寧夏回族自治區(qū)銀川2024屆高三年級(jí)下冊(cè)第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

寧夏回族自治區(qū)銀川一中2024屆高三下學(xué)期第一次模擬考

試數(shù)學(xué)(理)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合人={尤eN|尤2_2x—3W0},B={xeR|log2023x<0),則AB=()

A.(0,1]B.[0,1]C.{1}D.0

71

2.已知E=l—,則同=().

1+1111

A.J2B.克C.2D.1

-2

3.若直線/的一個(gè)方向向量“=(1,0,1),平面a的一個(gè)法向量〃=(0,-1,1),貝!]/與a所

成角為()

,71_7171_p,2兀71_p,571

A.—B.—C.一或——D.一或一

633366

4.有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀

統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)

甲班10b

乙班C30

合計(jì)

A.列聯(lián)表中c的值為30,6的值為35

B.列聯(lián)表中c的值為15,6的值為50

C.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”

D.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”

5.已知向量a=(1,2),b=(-4,t),則()

A.若〃〃b，貝卜=8B.若儀_LA,則r=2

C.若|a+11=5,則1=2D.若〃與人的夾角為鈍角，貝卜<2

6.將頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊為尤軸非負(fù)半軸的銳角a的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò);后，交單

4

位圓于點(diǎn)尸那么cosa的值為（）

A加RV2-70n972

A?D.C.U.

1051010

7.嶺南古邑的番禺不僅擁有深厚的歷史文化底蘊(yùn)，還聚焦生態(tài)的發(fā)展.下圖1是番禺區(qū)

某風(fēng)景優(yōu)美的公園地圖，其形狀如一顆愛(ài)心.圖2是由此抽象出來(lái)的一個(gè)“心形”圖形,

這個(gè)圖形可看作由兩個(gè)函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在無(wú)軸上方的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式

可能為（）

C.y=J-x2+2國(guó)D?y=-X1+2x

8.已知A（—2,0）,5（2,0）,點(diǎn)尸滿足方程依土綺=0（帆且有|網(wǎng)—|尸理=2,

則二的取值范圍是（）

m

A.（0,1）B.（0,aC.（1,73）D.（后2）

9.若數(shù)列｛%｝滿足q=T,則“X/加，〃eN*,%+“=金?！故恰埃玻秊榈缺葦?shù)列”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

10.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a,6）可以且僅可以作曲線y=lnx的一條切線，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.a<0B.b=ln?C.a=\nbD.a<0或6=ln。

11.多項(xiàng)選擇題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有

選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得3分.若選項(xiàng)中有i（其中，=2,3,4）個(gè)選項(xiàng)符合題目要

求，隨機(jī)作答該題時(shí)（至少選擇一個(gè)選項(xiàng)）所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量。（其中，=2,3,4）,

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

則有（）

A.E（4）+2E（芻）＜3E俗）B.E值）+2￡G）＞3石信）

C.2E（/+E（或）＜3E（芻）D.2E?）+E（或）＞3E（4）

二、多選題

12.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始

終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng)（如圖甲），利用這一原理，科技

人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱

長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.勒洛四面體ABCD被平面ABC截得的截面面積是8（無(wú)-

B.勒洛四面體ABCD內(nèi)切球的半徑是4-幾

C.勒洛四面體的截面面積的最大值為2兀-2君

D.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為2-邁

2

三、填空題

13.記,,ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為4c,若asinC=?ccosA,則角A=.

14.甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生進(jìn)行某種勞動(dòng)技能比賽，決出第1名到第5名的名次.

甲、乙兩名參賽者去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍“，對(duì)乙

說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的"，從這個(gè)回答分析，5人的名次排列共可能有種不同

的情況.（用數(shù)字作答）

15.斜率為左的直線/與拋物線曠=4元相交于A,8兩點(diǎn)，與圓（X-5）2+/=9相切于

點(diǎn)M,且M為線段42的中點(diǎn)，則左=.

