2024年海南省部分校高三數(shù)學(xué)考前三模試題卷附答案解析

年海南省部分校高三數(shù)學(xué)考前三模試題卷（全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（共40分）1．集合，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B．0 C． D．12．已知向量，則（

）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．4．互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法（）A．24種 B．36種 C．42種 D．48種5．已知是等比數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．6．已知，則（

）A． B． C． D．7．設(shè)為原點(diǎn)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上且滿足，，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、多選題（共18分）9．已知（，，）的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．的最小正周期為C．在內(nèi)有3個(gè)極值點(diǎn) D．在區(qū)間上的最大值為10．已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．11．如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為，其軸截面是邊長為2的為等邊三角形，球內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），是球與圓錐母線的交點(diǎn)，是底面圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．球的體積為B．三棱錐體積的最大值為C．的最大值為3D．若為中點(diǎn)，則平面截球的截面面積為第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（共15分）12．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則.13．已知過球面上A，B，C三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，則球的表面積是．14．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過右焦點(diǎn)且傾斜角為直線l與該雙曲線交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M位于第一象限），的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，則為.四、解答題（共77分）15．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性，并求出的極小值．16．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，.

(1)已知為中點(diǎn)，求證：平面；(2)求平面與平面的夾角．17．Matlab是一種數(shù)學(xué)軟件，用于數(shù)據(jù)分析、無線通信、深度學(xué)習(xí)、圖象處理與計(jì)算機(jī)視覺、信號(hào)處理、量化金融與風(fēng)險(xiǎn)管理、人工智能機(jī)器人和控制系統(tǒng)等領(lǐng)域，推動(dòng)了人類基礎(chǔ)教育和基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展.某學(xué)校舉行了相關(guān)Matlab專業(yè)知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對(duì)每題的概率都為p，乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響．已知每題甲、乙同時(shí)答對(duì)的概率為，恰有一人答對(duì)的概率為．(1)求和的值；(2)試求兩人共答對(duì)3道題的概率．18．已知雙曲線的虛軸長為4，漸近線方程為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求四邊形面積的最小值.19．若有窮數(shù)列滿足：，則稱此數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列具有性質(zhì)，求的值；(2)設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得，求證：數(shù)列為等差數(shù)列．1．C【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，討論或或，結(jié)合集合中元素的互異性，即可判斷和選擇.【詳解】因?yàn)?，故．①?dāng)時(shí)，，則，與元素的互異性矛盾，故不成立；②當(dāng)時(shí)，解得，與元素的互異性矛盾，故不成立；③當(dāng)時(shí)，即，則，，故成立，故.故選：C．2．B【分析】先計(jì)算，再代入向量的夾角公式計(jì)算即可.【詳解】，所以，故選：B3．B【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡后利用共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系求出復(fù)數(shù)，再計(jì)算其模長即可.【詳解】由已知等式可得，所以，所以，故選：B.4．D【分析】由題意得對(duì)紅菊花所處位置進(jìn)行分類，每一類根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得.【詳解】紅菊花在正中間位置時(shí)，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，即紅菊花兩邊各一盆白色，黃色菊花，故有；紅菊花在首位或者尾端時(shí)，先排好白菊花，產(chǎn)生三個(gè)空再對(duì)黃菊花分類排即可，故；紅菊花在第2或者第4位置時(shí)，先給首位或者尾端任意放一種，剩下的3盆花位置就確定了，故；綜上，共有種擺放方法.故選：D5．C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用條件，得到，再由，得，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，得到，所以，由，得到，所以，故選：C.6．A【分析】解法1：令，，利用兩角和與差的正弦公式化簡即可求得，再利用二倍角公式即可求解；解法2：利用兩角和的正弦公式將展開，可得，再利用輔助角公式求得，最后利用二倍角公式即可求解.【詳解】解法1：由，得，得，得，所以，所以．解法2：將展開得，整理得，即，所以．故選：A7．B【分析】設(shè)，由題意列出含的方程組，解出的關(guān)系式，進(jìn)而求出雙曲線的漸近線即可.【詳解】設(shè)，由雙曲線的定義知，在中，由余弦定理得：，所以，再由，為的中點(diǎn)，延長至，使，所以四邊形為平行四邊形，且，在中，由余弦定理知：，在中，由余弦定理知：，因?yàn)?，則，可知，所以③，由得，

