與圓有關(guān)的最值問題課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

高二—人教版—數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊—第二章與圓有關(guān)的最值問題一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

認(rèn)識圓的代數(shù)特征和幾何特征，能利用這些特征解決一些與圓有關(guān)的最值問題，提高直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng)．解題思路與策略圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合．圓的核心要素是圓心、半徑．與圓有關(guān)的最值問題主要涉及一些幾何量，例如距離、面積、角度等；我們應(yīng)該如何研究呢？從最基本的幾何元素入手研究以下兩種關(guān)系：(1)點(diǎn)點(diǎn)關(guān)系；(2)點(diǎn)線關(guān)系．二、學(xué)習(xí)與探究問題(1)則｜OQ｜的最大值為____，最小值為_______．解：如圖，Q在圓上運(yùn)動，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OQ所在直線經(jīng)過圓心C時(shí)，

Q的兩個(gè)不同位置分別使｜OQ｜取到最大值和最小值．圓的半徑r為2,所以，｜OQ｜最大值為｜OC｜+r=3+2=5,

｜OQ｜最小值為｜OC｜-r=3-2=1．點(diǎn)點(diǎn)關(guān)系問題改變點(diǎn)點(diǎn)關(guān)系中的點(diǎn)的位置，你還能提出什么問題？例題已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．答案：5，1．例題已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)；Q是圓C上的一點(diǎn)．變式1：求圓上的動點(diǎn)到圓內(nèi)的一定點(diǎn)的距離的最值問題；（圓“外”改為圓“內(nèi)”）變式2：求圓上的動點(diǎn)到圓外的定直線的距離的最值問題；（“定點(diǎn)”改為“定直線”）(留給同學(xué)們課后思考）點(diǎn)線關(guān)系問題例題已知圓C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．問題(2)若直線m:3x-4y+12=0，則Q到直線m的距離的最小值____．解：過Q作QP垂直于直線m，垂足是P，則所求為|PQ|.d為圓心C到直線m的距離．

所以｜PQ｜的最小值是d-r=．你會求｜PQ｜的最大值嗎？答案：｜PQ｜的最大值是．答案例題已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．如果讓直線上的點(diǎn)和圓上的點(diǎn)都動起來，就得到以下的問題(3)．例題已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．問題(3)若P在直線m:3x-4y+12=0上，則|PQ|的最小值是

．

分析：P是直線上的動點(diǎn)，Q是圓上的動點(diǎn)，如何解決雙動點(diǎn)問題呢？雙動點(diǎn)問題單動點(diǎn)問題化歸例題已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．問題(3)若P在直線m:3x-4y+12=0上，則|PQ|的最小值是____．

方法一：P固定，Q運(yùn)動；d為圓心C到直線m的距離．｜PQ｜|PC|-r=|PC|-2

d-2=

≥≥答案：．例題已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．問題(3)若P在直線m:3x-4y+12=0上，則|PQ|的最小值是____．

方法二：先固定Q，P運(yùn)動；d為圓心C到直線m的距離,h為Q到直線m的距離．｜PQ｜h

d-r=d-2=

≥≥答案：．變式已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．

P(１,3),H(0,t),當(dāng)|PH|+|HQ|取最小值時(shí)，求t的值．分析：H、Q都是動點(diǎn)，屬于雙動點(diǎn)問題；先讓哪一個(gè)動點(diǎn)固定呢？其實(shí)讓H或者Q先固定都可以解決．解：先固定H，當(dāng)Q運(yùn)動時(shí)，|PH|是常數(shù)，|PH|+|HQ|最小值為|PH|+|HC|-2；在這種規(guī)律下，再讓點(diǎn)H運(yùn)動起來，問題轉(zhuǎn)化為H在哪個(gè)位置，|PH|+|HC|有最小值的問題；這個(gè)問題就是指，在y軸上找一點(diǎn)H，使到|PH|+|HC|取最小值的問題，其中點(diǎn)P、C都是定點(diǎn)．這時(shí)，就可以用“將軍飲馬”模型來解決．取P點(diǎn)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)G(-1,3),

