運(yùn)城市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

運(yùn)城市重點中學(xué)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、

艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“―”表示一個陽爻，表示一個陰爻）.若從含有兩個及以上陽

爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中都恰有兩個陽爻的概率為（）

23

C.一D.-

34

r2V24

2.已知雙曲線C：—-<-=1（?>0,外0）的右焦點為尸，過原點O作斜率為一的直線交C的右支于點A,若|04|=|0尸

a-b-3

則雙曲線的離心率為（）

A.73B.75C.2D.73+1

3.設(shè)命題P：\fa,b&R,卜一百<時+問，則力為

A.y^a,b&R,|a-Z?|>|?|+|Z?|B.3a,b&R,<|a|+|Z?|

C.Ba,b^R,|a-Z?|>|a|+|/?|D.Ba,b^R,|a-/?|>|a|+|Z?|

2

4.已知雙曲線C的一個焦點為（0,5）,且與雙曲線>2=i的漸近線相同，則雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

22222

A.%2--=1B.匕-土=1C.土-匕=1D.y1----=1

4520205-4

5.已知|2a+W=2,a-be[-4,0],則同的取值范圍是（）

1,

A.[0,1]B.~,1C.[1,2]D.[0,2]

6.函數(shù)/(x)=/+G；(a<0)的圖像可以是()

22

7.已知橢圓工+々=1（。〉6〉0）的焦點分別為月，F(xiàn)2,其中焦點工與拋物線V=2px的焦點重合，且橢圓與拋

ab

物線的兩個交點連線正好過點工，則橢圓的離心率為（）

J7

A.B.72-1C.3—20D.73-1

2%+y-2?0

8.已知滿足不等式組<x-2y-lW0,則點P（羽y）所在區(qū)域的面積是（）

x>0

54

A.1B.2C.-D.-

45

9.在正方體A3CD-4旦a。中，球。同時與以A為公共頂點的三個面相切，球。2同時與以G為公共頂點的三個

r,

面相切，且兩球相切于點尸.若以廠為焦點，A4為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過Q,C，設(shè)球Q，的半徑分別為'，々則,=

r2

()

A.必二1B.g—JIC.1—立D.2—g

22

x+y>-\

10.若實數(shù)羽y滿足不等式組<x—2yV—l，則2x—3y+4的最大值為()

2x-y-l<0

A.-1B.-2C.3D.2

11.將3個黑球3個白球和1個紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排

法共有()

A.14種B.B種C.16種D.18種

12.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若S2=3,54=10,則￡=()

A.21B.22C.11D.12

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2-|x|,x<2,

1

13.已知函數(shù)/")=｛'2函數(shù)g(x)=b—"2—x),其中beR,若函數(shù)y=/(同一g(x)恰

(九一2),x>2,

有4個零點，則b的取值范圍是.

14.在三棱錐尸-43c中，AB=5,BC=3,C4=4,三個側(cè)面與底面所成的角均為60。，三棱錐的內(nèi)切球的表面

積為.

15.已知向量/〃=(―2,1)，〃=(4,y),若7〃_1_"，則〔2加+，=.

16.已知直線x—y+a=0與圓心為。的圓x2+y2+2x—4y—4=0相交于A,3兩點，且ACLBC,則實數(shù)。的值

為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

221

17.(12分)已知橢圓C：=+4=1(a>Z?>0),與x軸負(fù)半軸交于A(—2,0),離心率e=—.

/b12

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線/：>=履+m與橢圓C交于"(%,%),N(尤2,%)兩點，連接AM，AN并延長交直線％=4于石(毛,為)，

,、1111

廠(左4，乂)兩點，已知—+—=—+—，求證：直線恒過定點，并求出定點坐標(biāo).

18.(12分)已知函數(shù)〃x)=e—2x.

(1)若曲線y=/(九)的切線方程為y=ox+l,求實數(shù)。的值；

(2)若函數(shù)0(%)=時(%)+2初%-無2+3在區(qū)間［-2,4］上有兩個零點，求實數(shù)加的取值范圍.