16.已知函數(shù)/(%)=。5垣％+685%(或。0)的圖象關(guān)于冗=巴對(duì)稱，且/(%)=§〃，則

65

sin

四、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)q=2,且("+=。(?>2).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列的前”項(xiàng)和為T"，證明：?；<|.

18.已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為1,AC=5以8。為折痕把△ABD和△CfiD折起，使點(diǎn)

A到達(dá)點(diǎn)E的位置，點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)歹的位置，E,尸不重合.

(1)求證：BDJLEF；

3

⑵若EF=j,求點(diǎn)B到平面DEF的距離.

19.某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問(wèn)題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語(yǔ)音功能

讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找

到寶寶想聽(tīng)的內(nèi)容.同時(shí)提供快樂(lè)兒歌、國(guó)學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語(yǔ)等早期教育內(nèi)容，且云端

內(nèi)容可以持續(xù)更新.萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎.為了更好地服務(wù)廣大

家長(zhǎng)，該公司研究部門從流水線上隨機(jī)抽取100件萌寵機(jī)器人(以下簡(jiǎn)稱產(chǎn)品)，統(tǒng)計(jì)

其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖(如圖1)：

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

0.025

0.023

0.020

0.017

0.011

0.004

產(chǎn)品的性能指數(shù)在［50,70）的適合托班幼兒使用（簡(jiǎn)稱A類產(chǎn)品），在［70,90）的適合小

班和中班幼兒使用（簡(jiǎn)稱2類產(chǎn)品），在［90,110］的適合大班幼兒使用（簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)品），

A,B,C,三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每件1.5,3.5,5,5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品

的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.

（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)；

（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用X（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷售量y（單位：萬(wàn)件）的影響，

對(duì)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用X,,和年銷售量y（i=l,2,3,4,5）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)

圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

55

”,

4=1i=lZ=1

16.3024.870.411.64

_]5_]5

表中％=lnx,,ui=In,u=-^Yui,=.

5i=i5i=i

根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=可以作為年銷售量y（萬(wàn)件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用X（萬(wàn)元）的

回歸方程.

（；）建立y關(guān)于x的回歸方程；

（為）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)

到最大？

（收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用，取e*59=64）.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（如巳）,（4,%）,,（%%）,其回歸直線。=&+的的斜率和截

距的最小二乘估計(jì)分別為1=a=u-ffu.

20.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:2]=1(。>6>0)的上焦點(diǎn)F是拋物線x2=40y的

焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)廠與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線交橢圓C于",N兩點(diǎn)，且唱=坐，過(guò)

\OF\3

點(diǎn)P(2〃,0)的直線/交橢圓c于A,B兩點(diǎn).

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若點(diǎn)E(-l,0),記VAPE的面積為HA8PE的面積為S2,求店三的取值范圍.

21.已知函數(shù)〃x)=：e'-3x,其中QHO.

(1)若/'(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍；

⑵若“x)Na(l-2sinx),求。的取值范圍.

x=2+2cos。一

22.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，曲線Ci的參數(shù)方程為.一in。(。為參數(shù)),以原

4

點(diǎn)為極點(diǎn),無(wú)軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為"=

l+3sin2tz

(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)若直線/：與曲線C/、曲線C2在第一象限交于P、Q,且|。。|=P。|,點(diǎn)M

的直角坐標(biāo)為(1,0),求APM。的面積.

23.不等式選講已知。，瓦c均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)〃尤)=卜-例+|尤+%|+c的最小值為4.

⑴求證：ab+bc+ca>9aZ?c；

⑵求證：6y/ab+3y[bc+2y[ca<4.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案:

1.c

【分析】

根據(jù)一元二次不等式的解法和對(duì)數(shù)不等式的解法求解.

【詳解】由尤2一2X-3V0,解得一1VXV3,

又因?yàn)閤eN,所以A={01,2,3},

又由10g2023尤4°，可得1鳴023》《1鳴0231，解得0<E,

所以8={xeR|0<xVl},

所以AB={1},

故選:C.

