ONLA”,且——二——所以在直角三角形OMA中可得：OMN-AMO

MOMA

仁7,于是令f=J/+6je［疝口,

所以==又符合函數(shù)y=f-E為增增符合，所以在

J/+6，rL」t

fe［而V7］上為增函數(shù),

所以當:"時，［-力=號卡=與,即線段MN長度的最小值為手，

當f=g時，=幣二=巨,即線段MN長度的最大值為生且，

I3a677

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點睛：1.找到400,再利用函數(shù)單調(diào)性求出最值.

2.建系，設(shè)出動點M（”,0,若），利用空間向量法求出ON,AM,再結(jié)合線線關(guān)系求線段

MN的表達式，利用函數(shù)求最值即可.

3.C

【分析】可根據(jù)已知的。和6的坐標，通過計算向量數(shù)量積、向量的模，即可做出判斷.

【詳解】因為向量d=（T2,l）,&=（1,1,-1）,所以。0=-lxl+2xl+lx（-l）=O,故aLb,

答案第2頁，共11頁

所以選項A正確；|a|=7(-D2+22+l2=76,W=#+F+(-Ip=瓜所以同>忖，故選

.7.(a+b\a6{6<3

項B正確；。+6=(0,3,0),所以c°s〈a+b，a〉=］^=晨后=故選項C錯誤；

<7-/?=(-2,1,2),所以卜+闿=3,|a-Z?|=3,故,+.=,一〃，所以選項D正確.

故選：C.

4.B

【分析】直接根據(jù)空間向量的投影計算公式求出AC在AB上的投影，進行計算AC在A3上

的投影向量.

【詳解】因為AC=(1,5,3),AB=(0,-3,3),所以ACAB=0+5x(—3)+3x3=—6.

I.1r-AC-AB—6FT

因為網(wǎng)=30,所以網(wǎng)=*=-0

1

故A。在AB上的投影向量為牛48=-￡45=(0』,-1)

3v23

故選：B

5.A

【分析】利用空間向量的坐標運算和空間向量的夾角余弦的坐標表示，即可求出直線4,4

的夾角.

【詳解】解：由題可知,

匕=(2,0,3)，v2=(-3,0,2).

-?->

匕“22x(-3)+0+3x2

.3混=0

.,?以向量［，［為方向向量的直線4，4的夾角為90。.

故選：A.

6.A

【分析】求出向量c的坐標后，利用向量c是平面。的法向量，得cJL〃,c_Lb,利用坐標運

算列出方程組，求解即可.

【詳解】c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-ri)+(4,-4,1)

答案第3頁，共11頁

=（"+4,勿+2刀一4,加一7?+1）,

\c-a=O3m+〃+1=0

由c為平面a的法向量，得7八,即

=0m+5兒一9=0'

故選：A.

7.C

【分析】設(shè)D（x,y,z）,根據(jù)AO=3A8得到方程組，求出x=7,y=3,z=6,得到答案.

【詳解】設(shè)。（x,y,z）,則AD=（x+2,y-3,z）,AB=（3,0,2）,

因為AO=3A8，故（x+2,y-3,z）=3（3,0,2）,

即x+2=9,y-3=0,z=6,

解得x=7,y=3,z=6,故點D的坐標為（7,3,6）.

故選：C

8.B

【分析】適當建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面AEC/的法向量"，并利用

AFln，求出點尸坐標，最后利用線面角公式求出答案.

【詳解】因為DR工平面ABCD,AD,CDu平面ABCD,

所以DELAD,DELCD,又ABC。為長方形，所以ADLDC,

所以DADC。尸兩兩垂直，

以。為原點，分別以DADC。產(chǎn)所在直線為x軸，＞軸，z軸建

立空間直角坐標系D-xyz,

因為AB=4,BC=2,CG=3,8E=1,

答案第4頁，共11頁

則。（O,O,O）,3（2,4,O）,A（2,O,O）,C（O,4,O）,E（2,4』）C（O,4,3）,.?.招=（-2,4,3）,

AE=（0,4,1）,設(shè)平面AECtF的一個法向量為A=（x,y,z）,

n-AE=0/月/4y+z=0

n-ACt=0j-2x+4y+3z=0

設(shè)廠(0,0,z0),則4F=(—2,0,z°),又故AF-a=—2+z0=0,z0=2.