19.(12分)如圖，在四棱錐尸—ABCD中，底面ABC。，AD±AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,

AB=1,點E為棱PC的中點.

/

(1)證明：BELDC：

(2)求直線班;與平面尸瓦)所成角的正弦值；

(3)若歹為棱PC上一點，滿足BFLAC,求二面角尸—A3—P的余弦值.

20.(12分)在平面四邊形ABC。中，已知NABC=——,AB±AD,AB=1.

4

(1)若AC=5,求ABC的面積；

(2)若sinZCAD=半,=4,求CD的長.

21.(12分)車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對之前加工的100個零件的加工時間進(jìn)行

統(tǒng)計，結(jié)果如下：

加工1個零件用時X(分鐘)20253035

頻數(shù)(個)15304015

以加工這100個零件用時的頻率代替概率.

(1)求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX；

(2)劉師傅準(zhǔn)備給幾個徒弟做一個加工該零件的講座，用時40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個該零

件作示范.求劉師傅講座及加工2個零件作示范的總時間不超過100分鐘的概率.

22.(10分)max{m,”}表示根，九中的最大值，如max{3,、而}=a6,己知函數(shù)/(x)=max{尤？—1,21n%},

g(x)=max<x+lnx,-x2+/-^%+2a2+4a>.

(1)設(shè)〃(x)=/(x)—3、—J(x—Ip,求函數(shù)可尤)在(0,1］上的零點個數(shù)；

(2)試探討是否存在實數(shù)ae(—2,+8),使得g(x)<5%+4。對xe(a+2,+8)恒成立？若存在，求。的取值范圍;

若不存在，說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

基本事件總數(shù)為6個，都恰有兩個陽爻包含的基本事件個數(shù)為3個，由此求出概率.

【詳解】

解：由圖可知，含有兩個及以上陽爻的卦有巽、離、兌、乾四卦，

取出兩卦的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（巽，乾），（離，兌），（離，乾），（兌，乾）共6個，其中符合條件的

基本事件有（巽，離），（巽，兌），（離，兌）共3個，

31

所以，所求的概率尸=：=—.

62

故選：B.

【點睛】

本題滲透傳統(tǒng)文化，考查概率、計數(shù)原理等基本知識，考查抽象概括能力和應(yīng)用意識，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

（222

…=c/

以。為圓心，以同為半徑的圓的方程為f+V=02,聯(lián)立產(chǎn),可求出點A/--------,則

廣卞=1IC

￡

C4

整理計算可得離心率.

aylc2+b2

c

【詳解】

解：以。為圓心，以耳為半徑的圓的方程為1+丁2=。2,

\x2+y2_-c2x=-tZ--V--C-2--+--b--'

聯(lián)立2,取第一象限的解得C,

_=ib~

laby=—

b2

aylc2+b2b24

即A----------，一，則

ay/c2+￡>23

整理得（9C2-5?2）（C2-5?2）=0,

252

則c\=士＜1（舍去），c==5,

a29a2

e=—=A/5.

a

故選：B.

【點睛】

本題考查雙曲線離心率的求解，考查學(xué)生的計算能力，是中檔題.

3、D

【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.

【詳解】

因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題，：卜一目＜同+例，則"為：3a,b^R,|a-Z2|＞|a|+|/?|.

故本題答案為D.

【點睛】

本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

根據(jù)焦點所在坐標(biāo)軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合焦點坐標(biāo)求解.

【詳解】

?.?雙曲線C與上-丁=1的漸近線相同，且焦點在y軸上,

4-

22

..?可設(shè)雙曲線C的方程為右-一個焦點為（。,5）'

22

.?.左+4左=25,.?.左=5,故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二—二=1.

520

故選：B

【點睛】

此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致方程形式出錯.

5、D

【解析】

1

設(shè)機(jī)=2a+b,可得。力=a-m-2aG[-4,01,構(gòu)造(。一，加>42+。加之,結(jié)合同=2,可得a-^-me,

4164|_22_

根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.

【詳解】

設(shè)加=2〃+/?,則帆=2,

2

b-m-2a,a-b=a-m-2aG

12112I.

