山東省德州市樂陵2023-2024學(xué)年高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

山東省德州市樂陵一中2023-2024學(xué)年高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知方程小|+y|y|=-1表示的曲線為y=/O)的圖象，對于函數(shù)y=/(%)有如下結(jié)論：①在(―8,收)上

單調(diào)遞減；②函數(shù)人＞)=/(%)+%至少存在一個零點；③丁=/(N)的最大值為1；④若函數(shù)g(x)和/Xx)圖象關(guān)于

原點對稱，則y=g(x)由方程引[+乂乂=1所確定；則正確命題序號為()

A.①③B.②③C.①④D.②④

2.已知mb是平面內(nèi)互不相等的兩個非零向量，且同=1,與匕的夾角為150,則W的取值范圍是()

A.(0,V3]B.[1,V3]C.(0,2]D.[6,2]

3.中國古典樂器一般按“八音”分類.這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類的方法，最先見于《周禮?春

官?大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏(pao),竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”

為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂器的概率為()

31112

A.—B.—C.—D.一

1414147

4.某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支(單位：萬元)如圖2所示，則該單

位去年的水費開支占總開支的百分比為()

5.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為()

正視圖側(cè)視圖

1011

A.3B.C.—D

T3-I

x+y-2W0

三的最小值為

6.已知實數(shù)x,y滿足約束條件x-2y-2<0,則目標(biāo)函數(shù)z=

x>l

22

A.B.

34

4J_

C.D.

32

7.關(guān)于函數(shù)/(x)=4sin[gx+q]+4cos[gx+g],有下述三個結(jié)論:

7T

①函數(shù)/■（*）的一個周期為一；

2

IT37r

②函數(shù)/（X）在上單調(diào)遞增;

24

③函數(shù)/Xx）的值域為[4,4a].

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①②B.②C.②③D.③

3

8.一個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結(jié)果是:，則判斷框中應(yīng)填入的條件是（

C.z>4?D.z<4?

9.已知圓錐的高為3,底面半徑為6,若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積與圓錐的

體積的比值為（）

25

D.——

9

10'下列四個圖象可能是函數(shù),二臂產(chǎn)圖象的是（

)

1?

11.若函數(shù)/（*）=3*3+*2一：在區(qū)間3,。+5）上存在最小值，則實數(shù)。的取值范圍是

A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(-3,0)

12.已知向量匕=（1,2）,&=（2,-2）,c=（2,-l）,若0〃（2&+沙），則％=（）

11

A.—2B.—1C.------D.一

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知圓O：/+y=4,直線/與圓。交于尸，Q兩點，4（2,2）,若4產(chǎn)+人。2=40,則弦PQ的長度的最大

值為.

14.在ABC中，AB=j3>BC=1,ZC=—,則AC=.

15.已知關(guān)于x的不等式》-。也x21對于任意%€(1,+8)恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為.

X

16.數(shù)列｛%｝的前幾項和為S“,％=2'=(1—=log2a“，則數(shù)列<>的前〃項和7；=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)_ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c9已知ccos6-加加C=O,cosA-cos2A.

(1)求c；

⑵若。=2,求，ABC的面積SABC

1

%=—+cosa

2(a為參數(shù)).以原點。為極點，x軸

18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

y=-----1-sma

2

的正半軸為極軸，且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位，建立極坐標(biāo)系.

jr

(1)設(shè)直線/的極坐標(biāo)方程為，=土，若直線/與曲線C交于兩點A.B,求45的長;

12

77

(2)設(shè)V、N是曲線C上的兩點，若/MON=—,求AOMN面積的最大值.

2

19.(12分)2019年是中華人民共和國成立70周年.為了讓人民了解建國70周年的風(fēng)雨歷程，某地的民調(diào)機構(gòu)隨機

選取了該地的100名市民進行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：［20,30),［30,40),…，［70,80］,并繪制了如圖所示的

頻率分布直方圖.

(1)現(xiàn)從年齡在［20,30),［30,40),［40,50)內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機選取3人進

行座談，用X表示年齡在［30,40))內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調(diào)查，其中有左名市民的年齡在［30,50)

的概率為尸(X=k)(Z=0,L2,…,20).當(dāng)P(X=k)最大時,求左的值.

