平面幾何證明題的常用解題思路與方法的研究(全文)

精品文檔-下載后可編輯平面幾何證明題的常用解題思路與方法的研究(全文)眾所周知，平面幾何證明是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，其難就難在如何尋找證明思路。初中數(shù)學(xué)的證明題的出現(xiàn)率十分頻繁，可總不知道該先從哪開始突破。我想，數(shù)學(xué)也有它的奧妙，總有解決的辦法。我覺得學(xué)生對(duì)于做證明題感到很困難，也沒有興趣，是因?yàn)樽C明題的邏輯性很強(qiáng)，學(xué)生做題時(shí)往往思維混亂，作業(yè)上寫的亂七八糟，語言也沒有經(jīng)過組織，有時(shí)候看半天也看不出學(xué)生的思路是什么樣的。如何才能讓學(xué)生的思路清晰呢？經(jīng)過我多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)與分析，應(yīng)努力培養(yǎng)學(xué)生的以下五種解題思路和方法，并且要精講多練，多讓學(xué)生自己歸納和總結(jié)解題思路，積累證明題目的經(jīng)驗(yàn)，教師點(diǎn)撥強(qiáng)調(diào)讓其成為學(xué)生的做證明題的思維習(xí)慣。

（１）分析逆推法。所謂分析逆推法應(yīng)該就是“由果索因”地對(duì)所要證明的結(jié)論進(jìn)行周密分析，逆向逐步找出結(jié)論成立需要具備的充分條件。在平面幾何證明題中，這一解題思路是用得最多也是最常用的思路的。

例如：如圖在ΔＡＢＣ中，ＢＤ和ＣＥ分別是ΔＡＢＣ的兩條高。求證：∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ．

解題思路分析：即從逆向思維的角度出發(fā)，從結(jié)論出發(fā)，欲證明∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ。若能證明ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ就可以得出∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ，這樣就把證明∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ的問題轉(zhuǎn)化為證ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ的問題。如何去證明ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ呢？結(jié)合題設(shè)，這里已有∠Ａ＝∠Ａ這個(gè)條件，要找到其余一組角對(duì)應(yīng)相等是不可能的，若有條件ＡＤ／ＡＢ＝ＡＥ／ＡＣ就可以得出ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ，這樣把證明ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ的問題轉(zhuǎn)化為證明ＡＤ／ＡＢ＝ＡＥ／ＡＣ的問題，那么有如何去證明ＡＤ／ＡＢ＝ＡＥ／ＡＣ呢？只要證明出ΔＡＤＢ與ΔＡＥＣ相似即可得出ＡＤ／ＡＢ＝ＡＥ／ＡＣ這個(gè)結(jié)論。這樣又把證明ＡＤ／ＡＢ＝ＡＥ／ＡＣ的問題轉(zhuǎn)化為ΔＡＤＢ∽ΔＡＥＣ的問題，而根據(jù)條件完全可以證明出ΔＡＤＢ∽ΔＡＥＣ，這樣把剛才思維過程按照思維順序的反向順序進(jìn)行書寫即可得出推理證明全過程。

（２）綜合順推法。綜合順推法是指從已知條件出發(fā)，借助其性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?，即從“已知”看“可知”，逐步推向“要證明的結(jié)果”。這一方法適用于比較簡(jiǎn)單的證明題目，

例如：如圖，在ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，點(diǎn)Ｐ是上任意一點(diǎn)，ＰＥ／／ＡＢ，ＰＦ／／ＡＣ。問：ＰＥ，ＰＦ，ＡＢ之間有什么關(guān)系？并說明理由；

解題思路分析：當(dāng)學(xué)生得到這個(gè)題，認(rèn)真分析后會(huì)要求找出ＰＥ，ＰＦ，ＡＢ之間有什么關(guān)系。首先學(xué)生應(yīng)該有一種較合理的感覺，線段與線段的關(guān)系主要有位置關(guān)系和長(zhǎng)度關(guān)系，本題很明顯不會(huì)是位置關(guān)系而是長(zhǎng)度關(guān)系。

由ＡＢ＝ＡＣ推出∠Ｂ＝∠Ｃ（等邊對(duì)等角）

由ＰＥ／／ＡＢ，ＰＦ／／ＡＣ推出四邊形ＡＥＰＦ是平行四邊形，∠ＢＰＦ＝∠Ｃ

由∠ＢＰＦ＝∠Ｃ推出ＢＦ＝ＰＦ

由四邊形ＡＥＰＦ是平行四邊形推出ＡＦ＝ＰＥ

因?yàn)椋粒拢剑粒疲拢仆ㄟ^等量代換可得ＡＢ＝ＰＦ＋ＰＥ

到此學(xué)生可以分析結(jié)果先可作出判斷ＡＢ＝ＰＦ＋ＰＥ，再根據(jù)思路寫出證明過程就完成了。

（３）分綜結(jié)合法。對(duì)于從結(jié)論很難分析出思路的題目，同學(xué)們可以結(jié)合結(jié)論和已知條件認(rèn)真的分析。初中數(shù)學(xué)中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路。例如給我們?nèi)切文尺呏悬c(diǎn)，我們就要想到中線、中位線。要求證三角形角相等，我們就要想到邊相等、三角形全等、三角形相似。用正逆結(jié)合的思路去思考解題的方法。

例如：已知：如圖，在菱形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分別是ＢＣ，ＣＤ的中點(diǎn)。