2.C

【分析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)Z,再根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的模的公司及即可得解.

【詳解】由三=l二=l+i,得z=(l+i『=2i,

則5=—2i,所以同=2.

故選：C.

3.A

【分析】

根據(jù)線面角的坐標(biāo)計(jì)算公式求解即可.

【詳解】設(shè)/與0所成角為昔］,

因?yàn)橹本€/的一個(gè)方向向量”=(1,0,1),平面a的一個(gè)法向量〃=(0,T,l),

所以sin6=辰s(〃,“卜1,

因?yàn)?404：,所以。=：.

26

故選：A

4.C

【分析】

根據(jù)題中條件計(jì)算可判斷選項(xiàng)A、B；根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算出K?的值，即可判斷選項(xiàng)C,D.

答案第1頁(yè)，共18頁(yè)

7

【詳解】由題意知，成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是105x(=30,

成績(jī)非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75,所以c=20,6=45,

選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，

得至Uy_105x(10x30-20x45)"

''55x50x30x75-6.109>5.024

因此有97.5%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”.

故C正確，D錯(cuò)誤，

故選：C.

5.B

【分析】

根據(jù)向量平行、垂直的坐標(biāo)表示以及模長(zhǎng)公式一一判斷求解.

【詳解】對(duì)于A,若0〃人則有l(wèi)xr=Tx2,所以r=-8,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若則有~4+2t=0,所以f=2,B正確；

對(duì)于C,a+b=(-3,t+T),所以|<?+6|="9+(r+2)2=5,

解得/=2或r=—6,C錯(cuò)誤；

若a與b的夾角為鈍角，則a.〃=—4+2f<0，即f<2,

且a與6不能共線且反向，

由A選項(xiàng)可知，當(dāng)/=-8時(shí)，b=-4a，

此時(shí)a與方共線且反向，

所以若“與6的夾角為鈍角，貝卜<2且fr-8,D錯(cuò)誤，

故選:B.

6.A

【分析】

根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，求得1+：JT的正弦值與余弦值，利用余弦的差角公式，可得答

4

案.

【詳解】由點(diǎn)尸在單位圓上，則［-3+/=1,解得y=±g,

答案第2頁(yè)，共18頁(yè)

7171

AIMI口口f71371］.4

由銳角a"。,耳卜即貝nUy=1，

^cosf6z+—>1=-—,sinfcr+—=—,

I4j5I4；5

COSa=008f（7+—--^=cosf（7+—>Icos—+sinf6Z+—>Icos—=-2x^i-+—x^-=^?-.

I44jI4j4I4j4525210

故選：A.

7.C

【分析】

利用基本不等式可求得y=W6與W2,知A錯(cuò)誤；由力4-2,0）時(shí)，丁=冗在二？<0可

知B錯(cuò)誤；根據(jù)》=尸15阿41、圖象中的特殊點(diǎn)及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可知C正確；

根據(jù)函數(shù)定義域可知D錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A,y=慟7^7=正2（4_f卜（尤2+：f］=2（當(dāng)且僅當(dāng)/=4一封，

即關(guān)=±逝時(shí)取等號(hào)），

.?.y=W"二，在（-2,2）上的最大值為2,與圖象不符，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)xe（-2,0）時(shí)，丫=川4-透<0,與圖象不符，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,.y=^2+2|%|=^-（|^|-1）2+1,...當(dāng)彳=±1時(shí)，笫皿=1；

又y=卜+2區(qū)過(guò)點(diǎn)（-2,0）,（2,0）,（0,0）；

由一二+2國(guó)20得：國(guó)（|尤|-2）40,解得：—2VxV2,即函數(shù)定義域?yàn)椋?2,2］；

又+2卜x|=y］-x2+2|.x|,

y=J-/+2同為定義在［-2,2］上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于V軸對(duì)稱；

當(dāng)xe［0,2］時(shí)，1*+2>，-"-球+1,則函數(shù)在（0』）上單調(diào)遞增，在（L2）上單調(diào)遞

減；

綜上所述：y=J-Y+2國(guó)與圖象相符,C正確；

對(duì)于D,由-d+2尤20得：0<x<2,...ynj-d+zx不存在2,0）部分的圖象,D錯(cuò)

誤.

