2024年北京市門頭溝區(qū)2024屆高三一模數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024北京門頭溝高三一模

數(shù)學(xué)

本試卷共9頁，150分。考試時(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚?/p>

結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合

題目要求的一項(xiàng)。

1.已知集合A={0』,2,3},集合3={鄧<%<4},則4B=

A.{2,3}B.[0,1,2}C.{1,2}D.[1,2,3}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足iz=3-4i,貝Uz的虛部為

A.3iB.-3iC.3D.-3

3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0,+oo)上單調(diào)遞增的是

11

A.y=x2B.y=—C.y=tan犬D.y=x\x\

x

4.已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(0,1),離心率為2,則。的標(biāo)準(zhǔn)方程為

22

A.l2_Z_=1B.-

33

22

C.y2-—=1DX-x2=l

-33

5.已知等差數(shù)列{%,}的前”項(xiàng)和為S"，若S3=30,%=4,則風(fēng)=

A.54B.63C.72D.135

6.設(shè)a>0,b>0,則“l(fā)g(a+b)>0"是“坨(仍)>0”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.在人鉆。中，ZA=120°,a=y/19,b—c=l,則ZX/WC的面積為

A3A/3n33A/3「3

2244

8.在AABC中，AB=4,AC=3,S.\AB+AC\=\AB-AC\,則AB-8C=

A.16B.-16C.20D.-20

9.在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)Rcosasin。)到直線fcc-y-3左+4=0的距離，則當(dāng)仇人變化時(shí)，d的最

大值與最小值之差為

A.2B.3C.4D.6

10.如圖，正方體ABC。-4耳GR中，點(diǎn)P為線段BQ上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是

①三棱錐A-qpc的體積為定值；

②直線AP與平面ACR所成的角的大小不變;

③直線AP與4。所成的角的大小不變；

@A,C1DP.

A.lB.2C.3D.4

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

H.(」-2x)6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答)

X

12.已知拋物線C：y=4x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，點(diǎn)M在。上，若|"F|=3,則M到直線％=-2的距離為.

13.若函數(shù)/(x)=2sin3cos鼻+Acos%(A＞0)的最大值為及，則人=

哈=----------

14.已知數(shù)列｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，S,為其前〃項(xiàng)和，平;3=16，&=14,

則生=；記看=%出為5=1,2,…)，若存在%eN*使得7；最大，則』的值為

15.設(shè)aeR,函數(shù)/(x)=一"爪＜1,,給出下列四個(gè)結(jié)論：

[x-3ax+2cr,x＞l

①當(dāng)。=1時(shí)，/(元)的最小值為-1；

4

②存在。＞0,使得/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；

③存在。＞0,使得了(無)有三個(gè)不同零點(diǎn)；

@Vas(-oo,0),/(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.(本小題13分)

如圖，在四棱錐尸-ABCD中，R4J.平面MCD,ABA.AD,

AD//BC,BC=-AD,PA=AB=2,E為棱尸3的中點(diǎn).

2

(I)求證：EC〃平面

(II)當(dāng)尸C=3時(shí)，求直線PC與平面3CE所成角的正弦值.

17.（本小題14分）

設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（a）x+（p）（co>0,\（p\<^）,已知VxeR,f（x）<f（~），/（%）在區(qū)間噌］上單調(diào),

再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)/（%）存在.

（I）求力,"的值；

（II）當(dāng)時(shí)，若曲線>=/（尤）與直線y=相恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求加的取值范圍.

條件①：與。）為函數(shù)尸個(gè)）的圖象的一個(gè)對稱中心；

條件②：直線x=￡77r為函數(shù)y=/（x）的圖象的一條對稱軸；

條件③：函數(shù)/（無）的圖象可由y=sin2x的圖象平移得到.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答

計(jì)分.

18.（本小題13分）

2024年1月H日，記者從門頭溝區(qū)兩會(huì)上獲悉，目前國道109新線高速公路（簡稱新高速）全線35

座橋梁主體結(jié)構(gòu)已全部完成，項(xiàng)目整體進(jìn)度已達(dá)到95%,預(yù)計(jì)今年上半年開始通車，通車后從西六環(huán)到門

頭溝區(qū)清水鎮(zhèn)車程將縮短到40分鐘.新高速全線設(shè)置主線收費(fèi)站兩處（分別位于安家莊和西臺子）和匝道

收費(fèi)站四處（分別位于雁翅、火村、清水和齋堂）.新高速的建成為市民出行帶來了很大便利，為此有關(guān)部

門特意從門頭溝區(qū)某居民小區(qū)中隨機(jī)抽取了200位打算利用新高速出行的居民，對其出行的原因和下高速

的出口進(jìn)行了問卷調(diào)查（問卷中每位居民只填寫一種出行原因和對應(yīng)的一個(gè)下高速的出口），具體情況如

下：

（假設(shè)該小區(qū)所有打算利用新高速出行的居民的出行相對獨(dú)立，且均選擇上表中的一個(gè)高速出口下高速）.

