山東2024年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

山東師大附屬中2024年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.若雙曲線三一方=1(?！?］〉0)的漸近線與圓(x—2丫+丁2=1相切，則雙曲線的離心率為()

A.2B.BC.D.6

23

2.已知直線尸A(x+l)(A>0)與拋物線C:/=?相交于A,B兩點(diǎn),歹為C的焦點(diǎn)，^\FA\=2\FB\,則|E4|=()

A.1B.2C.3D.4

3.在0++a展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()

A.1B.2C.3D.7

4.圓錐底面半徑為J?,高為2,SA是一條母線，P點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，則P點(diǎn)到SA所在直線的距離的最大值是

()

A.-B.C.3D.4

33

22

5.已知橢圓「：三+與=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為小工，上頂點(diǎn)為點(diǎn)A，延長人工交橢圓廣于點(diǎn)人若ABF1

ab

為等腰三角形，則橢圓廣的離心率e=

A.-B.正

33

C.-D.—

22

6.中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾

何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理“，若正整數(shù)N除以正整數(shù)后的余數(shù)為〃，則記為N=”(modm),例如

ll=2(mod3).現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的〃等于().

A.21B.22C.23D.24

7.已知三點(diǎn)A(1,O),B(0,),C(2,5,則AABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()

A5V21

33

22

8.已知雙曲線C：二—二=l(a>0,b>0)的一條漸近線經(jīng)過圓E:第,2+/+2x—4y=0的圓心，則雙曲線C的離

ab

心率為()

A.手B.^5C.72D.2

9.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝中，。5?。1=15,?4-?2=6,則的=()

1

A.2B.4C.-D.8

2

10.如圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角

形ABC的斜邊BC,直角邊筋,AC.已知以直角邊AC,為直徑的半圓的面積之比為工，記NABC=c,貝!!

4

sin2a=()

BC

11.某設(shè)備使用年限x（年）與所支出的維修費(fèi)用y（萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（x,y）分別為（2』.5）,（3,4.5）,（4,5.5）,（5,6.5）,

由最小二乘法得到回歸直線方程為￡=1.6x+d,若計(jì)劃維修費(fèi)用超過15萬元將該設(shè)備報(bào)廢，則該設(shè)備的使用年限為

（）

A.8年B.9年C.10年D.11年

X2、冗

12.已知雙曲線二+產(chǎn)=1的一條漸近線傾斜角為T，則。=（）

a6

A.3B.-V3C.一旦D.-3

3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知隨機(jī)變量：服從正態(tài)分布NR,。?），若P（7>6）=0.4,則P（f<0）=.

14.已知數(shù)列｛%,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足q=l,。*+1-4=%.（i<k,k=1,2,3,-,n-l）,若｛4｝是等比數(shù)列，

數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

15.已知函數(shù)y=/（x）為R上的奇函數(shù)，滿足/'（￡）>—2.則不等式/（x—l）<f（3—21nx）+3（l—2x）的解集為

16.已知函數(shù)/（%）=cos2x+a（sin九一cosx）+3%+2019在［0,n］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a值范圍為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通

過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.

組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)2515020025022510050

（1）已知此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N（〃,210）,〃近似為這1000人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求尸（36<Z<79.5）；

（2）在（1）的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案.

（i）得分不低于〃的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于〃的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；

（ii）每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和相應(yīng)的概率如下表.

贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)/元2040

2￡

概率

44

現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記X為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：，210x14.5，若X,則P(〃—crvX<〃+cr)=0.6827,P(//-2cr<X<//+2(T)=0.9545,

尸(〃-3b<X<〃+3。)=0.9973.

18.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=sin(2x+V)+cos2x+gsinxcosx.

(1)若|x|<—，求函數(shù)/(%)的值域；

4

(2)設(shè)A,5c為A6c的三個(gè)內(nèi)角，若/(m)=g,cos(A+C)=—手，求cosC的值；

x=l+烏

19.(12分)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=4cos。，直線/的參數(shù)方程為2。為參數(shù)).

y=-t

[2

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線/的普通方程；

(2)已知點(diǎn)”(1,0),直線/與曲線。交于4、3兩點(diǎn)，求H〃A|-|M?].

22

20.(12分)已知橢圓C：L+匕=1的右頂點(diǎn)為。，E為上頂點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn).