故選：C.

答案第3頁(yè)，共18頁(yè)

8.B

【分析】根據(jù)雙曲線的定義，得到點(diǎn)P的軌跡表示以A,8為焦點(diǎn)的雙曲線C的右支，進(jìn)而求

得雙曲線的漸近線方程、=±6工，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由題意，點(diǎn)A(-2,0),3(2,0)且滿足|心-|尸3|=2,

根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)P的軌跡表示以A3為焦點(diǎn)的雙曲線C的右支，

其中2a=2,2c=4,可得a=l,c=2,則6=Jc,-/=6，

可得雙曲線C的漸近線方程為y=±-x=±y/3x,

a

ri

又因?yàn)辄c(diǎn)月滿足方程“土陽(yáng)=。(相＞。，〃＞。)，即y=±—％,

m

結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，可得0＜巴＜6,即二的取值范圍是(0,百).

mm

故選：B.

【分析】利用等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式即可判斷出結(jié)論.

5,

【詳解】解：“V加，〃eN*,am+n=aman,取m=1,則%=-0，

.?.&｝為等比數(shù)列.

反之不成立，｛4｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為q(q/0),則4+,,=-/+1,

a1A=(-/T)x(_q"T"q*,只有4=一1時(shí)才能成立滿足am+n=aman.

，數(shù)列｛%｝滿足%=-1,貝廣V機(jī)，〃wN*,是"｛%｝為等比數(shù)歹廣的充分不必要

條件.

故選：A.

答案第4頁(yè)，共18頁(yè)

10.D

【分析】

設(shè)出切點(diǎn)尸（如11?0）,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出切線，由切線經(jīng)過(guò)（見(jiàn)。）可得出一個(gè)方程，

根據(jù)題意切線只有一條，也就是轉(zhuǎn)化成關(guān)于％的方程只有一個(gè)解的問(wèn)題.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)尸（%,1啄）.因?yàn)閥=所以,

所以點(diǎn)P處的切線方程為>TnXo=—（x-x。），

玉）

又因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn)（。4），所以b-1叫=-（〃-%）,gp+1=lnx0+—.

/x0

令〃%）=lnx+qQ>0）,則y=b+l與/（x）=lnx+@（%>0）有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，

xx

,（尤2一9，

當(dāng)。<0時(shí)，盟x）>。恒成立，所以“X）單調(diào)遞增，顯然X-+8時(shí)，/⑴一母，于是符合

題意；

當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)0<x<a時(shí)，y'（x）<0,/（x）遞減，當(dāng)x>a時(shí)，f<^x）>0,/（X）遞增，所以

/W?（a）=lna+l,

貝!Jb+1=lna+1,即6=lna.

綜上，aWO或6=lna.

故選：D

11.B

【分析】分別求出i=2、i=3、i=4時(shí)E（《），再一一判斷即可；

【詳解】解：當(dāng)i=2時(shí)，的可能情況為0,3,5

選擇的情況共有：C：+C：+C；+C：=15種；

仆5）$，嗚=3）<，喉=。）=11'考

711?11

所以石值）=3X—+5X—+0X—=—

v2715151515

當(dāng)，=3時(shí)，芻的可能情況為0,3,5

選擇的情況共有：。：+。：+燒+。：=15種；

答案第5頁(yè)，共18頁(yè)

