廣東省佛山市南海區(qū)2024屆高三摸底測試數(shù)學(xué)試題及參考答案

廣東省佛山市南海區(qū)2024屆高三摸底測試

數(shù)學(xué)試題及參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

^-<o\,則Nu8=(

1.已知集合/=

X

A.(0,4]B.[0,4]C.[2,4]D.-00,4]

2.0.32,log20.3,203這三個數(shù)的大小順序是（）

203203

A.0.3<2<log20.3B.0.3<log20.3<2-

20332

C.log20.3<0.3<2D.log20.3<2°<0.3

3.由成對樣本數(shù)據(jù)（西,％）（i=1,2,…,n）得到的經(jīng)驗回歸方程為j=，+Zx，則下列說法正

確的是（）

A.直線y=a+必過卜/）

B.直線j=J+菽至少經(jīng)過（x2J（i=l,2,…，及）中的一點

C.直線j=）+3x是由（積%）?=1,2,）中的兩點確定的

D.（積%）（i=1,2,）這n個點到直線y=a+bx的距離之和最小

4.下列式子中正確的是（）

cosasin尸=g[sin(a一6)一sin(

A.a+/)]

.a.0-\-(p.3—(p

B.sin"+sin0=2cos----sin----

22

tana+tanB=tan(a+/?)+tanatan(3tan(cr+月)

sin(2a+0sin/

D.-----------2cos(cr+p)=———

sina----------------sina

5.已知直線/：》+即一1=0是圓6x—2y+l=0的對稱軸，過點Z（-4,a）作

圓C的一條切線，切點為尸，則因4|=（）

A.2B.4也C.7D.2A/10

1

6.在(x+l)(x—2)(x+3)(x—4)(x+5)的展開式中，含d的項的系數(shù)是()

A.-23B.-3C.3D.15

7.在凸四邊形48CD中，ABAD+ZADC=240°,E,尸分別是邊NO,BC的中點，

EF=幣,若以4B,CD為邊分別畫兩個正方形a,萬，再畫一個長度、寬度分別為

AB,cr＞的長方形7,則所畫三個圖形a,B,7的面積之和為()

A7B.14C.21D.28

8.已知數(shù)列｛a“｝對任意人eN*滿足a?+i+a*=4左+3,則為+。2()20=()

A4040B.4043C.4046D.4049

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0

分.

9.已知/(x)是定義在R上不恒為0的奇函數(shù)，g(x)是/(X)的導(dǎo)函數(shù)，貝(I()

A./(/(x))為奇函數(shù)B.g(g(x))為偶函數(shù)

C./(g(x))為奇函數(shù)D.g(/(x))為偶函數(shù)

10.如圖，在下列四個正方體中，A,2為正方體的兩個頂點，M,N,。為所在棱的中點，

則在這四個正方體中，直線45與平面兒做平行的是()

2

11.已知函數(shù)/（x）=cosxsin2x,貝?。荩ǎ?/p>

A./（x）的最大值為殍

B./（x）的圖象與直線y=2x僅有三個交點

C./（X）的圖象關(guān)于點（E點）（1eZ）對稱

D./（x）的圖象關(guān)于直線x=g（丘Z）對稱

12.設(shè)/,8是一個隨機試驗中的兩個事件，且P（N）=g,P（5）=|,尸（/+5）=j,

則（）

A.P（N8）=；B.尸（N耳］C.尸（聞Z）=gD.尸（7聞=；

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知復(fù)數(shù)z與（z+l『-2i都是純虛數(shù)，則2=.

14.已知直線/：Ax+By=B（A>0,B>0）,過點（0,—1）作直線/U/,則/'和/的交點坐

標(biāo)為.（用含43的式子表示）

—?—?3

15.AA5C中，。為邊4C上一點，BD平分NABC,且4。=1,CQ=2,BABD=—,

4

則80=______.

4兀

16.若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的體積為——，當(dāng)該圓錐體積取

3

最小值時，該圓錐的表面積為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.已知｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，物"｝是等比數(shù)列，其中q=3,4=1,a2=b2,

3a5=b3.

（1）求數(shù)列｛4｝,抄"｝的通項公式；

（2）存在常數(shù)6使得對每一個正整數(shù)〃都有%=log?“+萬，求a+夕.