求證：ＡＢＥ≌ＡＤＦ

解題思路分析：

１．由條件入手“由因?qū)Ч钡耐评?/p>

由Ｅ，Ｆ分別是ＢＣ，ＣＤ的中點(diǎn)推出ＢＥ＝ＥＣ，ＣＦ＝ＦＤ

由在菱形ＡＢＣＤ可得ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ∠Ｂ＝∠Ｄ

２．由結(jié)果入手“由果索因”的推理

要證明ＡＢＥ≌ＡＤＦ得先熟練掌握全等的判定定理（ＡＡＳ，ＡＳＡ，ＳＳＳ，ＨＬ），是用哪一個(gè)判定定理得先作簡(jiǎn)單思考。

通過１的分析已得出ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ∠Ｂ＝∠Ｄ，證明三角形全等已得到了一條邊和一個(gè)角，再找一條鄰邊即可以判定全等了。于是再綜合分析“由Ｅ，Ｆ分別是ＢＣ，ＣＤ的中點(diǎn)推出ＢＥ＝ＥＣ，ＣＦ＝ＦＤ”和“由在菱形ＡＢＣＤ可得ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ”這兩個(gè)結(jié)論可推出：ＢＥ＝ＥＣ＝ＣＦ＝ＦＤ

到此學(xué)生可以分析結(jié)果先可作出判斷用“ＳＡＳ”來證明全等，再根據(jù)思路寫出證明過程就完成了。

（４）添加輔助元素。在幾何學(xué)中用來幫助解答疑難幾何圖形問題是在原圖基礎(chǔ)之上另外所作的具有極大價(jià)值的直線或者線段。我們作輔助線的目的你要明確，就是將我們不常見的圖形轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的知識(shí)來解答和證明。這種方法需要一定的解題經(jīng)驗(yàn)和掌握牢固的基礎(chǔ)知識(shí)作支撐。例如給我們?nèi)切文尺呏悬c(diǎn)，我們就要想到是否要連出中位線。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對(duì)角線，或補(bǔ)形，等等。

例如：如圖，過邊長(zhǎng)為１的等邊三角形的邊ＡＢ上一點(diǎn)Ｐ作ＰＥＡＣ于點(diǎn)Ｅ，Ｑ為ＢＣ延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)ＰＡ＝ＣＱ時(shí)，連接ＰＱ交ＡＣ邊于Ｄ。求證ＤＥ＝１／２。

解題思路分析：

過Ｐ作ＢＣ的平行線，交ＡＣ于Ｍ，則ＡＰＭ也是等邊三角形；在等邊三角形ＡＰＭ中，ＰＥ是ＡＭ上的高，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)知ＡＥ＝ＥＭ；易證得ＰＭＤ≌ＱＣＤ，則ＤＭ＝ＣＤ；此時(shí)發(fā)現(xiàn)ＤＥ的長(zhǎng)正好是ＡＣ的一半，由此得解。

解答：解：過Ｐ作ＰＭ∥ＢＣ，交ＡＣ于Ｍ；

易知ＡＰＭ是等邊三角形；

又ＰＥＡＭ，

ＡＥ＝ＥＭ；（等邊三角形三線合一）

ＰＭ∥ＣＱ，

∠ＰＭＤ＝∠ＱＣＤ，∠ＭＰＤ＝∠Ｑ；

又ＰＡ＝ＰＭ＝ＣＱ，

ＰＭＤ≌ＱＣＤ；

ＣＤ＝ＤＭ；

又ＤＥ＝ＤＭ＋ＭＥ，ＡＥ＋ＥＭ＋ＭＤ＋ＤＣ＝１

ＤＥ＝１／２

此題考查了平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)；能夠正確的構(gòu)建出等邊三角形ＡＰＭ是解答此題的關(guān)鍵。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在幾何題證明過程中，常對(duì)如何添加輔助線甚感困惑。其實(shí)，添加輔助線因題而異，其主要作用是集中題目的分散“元素”，使隱含條件明朗化。本題主要是根據(jù)已知條件和待證結(jié)論，把有關(guān)的“元素”遷移、靠攏、集中起來組成相關(guān)圖形。有時(shí)還可以按已知條件的引申來添加。擴(kuò)大和產(chǎn)生更多的已知條件，使隱含條件凸顯出來，以架設(shè)鋪向結(jié)論推導(dǎo)的“橋梁”。

（５）反證法。當(dāng)論題從正面不容易或不能得到證明時(shí)，就需要運(yùn)用反證法，此即所謂“正難則反”。牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦??！狈醋C法是“間接證明法”的一種，是從反面的角度證明的方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而得出矛盾。具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結(jié)論的否定當(dāng)做條件，使之得到與條件相矛盾，肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”，否則就不是反證法。

例如：請(qǐng)說明如果兩條直線相交為什么只有一個(gè)交點(diǎn)？

解題思路分析：

“如果兩條直線相交為什么只有一個(gè)交點(diǎn)”這個(gè)命題的題設(shè)是兩條直線相交，結(jié)論是只有一個(gè)交點(diǎn)。

假設(shè)兩條直線相交有不止一個(gè)交點(diǎn)，則至少有兩個(gè)交點(diǎn)。

這樣，過兩點(diǎn)就可以做兩條直線。

這個(gè)過兩點(diǎn)有且只有一條直線的公理矛盾。

這樣假設(shè)便是錯(cuò)誤的。

于是兩條直線相交有且只有一個(gè)交點(diǎn)用反證法得以證明是正確的了。

像上題中欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