第五章 三角函數(shù) 尖子生培優(yōu)卷 - 2021-2022學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

第五章三角函數(shù)尖子生培優(yōu)卷一、單選題。本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個選項符合題意。1．如圖，半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線之間，，與半圓相交于F、G兩點，與三角形ABC兩邊相交于點E、D，設弧FG的長為，，若從平行移動到，則函數(shù)的圖像大致是（）A． B．C． D．2．已知，若存在使得集合中恰有3個元素，則的取值不可能是（）A． B． C． D．3．函數(shù)（，），已知，且對于任意的都有，若在上單調，則的最大值為（）A． B． C． D．4．已知點在函數(shù)（且，，）的圖像上，直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸.若在區(qū)間上單調，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若存在實數(shù)、，使得，且，則的最大值為（）A．9 B．8 C．7 D．56．已知函數(shù)是偶函數(shù).若將曲線向左平移個單位長度后，再向上平移個單位長度得到曲線，若關于的方程在有兩個不相等實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設函數(shù)，在區(qū)間上至少有2個不同的零點，至多有3個不同的零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知，給出下列結論：①若f(x1)=1，f(x2)=﹣1，且|x1﹣x2|min=π，則ω=1；②存在ω∈(0，2)，使得f(x)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱；③若f(x)在[0，2π]上恰有7個零點，則ω的取值范圍為；④若f(x)在上單調遞增，則ω的取值范圍為.其中，所有正確結論的編號是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④二、多選題。本大題共4小題，每小題5分，共20分，每小題有兩項或以上符合題意。9．已知函數(shù)滿足：對于任意實數(shù)，都有，且，則（）A．是奇函數(shù) B．是周期函數(shù)C． D．在上是增函數(shù)10．已知函數(shù)，下列說法正確的有（）A．函數(shù)在上單調遞減B．函數(shù)是最小正周期為的周期函數(shù)C．若，則方程在區(qū)間內，最多有4個不同的根D．函數(shù)在區(qū)間內，共有6個零點11．水車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時120秒.經過t秒后，水斗旋轉到P點，設點P的坐標為，其縱坐標滿足，則下列敘述正確的是（）A．水斗作周期運動的初相為B．在水斗開始旋轉的60秒（含）中，其高度不斷增加C．在水斗開始旋轉的60秒（含）中，其最高點離平衡位置的縱向距離是D．當水斗旋轉100秒時，其和初始點A的距離為612．設函數(shù)（，是常數(shù)，，），若在區(qū)間上具有單調性，且，則下列說法正確的是（）A．的周期為B．的單調遞減區(qū)間為C．的對稱軸為D．的圖象可由的圖象向左平移個單位得到三、填空題。本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與函數(shù)的圖象相交，若自左至右的三個相鄰交點，，滿足，則實數(shù)______.14．已知函數(shù)，則下列說法正確的有________．（將所有正確的序號填在答題卡橫線上）①是函數(shù)的一個周期；②的圖象關于點中心對稱；③在區(qū)間上單調遞減④的值域為．15．在△中，已知，其中.若為定值，則實數(shù)_________.16．已知函數(shù)，的圖像在區(qū)間上恰有三個最低點，則的取值范圍為________．四、解答題。本大題共6小題，共70分，解答過程必修有必要的文字說明，公式和解題過程。