22

20.(12分)橢圓。：「+與=l(a>b>0)的右焦點下(、歷,0)過點尸且與x軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為

a2b2

3拒.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(2,0)且斜率不為0的直線與橢圓C交于"，N兩點.。為坐標(biāo)原點，A為橢圓C的右頂點，求四邊形

OMAN面積的最大值.

21.(12分)如圖，在直三棱柱—中，AB=BC=AAi=l,AC=?,點DE分別為AC和四￡的中點.

(I)棱A4上是否存在點尸使得平面平面4狙？若存在，寫出K4的長并證明你的結(jié)論；若不存在，請說

明理由.

(II)求二面角A—BE—。的余弦值.

22.(10分)一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端.某種植戶對一塊地的”(〃eN*)

個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為5，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立.對每一個坑而言，

如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進行補播種，否則要補播種.

(1)當(dāng)〃取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？

(2)當(dāng)〃=4時，用X表示要補播種的坑的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

分四類情況進行討論，然后畫出相對應(yīng)的圖象，由圖象可以判斷所給命題的真假性.

【詳解】

(1)當(dāng)x?0,yNO時，x2+y2=-1,此時不存在圖象

(2)當(dāng)xNO,y<0時，y2-%2=1,此時為實軸為V軸的雙曲線一部分；

22

(3)當(dāng)x<0,yNO時，x-y^l,此時為實軸為x軸的雙曲線一部分；

(4)當(dāng)x<0,y<0時，x2+y2=1,此時為圓心在原點，半徑為1的圓的一部分;

對于①，/Xx)在(-?,收)上單調(diào)遞減，所以①正確；

對于②，函數(shù)、=/(%)與丁=一兀的圖象沒有交點，即/。)=/(%)+%沒有零點，所以②錯誤；

對于③，由函數(shù)圖象的對稱性可知③錯誤；

對于④，函數(shù)g(x)和/(%)圖象關(guān)于原點對稱,則為W+y|N=T中用一X代替X,用代替y,可得引)+為國=1,

所以④正確.

故選：C

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的零點概念，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

2、C

【解析】

試題分析：如下圖所示，A8=a,AD=d則AC=DB=a—b，因為a—〃與6的夾角為150，即NZMB=150°,

所以NAD5=30。，設(shè)/4=6,則0<。<150。，在三角形?中，由正弦定理得同=」人,所以

sin30°sin。

|/?|=———xsin￡=2sin。，所以0＜蚓＜2,故選C.

IIsin30011

D

一，

a-bI\

\\I1

X

C

考點：L向量加減法的幾何意義；2.正弦定理；3.正弦函數(shù)性質(zhì).

3、B

【解析】

分別求得所有基本事件個數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】

從“八音”中任取不同的“兩音,，共有最=28種取法；

“兩音”中含有打擊樂器的取法共有22種取法；

—2211

一所求概率P=-=~?

2814

故選：B.

【點睛】

本題考查古典概型概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠利用組合的知識求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù).

4、A

【解析】

由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計算出水費開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費

開支占總開支的百分比.

【詳解】

250

水費開支占總開支的百分比為“，“c,ccX20%=6.25%.

250+450+100

故選：A

【點睛】

本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，如圖:

1112

直三棱柱的體積為一><2義2義2=4,消去的三棱錐的體積為一X—義2義1義2=—,

2323

210

...幾何體的體積V=4=一,故選B.

33

點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關(guān)

鍵；幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何

體的體積.

6、B

【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)z=上工的幾何意義為動點M(%,y)到定點。(-1,2)的斜率，利用數(shù)形結(jié)

x+1

合即可得到z的最小值.

【詳解】

解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

目標(biāo)函數(shù)Z=冒的幾何意義為動點M(%,y)到定點D(-l,2)的斜率,

當(dāng)M位于時，此時的斜率最小，此時，一I25.

(2Jz-=-[7r=-4

故選B.

【點睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點之間的斜率公式的計算，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

7、C

【解析】

437r1TT77r177r/(x)=4j^sin[；x+^|),再利用單調(diào)性

①用周期函數(shù)的定義驗證.②當(dāng)xe-，T時，-x+?e-，^

判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)/(%)=45*%+訃4時夫1+(71]的值域等價于函數(shù)

23

g(x)=4sin1171

x+4COS-X的值域，而g(x+i)=g(x),當(dāng)xe[O㈤時，g(x)=40sin—X~\——再求值域.

