安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,,成等差數(shù)列,則()A．,,成等差數(shù)列 B．,,成等比數(shù)列C．,,成等差數(shù)列 D．,,成等比數(shù)列2．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)之積為，并且滿足條件：，，，下列結(jié)論中正確的是()A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最小值3．過點(diǎn)的圓的切線方程是（）A． B．或C．或 D．或4．已知函數(shù)，若存在滿足，且，則n的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．65．當(dāng)為第二象限角時(shí)，的值是（）．A． B． C． D．6．若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，且三棱錐的體積為，則球的體積為()A． B． C． D．7．從3位男運(yùn)動(dòng)員和4位女運(yùn)動(dòng)員中選派3人參加記者招待會(huì)，至少有1位男運(yùn)動(dòng)員和1位女運(yùn)動(dòng)員的選法有（）種A． B． C． D．8．一個(gè)三角形的三邊長成等比數(shù)列，公比為，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．（，+∞） B．[，+∞） C．（，－1） D．[，－1）9．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度10．設(shè)和分別表示函數(shù)的最大值和最小值，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，其中是第二象限角，則____.12．在中，若，則等于__________.13．正方體中，分別是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值是__________．14．已知等差數(shù)列中，，，則該等差數(shù)列的公差的值是______.15．若圓:與圓:相交于，兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，則公共弦的長度是______.16．在中角所對(duì)的邊分別為，若則___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知．若三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值．18．在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角；（2）若的面積為，求在上的投影.19．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知3(b2＋c2)＝3a2＋2bc.(1)若sinB＝cosC，求tanC的大??；(2)若a＝2，△ABC的面積S＝，且b>c，求b，c.20．已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示：（1）求函數(shù)的解析式及其對(duì)稱軸的方程；（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求此時(shí)的值.21．已知向量，，．（1）求函數(shù)的解析式及在區(qū)間上的值域；（2）求滿足不等式的x的集合．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

先說明不符合題意，由時(shí)，成等差數(shù)列，算得，然后用表示出來，即可得到本題答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，有，不滿足成等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，化簡得，解得，所以，，，則成等差數(shù)列.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，計(jì)算出等比數(shù)列的公比是關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2、D【解析】

根據(jù)題干條件可得到數(shù)列>1,0<q<1,數(shù)列之和越加越大，故A錯(cuò)誤；根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到進(jìn)而得到B正確；由前n項(xiàng)積的性質(zhì)得到是數(shù)列中的最大值；從開始后面的值越來越小，但是都是大于0的，故沒有最小值.【詳解】因?yàn)闂l件：，，，可知數(shù)列>1,0<q<1,根據(jù)等比數(shù)列的首項(xiàng)大于0，公比大于0，得到數(shù)列項(xiàng)均為正，故前n項(xiàng)和，項(xiàng)數(shù)越多，和越大，故A不正確；因?yàn)楦鶕?jù)數(shù)列性質(zhì)得到，故B不對(duì)；前項(xiàng)之積為，所有大于等于1的項(xiàng)乘到一起，能夠取得最大值，故是數(shù)列中的最大值.數(shù)列無最小值,因?yàn)閺拈_始后面的值越來越小，但是都是大于0的，故沒有最小值.故D正確.故答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、遞推關(guān)系、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3、D【解析】

先由題意得到圓的圓心坐標(biāo)，與半徑，設(shè)所求直線方程為，根據(jù)直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為1，由題意，易知所求切線斜率存在，設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為，即，所以有，整理得，解得，或；因此，所求直線方程分別為：或，整理得或.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查求過圓外一點(diǎn)的切線方程，根據(jù)直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即可求解，屬于?？碱}型.4、D【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，因此要使得滿足條件的n最小，則盡量讓更多的取值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是最值點(diǎn)，然后再對(duì)應(yīng)圖象取值.【詳解】，因?yàn)檎液瘮?shù)對(duì)任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，要使n取得最小值，盡可能多讓（i=1，2，3，…，n）取得最高點(diǎn)，因?yàn)?，所以要使得滿足條件的n最小，如圖所示則需取，，，，，，即取，，，，，，即．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.5、C【解析】

根據(jù)為第二象限角，，，去掉絕對(duì)值，即可求解．【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，∴，，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查三角函數(shù)值的符合，三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)可以結(jié)合口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦，增加記憶印象，屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】

由的體積計(jì)算得高，已知將三棱錐的外接球，轉(zhuǎn)化為長2，寬2，高的長方體的外接球，求出半徑，可得答案．【詳解】∵，，故三棱錐的底面面積為，由平面，得，又三棱錐的體積為，得，所以三棱錐的外接球，相當(dāng)于長2，寬2，高的長方體的外接球，故球半徑，得，故外接球的體積.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的體積，三棱錐體積公式的應(yīng)用，根據(jù)已知計(jì)算出球的半徑是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．7、C【解析】

利用分類原理，選出的3人中，有1男2女，有2男1女，兩種情況相加得到選法總數(shù).【詳解】（1）3人中有1男2女，即；（2）3人中有2男1女，即；所以選法總數(shù)為，故選C.【點(diǎn)睛】分類加法原理和分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意分類的標(biāo)準(zhǔn)，不出現(xiàn)重復(fù)或遺漏情況，本題若是按先選1個(gè)男的，再選1個(gè)女的，最后從剩下的5人中選1人，則會(huì)出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象.8、D【解析】