尸催尸（—）4+**尸信=。）》￡4T

所以盛）=3咯+5乂上+（^^

當(dāng)i=4時(shí),乙的可能情況為3,5

選擇的情況共有：C：+C：+C：+C：=15種；

產(chǎn)百=5）=g,P值=3）=1-g=/,

所以磯4）=5X±+3X彗=W

對(duì)于AB：E?）+2E值）=/+2*胃=%，3E值）=3x||=||,所以

E催）+2E?）＞3E侑），故A錯(cuò)誤，B正確；

11476Q69

對(duì)于CD：2E（^2）+E（^4）=2x-+—=-,3E信）=3x話二百,所以

2E仁）+磯虞）=3萬(wàn)倡），故CD錯(cuò)誤;

故選：B

12.CD

【分析】對(duì)A選項(xiàng)結(jié)合勒洛三角形得到其截面圖，利用扇形面積和三角形面積公式即可得

到答案，而A選項(xiàng)的截面積為C選項(xiàng)的最大截面積，對(duì)B選項(xiàng)需要利用正四面體的高以及

外接球半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系，得到外接球半徑為亞，再根據(jù)圖形得到勒洛四面體的內(nèi)切球半

2

徑，而此半徑即為該勒洛四面體的能夠容納的最大球的半徑，即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,

22

S^=（S^ABC-SABC）-3+SABC=^x^x2-^x2^x3+^-x2=2n-2y/3

故A錯(cuò)誤，截面示意圖如下：

對(duì)于B,由對(duì)稱性知，勒洛四面體ABCD內(nèi)切球球心是正四面體A3CD的內(nèi)切球、外接球球

答案第6頁(yè)，共18頁(yè)

心0,如圖:

正△BCD外接圓半徑QB=2-2?COS30=38,正四面體ABCD的高

133

AO,=7AB2-QB2=半，令正四面體ABCD的外接球半徑為R,

在此BOQ中，&2=1解得會(huì)

此時(shí)我們?cè)俅瓮暾爻槿〔糠掷章逅拿骟w如圖所示：

圖中取正四面體ABCD中心為。，連接8。交平面AC。于點(diǎn)E,交曲面ACD于點(diǎn)/，其中3。

即為正四面體外接球半徑R=逅，因?yàn)辄c(diǎn)ACDF均在以點(diǎn)8為球心的球面上，

2

所以6尸=A6=2,

設(shè)勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則由圖得r=O尸=-BO=AB-20=2-巫，故B錯(cuò)誤；

2

對(duì)于C,顯然勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過(guò)正四面體某三個(gè)頂點(diǎn)的截面，由對(duì)A的

分析知（S截）111ax=2萬(wàn)-2石，故C正確；

對(duì)于D,勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)

切球，所以勒洛四面體A3C。能夠容納的最大球的半徑為2-包，故D正確.

2

故選：CD.

【點(diǎn)睛】本題實(shí)際上是勒洛三角形在三維層面的推廣，對(duì)計(jì)算能力，空間想象能力要求高,

記住正四面體的高，內(nèi)切球半徑，外接球半徑與棱長(zhǎng)關(guān)系的二級(jí)結(jié)論將會(huì)加快對(duì)本題的求解.

答案第7頁(yè)，共18頁(yè)

13.—/60

【分析】

根據(jù)正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，繼而求得tanA=g,即可求解.

【詳解】因?yàn)閍sinC=^ccosA,由正弦定理得

sinAsinC=拒sinCcosA,

因?yàn)镃w(O,7r),則sinCwO,

故sinA=\/3cosA，即tanA=若，

又Ae(O㈤，所以

故答案為：y.

14.54

【分析】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三

名同學(xué)在三個(gè)位置上全排列，由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.

【詳解】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，

先排乙，有第二、三、四名3種情況，

再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3種情況，

其他三名同學(xué)排在三位置全排列有A；種，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有3x3xA；=54種，

故答案為：54.

15.土正

5

【分析】

2

設(shè)出坐標(biāo)，根據(jù)A8在拋物線上，坐標(biāo)滿足方程，兩式相減可得左=7，繼而利用

CM±四,兩直線斜率相乘等于1建立方程解出即可.