故—0,0,2),跖=(-2,T,2).設(shè)防與平面AEC尸所成角為凡于是，

.八BF-n\1V22

siny=-----

BF

故選：B.

9.ABD

【分析】對于A選項.可根據(jù)圖中幾何特征進行判斷；對于B可根據(jù)等體積法進行判斷；對

于CD選項，建立如圖建立以A為坐標原點，AB所在直線為無軸，4。所在直線為y軸，

為z軸的空間直角坐標系，找到各點通過向量進行計算.

【詳解】對于A.由圖可知點。與與重合時，點0到線段的距離最短，此時△Q8。的面

積的最小，S^QBD=^XV6X2A/2=2A/3,故A正確；

對于B.四面體R-PQC的體積等價于四面體尸-QQG的體積，其中點尸到平面RQG距

離為定值后，而，RQG的面積也是定值2,%=J_x2x#=2且

r-qvy33

故B正確；

對于C.如圖建立以A為坐標原點，AB所在直線為彳軸，所在直線為y軸，&A為z軸的

空間直角坐標系.

答案第5頁，共11頁

尸(x,y,O),(0,2,76),D、P=(x,y-2,-扃

A(0,0,0),GQ,2,屈),AC、=Q,2#)

7i|2x+2y-4-6|^/3

COS—=/」---=——

6^x2+(y-2)2+6xV142

整理可得：13x2+13y2+80x-4y-16AT+10=0,顯然動點尸的軌跡不是拋物線

故C錯誤.

對于D.P(x,2-x,0),7?(1,0,4)，RP=(尤-1,2-尤,-半)，其中xe[0,2]

G(2,2,?8(2,0,0),￡>(0,2,0),3G=(0,2,廂，Dq=(2,0,76)

?BC]=2y+y/6z=0

設(shè)平面C]BD的法向量為〃=(%,y,z),則<

n.g=2x+#z=0

令z=，貝!jx=3,y=3,所以〃=(3,3,—A/^)

PR與平面C{BD所成角的正弦為:

.\n-RP\|3x-3+6-3x+3|6

sina=-i—n---r=-------/=-------j

耶q@X/_2X+1+X2-4x+4+；kx-jJ+2

當彳二。時，sina取最大值，此時PR與平面C，。所成角的最大，sine=#

yr

故PR與平面GBD所成角的最大值為g，D正確.

故選:ABD

【點睛】方法點睛:

空間直角坐標系中未知點的設(shè)立方式(以本題D選項中尸點為例):

答案第6頁，共11頁

①首先假設(shè)未知點坐標為尸（龍,XZ）

②確定未知點所在直線,根據(jù)向量共線條件列式BP=ABD

③找出直線的方向向量,將未知點的坐標值全部用4表示出來即可.

10.BD

【分析】根據(jù)向量關(guān)系,結(jié)合空間位置關(guān)系判斷即可.

【詳解】解：對于A,C選項，v_l_4o〃/tz或/ua,故A錯誤，C錯誤;

對于B選項，a,夕不重合，且耳//“2,故故B正確;

對于D選項，±n2<=><2±,故正確.

故選：BD

11.BD

【分析】如圖，以。為原點，以D4,oc,r>2所在直線分別為x,y,z建立空間直角坐標系,

對于A,利用面面平行性質(zhì)結(jié)合平行公理分析判斷，對于B,通過計算AESb進行判斷，

對于C,利用向量的夾角公式求解，對于D,利用％,置8=匕與8求解.

【詳解】如圖，以。為原點，以所在直線分別為x,y,z建立空間直角坐標系,

則

￡＞（0,0,0）,A（i,0,0）,B（1,1,O）,C（O,1,O）,A（O,o,I）,A（1,0,1）,4（I,i,I）,G（o,i,i）,

因為平面ABBX\//平面DCCR,平面AEFDt0平

面A網(wǎng)A】=AE,平面DCCR平面A網(wǎng)A=D.F,

答案第7頁，共11頁

所以AE〃口F,

因為AE〃GA，所以GOI〃RF,矛盾，所以直線AQ與直線所不共面，所以A錯誤;

對于B,因為AE=[o,g,-l],AF=[-l』,￡|,

所以AES尸=0+：-；=0,所以AELAP,所以4E_LA產(chǎn)，所以B正確，

對于C,設(shè)直線AE與直線所的所成角為凡因為AE=（O,；,-尸=11,0,；

\E-BF

所以cos0=|cos（4及2P）|=