43

(1)若DELAE,求直線AD與V軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)歹為橢圓C的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)M(4,0)與x軸垂直的直線為4，9的中點(diǎn)為N,過點(diǎn)A作直線/°的垂線，垂

足為B,求證：直線AF與直線的交點(diǎn)在橢圓C上.

21.(12分)已知在多面體ABCZ)跖中，平面CD尸平面ABCD,且四邊形ECDb為正方形，且DC//AB,

AB=3DC—69AD=BC=5,點(diǎn)尸，Q分別是BE,AD的中點(diǎn).

（1）求證：P。//平面EEC。；

（2）求平面AEE與平面PC。所成的銳二面角的余弦值.

22.（10分）一個(gè)工廠在某年里連續(xù)10個(gè)月每月產(chǎn)品的總成本V（萬元）與該月產(chǎn)量x（萬件）之間有如下一組數(shù)據(jù):

X1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87

y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26

（1）通過畫散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)廠加以說明；

（2）①建立月總成本y與月產(chǎn)量X之間的回歸方程；②通過建立的y關(guān)于X的回歸方程，估計(jì)某月產(chǎn)量為1.98萬件

時(shí)，產(chǎn)品的總成本為多少萬元？（均精確到0.001）

ioioRoI7o

附注：①參考數(shù)據(jù)：2菁=14?45,2%=27.31,2_I。于230850,框片_I。92士1042,b=1.223-

日i=l'普，普

￡/％一西^X.y.-rixy

②參考公式：相關(guān)系數(shù).=曰v〃、,6=號(hào)---------，a^y-bx.

&2-^2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

利用圓心（2,0）到漸近線的距離等于半徑即可建立a,b,c間的關(guān)系.

【詳解】

12切

由已知，雙曲線的漸近線方程為法土今=0,故圓心(2,0)到漸近線的距離等于1,即=1,

yJa2+b~

所以a?=3Z?2>e---

a

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的求法，求雙曲線離心率問題，關(guān)鍵是建立。力,。三者間的方程或不等關(guān)系，本題是一道基礎(chǔ)

題.

2、C

【解析】

方法一：設(shè)尸(-1,。)，利用拋物線的定義判斷出B是AP的中點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋

物線的定義求得IFB|,進(jìn)而求得|E4|.

方法二：設(shè)出A,3兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)5,乙，由拋物線的定義，結(jié)合|E4|=2|EB|求得的關(guān)系式，聯(lián)立直線

丁=左(九+1)的方程和拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得與，進(jìn)而求得|E4|.

【詳解】

方法一：由題意得拋物線/=4%的準(zhǔn)線方程為/:x=-1,直線y=左(％+1)恒過定點(diǎn)P(-l,0),過A,3分別作AM±I

于M,BNLI于N,連接08,由|E4|=2|EB|,貝！J|AM|=21BN|,所以點(diǎn)3為AP的中點(diǎn)，又點(diǎn)。是PF的

中點(diǎn)，

貝!)|。8|=1|4用，所以|。8|=|3/|,又|。尸|=1

2

所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為

2

13

所以|EB|=l+7=—，所以|E4|二2|EB|=3.

22

由題意設(shè)A6兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為5,xB(xA,xB>0),

則由拋物線定義得IFA|=4+LIFB|=4+1

又X

|E4|=2|FB|,xA+l^2(B+1)=>=2XB+1①

y2=4x?

s=>左~9廠+(24-9-4)x+左"=0=>4?勺=1②

y=k(x+l)

由①②得x；-乙-2=0,xA=2,\FA\=xA+l=3.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

3、D

【解析】

求出(2%+1)3展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含X的項(xiàng)，問題得解。

【詳解】

(2%+1)3展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含X的項(xiàng)分別為：

C；(I)3(2x)°=1,C；(2x)ixl2=6%,

所以11+：］(2X+1)3展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：lxl+/><6x=7.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二項(xiàng)式定理中展開式的通項(xiàng)公式及轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。

4、C

【解析】

分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉(zhuǎn)化求解P的位置，推出結(jié)果即可.

詳解：圓錐底面半徑為逐，高為2,&L是一條母線，P點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，P在底面的射影為。；SA=JE=3,

OA>SO,過&L的軸截面如圖：

ZASQ>9Q°,過。作QTLSA于7，則QT<QS,在底面圓周，選擇p,使得NP&L=90°,則P到S4的距離

的最大值為3,故選：C

點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題.