3

18.如圖，頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A,3是底面圓周上不同兩點，線

段A3不過底面圓心。，A8的中點為。，OHLPQ,垂足為X,C為我的中點.

(1)求NPC”的大??；

(2)求平面0cH與圓錐底面的夾角.

19.已知尸為銳角,求證：“&+力=^”是“5苗21+5由2萬=5苗(戊+0”成立的充要

條件.

20.某電子公司新開發(fā)一款電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)G由3個電子元件組成，各個

電子元件能正常工作的概率為:，且每個電子元件能否正常工作是相互獨立，若系統(tǒng)G中

有超過一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作，否則就需要維修.

(1)求系統(tǒng)需要維修的概率；

(2)為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個功能完全一樣的其他品牌的電子

元件，每個新元件正常工作的概率為P,且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作,

則G可以正常工作.問：P滿足什么條件時可以提高整個系統(tǒng)G的正常工作概率？

21.設(shè)動點又與定點廠(c,o)(c>o)的距離和M到定直線/：X—的距離的比是系

(1)求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；

(2)當(dāng)c=0時，記動點M的軌跡為。，動直線機與拋物線F：F=4X相切，且與

曲線。交于點/，B.求Z05面積的最大值.

22.已知函數(shù)/(x)=ax?+(f-2x+2)e*.

(1)證明：不論。取何值，曲線歹=/(x)均存在一條固定的切線，并求出該切線方程；

(2)若0為函數(shù)/(x)的極小值點，求。的取值范圍；

(3)曲線>=/(”是否存在兩個不同的點關(guān)于V軸對稱，若存在，請給出這兩個點的坐

標(biāo)及此時。的值，若不存在，請說明理由

4

參考答案

一、選擇題

1.【答案】B

【解析】【分析】解不等式求出集合A、B,再求并集可得答案.

【詳解】集合/={司4<2}={可0<%<4},集合8={》|一<0]=卜|0<%<4},

則/DB={X|0WXV4}.

2.【答案】C

【解析】【分析】分別比較與中間值0和1的大小關(guān)系即可得答案.

【詳解】解：因為0<0.32<0.3°=1，log203<logj=0,2°-3>2°=l.

所以log?0.3<O.32<2°3,

3.【答案】A

【解析】

【分析】由求經(jīng)驗回歸方程的方法最小二乘法可判斷選項.

【詳解】解：由最小二乘法公式可知工=3+3嚏，所以經(jīng)驗回歸方程必過夕,?。蔄正

確

最小二乘法求出的經(jīng)驗回歸方程不一定經(jīng)過點，故BC錯誤；

最小二乘法保證的是豎直距離之和的絕對值最小，故D錯誤.

4.【答案】D

【解析】【分析】利用兩角和與差的正弦展開式化簡可判斷A；利用兩角和與差的正弦余

弦展開式化簡可判斷B；舉反例可判斷C；利用兩角和的正弦余弦展開式正余弦的二倍角

公式化簡可判斷D.

【詳解】對于A,

g[sin(a——sin(a+尸)]

=(sinorcos/?-sin/?cosa-sinacos-sincosa)=-coscrsin/?,故A錯誤;

e+o.o~(p0(0(py.(00)

對于2cos---sin----=2cos—+—sin-----

B,22U2)(22J

5

J0(p.0.(p\(.0(p0.(p\

=2cos—cos--sin—sin—sm—cos--cos—sin—

(2222大2222J

c3(p.0(p.0.(p.0(p

-2cos—cos—sin—cos--2sin—sin—sin—cos—

22222222

30(P0.(p.0.(p0.cp

-2cos—cos—cos—sm—+2sm—sm—cos—sm—

22222222

=cos2—sin0-sin2—sin(7)-cos2—sin(7)+sin^sin2—

2222

=sin8—sin0,故B錯誤;

兀7CJCI-

對于C,若a=/?=],!i!!jtana+tan￡=tan§+tan5=213,

tan(a+/)+tanatan°tan(a+0)=tang+tan；tangtang二-4-73,

2百/一46，故C錯誤；

r,十sin(2a+Z?)/八、

對于D,---------匕-2ncos(a+6)

sina

sin2acosB+cos2asinB八八八..八

=------------------------------2cosacos,+2sinasmp

sina

二2cosacosB+0°s2asin----2cosacos,+2sinasin0

sina

cos2asin,“：____cos2asinP+2sin2asin/?