(a—m)2=才—a*mA---m<2-im

421616

]

|mp2=,所以可得：—

=m482

配方可得工=工機(jī)2V2(”—工加)2<4+,加2=2,

28482

1「13一

所以a--me,

又||a|—|!〃z||Va-\m<\\a\+\^-m\\

444

則同曰0,2].

故選:D.

【點睛】

本題考查了向量的運(yùn)算綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

6、B

【解析】

根據(jù)x<0,/(x)>0,可排除A,。，然后采用導(dǎo)數(shù)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：?<0,

所以當(dāng)x<0時，/(%)>0,

又/'(%)=e*+a,

令/(%)＞。,則

令，(x)v。,貝!|xvln(—a)

所以函數(shù)/(x)在(T,ln(—a))單調(diào)遞減

在(in(-a),+8)單調(diào)遞增,

故選：B

【點睛】

本題考查函數(shù)的圖像，可從以下指標(biāo)進(jìn)行觀察：(1)定義域；(2)奇偶性；(3)特殊值；(4)單調(diào)性；(5)值域，屬

基礎(chǔ)題.

7,B

【解析】

4

根據(jù)題意可得易知c=",且＜，解方程可得＜，再利用即可求解.

2

p2)2+4.2a2=4a2b2_6+12a

P

2

【詳解】

2_20+32

ci----------p

易知c/,且一24二?4

23+12

~p'b2+4p2a2=4a2b~b=--------D

2

故有,=/=3一2夜，貝Ie=13-2亞=也-1

故選:B

【點睛】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、拋物線的幾何性質(zhì)，考查了學(xué)生的計算能力，屬于中檔題

8、C

【解析】

畫出不等式表示的平面區(qū)域，計算面積即可.

【詳解】

不等式表示的平面區(qū)域如圖：

x-2y-l=0

2x+j，-2=0

直線2x+y—2=0的斜率為一2，直線％—2y—1的斜率為,，所以兩直線垂直，故A3CD為直角三角形，易得8(1,0),

2

D(0,-1),C(0,2),忸回，忸。|=向所以陰影部分面積％°=4|即.忸q=3x與x君

222224

故選：C.

【點睛】

本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.

9、D

【解析】

由題先畫出立體圖，再畫出平面處的截面圖，由拋物線第一定義可知，點。2到點尸的距離即半徑馬，也即

點。2到面CDDG的距離，點。2到直線AB,的距離即點。2到面ABB^的距離因此球內(nèi)切于正方體，設(shè)々=1,

兩球球心和公切點都在體對角線AG上，通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出4,進(jìn)而求解

【詳解】

根據(jù)拋物線的定義，點。2到點尸的距離與到直線A片的距離相等，其中點Q到點口的距離即半徑2，也即點。2到

面CDDG的距離，點02到直線AB}的距離即點02到面ABB^的距離，因此球02內(nèi)切于正方體，不妨設(shè)弓=1,兩

個球心Q,Q和兩球的切點廠均在體對角線AG上，兩個球在平面處的截面如圖所示，則

O2F=r2=1,AO2——,所以AF=AO2—O2F=A/5—1.又因為AF=AO[+O{F=+么，因此+1)彳=-\/3—1,

得。=2—0,所以工=2—g.

故選：D

【點睛】

本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化，拋物線幾何性質(zhì)的使用，內(nèi)切球的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，直觀想象與數(shù)

學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

10、C

【解析】

作出可行域，直線目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線/,平移該直線可得最優(yōu)解.

【詳解】

作出可行域，如圖由射線A3,線段AC,射線CD圍成的陰影部分(含邊界)，作直線/:2x-3y+4=0,平移直線

I,當(dāng)/過點C(U)時，2=2X一3丁+4取得最大值1.

故選：C.

【點睛】

本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，解題關(guān)鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形.

11、D

【解析】

采取分類計數(shù)和分步計數(shù)相結(jié)合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開始僅有兩個相同顏色

的排在一起

【詳解】

首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.

