北京市2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題匯編：平面向量

2021北京高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：平面向量一．選擇題（共8小題）1．（2020秋?昌平區(qū)期末）已知矩形中，，若，則A． B． C． D．2．（2020秋?西城區(qū)期末）在平行四邊形中，設(shè)對角線與相交于點，則A． B． C． D．3．（2020秋?海淀區(qū)校級期末）向量“，不共線”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2020秋?房山區(qū)期末）如圖，在中，，設(shè)，，則A． B． C． D．5．（2020秋?房山區(qū)期末）已知，，則“”是“向量與共線”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2020秋?海淀區(qū)校級期末）設(shè)，是非零向量，則“存在實數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2020秋?西城區(qū)校級期末）化簡等于A． B． C． D．8．（2020秋?西城區(qū)校級期末），，，則與的夾角A． B． C． D．二．填空題（共8小題）9．（2020秋?西城區(qū)校級期末）設(shè)，向量，，若，則等于．10．（2020秋?西城區(qū)期末）已知向量，，那么．11．（2020秋?房山區(qū)期末）已知，則與方向相同的單位向量的坐標為．12．（2020秋?昌平區(qū)期末）已知向量，，且與共線，則實數(shù)．13．（2020秋?海淀區(qū)校級期末）已知向量，，且，則實數(shù)．14．（2020秋?海淀區(qū)校級期末）在如圖所示的方格紙中，向量，，的起點和終點均在格點（小正方形頂點）上，若與，為非零實數(shù)）共線，則的值為．15．（2020秋?西城區(qū)校級期末）如圖，向量，若，則．16．（2020秋?西城區(qū)校級期末）已知數(shù)集，，，（其中，，2，，，，若對任意的，2，，都存在，，使得下列三組向量中恰有一組共線：①向量，與向量，；②向量，與向量，；③向量，與向量，，則稱具有性質(zhì)，例如，2，具有性質(zhì)．（1）若，3，具有性質(zhì)，則的取值為（2）若數(shù)集，3，，具有性質(zhì)，則的最大值與最小值之積為．

三．解答題（共2小題）17．（2020秋?西城區(qū)校級期末）平面內(nèi)給定三個向量．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求滿足的實數(shù)和；（Ⅲ）若，求實數(shù)．18．（2020秋?房山區(qū)期末）設(shè)兩個非零向量與不共線．（Ⅰ）若，，且與平行，求實數(shù)的值；（Ⅱ）若，，，求證：，，三點共線．