—F2sinccsQinp—

sinasina

cos2(zsinyff+(1-cos2(z)sin/3_sin故D正確

sinasina?

5.【答案】C

【解析】【分析】由題可知圓心。及半徑r=2,結(jié)合條件可知直線/經(jīng)過圓心(3,1),進

而得出點A的坐標(biāo)，然后根據(jù)圓的切線長公式即得.

【詳解】由題可得圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x—3)2+(y—1)2=9,

可知圓心C的坐標(biāo)(3,1),半徑為r=3,

因為直線/：x+ay-1=0是圓C：/+_/一6%一2y+1=0的對稱軸，

所以直線/經(jīng)過圓心(3,1),貝U3+a—1=0,

解得。=-2,故

6

由于過點/(-4,-2)作圓。的一條切線，切點為尸,

\PA\=^ACf-r2=J(3+44+(2+l「—32=7.

6.【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得，5個因式中，3個因式選擇x,2個因式選擇常數(shù)，即可求解.

【詳解】由組合知識可知，含V的求解，需要從5個因式中，3個因式選擇x,2個因式

選擇常數(shù)，則含d的項的系數(shù)是

(-4)x5+3x5+3x(-4)+(-2)x5+(-2)x3+(-2)x(-4)+1x5+lx卜4升1義3+1義&2)=

-23.

7.【答案】D

【解析】【分析】連接8。,取的中點G,連接￡G,廠G,構(gòu)造EGF,在￡G/中，

再利用余弦定理轉(zhuǎn)化得AB~+CD2+48xCD=28，從而

得解.

【詳解】如圖，延長A4與交于點P,

由/8/。+4。。=240。，得NBPC=60。,

連接AD,取RD的中點G,連接EG,FG,

則由三角形中位線定理知，

EG//-AB,EG=-AB,FG//-CD,FG=-CD,ZEGF=120°,

2222

在AEG/中，由余弦定理得

,,,AB27CD、2,AB,7CD、

J=EF-=EG2+FG--2EG-FGcosZEGF=(—)+(—)+(—)x(—)

即AB2+CD2+ABxCD=28,

所以三個圖形a,/3,7的面積之和為28.

8.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列｛%｝的遞推公式可知相鄰的奇數(shù)項或者偶數(shù)項成等差數(shù)列，寫

出。2020的表達式即可求出結(jié)果.

7

【詳解】由知+i+ak=4k+3可得4+2+。左+1=4(k+1)+3；

兩式相減可得ak+2—ak=4；

即相鄰的奇數(shù)項或者偶數(shù)項成等差數(shù)列，且公差為4,

2020

所以可得4020=%+—1x4=4036+4即6+。202。=%+4+4036；

2

當(dāng)左=1時，勺+q=4+3=7,因此a1+。2()20=7+4036=4043.

二、選擇題

9.【答案】ABD

【解析】【分析】根據(jù)題意，得到g(x)為偶函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義及判定方

法，逐項判定，即可求解

【詳解】根據(jù)題意，可得g(x)=/'(x),

因為/(X)為奇函數(shù)，可得/(—=可得[/(—)]'

即一/'(—x)=—/(x),即g(x)=g(—x),所以g(x)為偶函數(shù)，

由/(/(T))=/(—/(x))=—/(/(x))，即/(/(X))為奇函數(shù),所以A正確;

由g(g(—x))=g(g(x))，即g(g(x))為偶函數(shù),所以B正確;

由/(g(—x))=/(g(x))，所以/(g(x))為偶函數(shù)，所以C錯誤；

dbg(/(—x))=g(—/(x))=g(/(x)),所以g(y(x))為偶函數(shù)，所以D正確.

10.【答案】BCD

【解析】【分析】利用線面平行判定定理逐項判斷可得答案.