情況1：黑球和白球按照黑白相間排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此時將紅球插入6個球組成的7個空中

即可，因此共有2x7=14種；

情況2：黑球或白球中僅有兩個相同顏色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑

黑白”），此時紅球只能插入兩個相同顏色的球之中，共4種.

綜上所述，共有14+4=18種.

故選：D

【點睛】

本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用，插空法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

12、A

【解析】

由題意知$2,54-$2,艮-$4成等差數(shù)列，結(jié)合等差中項，列出方程，即可求出$6的值.

【詳解】

解：由｛4｝為等差數(shù)列，可知52,54-52,56-54也成等差數(shù)列，

所以2（S「S2）=S2+S6—S,，即2x（10—3）=3+S6—10,解得$6=21.

故選:A.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差中項.對于等差數(shù)列，一般用首項和公差將已知量表示出來，繼而求出首項和

公差.但是這種基本量法計算量相對比較大，如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，可使得計算量大大減少.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

7

13、

【解析】

[2-Mx<2,

仆-2)2x>2,

2-12-x|,x..0

7(2-%)={

x2,x<0

???函數(shù)yR(x)-g(x)恰好有四個零點，

???方程Ax)-g(x)=O有四個解，

即f(x)+f(2-x)-b=0有四個解，

即函數(shù)與y=Z>的圖象有四個交點,

x2+%+2,x<0

y=f(x)+f(2-x)={2,0M2,

x2-5x+8,x>2

作函數(shù)y小x)與y=b的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，

7

—<b<2

49

故答案為g，2)

點睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求

值，當(dāng)出現(xiàn)A/S))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

⑵當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量

的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.

4不

14、一

3

【解析】

先確定頂點在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱

錐的體積的三倍即可解決.

【詳解】

設(shè)頂點在底面上的射影為H,H是三角形ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑r=1.三個側(cè)面與底面所

成的角均為60。，APAB，PBC,PAC的高PD=PE=PF=2，PH=6設(shè)內(nèi)

切球的半徑為R,(1(3+4+5)x2+1x3x4)xJR=3x|x|x3x4x73=673

:.R力,內(nèi)切球表面積S=4乃R?=翊.

33

4-7T

故答案為：.

3

【點睛】

本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題，考查學(xué)生空間想象能力，本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.

15、10

【解析】

根據(jù)垂直得到y(tǒng)=8,代入計算得到答案.

【詳解】

m上“，則加?九=(—2,l)-(4,y)=_8+y=0，解得y=8,

故2加+〃=(—4,2)+(4,8)=(0,10),故|2根+“=10.

故答案為：10.

【點睛】

本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，向量模，意在考查學(xué)生的計算能力.

16、0或6

【解析】

計算得到圓心c(-1,2),半徑廠=3,根據(jù)ACL8C得到d=手，利用圓心到直線的距離公式解得答案.

【詳解】

x2+y2+2x-4y-4=0,即(％+17+(y—27=9,圓心半徑廠=3.

AC±BC,故圓心到直線的距離為4=述，即1=叱11=述，故。=6或a=0.

2V22

故答案為：。或6.

【點睛】

本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17、(1)—+^=1(2)證明見解析；定點坐標(biāo)為(LO)

43

【解析】

(1)由條件直接算出即可

y=kx+m,

-Skm4m2-12,j_j_

由/y2_得22―T7T~9由^AE可

(2)(3+4/)X+Sknvc+4m-12=0+x2%%2='AM=

----1-----1.-3+4/23+4%2

143

6y,6y21111

得為=-----，同理％=-----然后由一+—=—十—推出根=一人即可

玉+2%+2X%%”

【詳解】

c1

(1)由題有。=2,e=—=—..\c=lb2=a2-c2=3-

a2f

22

...橢圓方程為土+匕=1.