5、B

【解析】

設(shè)|2鳥|=f,則|B7"=2a-f,\AB\=a+t,

因?yàn)閨陽=°,所以若|A4|=|班;I,則a=2a-f,所以"乙

所以|明|+|8不|=|AB|=2a,不符合題意，所以|3E|=|AB|,貝！）2aT=a+r,

所以a=2f,所以|B￡|=|AB|=3r,\AF}\=2t,設(shè)乙BA￡=29,貝!|e=sin。，

在中，易得cos26=；,所以1—2sin28=；,解得sin，=當(dāng)（負(fù)值舍去），

所以橢圓廠的離心率e=、2.故選B.

3

6、C

【解析】

從21開始，輸出的數(shù)是除以3余2,除以5余3,滿足條件的是23,故選C.

7、B

【解析】

因?yàn)椤髟?。外接國的國心在直線0C的垂直平分線上,即直線工=1上

可設(shè)圓心P（l,p）,由=P砥:|p|=J1+（p_/）2,得p=苧

圓心坐標(biāo)為尸（1,竽）

I

/

所以國心到原點(diǎn)的距離|0尸|=11+

選B.

考點(diǎn)：圓心坐標(biāo)

8、B

【解析】

求出圓心，代入漸近線方程，找到a、Z?的關(guān)系，即可求解.

【詳解】

解：￡（-1,2）,

/v2b

C:j—==1（。>0）>0）一條漸近線丁=——X

a"b~a

2=—2a=b

c2=<72+b2,c2=a2+（2<7）2,e=V5

故選:B

【點(diǎn)睛】

利用a、b的關(guān)系求雙曲線的離心率，是基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

根據(jù)題意得到%=?！?-卬=15,=%/-。悶=6,解得答案.

【詳解】

a=—16

a[

43A=1

o5-67]=axq-ax=15,a4-a2=a1q-axq=6,解得<一或《1（舍去）.

q—2q=一

2

故。3=%q2=4.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

10、D

【解析】

AC1

由半圓面積之比，可求出兩個(gè)直角邊AB,AC的長度之比，從而可知tana=—上=—,結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)

AB2

系，即可求出sin。,cosa,由二倍角公式即可求出sin2a.

【詳解】

解：由題意知,以AB為直徑的半圓面積■"［學(xué)），

以AC為直徑的半圓面積S2,則今=箓=（，即tana=2￡=g.

sina+cosa=1sina=——廠廠

5,所以sin2。=2sinacosa=2xx=—?

由<sina1，得<

tana---------=—2V5555

、cosa2cosa-------

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.

11、D

【解析】

根據(jù)樣本中心點(diǎn)丘,?。┰诨貧w直線上，求出Q,求解y>15,即可求出答案.

【詳解】

依題意卜3.5J=45（3.5,4.5）在回歸直線上，

4.5=1.6x3.5+〃,a=~1.1,y=1.6x—1.1，

由y—1.6x—1.1>15,%>10^-^f

估計(jì)第11年維修費(fèi)用超過15萬元.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查回歸直線過樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】

由雙曲線方程可知：a<0,漸近線方程為：y=+-^x,

7-a

?一條漸近線的傾斜角為孚，；.—」=tan區(qū)=—立，解得：a=-3.

6G63

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略方程表示

雙曲線對(duì)于。的范圍的要求.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、0.4

【解析】

因?yàn)殡S機(jī)變量，服從正態(tài)分布N3,er?,利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性，即得解.

【詳解】

因?yàn)殡S機(jī)變量，服從正態(tài)分布N3,er2

所以正態(tài)曲線關(guān)于x=3對(duì)稱，

所尸（，<0）=/6>6）=。4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性在求概率中的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)

題.

14、

【解析】

利用遞推關(guān)系，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?-q=q,所以g=2%,

因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以數(shù)列｛4｝的公比為1.

又如用一%=4右4人,左=1,2,3,-,n-l),

所以當(dāng)，=左時(shí)，有以+1=2久.

這說明在已知條件下，可以得到唯一的等比數(shù)列，所以q=2"，

故答案為：2'T.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于簡單題目.