【詳解】

答案第8頁(yè)，共18頁(yè)

［玉+無(wú)2=2%,卜；=4出,

、卜1+%=2%-］尺=49，

兩式相減得(必+為)(%一y2)=4(再一工2)，

則心——=2

X］一無(wú)2%+%%

設(shè)圓心為c(5,0),貝

入0—3

2y1

因?yàn)橹本€/與圓相切，所以——弋n=T，

y0x0-5

解得X0=3,代入(丈一5)2+y2=9得

2-2非

%=土石,k=—=法=土工

%

故答案為：士正.

5

7

16.—/0.28

25

【分析】先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形，然后由題意可得*=4/+左,求得再由

/(%)=|〃可得sin［x°+弓］=1,再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式可求得結(jié)果

【詳解】/(x)=<7sinx+Z?cosx=V^2+b2sin(x+^7),abwb

...,.ba

其中=聲

由于函數(shù)的圖象關(guān)于x=￡對(duì)稱，所以/1)="2+已,

BP—a+b=\Ja2+b2,化簡(jiǎn)得6=J5a,

所以/（尤。）=asin毛+-J3acos/=2。sin（毛+三］=ga,

即sin^0+^=|,

所以

答案第9頁(yè)，共18頁(yè)

故答案為：

17.⑴%="+l(〃eN*)

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】

(1)變化條件，得到數(shù)列［含;是以每一項(xiàng)均為1的常數(shù)列，繼而可求解;

22211

⑵根據(jù)下=即,而⑵=7一繼而求出4即可?

【詳解】(1)因?yàn)榇?("+1)%T，n>2

:.工=嗎,且幺=1,

n+1n2

數(shù)列］含;是以每一項(xiàng)均為1的常數(shù)列,

則2-=1,即4=〃+l(〃wN*)；

n+1'7

(2)由(1)得。〃=〃+1,

—2=---2---<----2-----1-----1--

片(n+1)2〃(〃+2)n〃+2

11

+-------

〃32435nn+2

13

=w------<—

2n+1〃+22

18.(1)證明見(jiàn)解析；(2)叵.

7

【分析】(1)設(shè)AC,80交于點(diǎn)。，連接E。，尸0,根據(jù)題中條件，得到FOVBD,

再由線面垂直的判定定理及性質(zhì)，即可證明結(jié)論成立；

(2)根據(jù)題中條件，先得到0￡=。尸=走，BD=1,DEF和，0EF的面積，設(shè)點(diǎn)B到平

2

面DEV的距離為〃，根據(jù)等體積法，由％一"即:匕一山尸+%一神尸列出方程求解，即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：菱形A3CD中，AC1BD,設(shè)AC,BD交于點(diǎn)0,連接E。，F(xiàn)0,

則EO_LBD,FO1BD,又EO\FO=O,EOu平面歹Ou平面E0尸，

答案第10頁(yè)，共18頁(yè)

所以平面EOF；

又EFu平面EOF,所以BD_LEF；

(2)因?yàn)榱庑蜛3CD邊長(zhǎng)為1,AC=V3,所以O(shè)E=O尸=OA=OC=工AC=立，則

22

BD=2dAB，-O1=］，

222

3(IFA-OF—FF1

又EF=三,所以cos/EOP=——=則NEO尸=120,

22OEOF2

所以S。即=LoE-OQsinl20=—；

-0EF216

3

在，。所中，DE=DF=1,EF',

則cos/ED歹=ED?+DF?-EF?=一j_,所以$畝/瓦)尸=近,

2DEDF88

所以S=工DE-DF.sinNEDF=^~；

DEF216

設(shè)點(diǎn)B到平面DEF的距離為h,

由題意，VB_DEF=VB-OEF+VD-OEF

1

即3LD)CEjrF-h=3-SC/OcrEF-OB+3-St/cOrEFOD=3-S,t/cOrEFBD,

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:

求解空間中點(diǎn)尸到面a的距離的常用方法:

（1）等體積法：先設(shè)所求點(diǎn)到面的距離，根據(jù)幾何體中的垂直關(guān)系，由同一幾何體的不同

的側(cè)面（或底面）當(dāng)作底，利用體積公式列出方程，即可求解;

（2）空間向量法：先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面a的一個(gè)法向量正，以及平面a

PA-m

的一條斜線R4所對(duì)應(yīng)的向量B4,則點(diǎn)尸到面a的距離即為d=

\m\

答案第11頁(yè)，共18頁(yè)

19.（1）每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)為4元（2）（0y=64V（*該廠應(yīng)投入256萬(wàn)元營(yíng)銷

費(fèi).

【分析】（1）分別求出三類產(chǎn)品的頻率，求出分布列及其數(shù)學(xué)期望即可；

（2）（z）利用公式求出相關(guān)系數(shù)，即可求出回歸方程；（而）設(shè)年收益為z萬(wàn)元，求出z,設(shè)

蚱/，/（。=256二-「，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出z的最大值―

【詳解】（1）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為4元，則4的所有可能取值為1.5,3.5,5.5,

由直方圖可得，A,B,C三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15、0.45、0.4,

所以，P偌=15)=0.15,產(chǎn)信=3.5)=0.45,P(J=5.5)=0.4,

所以隨機(jī)變量g的分布列為:

1.53.55.5

P0.150.450.4

所以，￡^=1.5x0.15+3.5x0.45+5.5x0.4=4,

故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)為4元；

(2)(O由y=得，Iny=ln(a-x')=lna+61nx,

令〃=lnx,u=lny,c=\na,貝IJu=c+6",

由表中數(shù)據(jù)可得,

貝Uc=。-加=---0.25x---=4.159,

所以，0=4.159+0.25”，

即ln$=4.159+0.251nx=ln產(chǎn)./,

\7

1

因?yàn)?*59=64,所以夕=64/，

故所求的回歸方程為y-64戶；

(ii)設(shè)年收益為z萬(wàn)元，貝Uz=(埼)?y-x=256x：_x，

設(shè)一/，/⑺=2567——,

I——A''

答案第12頁(yè)，共18頁(yè)

則尸⑺=256-4/=4（64-/）,

當(dāng)/?0,4）時(shí),仆）>0,在（0,4）單調(diào)遞增,

當(dāng)作（4,—）時(shí)，在（4,口）單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)1=4,即x=256時(shí)，z有最大值為768,

即該廠應(yīng)投入256萬(wàn)元營(yíng)銷費(fèi)，能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大768萬(wàn)元.

【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程，屬于難題，求回歸直線方程的步驟：（1）依據(jù)樣本數(shù)

據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）計(jì)算工亍,趟,L”七其的值；（3）計(jì)

Z=1Z=1

算回歸系數(shù)a,b;（4）寫(xiě)出回歸直線方程，=%+隊(duì)

20.⑴匕+爐=1

3

⑵樣）

【分析】

（1）由題意列式求"c,即可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線/的方程為y=M%-2）,聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式整理得

進(jìn)而可得取值范圍.

【詳解】（1）

因?yàn)閂=40y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為倒，⑹，所以*0,3）,

所以附刑=上」。引=c=0.

a

因?yàn)榛?*，所以21一"，化簡(jiǎn)可得上=也，

\0F\3正-丁a3

22222

a-b=c=29解得a=3,b=1,

2

所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為^+/=1.

3

（2）

由（1）可知P（2,0）,可知過(guò)點(diǎn)尸的直線/的斜率存在且不為0,

設(shè)直線/的方程為>=左（》-2）,

答案第13頁(yè)，共18頁(yè)

y=^(x-2)

222

由，y22化簡(jiǎn)可得(k+3)x-4kx+4左2—3=0,

I3

設(shè)4（菁，乂），8（々，%），則為+%=k^'占％=▼%，

k+3k+3

由A=（-4左2『一4（r+3）（4F-3）>0,解得0</<1.