43

y=kx+m,

(2)由爐y2_得(3+4/)x2+8kmx+4m2—12=0

[43

A=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0=>m2<4^2+3

-8km4m2-12,

x'+X2=Mefam

'?%+24+23%+2

6%

同理”

x2+2

1111

又——+——=----1----

%方%”

.%+%=%+2?二+2_%%+7%+2(%+%)

"%%6%6y26yly2

???4(y1+y2)=x1y2+x2y1

:.4(何+m+Ax2+m)=x,(kx2+m)+x2{kxx+m)

(4%-m)(x1+x2)-2kxYx2+8m=0

—Skm(W-12)24(k+m)

=

；?(4左—m)-2k+8m=0=>9U

3+4k23+4左23+4左2

，m=-k,此時滿足m2<4左2+3

，y—kx+m—k{x-V)

二直線MN恒過定點(1,。)

【點睛】

涉及橢圓的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.

-IQ二

18、(1)〃=-1；(2)一2?＜加＜下或機(jī)

ee

【解析】

(1)根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點坐標(biāo)為(%,/。-2%),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程/*-e'。+1=0,構(gòu)造

函數(shù)/?(x)=X/—/+1,并求得〃(％),由導(dǎo)函數(shù)求得雙％)有最小值可0)=0,進(jìn)而可知由唯一零點/=0,即可

代入求得。的值；

(2)將/(九)解析式代入9(龍)，結(jié)合零點定義化簡并分離參數(shù)得加=寧，構(gòu)造函數(shù)g(x)={^,根據(jù)題意可

2Q

知直線y=m與曲線g(x)=三F有兩個交點；求得g'G)并令g'(x)=0求得極值點，列出表格判斷g(x)的單調(diào)

性與極值，即可確定與y=772有兩個交點時m的取值范圍.

【詳解】

(1)依題意，f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2,

設(shè)切點為(毛，*一2%),/'(40)=1一2,

XQ

\axQ+\=e-2x0

故＜Y,

e°-2=a

故-2)+1=1—2/o，則為*-/。+1=0；

令/i(x)=+1,

故當(dāng)X￡(73,0)時，/(X)＜0,

當(dāng)X￡(0,+oO)時，"(X)＞0,

故當(dāng)x=0時，函數(shù)妝％)有最小值，

由于〃(0)=0,故〃(%)=0有唯一實數(shù)根0,

即％0=。，貝(IQ=—1?

2o

(2)由0(%)=時(％)+2皿一X2+3=*"一％2+3=0,得.

2_o

所以“9(力在區(qū)間［-2,4］上有兩個零點”等價于“直線y=相與曲線g(X)=±F在xG［-2,4］有兩個交點”;

—x+2x+3

由于g'(x)=

由g<x)=0,解得%=—1,%=3.

當(dāng)x變化時，g'(x)與g(x)的變化情況如下表所示:

X[-2,-1)-1(T3)3(3，町

g'(x)—0+0—

g(x)極小值/極大值

所以g(x)在［―2,—1),(3,4］上單調(diào)遞減，在(-1,3)上單調(diào)遞增.

又因為g(-2)=e2,=—2e,

g⑶=5＜g(-2)，g(4)=5〉g(—1),

故當(dāng)-2e＜w＜?；驒C(jī)=5時，直線丁=根與曲線g(x)=2F在尤目―2,4］上有兩個交點，

即當(dāng)-2e＜根＜?或機(jī)=5時，函數(shù)以%)在區(qū)間［—2,4］上有兩個零點.

【點睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，由切線方程求參數(shù)值，構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)零點的意義及綜合應(yīng)用,

屬于難題.

19、(1)證明見解析(2)昱(3)也

310

【解析】

(1)根據(jù)題意以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點的坐標(biāo)，并表示出BE,DC,由空間向量數(shù)量積

運(yùn)算即可證明BE_LDC.

(2)先求得平面女犯的法向量，即可求得直線在:與平面法向量夾角的余弦值，即為直線魴與平面尸/犯所成角的正

弦值；

(3)由R點在棱PC上，設(shè)C/=XCP，再由BE=BC+CE，結(jié)合由空間向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求得X

的值.即可表示出3尸.求得平面咫4和平面的法向量，由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算求得兩個平面夾角的余弦值，再

根據(jù)二面角的平面角為銳角即可確定二面角F-AB-P的余弦值.