則|PH|+|HC|=|GH|+|HC|，當(dāng)且僅當(dāng)G、H、C三點(diǎn)共線時(shí)，|GH|+|HC|有最小值，此時(shí)，由G、C的坐標(biāo)可得直線GC的方程：

GC與y軸的交點(diǎn)為（0，），所以，t=．例題已知圓C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)；Q是圓C上的一點(diǎn)．把雙動點(diǎn)改為雙動直線，就能得到以下的新問題．雙動點(diǎn)問題單動點(diǎn)問題化歸例題已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)；Q是圓C上的一點(diǎn)．問題(4)若P在直線m:3x-4y+12=0上，過P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則四邊形PACB面積的最小值為______．△PAC≌△PBC∠PAC為直角解：連接PC，則△PAC≌△PBC.因?yàn)椤螾AC為直角，所以|PC|最小值為，代入上式得，四邊形PACB的面積的最小值為．

答案：．例題已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．如果讓P固定下來，Q在圓上運(yùn)動，你能提出除距離、面積以外的其他問題嗎？例題已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．問題(5)若P（0，3），則當(dāng)∠OPQ取最大值和最小值時(shí)，PQ的斜率分別是____，______．例題已知圓C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．問題(5)若P（0，3），則當(dāng)∠OPQ取最大值和最小值時(shí)，PQ的斜率分別是____，______．分析：由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)PQ是圓C的切線時(shí)，∠OPQ取到最值．解：設(shè)直線PQ的方程為y=kx+3,當(dāng)直線PQ與圓C相切時(shí)，∠OPQ取到最值．由解得．答案：．例題已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．除距離、面積、角度這些有明顯幾何意義的問題外，有時(shí)也會碰到以下問題：例題已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)；Q是圓C上的一點(diǎn)．問題(6)設(shè)Q（x,y）,則

的最大值和最小值分別是___，___．分析：與前面的題不同，本題不是求距離、面積、角度等幾何量，該如何解決呢？其實(shí)，所求式的結(jié)構(gòu)就是我們學(xué)過的斜率公式；表示的是圓上的點(diǎn)Q（x,y）和點(diǎn)H（-2，-2）連線的斜率．例題已知圓C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．問題(6)設(shè)Q（x,y）,則

的最大值和最小值分別是

，

．解：

則k表示的是圓上的點(diǎn)Q（x,y）和點(diǎn)H（-2，-2）連線的斜率．由圖可知，當(dāng)直線HQ與圓C相切時(shí)，得到的兩條切線對應(yīng)的斜率分別為k的最大值和最小值．直線HQ的方程為：y+2=k(x+2)，由圓心C到直線HQ的距離等于半徑，即解得k=或k=0．

答案：．例題已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．問題(6)

設(shè)Q（x,y）,則

的最大值和最小值分別是是

__，

．本例中，利用所求式的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，把代數(shù)式看成有特殊幾何意義的量，再利用數(shù)形結(jié)合解決問題．還有沒有其他類似的式子也可以這樣解決呢？例題已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．思考：如何求或者y-x的最值？l:y=x+b,b可看作直線l在y軸上的截距．可看作圓上的點(diǎn)Q（x,y）和點(diǎn)H（-2，-2）連線的斜率．可看作Q到原點(diǎn)O的距離．斜率公式距離公式直線方程令b=y-x例題已知圓C：

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是圓C上的一點(diǎn)．問題(7)設(shè)Q（x,y），則y-x的最大值為___，最小值為____．解：設(shè)所求為b,則b=y-x，得到直線l:y=x+b，b理解為直線l與圓C相交或相切時(shí)在y軸上的截距，當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，截距有最值．由圓心C到直線l的距離等于半徑得：由得或．答案：．賦給一些代數(shù)式子幾何意義，可以方便我們用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題．小結(jié)一般地：（1）形如

的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．（