223

【詳解】

因為/[%+])=4sin17?17?171171

—xd------+4cos—xd------=4cos—XH---+4sin—XH---。/(無)，故①錯誤;

212212212212

t7137r,1八71In安\7兀，所以/(%)=4sin[(x+：]—4cos171171

當(dāng)工￡一,時，一XHE—XH——=4^/2sin|—x+—

2423122423212

1TTTT1\jrIT377

-x+—e所以/(元)在上單調(diào)遞增，故②正確;

乙JL乙J乙i'+乙?

s*+f)的值域等價于函數(shù)g(x)=4singx+4cos；x的值域，易知

函數(shù)〃尤)=4+4cos———

(23

g(x+i)=gCx),故當(dāng)xe[0,捫時，g(x)=4A/Isin[gx+g]e[4,4"],故③正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

8、D

【解析】

首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型，得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì)，然后對循環(huán)體進行分析，找出循環(huán)規(guī)律，判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次

數(shù)以及i的關(guān)系，最終得出選項.

【詳解】

經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu)，判斷框為跳出循環(huán)的語句，

第一次循環(huán)：S=0+-=-,z=l+l=2；

1x22

第二次循環(huán)：5=^+-^-=|,z=2+l=3;

22x33

213

第三次循環(huán)：S=—+—=-,z=3+l=4,

33x44

此時退出循環(huán)，根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句，.?"<4?,故選D.

【點睛】

題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：（1）不要混淆處理框

和輸入框；（2）注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；（3）注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；（4）處

理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；（5）要注意各個框的順序，（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題

中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.

9、B

【解析】

計算求半徑為R=2,再計算球體積和圓錐體積，計算得到答案.

【詳解】

如圖所示：設(shè)球半徑為R,則尺2=（3-尺）2+6=解得R=2.

4,i321廠2X32

故求體積為：Vx=-7iR=—K,圓錐的體積：V2=-7ry/3x3=3?，故/=

故選：B.

【點睛】

本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.

10、C

【解析】

首先求出函數(shù)的定義域，其函數(shù)圖象可由y=配空網(wǎng)的圖象沿x軸向左平移1個單位而得到，因為丁=辿鼠區(qū)為

XX

奇函數(shù)，即可得到函數(shù)圖象關(guān)于(-1,0)對稱，即可排除A、D,再根據(jù)x>0時函數(shù)值，排除5,即可得解.

【詳解】

：y=?的定義域為{xIx?！?},

其圖象可由y=510g3以|的圖象沿*軸向左平移1個單位而得到，

X

...y=顯空回為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，

X

：.y=皿3以+11的圖象關(guān)于點(-1,0)成中心對稱.

X+1

可排除A、。項.

當(dāng)了>0時，y=51og3—+1|>0,.?.3項不正確.

x+1

故選：C

【點睛】

本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識圖能力，一般根據(jù)四個選擇項來判斷對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個不符的選項，屬于中檔

題.

11、C

【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡圖，得到a滿足的不等式組，從而得解.

【詳解】

由題意，Ax)=x2+2x=x(x+2),故人x)在(-8,-2),(0,+3上是增函數(shù)，在(-2,0)上是減函數(shù)，作出其圖象如

圖所示.

122

令—*3+*2---=----,得x=0或*=-3,

333

__3<a<0

則結(jié)合圖象可知，\uc解得“G[—3,0),

故選C.

【點睛】

本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而研究函數(shù)的最值，屬于常考題型.

12、A

【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運算求得2a+b，由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.

【詳解】

a=（1,2）,b=（2,—2）2a+b=（4,2）

c//（2?+Z?）.-.22=-4,解得：2=-2

故選：A

【點睛】

本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題，涉及到平面向量的坐標(biāo)運算；關(guān)鍵是明確若兩向量平行，則

%=0?

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、272

【解析】

取PQ的中點為由AP2+AQ2=4O可得4以2一。加2=16,可得M在無+y+2=0上，當(dāng)最小時，弦PQ

的長才最大.

【詳解】

設(shè)"為P。的中點，2（AP2+AQr）=（2AM）2+PQr,即人尸十人。=2.2+2M02,

即40=232+2（。。2—。/），2Q=AM~+4-OM2,AM2-OM~=16.

設(shè)貝（1（%-2）2+（丁一2）2-（尤2+/）=16,^x+y+2=0,

所以。PQmm=2V2.

故答案為：2夜

【點睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的思想，是一道有一定難度的題.

14、1

【解析】

由已知利用余弦定理可得AC?+AC-2=0,即可解得AC的值.

