上海市比樂中學(xué)2024屆高一下數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

上海市比樂中學(xué)2024屆高一下數(shù)學(xué)期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．四邊形，，，，則的外接圓與的內(nèi)切圓的公共弦長（）A． B． C． D．2．中國古代的“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”合稱“六藝”.某校國學(xué)社團(tuán)準(zhǔn)備于周六上午9點(diǎn)分別在6個(gè)教室開展這六門課程講座，每位同學(xué)只能選擇一門課程，則甲乙兩人至少有人選擇“禮”的概率是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，且此函數(shù)的圖象如圖所示，由點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．4．已知，則等于（）A． B． C． D．35．若是2與8的等比中項(xiàng)，則等于()A． B． C． D．326．在等比數(shù)列中，若，則（）A．3 B． C．9 D．137．已知點(diǎn)和點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（）A．12π B．45π C．57π D．81π9．的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，下列命題：（1）三邊、、既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則是等邊三角形；（2）若，則是等腰三角形；（3）若，則；（4）若，則；（5），，若唯一確定，則.其中，正確命題是（）A．（1）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（5） D．（3）（4）（5）10．若，是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．下列關(guān)于函數(shù)與的命題中正確的結(jié)論是______.①它們互為反函數(shù)；②都是增函數(shù)；③都是周期函數(shù)；④都是奇函數(shù).12．已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的通項(xiàng)______.13．記，則函數(shù)的最小值為__________．14．設(shè)a＞1,b＞1．若關(guān)于x,y的方程組無解，則的取值范圍是．15．若存在實(shí)數(shù)，使不等式成立，則的取值范圍是_______________.16．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某校為了了解甲、乙兩班的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從兩班各抽出10名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)水平測試，成績?nèi)缦?單位：分)：甲班：82848589798091897974乙班：90768681848786828583(1)求兩個(gè)樣本的平均數(shù)；(2)求兩個(gè)樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差；(3)試分析比較兩個(gè)班的學(xué)習(xí)情況．18．已知函數(shù)，其中數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．（1）若，，分別寫出數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是奇函數(shù)，且，求；（3）若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，求的最小值．19．如圖，在中，已知點(diǎn)D在邊BC上，，的面積是面積的倍，且，.（1）求；（2）求邊BC的長.20．足球，有“世界第一運(yùn)動(dòng)的美譽(yù)，是全球體育界最具影響力的單項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)之一．足球傳球是足球運(yùn)動(dòng)技術(shù)之一，是比賽中組織進(jìn)攻、組織戰(zhàn)術(shù)配合和進(jìn)行射門的主要手段．足球截球也是足球運(yùn)動(dòng)技術(shù)的一種，是將對方控制或傳出的球占為己有，或破壞對方對球的控制的技術(shù)，是比賽中由守轉(zhuǎn)攻的主要手段．這兩種運(yùn)動(dòng)技術(shù)都需要球運(yùn)動(dòng)員的正確判斷和選擇．現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行足球友誼賽，A、B兩名運(yùn)動(dòng)員是甲隊(duì)隊(duì)員，C是乙隊(duì)隊(duì)員，B在A的正西方向，A和B相距20m，C在A的正北方向，A和C相距14m．現(xiàn)A沿北偏西60°方向水平傳球，球速為10m/s，同時(shí)B沿北偏西30°方向以10m/s的速度前往接球，C同時(shí)也以10m/s的速度前去截球．假設(shè)球與B、C都在同一平面運(yùn)動(dòng)，且均保持勻速直線運(yùn)動(dòng)．（1）若C沿南偏西60°方向前去截球，試判斷B能否接到球？請說明理由．（2）若C改變（1）的方向前去截球，試判斷C能否球成功？請說明理由．21．某學(xué)校為了了解高三文科學(xué)生第一學(xué)期數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)效果.從高三第一學(xué)期期末考試成績中隨機(jī)抽取50名文科考生的數(shù)學(xué)成績，分成6組制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試?yán)么祟l率分布直方圖求的值及這50名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)的估計(jì)值；（2）該學(xué)校為制定下階段的復(fù)習(xí)計(jì)劃，從被抽取的成績在的同學(xué)中選出3位作為代表進(jìn)行座談，若已知被抽取的成績在的同學(xué)中男女比例為，求至少有一名女生參加座談的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出的外接圓與的內(nèi)切圓的方程，兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，求出弦心距，進(jìn)而可得公共弦長.【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，過作交于點(diǎn)，則，故，則為等邊三角形，故，的外接圓方程為，①的內(nèi)切圓方程為，②①-②得兩圓的公共弦所在直線方程為:,的外接圓圓心到公共弦的距離為，公共弦長為，故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓公共弦長的求解，關(guān)鍵是要求出兩圓的公共弦所在直線方程，將兩圓方程作差即可得到，是中檔題.2、D【解析】