由題意先設(shè)出三邊為則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊，分公比大于與公式在小于兩類解出公比的取值范圍，此兩者的并集是函數(shù)的定義域，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的值域，選出正確選項(xiàng).【詳解】解：設(shè)三邊：則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊，即

（1）當(dāng)時(shí)，，即，解得；

（2）當(dāng)時(shí)，為最大邊，，即，解得，

綜合（1）（2）得：，

又的對(duì)稱軸是，故函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

由于時(shí)，與時(shí)，，

所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及二次函數(shù)的值域的求法，解答本題關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，能利用它建立不等式解出公比的取值范圍得出函數(shù)的定義域，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)也很重要，由此類題可以看出，扎實(shí)的雙基，嫻熟的基礎(chǔ)知識(shí)與公式的記憶是解題的知識(shí)保障.9、D【解析】

先根據(jù)圖象確定A的值，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)結(jié)果的點(diǎn)求出求與的值，確定函數(shù)的解析式，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式將函數(shù)化為余弦函數(shù)，再平移即可得到結(jié)果．【詳解】由題意，函數(shù)的部分圖象，可得，即，所以，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得，求得，故．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得的圖象，則只要將的圖象向右平移個(gè)單位長度可得的圖象，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

根據(jù)余弦函數(shù)的值域，確定出的最大值和最小值，即可計(jì)算出的值.【詳解】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以的最大值，所以的最小值，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的最值問題，難度較易.求解形如的函數(shù)的值域，注意借助余弦函數(shù)的有界性進(jìn)行分析.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

首先要用誘導(dǎo)公式得到角的正弦值，根據(jù)角是第二象限的角得到角的余弦值，再用誘導(dǎo)公式即可得到結(jié)果．【詳解】解：，又是第二象限角故，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查同角的三角函數(shù)的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，熟練應(yīng)用誘導(dǎo)公式是解決三角函數(shù)問題的必備技能，屬于基礎(chǔ)題．12、；【解析】

由條件利用三角形內(nèi)角和公式求得，再利用正弦定理即可求解.【詳解】在中，，，，即，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

取的中點(diǎn)，由得出異面直線與所成的角為，然后在由余弦定理計(jì)算出，可得出結(jié)果．【詳解】取的中點(diǎn)，由且可得為所成的角，設(shè)正方體棱長為，中利用勾股定理可得，又，由余弦定理可得，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，一般利用平移直線找出異面直線所成的角，再選擇合適的三角形，利用余弦定理或銳角三角函數(shù)來計(jì)算，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中等題．14、【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差通項(xiàng)基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】

根據(jù)兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，得出是直角三角形，求出，然后兩圓相減求出公共弦的直線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到公共弦的距離，進(jìn)而求出公共弦長.【詳解】由題意，圓圓心坐標(biāo)，半徑，圓圓心坐標(biāo),半徑，因?yàn)閮蓤A相交于點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，所以是直角三角形，，所以，由兩點(diǎn)間距離公式，，所以，解得，所以圓：，兩圓方程相減，得，即，所以公共弦：，圓心到公共弦的距離，故公共弦長故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查兩圓公共弦的方程、圓弦長的求法和點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的分析能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】,；由正弦定理，得，解得.考點(diǎn)：正弦定理.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

計(jì)算出由三點(diǎn)共線解出即可．【詳解】解：，∵三點(diǎn)共線，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查3點(diǎn)共線的向量表示，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上的投影為；當(dāng)時(shí)，在上的投影為.【解析】

（1）由已知條件，結(jié)合正弦定理，求得，即可求得C的大??；（2）由已知條件，結(jié)合三角形的面積公式及余弦定理，求得的值，再由向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理知，即，又，所以，所以，在中，，所以，又，所以；?）在中，由余弦定理得，由，即，因此，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，在上的投影為；當(dāng)時(shí)，在上的投影為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要抓住題設(shè)條件和利用某個(gè)定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2).【解析】試題分析：(1)根據(jù)已知條件及余弦定理可求得的值,再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得的值.因?yàn)?所以,由兩角和的正弦公式可將其化簡變形,可求得與的關(guān)系式,從而可得.(2)根據(jù)余弦定理和三角形面積均可得的關(guān)系式.從而可解得的值.試題解析：，，，.(1)，，，，.(2)，，，①，∴由余弦定理可得，,②，∴聯(lián)立①②可得.考點(diǎn)：1正弦定理;2余弦定理;3兩角和差公式.20、（1），；（2），.【解析】

（1）根據(jù)圖像得A=2,利用，求ω值，再利用時(shí)取到最大值可求φ，從而得到函數(shù)解析式，進(jìn)而求得對(duì)稱軸方程；（2）由得，方程f（x）＝2a﹣3有兩個(gè)不等實(shí)根轉(zhuǎn)為f（x）的圖象與直線y＝2a﹣3有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而可求得a的取值范圍，利用圖像的性質(zhì)可得的值.【詳解】（1）由圖知，,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ),當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，可得，即，，解得，又所以，故，令則，所以的對(duì)稱軸方程為；（2），所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得,當(dāng)時(shí)，，有，故.【點(diǎn)