【詳解】對于選項A,OQ//AB,。0與平面MVQ是相交

的位置關(guān)系，故和平面不平行，故A錯誤；

對于選項B,由于4B〃CD〃兒結(jié)合線面平行判定定

理可知/8〃平面MVQ,故B正確；

對于選項C,由于/8〃Cr>〃MQ,結(jié)合線面平行判定定

8

理可知/8〃平面MVQ：故C正確;

對于選項D,由于4B〃CD〃NQ,結(jié)合線面平行判定定理可知

/5〃平面ACVQ：故D正確;

11.【答案】AC

【解析】【分析】令/=sinx,/e[—l,l],則g(/)=2/—2/e[―1,1],對g”)求導(dǎo)，得

到g(。的單調(diào)性，比較g(—l)<g可判斷A；/(x)與y=2x為奇函數(shù)，只需求

/(x)的圖象與直線y=2x在(0,+8)上的交點個數(shù)，設(shè)尸(x)=cosxsin2x—2x,對

E(x)求導(dǎo)可得尸(x)<0在(0,+的上恒成立，可判斷B；由/(x)+/(—x+2版)=0可

判斷C；取特值可判斷D.

【詳解】對于A,

/(x)=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx^l-sin2x2sinx-2sin3x,

令/=sinx,/e,所以令g")=2t-2t3,te[-1,1],

g\t)=2-6t2,令g'⑺>0,解得：—

33

令g'(/)<0,解得：—1</<—

33

所以g(。在一--上單調(diào)遞增，在事,1]上單調(diào)遞減,

I337

g(-l)=0,g=2x--2x

3

g(-l)<g,所以/(X)的最大值為殍，故A正確;

9

對于B,f(-x)=cos(-x)sin(-2x)=-cosxsin2x=-f(x),

所以/(x)為奇函數(shù)，而y=2x也為奇函數(shù)，

故要求/(x)的圖象與直線y=2x在R上的交點個數(shù)，

只需判斷/(x)的圖象與直線V=2x在(0,+”)上的交點個數(shù)即可，

設(shè)廠⑴=cosxsin2x-2x,

F'^x\=-sinxsin2x+2cosxcos2x-2=-sinxsin2x+cosxcos2x+cosxcos2x-2

=cos3x+cosxcos2x-2<0，

所以尸(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，而E(0)=0,

所以尸(x)<0在(0,+”)上恒成立，即/(x)與y=2x的圖象在(0,+”)上沒有交點，

所以/(x)與V=2x的圖象在(-",0)上也沒有交點，

又尸(0)=0,故E(x)在R上有且僅有一個零點x=0.

則/(x)的圖象與直線y=2x只有一個交點，故B錯誤.

對于C,

f(x)+/(-x+2砌=cosxsin2x+cos(一x+2砌sin(一x+2砌

=cosxsin2x+cos(-x)sin(-2x)=cosxsin2x-cosxsin2x=0,

故/(x)的圖象關(guān)于點(E,0)(keZ)對稱，故C正確；

對于D,取4=1,f(-x+7i)=cos(-x+7i)sin(-x+7i)=-cosxsinx=-f(x),

/(x)的圖象關(guān)于不關(guān)于直線x=5對稱，故D錯誤.

12.【答案】BC

【解析H分析】利用和事件的概率公式可得尸(48)=，進而求得叩耳=；,即A

錯誤，B正確；由條件概率計算公式計算可知C正確，D錯誤.

0_Q1

【詳解】由尸(8)=§可知p住)=1—^=3，

10

又p（/+5）=p⑷+P伍）—P（/耳=j可得網(wǎng)疝）=',

由尸（45）+尸（4萬）=尸（Z）可得尸（48）=\，所以A錯誤;

由P（N7）+尸（2萬）=°（后）可知，P（7Z）=；,所以B正確;

/—、1

PAB

12

二，即C正確;

6

1

/一、、1/一\尸^8）

又尸（48）+尸（奶）=尸（5）可得尸（43）二：,同理尸（4|5）二）討得=|，即D

3

錯誤.

【點睛】方法點睛：求解概率計算問題時互斥事件概率的加法公式要靈活變形應(yīng)用，結(jié)合

概率性質(zhì)即可得出結(jié)論.