【詳解】

解：AB=C，BC=1,ZC=—,

???由余弦定理AB1=AC2+BC2-2AC.BC.cosC，

BJ^3=AC2+1-2XACX1X(-1),整理可得：AC2+AC-2=0,

2

..?解得AC=1或-2(舍去).

故答案為：L

【點睛】

本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15、(-<?,-3]

【解析】

Xx-31nx__1

先將不等式^-x-alnx>l對于任意％e(1,+<?)恒成立，轉(zhuǎn)化為a,,-——士工任意％e(1,+8)恒成立，設(shè)

xInx

x-3\nx__i

/(%)=-——士工，求出/(九)在。，+8)內(nèi)的最小值，即可求出a的取值范圍.

Inx

【詳解】

解：由題可知，不等式g-X-alnxNl對于任意xe(l,+8)恒成立，

X

3

即rxe-x-1ee-x-1e-x-1,

%—........=-------------=---------------=-------------

InxInxInxInx

又因為x￡(l,+8),lnx>0,

廣31nx_i

：?“------對任意X￡(l,+8)恒成立，

Inx

x-31nx_i

設(shè)/(x)=------------,其中

Inx

由不等式e'Nx+1,可得:,x—31nx>x-31nx+l,

1-31nx_i

x—3Inx+1—x—1.

則小--------------------------------------二—5，

Inx

當(dāng)％—31nx=0時等號成立，

又因為x—31nx=0在(L+8)內(nèi)有解,

：.fJ(\x)/mi,n=-3,

則aW/(x)1nm=—3,即：?<-3,

所以實數(shù)。的取值范圍：(—8,—3].

故答案為：(―2―3].

【點睛】

本題考查不等式恒成立問題，利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)，通過求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和計算

能力.

【解析】

解：5,,=[-3卜用,〃22時，5,1=[-'工卜”兩式作差，得子=2,(〃22)，經(jīng)過檢驗得出數(shù)列｛4｝的通

項公式，進而求得乙,g的通項公式，裂項相消求和即可.

【詳解】

解：2時，S?_1=^l-^^an,

兩式作差,得4=11一5]。”+1-11一萬二卜，”(“22)

化簡得‘包=2,(〃22),

a”

檢驗：當(dāng)n=l時，1=弓=3g=2必=4子=2，所以數(shù)列｛叫是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；=2",

2=log?/=log?2”=n,

1111

C-.........=----------=-----------

nbnbn+ln(\n+l)/n〃+l

11111=1」n

—I------------F...H--------

334nn+1n+1n+1

故填：一、

n+1

【點睛】

本題考查求數(shù)列的通項公式，裂項相消求數(shù)列的前n項和，解題過程中需要注意n的范圍以及對特殊項的討論，側(cè)重

考查運算能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

TC3-^3

17、（1）—.

123

【解析】

(1)由已知利用正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求315=1,結(jié)合范圍5e(O,%),可求3=(,由已知利用二

倍角的余弦函數(shù)公式可得2cos2人一co%—1=0,結(jié)合范圍Ae(O,7),可求A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C

的值.

(2)由(1)及正弦定理可得b的值，根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】

（1）由已知可得ccosB=bsinC,

b

又由正弦定理，可得ccosB=csinB,即仞7山=1,

sinBsinC

Be（0,7r）,

-4

cosA=cos2A=2cos2A—1,即2cos2A—cosA—1=0,

又Ae（0,萬）,

12萬

.?.c^A=--,或1（舍去），可得A=下，

23

71

.C=7T—A—B=—.

12

（2）A=—,B=—,a=2,

v734

,.aba-sinBX72^/6

??由正弦定理.二.，可得〃-.-7=---I-，

sinAsinBsmAv33

2

A/3V2（l'x叵—屈-Q

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=----X----

22_4~

.c_1…02娓V6-V2_3-V3

..SAR0——absmC——x2x----x----------------?

c22343

【點睛】

本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的余弦函數(shù)公式，三角形的內(nèi)角和定理，兩角和的正弦

函數(shù)公式，三角形的面積公式等知識在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

18、(1)V2;(2)1.

【解析】

(1)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可；

(2)N，2，e+3；由⑴通過計算得到8=；8224113=5由126+1,即最大值為1.