項(xiàng)目齋堂出口清水出口安家莊出口雁翅出口火村出口西臺子出口

上班4082532

旅游30201010128

出行161010554

（I）從被調(diào)查的居民中隨機(jī)選1人，求該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率；

（II）用上表樣本的頻率估計(jì)概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取2人，從出行

旅游的人中隨機(jī)抽取1人，這三人中從齋堂出口下高速的人數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）用上表樣本的頻率估計(jì)概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取1人，用

“4=1”表示此人從齋堂出口下高速，“5=0”表示此人不從齋堂出口下高速；從該小區(qū)所有打算利用

新高速出行旅游的人中隨機(jī)抽取1人，用“$=1”表示此人從齋堂出口下高速，"&=?！北硎敬巳瞬粡?/p>

齋堂出口下高速，寫出方差。幾。&的大小關(guān)系.

（結(jié)論不要求證明）

19.（本小題15分）

己知橢圓￡：，+/=13＞人＞0）的離心率為日，橢圓后的上頂點(diǎn)為4,右頂點(diǎn)為5,點(diǎn)。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，△AOB的面積為2.

（I）求橢圓E的方程；

（II）若過點(diǎn)尸（2,0）且不過點(diǎn)。（3,1）的直線/與橢圓E交于Af,N兩點(diǎn)，直線與直線

x=4交于點(diǎn)C,試判斷直線QV的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明

理由.

20.（本小題15分）

已知函數(shù)/'（X）=+（1-a）x.

（I）當(dāng)。=1時(shí)，求曲線＞=/（尤）在點(diǎn)（1,y（1））處的切線方程；

（II）當(dāng)。＜0時(shí)，求/（尤）的極值；

（III）當(dāng)gwaWl時(shí)，判斷了（元）零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

21.(本小題15分)

已知數(shù)列{q}：4，%,aM,數(shù)列也}:々也，%，其中M>2,且〃”白金{1,2,…,M},

i=l,2,…,M.記{%}，也}的前〃項(xiàng)和分別為S〃Z，規(guī)定跖=4=0.

記S={s,_S,.|/=1,2,---,M；J=1,2,…,/，且i<j},

(I)若{a“}:2』,3,{/??):1,3,3.寫出S,T;

(II)若5={2,3,5,6,8},寫出所有滿足條件的數(shù)列{〃“},并說明理由；

(III)若q?4+i,bt<bM(/=1,2,--?,Af-1),a2>b2,且5=7\證明：Bie{2,,Af},

使得2=aM-ax.

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

⑴A(2)D(3)D(4)C(5)B

(6)B(7)A(8)B(9)D(10)C

二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)

(11)-160(12)4

(13)ly(14)43或4

(15)②③

三、解答題共6小題，共65分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

(16)(本小題13分)

解:(I)取PA中點(diǎn)F,連接BF,EF、在4PAD中,E,F分別為「口上人的中點(diǎn),所以EFAD.EP=^AD........................1

分

因?yàn)锳DBC,BC=^AD,

所以BC〃EF,BC=EF..2分

所以四邊形BCEF為平行四邊形，因此EC〃BF、3分

又因?yàn)镋C。平面PAB,BFu平面PAB,4分

所以EC〃平面PAB.5分

(II)因?yàn)镻A_L平面ABCD,AD,ABu平面ABCD,

所以PA_LAD,PAXAB.又因?yàn)锳D±AB,

所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系人~*丫乙.......6分

因?yàn)镻A_L平面ABCD,BCu平面ABCD,

所以PA_LBC,

又因?yàn)锳B_LAD,AD〃:BC,

所以ABJ_BC,

又因?yàn)锳BAPA=A

所以BC_L平面PAB

所以BC_LPB...............7分

在RtAPBC中，PB=2V2,PC=3,可得BC=1,

又因?yàn)锽C=所以AD=2.....................8分

由題意得B(2,0,0),C(2,l,0),P(0,0,2),E(0,l,l),

所以pc==(0-1-0),BE=(-2,1，1)...............................9分

設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z),

所以「,冬二。，即y=0,

(n-BE=0,—2x+y+z=0.

令X=l,則z=2.