三、填空題

13.【答案】-i

【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=ai,（aeR,awO）,得至U（z+1『—2i=l—/+Q。—2）i,結(jié)

合（z+l）2-2i都是純虛數(shù)，列出方程組，即可求解.

【詳解】由復(fù)數(shù)Z是純虛數(shù)，可設(shè)復(fù)數(shù)2=山,5€1<,4/0）,

可得（Z+1）2—2i=（山+球—2i=1—/+（2a-2）i,

1—a=0

因為（Z+1『—2i都是純虛數(shù)，可得<，解得。=-1,所以z二—i

2a—2w0

'2ABB?-A2

14.【答案】

&2+1'爐+/2

7

【解析】【分析】先求出直線再求出/'和/的交點坐標(biāo).

【詳解】因為直線/：Ax+By=B（A>Q,B>6）,直線

所以設(shè)—*+。=0,又因為/'過點（0,—1）,

則Z+C=0,則C=—/,所以/'：8x—力―Z=0,

11

2AB

x=

Ax+By=BB2+A2

解得：＜

Bx-Ay-A=QB--A1

y=

B2+A2

'2AB1]

故/'和/的交點坐標(biāo)為:

&2+尸層+/2;

15.【答案】1

—?—?3

【解析】【分析】由角平分線定理設(shè)4B=x,ZC=2x,由=—結(jié)合數(shù)量積定義

4

______?______?3?3______?1______?_____?______?3

可得正?麗=—,再表示出詼=—麗--BC,代入加?麗=—,即可得出答案.

2224

【詳解】因為平分/45C,且/。=1,8=2,設(shè)ZABD=/CBD=6,

AV)AD1AD

由角平分線定理可得：——二——，即一二——，所以設(shè)48=x,ZC=2x,

DCAC2AC

因為說?瓦萬=1,貝”瓦5H麗kos6=1,所以xj麗k()s，=：

所以前.麗=|/H麗kos6=2xj麗|cos6=m，

1____]____2__1

又因為互3=詼+方^=麗+^麗二詼+夕麗—珂二麗—,前

—?—?(3—?1——?3—々1—?—?3

又因為545。=—5?！狟C\BD=—BD——BC,BD=—,

2)224

所以3質(zhì)|2—L3=3,所以|麗|=i.

VI22411

16.【答案】8兀.

【解析】【分析】根據(jù)題意求得內(nèi)切球的半徑解得外=1，結(jié)合AOEsACF,得到

h兀4

r=廠——，得出圓錐的體積%=—[①-2)+——+4],結(jié)合基本不等式得出圓錐的

yjh2-2h3h-2

底面半徑.=行，進而求得圓錐的表面積.

447r

【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為弓，可得§兀92=?_,解得"=1,

再設(shè)圓錐的底面圓的半徑為廠，高為〃，如圖所示，

OE與，即:匹尸:'解得"而?

由AOEsACF,可得——

CF

所以圓錐的體積

12

jz=-7rr2/z=^—=-[(/z-2)+-^-+4]>--(2./(^2)^^+4)=—,

33(/z-2)3/z-23Vh-23

4-

當(dāng)且僅當(dāng)為一2二----時，即〃=4時，等號成立，

〃—2

此時廠=亞，母線長為1=J(0)2+42=3收，

此時圓錐的表面積為兀7“+兀7'=71X0X30+71X(0)2=8兀.

nx

17.【答案】(1)an=6n-3；bn=9-(2)a+￡=g+3

【解析】【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列｛4｝的公比為必由條件先

求出公差和公比，得出數(shù)列的通項公式；

log9=6

(2)再由條件可得〈:,八〃，解方程可得出答案.

1―3=—loga9+萬

【小問1詳解】

設(shè)｛4｝的公差為d(dwo),也｝的公比為/

由q=3,1\=\,a2—b2,3a5—a.

3+d=q

則[3(3+4〃)=/,解得d=6,q=9.

nl

所以a“=%=3+6(“一1)=6“一3,bn=瓦-q"、=9~.

【小問2詳解】

由4=log/+A，可得：6〃-3=log。9"-、，對一切正整數(shù)〃都成立.

于是，6n-3=nloga9-loga9+J3,

W：6即W=loga9=6

即《

—3二—loga9+/3[—3=—6+(313=6

13

解得：a=6，6=3=>a+/=U+3.