15、(0,1)

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(X—1)—三(3—21nx)—3(1—2力，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性，再將所求不等式變

形為g(1)<g⑴，利用函數(shù)y=g(%)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】

設(shè)g(x)=/(%-l)-x2(3-21nx)-3(l-2x),則/(%)=/,(x-l)+4xlnx-4x+6,

設(shè)/z(x)=4xlnx-4x+6,貝()//(x)=41nx.

當(dāng)0<x<l時(shí)，〃(尤)<0,此時(shí)函數(shù)y=〃(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>l時(shí)，此時(shí)函數(shù)y=〃(x)單調(diào)遞增.

所以，函數(shù)y=〃(x)在x=l處取得極小值，也是最小值，即丸(力1mli=g)=2,

/,(x-l)>-2,/z(x)>2,/,(x-l)+/z(x)>0,即g'(x)>0,

所以，函數(shù)y=g(x)在(0,+。)上為增函數(shù)，

函數(shù)y=/(x)為R上的奇函數(shù),則/(0)=0,

■g(l)=/(O)-3+3=O,則不等式/。-1)<右(3—2出力+3(1—21等價(jià)于g(x)<g(l),

又x>0,解得0v%v1.

因此，不等式/(x-l)<x2(3-21nx)+3(l-2x)的解集為(0,1).

故答案為：(0,1).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合

性較強(qiáng).

【解析】

由f(x)2。在[0,7T]上恒成立可求解.

【詳解】

f\x)=-2sin2x+a(cosx+sin%)+3,

■^-t=cosx+sinx=A/2sin(^+—),xe[0,TV],ze[-l,V2],

4

又r=1+sin2x>sin2x=1—廠，從而/'(x)=—2t2+at+5)令g(f)=—2廠+at+5)

g(-l)=-2-a+5>0J2

問題等價(jià)于g(t)2。在/e[-1,利時(shí)恒成立,廠廠，解得—在<。<3

g(V2)=-4+V2?+5>02

[-冬引.

故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是問題轉(zhuǎn)化為尸(%)20恒成立，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)易求解.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)0.8186；(2)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表，利用公式計(jì)算出平均數(shù)〃的值，再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將36、79.5表示為36=〃-2。,

79.5=〃+b,利用題中所給數(shù)據(jù)，以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對(duì)稱性，求出對(duì)應(yīng)的概率；

(2)根據(jù)題意，高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為工，再結(jié)合得20元、40元的概率，分析得出話費(fèi)的可能數(shù)據(jù)

2

都有哪些，再利用公式求得對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得出分布列，之后利用離散型隨機(jī)變量的分布列求出其數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

,、上皿-垢35x25+45x150+55x200+65x250+75x225+85x100+95x50公

(1)由題意可得〃=----------------------------------------------------------------=65,

易知=土14.5,,36=65—29=65—2x14.5=〃—2cr,

79.5=65+14.5=〃+cr,

P(36<Z<79.5)=P(//-2cr<Z<〃+cr)=P(〃-2cr<ZW〃)+P(〃<ZW〃+cr)

_尸(〃一2cr<XV〃+2cr)+P(〃一cr<X<〃+cr)_0,9545+0.6827

-2—2

(2)根據(jù)題意，可得出隨機(jī)變量X的可能取值有20、40、60、80元,

p(X=20)=-x-=~,p(x=40)=-x-+-x-x-=—,

'7248'72424432

1133ill1

p(X=60)=2x-x-x-=—,P(X=80)=-x-x-=—.

')24416,724432

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：

X20406080

31331

p

8321632

3133175

所以，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為EX=20x—+40x—+60x—+80義一=.

83216322

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的計(jì)算，涉及到平均數(shù)的求法、正態(tài)分布概率的計(jì)算以及離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望，在解題

時(shí)要弄清楚隨機(jī)變量所滿足的分布列類型，結(jié)合相應(yīng)公式計(jì)算對(duì)應(yīng)事件的概率，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

18、(1)|--A/3,—(2)cosC=33

122j14

【解析】

(1)將/(x)=sin[2x+W]+cos2x+gsinxcosx,利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為:，/(x)=2sin〔2x+?1+:，再

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解，

(2)根據(jù)=得sin(A+/]=l,又A為ABC的內(nèi)角，得到A=f,再根據(jù)cos(A+C)=-述，利

<2；2koj314

用兩角和與差的余弦公式求解，

【詳解】

小，/、百?c,1c,1+COS2X也.