所以平面BCE的一個(gè)法向量為n=（l,0,2）.....................11分

所以cos<n,PC>=n.P,—,=-7^=———■....................12分

\n\-\PC\V9-V515

設(shè)直線PC與平面BCE所成角為仇則

sin0=|cos（rn'PC）\=等，

所以直線PC與平面BCF所成角的正弦值為等................13分

（17）（本小題14分）

解：（I）因?yàn)閒（x）=2sin（cox+（p）,所以f（x）的最大值為2,

又因?yàn)榇?/?"（久）/信）,所以八芻=2....................2分

選擇條件①

因?yàn)閒（x）在區(qū)間上，器］上單調(diào),且（無/3,0）為函數(shù)y=f（x）的圖象的一個(gè)對稱中心,

所以由三角函數(shù)的性質(zhì)得三=三-三=三,故周期T=TI............................3分

43124

因?yàn)?>0,所以0)=—=2,....................4分

此時(shí)f(x)=2sin(2x+(p).....................5分

方法一：

所以當(dāng)久=；時(shí)，2xg+=yr+2/CTT,々eZ,....................6分

即4=三十2k7i,k￡Z.....................7分

因?yàn)镮I<p

所以①=泉此時(shí)k=0.-8分

（如果寫成2x|+^=左加扣一分）

方法二：

因?yàn)閨<條所以2義升€仁子）——6分

所以2x；+e=?！?分

所以0=2—8分

方法三：

所以當(dāng)久=捻時(shí)，2x+=+2kn,kEZ,-6分

即=^+2kn,kEZ.--—7分

因?yàn)閨|<今所以0=今此時(shí)k=0.-一一8分

（如果寫成2x^+a=|+TH扣一分）

方法四：

因?yàn)镮I<p所以2x工+9e等）-6分

所以2x盤+0=1-7分

所以一.......8分

選擇條件②

因?yàn)閒(x)在區(qū)間上明上單調(diào)，且直線乂=*為函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸,

所以由三角函數(shù)的性質(zhì)得|=g-^=f,故周期T=?i、-3分

因?yàn)閟>0,所以2=景=2,-4分

此時(shí)f(x)=2sin(2x+(p)................5分

方法一：

所以當(dāng)％=工時(shí)，2乂工+=3+2歷1,壯乙-6分

即=g+2kjifAGZ.------7分

因?yàn)镮I<p所以9=泉此時(shí)k=0.....................8分

(如果寫成2X強(qiáng)+。=￡+k(4=4)

方法二：

因?yàn)閨|<p所以2X工+€(年號)..........6分

所以2X號+=：..........7分

所以w=g....................8分

方法三：

所以當(dāng)％=總時(shí)，2x巳+0=]+2/OT,/C6Z,....................6分

即=^+2kn,kEZ....................7分

因?yàn)閨|<今所以此時(shí)k=0.....................8分

(如果寫成2x^+9=]+k扣一分)

方法四：

因?yàn)镮I<p所以2x^+6....................6分

所以2x^+0=5....................7分

所以=；..........8分

(II)由(/)f(x)=2sin卜久+§

因?yàn)橐凰浴?尹..........9分

44636

于是，當(dāng)且僅當(dāng)2%+；=泉即久=會(huì)時(shí),f(x)取得最大值2;...........10分

當(dāng)且僅當(dāng)2刀+三=/即久=—?時(shí),f(x)取得最小值-1............................11分

又2%+1=篙即乂=押,f⑵=2si嘿=1.....................12分

所以m的取值范圍是[-1,1)U{2}.....................14分

(m的取值范圍寫對一部分扣一分)

(18)(本小題13分)

解：(I)樣本中被調(diào)查的居民人數(shù)為200,

其中利用新高速出行探親且在清水出口下高速的人數(shù)為10,

所以該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率為蓋=點(diǎn).……3分

(或記“從被調(diào)查的居民中隨機(jī)選1人，該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速”為事件A,

所以「⑷=券=云)..........3分

(直接寫出p(a)=/扣一分)

(II)從樣本中所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取1人，此人從齋堂出口下高速的概率為|；從

樣本中所有打算利用新高速出行旅游的人中隨機(jī)抽取1人，此人從齋堂出口下高速的概率為|

由題設(shè),X的所有可能取值為0,1,2,3...........4分

P(X=0)=(Jx|=?

p(x=1)=dx2xZx2+(1)2X工=2；

P(X=2)=廢x々x1x三+(-)2x-=—；

P(X=3)=(|)2X|=^)..........8分

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X0123

p2/279274/27

..........9分

所以X的數(shù)學(xué)期望FX=0x^+lxJ+2x||+3x^=g=|.............10分

=..........13分

(19)(本小題15分)

(|aZ?=2

解:(1)由題意可得(a?=。2+。2,..........3分

￡=如

1a2

a=2V2

解得b=42,..........4分

<c=V6

所以橢圓E的方程為：+4=1...........5分

82

(日)方法一：

22

當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，直線1的方程為x=2,代入橢圓方程2+5=1得丫=±1,