TTjr

18.【答案】(1)ZPCH=-(2)-

24

【解析】【分析】（1）根據(jù)圓錐的幾何特征，由線面垂直的判定定理可證明4P/平面

OCH,即可得NPCH為直角;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）中的結(jié)論可求得兩平面的法向量，利用空間向量即可

、兀

求得平面。C”與圓錐底面的夾角為一.

4

【小問1詳解】

根據(jù)題意連接05,。。,HP,如下圖所示：

由圓錐的軸截面是等腰直角三角形可知0A=0P；

易知PA=PB,0A=0B,又因為。為的中點,

所以

PQr>0Q=Q,尸Q,0Qu平面。P0,所以平面。尸0,

又。Hu平面。尸。，所以48,0笈，

又0H工PQ,ABcPQ=Q,4B,尸。u平面尸48,所以平面「48,

又4Pu平面尸48,所以07/L4P；

又。為R4中點，且。4=。尸，所以。C1.4P；

0Cc0H=0,0c?！?lt;=平面OS,

所以AP工平面0s,CHu平面0s,可得4P，C”,

71

因此/PC”為直角；即NPC”=—.

2

【小問2詳解】

以。為坐標(biāo)原點，C%在圓錐底面內(nèi)的垂線為x軸，分別為了軸、z軸建立空間

直角坐標(biāo)系，如圖所示：

不妨設(shè)。4=1,則0P=1,

則尸（0,0,1）,2（0,1,0）,0（0,0,0）

顯然圓錐底面的一個法向量為無=（0,0,1）,

14

由（1）可知Q即為平面OS的一個法向量，4P=（O,—1,1）

設(shè)平面OC”與圓錐底面的夾角為。，6>e[O,7i）

/--?----\0P-4P1\[^2.jr

貝1]cos6=cos（OP,ZP）=—j=尸=—,可得e=—；

'/如網(wǎng)lx上24

TT

即平面OC”與圓錐底面的夾角為一.

19.【答案】答案見解析

【解析】【分析】先證充分性再證必要性即可.

7TTT

【詳解】由a+/?=5得a=]—/，所以

sin2a+sin2夕=sin|--^1+sin2^=cos2^+sin2^=1,

?(兀nn.兀1

(a+，)=si"；一'+’=sin—=I,

2

所以sin2a+sin2/?=sin(a+。)，所以充分性成立；

因為sin2a+sin2/?=sin(a+/?)=smacos。+sincosa,

所以sina(sina—cos/?)+sin/?(sin/?-cosa)=0,

若sina—cos/?>0,即sina>cos，=sinP,

jrjr

因為a,尸為銳角，得尸為銳角，耳―a為銳角,

TTTT

所以a〉Q—即,〉a,

所以sin1>sin=cosa,Bpsin(3>cosa,

此時sino(sina-cos/?)+sin￡(sin-cosa)=0不成立;

若sina—cos/?<0,gpsina<cos，=sin一—0,

15

TT

因為廣為銳角，得尸為銳角，a為銳角,

jrjr

所以a<,一尸，即尸〈萬一a,

所以sin。<sin=cosa,即sin(3<cosa,

此時sino(sina-cos/?)+sin￡(sin-cosa)=0不成立;

i兀jr

故有sina=cos/?=sinI--所以a=——B,

2

TT

所以a+夕=5,所以必要性成立；

故"a+/=1■”是“5/2戊+5吊2尸=5吊（。+0”成立的充要條件.

7

20.【答案】（1）—（2）2-V2<?<1

27

【解析】【分析】（1）電路需要維修有以下兩種情形：

情形一：電路中沒有電子元件可以正常工作.

情形二：電路中有且僅有一個電子元件可以正常工作.

由〃次獨立重復(fù)實驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式,再結(jié)合并事件的概率公式即

可求出系統(tǒng)需要維修的概率.

（2）把整個系統(tǒng)G的正常工作概率用含P的代數(shù)表示出來最終解不等式即可，至于去表示

整個系統(tǒng)G的正常工作概率的時候，具體可以分為以下三種情形：

情形一：電路中有且僅有3個電子元件正常工作.