把代入得，化簡得，所以漸近線方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由四點(diǎn)共圓的四邊形四個(gè)邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和是解決本題的關(guān)鍵.8．C【分析】根據(jù)題意，判斷的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，得出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并結(jié)合對(duì)稱性及可得解.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的周期為8，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由，，，，，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中，，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與的圖象，如圖，由圖可得，函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)與圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，又，所以函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1）關(guān)于對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對(duì)稱，則，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.9．ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象求得，，值，可得函數(shù)解析式，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可逐一判斷得解.【詳解】對(duì)于AB，根據(jù)函數(shù)的部分圖象知，，，，故AB正確，對(duì)于C，由五點(diǎn)法畫圖知，，解得，由于，所以，.令，則，時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)有2個(gè)極值點(diǎn)，分別為，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，可得：，故當(dāng)此時(shí)取最大值，故D正確.故選：ABD.10．BCD【分析】根據(jù)題意，利用作差比較法，結(jié)合不等式的性質(zhì)，可判定A錯(cuò)誤，B正確；令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，進(jìn)而判定C正確；結(jié)合在上單調(diào)遞增，可判定D正確．【詳解】對(duì)于A中，由，可得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，則，所以B正確；對(duì)于C中，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，所以，即，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，即，所以，所以D正確．故選：BCD．11．ACD【分析】對(duì)A，根據(jù)相切求出球的半徑，再利用球的體積公式即可；對(duì)B，寫出體積表達(dá)式并結(jié)合基本不等式即可判斷；對(duì)C，設(shè)，寫出的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)即可求出其最大值；對(duì)D，利用等體積法求出到平面，再求出截面積即可.【詳解】選項(xiàng)A，如圖，設(shè)底面圓心為，則，，，因?yàn)槭沁呴L為2的為等邊三角形，則，為中點(diǎn)，則球的半徑球的體積為，故A正確.選項(xiàng)，作，因?yàn)槊妫?，所以底面，，，故B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C，設(shè)，，...，設(shè)，則令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，易知在上單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞減，且，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；，故C正確.選項(xiàng)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，由，，，得..設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，，代入數(shù)據(jù)解得.截面面積為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)的關(guān)鍵是設(shè)設(shè)，，結(jié)合余弦定理和勾股定理求出線段和表示式，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可.12．##【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榍遥?，則.故答案為：13．##【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出的外接圓半徑，再利用球面的截面小圓性質(zhì)求出球半徑即得答案.【詳解】在中，，則，，由正弦定理得外接圓半徑，設(shè)球半徑為，于是，解得，所以球的表面積是.故答案為：14．##【分析】設(shè)，，，利用雙曲線的定義可得，作出圖形，結(jié)合圖形分析，可知與直線的傾斜角相等，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，即求.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓為圓，與三邊的切點(diǎn)分別為，如圖所示，設(shè)，，，設(shè)的內(nèi)切圓為圓，由雙曲線的定義可得，得，由此可知，在中，軸于點(diǎn)，同理可得軸于點(diǎn)，所以軸，過圓心作的垂線，垂足為，因?yàn)?，所以，∴，即∴，即故答案為?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，得到是關(guān)鍵，說明軸，同時(shí)直線的傾斜角與大小相等，計(jì)算即得.15．(1)(2)在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增；0.【分析】（1）欲求曲線在點(diǎn)處的切線方程，只需求出斜率和的值，利用直線的點(diǎn)斜式方程求解切線的方程；（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，又知，所以在點(diǎn)處的切線方程為．（2）因?yàn)椋?，則或，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，．綜上，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；所以．16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形三線合一性質(zhì)的應(yīng)用可分別證得，，由此可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，

四邊形為正方形，，，平面，平面，，；，，平面，平面，平面，平面，又為中點(diǎn)，，平面，又平面，平面，，；，為中點(diǎn)，；，平面，平面，又平面，，，平面，平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，即平面與平面夾角余弦值為，平面與平面的夾角為.17．(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程解得即可.（2）兩人共答對(duì)3道題，只可能為甲答對(duì)2道題乙答對(duì)1道題或甲答對(duì)1道題乙答對(duì)2道題，列式解得即可.【詳解】（1）由題意可得即解得或由于，所以．（2）設(shè)甲同學(xué)答對(duì)了道題乙同學(xué)答對(duì)了道題．由題意得，，．設(shè)甲、乙二人共答對(duì)3道題，則．由于和相互獨(dú)立，與互斥，所以所以甲、乙兩人共答對(duì)3道題的概率為.18．(1)；(2)【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)求出即可；（2）設(shè)直線，直曲聯(lián)立，把坐標(biāo)結(jié)合韋達(dá)定理用表示出來，利用由三點(diǎn)共線和解得，然后由弦長公式和點(diǎn)到直線的距離表示出四邊形的面積，令，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后分析單調(diào)性，得到最值.【詳解】（1）由題意可知，又浙近線方程為，所以，易知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立方程得，且，由三點(diǎn)共線得①，由得，即②，由①②解得.由可知，四邊形是平行四邊形，所以，，，所以，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線等圓錐曲線內(nèi)四邊形面積時(shí)常用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式表示，求面積的最值時(shí)常構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析.19．(1)，，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)的定義