82

不妨設(shè)此時(shí)M(2,l),N(2,-l),.則C(4,l),

1-(-1)

直線NC的斜率k==1；6分

CN4-2

當(dāng)直線1的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=k(x-2)(后1),7分

設(shè)M(xi,yi),N(X2,y2),

；。灣2；消去丫得:

聯(lián)立方程(1+4/C2)X2-16k2x+16k2—8=0,8分

由于點(diǎn)P在橢圓E內(nèi)，所以必有△>(),

16k216fc2-8

則與+&==^r，9分

直線MQ的方程為y—1=段(％—3),

yi+%「4'

令x=4,得C(4,10分

%1—3.

yi+xi-4,

%]—3乃11分

4-X2

yi+xi-4

利?一_O3--------y2i

4T2

yi+%]4y2(力]-3)

-1

(4—x2)(x1—3)

(4—X2)(X1—3)

(憶一1)[3(%1+%2)-%1%2-8]

13分

(4一42)(第1一3)

48k216k2-8

8

(J)1+4/c21+4/c2

(4一%2)(%1-3)

48/g216M-88+32^2'

22

(fe-1)'l+4kl+4k1+4/C2

(4—X2)(X1—3)

(fc-1)=014分

(4—%2)(%1—3)

因此kCN=1,

綜上，直線CN的斜率為1.15分

方法二：

當(dāng)直線1與X軸重合時(shí)，直線1的方程為y=0時(shí)，代入橢圓方程1+。=1得%=±2V2,

o2

不妨設(shè)此時(shí).〃(一2夜，0),7(2夜，0),

直線MQ的方程為y—l=—(x-3),

令x=4,得C(4,黑)，

4+2V2Q

直線NC的斜率kCN=乎小=1；..........6分

4-2V2

當(dāng)直線1與x軸不重合時(shí)，設(shè)其方程為x=my+2,..........7分

設(shè)M&,yi),N(X2,y2),

聯(lián)立方程|X+4，］；消去*得：(/+4)必+4my-4=0,..........8分

(x=my+2

由于點(diǎn)P在橢圓E內(nèi)，所以必有A>0,

-4m—4

貝!y±+y=9分

J2m2+4'm2+4(

直線MQ的方程為曠一1=工(久一3),

丫1+巧-4'

令x=4,得C(4,10分

%1—3,

yi+xi-4,

IXi-3丫2

11

kC5N=-4--T----分

yi+-4一丫2(%1-3)

(4—%2)(%i—3)

yi+myi+24y2Oyi+23)

(4-7ny2-2)(7ny1+2-3)

(1+僧)當(dāng)一2一加乃乃+乃13分

(2-my2)(ny1-l)

(〃1+?、％2r一0-4m+,薪4m-y】

2gL2f2^+m(瑞》)

2_]

14分

my1-2'

因此kCN—1,

綜上，直線CN的斜率為1.15分

(20)(本小題15分)

解：(I)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=xlnx—

所以f(x)=lnx+l-x,..........1分

所以/(I)=-|,..........2分

所以f(l)=0,..........3分

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(l,f(l))處的為：y+|=0...............4分

(II)方法一:

f(x)的定義域?yàn)?0,+oo),且f(x)=alnx+a-x+l-a=alnx-x+l...5分

4yg(x)=f(x)=alnx-x+1

則grM=~~1..........6分

因?yàn)閍<0,x>0,所以/(%)=E-1<0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，..........7分

令f(x)=0,可得x=l,..........8分

所以F(x),f(x)的變化如下表：

X(0,1)1(l,+oo)

f(x)+0

f(x)極大值

..........9分

故函數(shù)f(x)的極大值為/(1)=|—a,無極小值...........10分

方法二：

f(x)的定義域?yàn)?0,+co),且f(x)=alnx+a-x+l-a=alnx-x+1…5分

因?yàn)閍<0,,所以alnx在(0,+co)上單調(diào)遞減,-x+l在(0,+co)上單調(diào)遞減，

所以f(x)=alnx-x+1在(0,+co)上單調(diào)遞減...........7分

以下同方法一.

(III)令f(x)=O,即axlnx—|x2+(1—a)x—0,因?yàn)閤>0,

即alnx—之尤+(1—a)=0,...........11分

令尸(久)=alnx—3尤+(1—a),所以判斷f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即判斷F(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

/(比)=±—工=嗎............12分

、，x22x

因?yàn)閨<a<1

所以令F'(x)=0,,得到x=2a,所以F(x),F(x)的變化如下表：

X(0,2a)2a

F'(x)+0