17．已知函數(shù)的圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）若函數(shù)，當時，求的值域.18．已知函數(shù).（1）當時，函數(shù)的圖象關于直線對稱，求在上的單調遞增區(qū)間；（2）若的圖像向右平移個單位得到的函數(shù)在上僅有一個零點，求ω的取值范圍．19．如圖，在矩形中，點為的中點，分別為線段上的點，且．（1）若的周長為，求的解析式及的取值范圍；（2）求的最值．20．已知函數(shù).(1)解不等式；(2)若，且的最小值是，求實數(shù)的值.21．對于集合和常數(shù)，定義：為集合相對的“余弦方差”．（1）若集合，，求集合相對的“余弦方差”；（2）求證：集合相對任何常數(shù)的“余弦方差”是一個與無關的定值，并求此定值；（3）若集合，，，相對任何常數(shù)的“余弦方差”是一個與無關的定值，求出、．22．如圖，有一景區(qū)的平面圖是一個半圓形，其中O為圓心，直徑的長為，C，D兩點在半圓弧上，且，設；（1）當時，求四邊形的面積.（2）若要在景區(qū)內鋪設一條由線段，，和組成的觀光道路，則當為何值時，觀光道路的總長l最長，并求出l的最大值.參考答案1．D【解析】依題意，正的高為1，則其邊長，如圖，連接OF，OG，過O作ON⊥l1于N，交l于點M，過E作EH⊥l1于H，因OF=1，弧FG的長為，則，又，即有，于是得，，，因此，，即，，顯然在上單調遞增，且圖象是曲線，排除選項A，B，而，C選項不滿足，D選項符合要求，所以函數(shù)的圖像大致是選項D.故選：D2．A【解析】解：對A，當，，函數(shù)的周期為在一個周期內，對賦值當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；令時，所以存在使得時的值等于時的值，時的值等于時的值，時的值等于時的值.但是當?shù)扔凇?、、時，不存在使得這個值中的任何兩個相等所以當時，集合中至少有四個元素，不符合題意，故A錯誤；對B，當，，函數(shù)的周期為在一個周期內，對賦值當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；令，所以當時，符合題意，故B正確；對C，當，，函數(shù)的周期為在一個周期內，對賦值當時，；當時，；當時，；當時，；令，則，，所以當時，符合題意，故C正確；對D，當，，函數(shù)的周期為在一個周期內，對賦值當時，；當時，；當時，；令，，，所以當時，符合題意，故D正確.故選：A.3．D【解析】∵，，∴，，又對于任意的都有，∴，，∴，又，∴或，當時，，且，當時，，若，則，∴在上不單調，C錯誤，當時，，且，當時，，若，則，∴在上不單調，A錯誤，當時，，若，則，∴在上單調，D正確，故選：D.4．C【解析】∵在區(qū)間內單調，，得，所以∵是函數(shù)的零點，直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，∴，若，則，此時，得，滿足條件，若，則，此時，得，不滿足條件，綜上可知，函數(shù)，∵是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，∴，即，∵，∴，故選：C5．A【解析】因為，，所以，，，即，，，即，，則，因為，所以，，因為，所以的最大值為，故選：A.6．C【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，，解得，，則，則，向左平移個單位長度后，得到，向上平移個單位長度，得到，當時，，結合正弦函數(shù)對稱性易知，在有兩個不相等實根，則且，此時，實數(shù)的取值范圍是，故選：C.7．A【解析】解：函數(shù)，在區(qū)間上至少有2個不同的零點，至多有3個不同的零點，即在區(qū)間上至少有2個不同的根，至多有3個不同的根．，，當，則，求得；當，，方程在區(qū)間上有1個根，不滿足題意；當，，求得；當，則，方程在區(qū)間上有3個不同的根，滿足條件，此時，，當，，方程在區(qū)間上有5個不同的根，不滿足題意；當時，方程在區(qū)間上至少有5個不同的根，不滿足題意．綜上，可得，故選：A．8．D【解析】∵，∴的最小正周期為.