【詳解】

(I)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程為［x-工］+［丁-走］=1，

即爐+y2_%_y/3y=0；

再將九2+>2=P2,x=pCOS0fy=psin8代入上式,

得夕2-pcos0-y/3psin3=0,

故曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=2sin,

顯然直線/與曲線C相交的兩點中，

必有一個為原點0,不妨設(shè)。與A重合，

即=|。同=凡=2=2sin但+白］=行.

121。12J

⑵不妨設(shè)M(g,e),力2，。+3

則一0MN面積為

c1.兀1。.(q兀)。.(n兀兀)

S=—p2sin—=—?2sin0+--2sin8+—+—

222v6)I26;

=2sin+EJcos［，+1J=sin［2,+1J

當(dāng)5詁［2，+，=1,即取時，.=1.

【點睛】

本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化，三角形面積的最值問題，是一道容易題.

3

19、(1)分布列見解析,EX=：

4

(1)7

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總?cè)藬?shù)，結(jié)合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù)；X的可能取值為0,1,1,由離

散型隨機變量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由數(shù)學(xué)期望公式即可求得其數(shù)學(xué)期望.

(D先求得年齡在［30,50)內(nèi)的頻率，視為概率.結(jié)合二項分布的性質(zhì)，表示出P(X=Q=C：o(0.35)&(1-0.35)25-、

令"

P3],化簡后可證明其單調(diào)性及取得最大值時k的值.

P(X=k-l)

【詳解】

(1)按分層抽樣的方法拉取的8人中,

0.005

年齡在［20,30)的人數(shù)為x8=1人,

0.005+0.010+0.025

0.010

年齡在［30,40)內(nèi)的人數(shù)為x8=2人.

0.005+0.010+0.025

0.025

年齡在［40,50)內(nèi)的人數(shù)為x8=5人.

0.005+0.010+0.025

所以X的可能取值為0,1,1.

C3C05

所以P(X=0)=一

p(x=i)=^C2^cl=D15

Co?28

ClC23

p(X=2)=/^=—

3

C828

所以X的分市列為

X0

5153

P

142828

3

EX=0x—+lx—+2x

284

(1)設(shè)在抽取的10名市民中，年齡在[30,50)內(nèi)的人數(shù)為X,X服從二項分布.由頻率分布直方圖可知，年齡在

[30,50)內(nèi)的頻率為(0.010+0,025)xl0=0.35,

所以X~8(20,0,35),

所以P(X=A)=《o(0.35?(1—0.35)25-=左=0.1.2,.20).

20

P(X=k)_a0(0.35)\1-0.35)^_7(21-k)

t——ji]i心一—0.1.2,',,

P(X=k—l)C%(0.35)"i(l-0.35)2i13k

若/>1,則左<7.35,P(X=k-T)〈P(X=k)；

若/<1,則左>7.35,P(X=k-l)〉P(X=k).

所以當(dāng)左=7時，P(X=Q最大，即當(dāng)「(乂=左)最大時，k=7.

【點睛】

本題考差了離散型隨機變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，二項分布的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

22

20、(1)土+匕=1(2)最大值2n.

86

【解析】

OA2l

(1)根據(jù)通徑二=3后和c=0即可求

a

(2)設(shè)直線跖V方程為％=陽+2,聯(lián)立橢圓，利用S四邊形.a~SOAM+SOAN，用含M的式子表示出

S四邊形OMAN-SOAM+SOAN,用r=，3療+2換元，

_873?_873

可得、四邊形=百]=-f，最后用均值不等式求解.

11t+-

t

【詳解】

22

解：(1)依題意有°=,a-2^2b=瓜,所以橢圓的方程為j+J=1.

86

^21=1

(2)設(shè)直線跖V的方程為無=陽+2,聯(lián)立86一，得（3,im2+4）y2+12my—12=0.

x=my+2

所以x+%=藐='.=藐二.

所以S四邊形OM42V=SOAM+SOAN=-X2卬|+；*2陽%|=陽%-

=行）（必+%）2-4%%=血83m2+2

3療+4

令1=43療+2,貝12夜，

_873?_8732—

所以四邊形?！?一”75——2,因72夜，貝心+―22夜，所以S四邊形＜2遙，當(dāng)且僅當(dāng).=夜，即加=0

tH—t

t

時取得等號，

即四邊形OMAN面積的最大值2限.

【點睛】

考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.

311

21、(I)存在點P滿足題意，且出==，證明詳見解析；(II)—.

419

【解析】

(I)可考慮采用補