【詳解】

(1)證明：底面ABC。，AD^AB,

以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

'：AD=DC=AP^2,AB=1,點E為棱PC的中點.

.?.8(1,0,0),C(2,2,0),。(0,2,0),P(0,0,2),E(l,l,l),

.-.BE=(0,1,1),DC=(2,0,0),

BEDC=0>

.BEVDC.

(2)50=(—1,2,0),P5=(l,0,-2),

設(shè)平面的法向量為m=(x,y,z).

BD-m=0—x+2y=0

,代入可得《

PBm=x-2z=0

令y=l解得X=2,Z=1,即777=(2,1,1),

設(shè)直線BE與平面P8D所成角為a,由直線與平面夾角可知

nBE\2V3

sina-cos<n,BE>=

A-BEV6xV23

所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為昱.

3

(3)8。=(1,2,0)。=(—2,—2,2),AC=(2,2,0),

由F點在棱PC上，設(shè)=4CP=(-22,-22,22),(0<2<1),

故BF=BC+CF=(1—22,2—22,22)(0<2<1),

由即，AC,得3尸-AC=2(1—2幾)+2(2—2%)=0,

3

解得4==,

4

即研=［一?0'

設(shè)平面R3A的法向量為〃=(。也。)，

"8=0，卜°

由<，得<11,3八，

n-BF=0——a+—b+—c=0

I〔222

令c=l,則3=(0,—3,1)

取平面ABP的法向量i=(0,1,0),

則二面角尸—AB—P的平面角e滿足cos。—華叵，

\i\-\n\V1010

由圖可知，二面角尸—A3—P為銳二面角，

故二面角F-AB-P的余弦值為也.

10

【點睛】

本題考查了空間向量的綜合應(yīng)用，由空間向量證明線線垂直，求直線與平面夾角及平面與平面形成的二面角大小，計

算量較大，屬于中檔題.

20、(1)-；(2)V13.

2

【解析】

(1)在三角形ABC中，利用余弦定理列方程，解方程求得的長，進(jìn)而由三角形的面積公式求得三角形ABC的

面積.

(2)利用誘導(dǎo)公式求得cosNB4C,進(jìn)而求得sinNBAC,利用兩角差的正弦公式，求得sinNBCA,在三角形ABC

中利用正弦定理求得AC,在三角形ACD中利用余弦定理求得CD的長.

【詳解】

(1)在ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC

5=l+BC2+y/2BC^BC2+42BC-4=Q>

解得BC=亞,

=-ABBCsinAABC=lxx=

uABC2r^Tl

(2)ABAD=90°,sinZCAD=^y-

cosABAC=sinACAD^^-,sinZBAC=—

55

sinZBCA=sin[?-ABAC=4o=變邛―g=叵

225510

AC_AB

在ABC中,

sinAABCsinZBCA

…ABsinZABC

AC=------------------

sinZBCA

:.CD2=AC-+AD2-2ACADcosZCAD^5+16-2xy/5x4x^-^13.

：.CD=A

【點睛】

本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.

21、(1)分布列見解析，EX=27.75；(2)0.8575

【解析】

(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得分布列，并計算出數(shù)學(xué)期望.

(2)根據(jù)對立事件概率計算公式、相互獨立事件概率計算公式，計算出劉師傅講座及加工2個零件作示范的總時間不

超過100分鐘的概率.

【詳解】

(1)X的分布列如下：

X20253035

P0.150.300.400.15

EX=20x0.15+25x0.30+30x0.40+35x0.15=27.75.

(2)設(shè)X],X?分別表示講座前、講座后加工該零件所需時間，事件A表示“留師傅講座及加工兩個零件示范的總時

間不超過100分鐘”，

則P(A)=P(X1+X1<60)=1-P(X1+X2>60)

=1-[P(X1=30,X2=35)+P(X1=35,X2=30)+P(X1=35,X2=35)]

=1-(0.4x0.15+0.4x0.15+0.152)=0.8575.

【點睛】

本小題主要考查隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查對立事件概率計算，考查相互獨立事件概率