對于①：因為f(x1)=1，f(x2)=﹣1，且|x1﹣x2|min=π，所以的最小正周期為T=2π，.故①錯誤；對于②：圖象變換后所得函數(shù)為，若其圖象關于y軸對稱，則，k∈Z，解得ω=1+3k，k∈Z，當k=0時，.故②正確；對于③：設，當時，.在上有7個零點，即在上有7個零點.則，解得.故③錯誤；對于④：由，得，取k=0，可得，若f(x)在上單調遞增，則，解得.故④正確.故選：D.9．AB【解析】解：對A，由令，得，，為奇函數(shù)，故A正確；對B，令，得是周期函數(shù)，故B正確；對C，當時，符合題意，但是，故C錯誤；對D，當時，符合題意，但是在上是減函數(shù)，故D錯誤.故選：AB.10．ACD【解析】，為偶函數(shù)，當時，，所以，又，由在為減函數(shù)可得在上單調遞減，故A正確；當時，由可得，所以函數(shù)在且上為增函數(shù)，在且上為減函數(shù)，當時，由可得，所以函數(shù)在且上為增函數(shù)，在且上為減函數(shù)，做出函數(shù)圖象如圖，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，故不是周期函數(shù)，故B錯誤；方程在區(qū)間內根的個數(shù)，等價于與的圖象的交點個數(shù)，由圖象可知最多有4個交點，故C正確；由函數(shù)圖象可得在區(qū)間有6個零點，故D正確.故選：ACD.11．AD【解析】對于A，由，知，，所以；當時，點P在點A位置，有，解得，又，所以，故A正確；對于B，可知，當，，所以函數(shù)先增后減，故B錯誤；對于C，當，，，所以點到軸的距離的最大值為6，故C錯誤；對于D，當時，，的縱坐標為，橫坐標為，所以，故D正確．故選：AD．12．ABD【解析】由在區(qū)間上具有單調性知，的周期T滿足，所以，又因為，所以，在同一個周期內且，故的一條對稱軸為，又由知的一個對稱中心為，且所求得的對稱軸與對稱中心是相鄰的，所以，得，即，A正確．又因為的一個對稱中心為，所以，，由知，，故.，解得，，B正確；，，，C錯誤；的圖象向左平移個單位得，D正確．故選：ABD．13．或【解析】解：由題知，直線與與函數(shù)的圖象相交等價于直線與函數(shù)的圖象相交設，，所以，又由得：即化簡得：①由題知點和點的中點坐標為：當直線與函數(shù)的交點在軸上方，則即，化簡得：②由①②聯(lián)立得：，所以即解得：當直線與函數(shù)的交點在軸下方，則即，化簡得：③由①③聯(lián)立得：，所以即解得：所以或故答案為：或.14．①③【解析】對于①，，是函數(shù)的一個周期，①正確；對于②，，，所以，所以的圖象不關于點中心對稱，②錯誤；對于③，當時，，，，函數(shù)單調遞減，③正確；對于④，，，，函數(shù)單調遞增，由③得函數(shù)在上單調遞減，又，，，且由①得是函數(shù)的一個周期，故函數(shù)的值域為，④錯誤；故答案為：①③.15．【解析】，∴恒成立，則，.故答案為：16．【解析】解：，，．根據(jù)正弦型函數(shù)圖象的特點知，軸左側有1個或2個最低點．①若函數(shù)圖象在軸左側僅有1個最低點，則，解得，，，此時在軸左側至少有2個最低點．函數(shù)圖象在軸左側僅有1個最低點不符合題意；②若函數(shù)圖象在軸左側有2個最低點，則，解得，又，則，故，時，在，恰有3個最低點．綜上所述，．故答案為：．17．（1）（2）18．（1）和（2）解：因為，所以，由的圖象關于直線對稱，可得，所以解得，又因為，所以當時，.所以，令，解得，又由，所以，或，即在上的單調遞增區(qū)間為和.（2）解：由已知得，令得，即，因為在上僅有一個零點，所以，由于，所以得，解得因為，所以，所以.19．(1)；(2)．【解析】(1)在中，則，又，即有，同理有，顯然為銳角，因此，，因為分別為線段上的點，當與點重合時，最大，此時，而為銳角，則，當點與重合時，最大，此時最小，同理可得最大值為，則，于是得的取值范圍為，所以；(2)由(1)知，令，則，因，則，，于是得，又，則，因在上單調遞減，當，即時，，當，即或時，，所以.20．(1)，；(2).【解析】(1)∵由，得，解集為，(2)∵，∴，，①當時，當且僅當時，取得最小值，這與已知不相符；②當時，當且僅當時，取最小值，由已知得，解得；③當時，當且僅當時，取得最小值，由已知得，解得，這與相矛盾.綜