2021北京高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：平面向量參考答案一．選擇題（共8小題）1．【分析】根據(jù)向量基本定理進行求解即可．【解答】解：，故選：．【點評】本題主要考查平面向量的基本定理的應(yīng)用，利用向量分解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．2．【分析】利用向量加法法則直接求解．【解答】解：在平行四邊形中，設(shè)對角線與相交于點，則．故選：．【點評】本題考查向量的求法，考查向量加法法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)向量三角形的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：當向量“，不共線”時，由向量三角形性質(zhì)得“”成立，即充分性成立，反之當向量“，方向相反時，滿足“”，但此時兩個向量共線，即必要性不成立，即向量“，不共線”是“”的充分不必要條件，故選：．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合向量三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題、4．【分析】利用三角形法則即可求解．【解答】解：因為，故選：．【點評】本題考查了平面向量基本定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)，得到兩個向量的夾角為0，又向量與共線，可得兩個向量的夾角為0或，結(jié)合充分條件和必要條件的定義，分析即可．【解答】解：因為，則有，又，，則有，所以，又向量與共線，則有或，所以“”是“向量與共線”的充分而不必要條件．故選：．【點評】本題考查了充分條件與必要條件的判斷，涉及了向量的模的應(yīng)用，向量夾角的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為向量的夾角為0．6．【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：若“”，則平方得，即，即，，則，，即，，即，同向共線，則存在實數(shù)，使得，反之當，時，滿足，但，不成立，即“存在實數(shù)，使得”是“”的必要不充分條件，故選：．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合向量數(shù)量積的應(yīng)用進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．7．【分析】直接利用向量的加減法求法即可．【解答】解：．故選：．【點評】本題考查斜率加減法的計算，是基礎(chǔ)題．8．【分析】由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義，求出與的夾角的余弦值，可得與的夾角．【解答】解：，，，則設(shè)與的夾角為，，，由，求得，，故選：．【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共8小題）9．【分析】根據(jù)題意，由向量平行的坐標表示方法可得，解可得的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量，，若，則有，解可得：，故答案為：．【點評】本題考查向量平行的坐標表示，涉及向量的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】可求出向量的坐標，然后即可求出的值．【解答】解：，．故答案為：5．【點評】本題考查了向量坐標的減法運算，根據(jù)向量的坐標求向量的長度的方法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．【分析】可知為與方向相同的單位向量，然后即可根據(jù)的坐標得出這個單位向量的坐標．【解答】解：，與方向相同的單位向量的坐標為：．故答案為：．【點評】本題考查了與向量方向相同的單位向量的求法，向量坐標的數(shù)乘運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】利用向量共線定理即可得出．【解答】解：，與共線，，解得．故答案為：1．【點評】本題查克拉向量共線定理，屬于基礎(chǔ)．13．【分析】由向量的平行可得，解之即可．【解答】解：由已知，且，所以，解得，故答案為：【點評】本題考查向量平行的充要條件，屬基礎(chǔ)題．14．【分析】由題意易得每個向量的坐標，由向量共線可得和的關(guān)系式，變形可得答案．【解答】解：設(shè)圖中每個小正方形的邊長為1，則，，，，與共線，，，即故答案為：【點評】本題考查平行向量與共線向量，屬基礎(chǔ)題．15．【分析】先將中的所有向量用，，表示，從而求出，的值，即可求出所求．【解答】解：，，即，，，，即．故答案為：．【點評】本題主要考查了平面向量的基本定理及其意義，解題的關(guān)鍵是將所有向量用，，表示，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】（1）由題意可得：與；與；與中恰有一組共線，分別求出相應(yīng)的的值即可；（2）由（1）知，可得，，9，再利用新定義驗證，得到，3，，具有性質(zhì)時的，，，，9，27，同理分別得到，3，，以及，3，9，具有性質(zhì)時的的值，即可得到的最大值與最小值之積．【解答】解：（1）由題意可得：與；與；與中恰有一組共線，當與共線時，可得，此時另外兩組不共線，符合題意，當與共線時，可得，此時另外兩組不共線，符合題意，當與共線時，可得，此時另外兩組不共線，符合題意，故的取值為：，，9；（2）由（1）的求解方法可得，，9，當時，由數(shù)集，3，，具有性質(zhì)，①若與；與，；與中恰有一組共線，可得，；②若與，；與，；，與中恰有一組共線，可得，；③若與，；與，；，與中恰有一組共線，可得，27；故，3，，具有性質(zhì)可得，，，，9，27；同理當時，，3，，具有性質(zhì)可得，，，，，9；同理當時，可得，，，，，27，81；則的最大值為90，最小值為，故的最大值與最小值之積為．故答案為：（1），，9；（2）．【點評】本題考查新定義，考查平面向量共線的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．三．解答題（共2小題）17．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，求出的坐標，由向量模的計算公式計算可得答案；（Ⅱ）根據(jù)題意，由向量的坐標計算公式可得若，必有，求出、的值，即可得答案；（Ⅲ）根據(jù)題意，求出與的坐標，由向量數(shù)量積的計算公式可得，求出的值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，向量．則，故；（Ⅱ）若，即，，，，則有，解可得，故，；（Ⅲ）根據(jù)題意，，，若，則，解可得，故．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，涉及向量的坐標