情形二：電路中有且僅有4個電子元件正常工作.

情形三：電路中有且僅有5個電子元件正常工作.

【小問1詳解】

記事件B=｛電路中沒有電子元件可以正常工作｝,

事件c=｛電路中有且僅有一個電子元件可以正常工作｝

事件/=｛系統(tǒng)G需要維修｝,顯然事件B與事件C互斥，則由題意可知

尸⑷(m)⑷+尸⑻

16

7

所以系統(tǒng)需要維修的概率為.

27

【小問2詳解】

記河=｛系統(tǒng)G正常工作｝,S=｛電路中有且僅有3個電子元件正常工作｝,

。=｛電路中有且僅有4個電子元件正常工作｝,

A=｛電路中有且僅有5個電子元件正常工作｝,

則由題意可知

222

P(S)=Cn-c；(i-p)2+c；[g)Cn(i-n)2T+c；LTc^p=^-(i-p)+|y/>(i-p)+^-p

P（Q）=C1g）（；,（1一夕）2，既用[1-g]=[?（1一夕）+||。2

尸⑻

且顯然事件S、事件0、事件R兩兩互斥，則尸(M)=P(s1。u及)=尸(S)+p(。)+P(R),

OQO

將P(S),尸(0),尸⑻分別代入并整理得尸(")=-數(shù)+(+己.由(1)可知系統(tǒng)G原來

20

的正常工作概率為P⑼-P(/)=l-尸⑷=石，若新增兩個電子元件后整個系統(tǒng)G的正

常工作概率提高了，則有不等式一/成立，解得2—行<0<2+應(yīng)，

考慮實際意義知夕<1.綜上當(dāng)2-正<?<1時，可以提高整個系統(tǒng)G的正常工作概率.

21.【答案】(1)答案見解析(2)41

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意得到方程，分c=2,0<c<2和c〉2三種情況，得到軌

跡方程及軌跡的形狀；

(2)直線加斜率不存在，不合要求，設(shè)直線掰：x=0+b,聯(lián)立/=4x,由△=()得

x=ky+b

到6=—公，聯(lián)立〈X2V2，由根的判別式大于0求出0<〃<1+若，設(shè)

——+—=1

[42

/J-2k&+4r+8

Z(X1,%),8(%,%)得到兩根之和，兩根之積，表達出S"c=

k2+2

17

換元后構(gòu)造/?）=（’—2）J—2R+12/-8,求導(dǎo)后得到極值和最值，求出答案.

【小問1詳解】

設(shè)M（x,y）,則4

X—

4-2

化簡得----r-x2+j2=4-c2?c>0,

4.

當(dāng)c=2時，y=0,軌跡為一條直線；

22

當(dāng)0<c<2時，土+上==1,此時軌跡為焦點在x軸上的橢圓;

A//

當(dāng)c〉2時，—--^=1,此時軌跡為焦點在x軸上的雙曲線；

4c2-4

綜上：當(dāng)c=2時，軌跡方程為>=0,軌跡為一條直線，

22

當(dāng)0<c<2時，軌跡方程為二+上==1,軌跡為焦點在無軸上的橢圓;

當(dāng)c〉2時，軌跡方程為三—第二=1,軌跡為焦點在x軸上的雙曲線;

/I//I

【小問2詳解】

當(dāng)c=0時，Q:'+二=1，

42

當(dāng)直線加斜率不存在時，又與j/=4x相切,

故此時直線加：x=0,此時48三點共線，不合要

求，舍去，

設(shè)直線加：x=@+b,聯(lián)立=4x得j?—4@—4b=0,

由A=16左2+166=0得6=—左2,顯然6<0,

x=ky+b

聯(lián)立《

18

A=4k2b2-4(A：2+2)(/>2-4)>0,結(jié)合6=—嚴(yán)比解得0</<i+&\

設(shè)/(再,％)5(%2，%)，

i2kb從―4

貝mi叮i+%=一記”必必=

k-+2

設(shè)直線加：x=Q+b與x軸交于點0,則Z）（“0）,則

2

o1|八7??b/；--------v—-------b\2kbY4b-16

S^BC一%|=_胃(必+%)-4y^2=--J-2--2

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萬J