根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得|A斗忸可=，1+蚱-xj-A/1+F|2-X2|

=(1+k?12—%]卜[2—/J=(1+k2)[4—2(西+9)+玉電|

4(^2+3)-8)t2+(4F-3)9(1+巧

(1+抬)

一+3-r+3

因?yàn)閂APE的面積為HABPE的面積為S2,

設(shè)點(diǎn)E到直線/的距離為d,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得d=上%

VF+1

所以斗4同=；1忸葉d,

2

2

1，..,219F+l(-3k\|81k2813

因止匕SjS?=-\AP\-\BP\-d2=—-11-

41"1442+31正工4嚴(yán)+3一1r+3

Q1<381

因?yàn)?<左2<1,所以3<公+3<4,貝l|O<a[l-<,

k2+316

的取值范圍是.

方法點(diǎn)睛：解決解析幾何中平面圖形面積的最值或取值范圍問(wèn)題一般有三個(gè)步驟:

一是求出面積的表達(dá)式（常用直接法或分割法）;

二是得到目標(biāo)函數(shù)后，明確自變量及自變量的限制條件;

答案第14頁(yè)，共18頁(yè)

三是利用配方法、基本不等式法、單調(diào)性法等求出面積的最值或取值范圍.

21.(哨,+℃

⑵(0』.

【分析】(1)由題可得方程1三有兩個(gè)解，然后構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而即

ae

得；

(2)由題知g(x)=f(x)-a(l-2sinx)N0恒成立,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)0<aWl時(shí)

^ex-3x-a(l-2siax)>0(*),然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件可得只需證明

e，-3x+2sinx-120即可，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即得.

1

【詳解】(1)由/'(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，得方程有兩個(gè)解，

設(shè)廠(x)=稱，貝”(司="廠)，

ee

由r'(x)>0,可得尤<1,r(x)單調(diào)遞增，由r'(x)<。，可得x>l,r(x)單調(diào)遞減，

所以r(x)的最大值為廠(1)=一，當(dāng)x—+8時(shí)r(x)->0,當(dāng)x->-8時(shí)，廠(司——0,

e

所以可得函數(shù)r(x)的大致圖象，

所以，〃x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是(|,+3；

(2)設(shè)g(x)=y(x)-a(l-2sinx),gpg(x)=—e%-3x-a(l-2sinx),則g(尤)2。恒成立,

由g⑼」30,gfy^=-e?-3x^>0,可得0<aWl,

a16J〃6

答案第15頁(yè)，共18頁(yè)

ii3

下面證明當(dāng)0<a41時(shí)，一e"-3%-Q(1-2sinx)N0(*),即證fe"——x+2sinx-l>0,

aaa

令b=}貝ij證62d一3胸+2$欣—GO,^e[l,-H?),

令/z(Z?)二從3—3區(qū)+2sinx—l為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為力=—,

由(1)可知人=會(huì)工或<1,故無(wú)(。)在。?1,轉(zhuǎn))時(shí)單調(diào)遞增，

貝Ih(b)>h(l)=ex-3x+2sinx—1,

3x-2sinx+l

下面只需證明e"-3%+2sinx-1)0即可，即證-l<0,

3x—2sinx+12—3x+2sinx—2cosx

令F(x)=則尸(x)=

令q(x)=2-3x+2sinx—2cosx,貝ijg'(尤)=-3+2cos尤+2sinx=20sin|尤+'-3<0,

所以函數(shù)4(x)單調(diào)遞減,且4(0)=0,

所以當(dāng)尤<0時(shí)，F(xiàn),(x)>0,當(dāng)x>0時(shí)，b'(x)<0,

所以函數(shù)尸(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+巧上單調(diào)遞減，

故廠(力(80)=0,即3A?S+1_IV0,從而不等式(