(1)f(%)——sin2xH—cos2xH-------------1------sin2x,

2222

—A/3sin2x+cos2xH——2sin\2xH—jH—,

2I62

.|%—---<2%H—<—----<sin2%H—|V1,

43632I6；

-A/S<y(%)<—,

即/(%)的值域?yàn)橐?"I;

⑵由j得sin[A+f=l，

IT

又A為45c的內(nèi)角，所以A=不，

又因?yàn)樵凇窤BC中，cos(A+C)=-—,

14

所以sin(A+C)=—,

14

所以cosC=cos(A+C-=gcos(A+C)+sin(A+C)=.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題，

19、(1)(x-2)2+y2=4.y=^x-^(2)石

【解析】

(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，以及消去參數(shù)，即可求解；

(2)設(shè)A,3兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為*t2,將直線/的參數(shù)方程代入曲線方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解.

【詳解】

(1)對(duì)于曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=4cos，，可得"=40cose,

又由1.C，可得Y+y2=4x,BP(X-2)-/=4,

y=/?sin''、/+

所以曲線C的普通方程為(x-2p+y2=4.

x=l+—tr

由直線/的參數(shù)方程為2。為參數(shù))，消去參數(shù)可得上

即

小1x-13

直線/的方程為y=4(x—1),即y=—g.

[3x=l-\-t----

2

(2)設(shè)A,8兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為％,弓，將直線/的參數(shù)方程a為參數(shù))代入曲線C：爐+y2—4x=0

■

中，可得(1+且，+工/一4，+且「=0.

24

1J12J

化簡得：產(chǎn)—后一3=0，則4+/2=6.

所以11AMl-1AffiH%1TJ11=限+寸=

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,以及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，著重考查了

推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

(拒、

20、(1)0,——(2)見解析

【解析】

(1)直接求出直線AE方程，與橢圓方程聯(lián)立求出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線AD方程，得其與V軸交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)則5(4,%),求出直線和AF的方程,從而求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，證明此交點(diǎn)在橢圓上,

即此點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程.代入驗(yàn)證即可.注意分%=1和%/I說明.

【詳解】

解：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合，

(1)由題知0(2,0),E(0,6),則及E=—因?yàn)?。?

48

oHy=—x+y/3%~~25

則直線AE的方程為y=Wx+G，聯(lián)立2)，可得，

3xy17A/3

——+—=1V

〔431~~~25

述

(487g).則左。4=，^=走，直線AD的方程為y=3(x—2)?令尤=0,

故A「王

DA。，4814-14

ZH----

25

，故直線AD與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

⑵證明：因?yàn)槭?1,0),M(4,o),所以Ne,o).設(shè)點(diǎn)4%0，%),則5(4,%).

設(shè)

當(dāng)毛=1時(shí)，設(shè)貝!此時(shí)直線4尸與X軸垂直,

其直線方程為x=l,

5

直線BN的方程為y-0=即Hny=x_].

在方程y=x—g中，令x=l,得丁=一：，得交點(diǎn)為顯然在橢圓°上?

同理當(dāng)A,一|

時(shí)，交點(diǎn)也在橢圓。上.

當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線BN的方程為

直線AF的方程為y=4彳a-1)，

/一1

5%0—8

消去y得(X-1),化簡并解得x=

2x0-5

□xn-dyn/八3yn

將x=；7y代入y=中，化簡得)=三弋.

2x0-5x0-12x0-5

所以兩直線的交點(diǎn)為

72

因?yàn)?出YJ3%

3^2x0-5

4^2x0-5j

25XQ—80%0+643y；25XQ—80%0+64+12y；

（）（）

42x°—52+2x0_5,―4（2x。-5）2

22

又因?yàn)榻??=1,所以4y=12—3片，

川25蒼—80%0+64+12yj4xj—20x0+25(2x()—5)1

--2

月4(2--5)2(2x°—5)2(2x0-5)-

所以點(diǎn)在橢圓c上.

(2%-52x0-5J

綜上所述，直線AF與直線BN的交點(diǎn)在橢圓C上.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與橢圓相交問題，解題方法是解析幾何的基本方程，求出直線方程，解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線

方程驗(yàn)證點(diǎn)在曲線.本題考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

17

21、(1)證明見解析；(2),

【解析】

(1