甲乙兩人至少有人選擇“禮”的對立事件是甲乙兩人都不選擇“禮”，求出后者的概率即可【詳解】由題意，甲和乙不選擇“禮”的概率是，且相互獨(dú)立所以甲乙兩人都不選擇“禮”的概率是所以甲乙兩人至少有人選擇“禮”的概率是故選：D【點(diǎn)睛】當(dāng)遇到“至多”“至少”型題目時(shí)，一般用間接法求會(huì)比較簡單，即先求出此事件的對立事件的概率，然后即可得出原事件的概率.3、B【解析】

先由函數(shù)圖象與軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)確定該函數(shù)的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，并結(jié)合函數(shù)在該點(diǎn)附近的單調(diào)性求出的值，即可得出答案?！驹斀狻拷猓河蓤D象可得函數(shù)的周期∴，得，將代入可得，∴（注意此點(diǎn)位于函數(shù)減區(qū)間上）∴由可得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)的解析式，其步驟如下：①求、：，；②求：利用一些關(guān)鍵點(diǎn)求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入關(guān)鍵點(diǎn)求出初相，如果代對稱中心點(diǎn)要注意附近的單調(diào)性。4、C【解析】

等式分子分母同時(shí)除以即可得解.【詳解】由可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

利用等比中項(xiàng)性質(zhì)列出等式，解出即可?！驹斀狻坑深}意知，，∴．故選B【點(diǎn)睛】本題考查等比中項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題。6、A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)即可得解.【詳解】在等比數(shù)列中，，，所以，所以，.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)求數(shù)列中的項(xiàng)的關(guān)系，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算.7、D【解析】

求出A關(guān)于直線l：的對稱點(diǎn)為C，則BC即為所求【詳解】如下圖所示：點(diǎn)，關(guān)于直線l：的對稱點(diǎn)為C（0,2），連接BC,此時(shí)的最小值為故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，難度不大，屬于中檔題．8、C【解析】由三視圖可知，此組合體上部是一個(gè)母線長為5，底面圓半徑是3的圓錐，下部是一個(gè)高為5，底面半徑是3的圓柱故它的體積是5×π×32+π×32×=57π故選C9、A【解析】

由等差數(shù)列和等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)可判斷（1）；由正弦定理和二倍角公式、誘導(dǎo)公式，可判斷（2）；由三角形的邊角關(guān)系和余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷（3）；由余弦定理和基本不等式可判斷（4）；由正弦定理和三角形的邊角關(guān)系可判斷（5）．【詳解】解：若、、既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則，，則，得，得，得，則是等邊三角形，故（1）正確；若，則，則，則或，即或，則△ABC是等腰或直角三角形，故（2）錯(cuò)誤；若，則，則，故（3）正確；若，則，則，由得，則，則，故（4）正確；若，，則，即，又，若唯一確定，則或，則或，故（5）錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，以及三角形的形狀的判斷，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．10、C【解析】

A中平面，可能垂直也可能平行或斜交，B中平面，可能平行也可能相交，C中成立，D中平面，可能平行也可能相交.【詳解】A中若，，，平面，可能垂直也可能平行或斜交；B中若，，，平面，可能平行也可能相交；同理C中若，，則，分別是平面，的法線，必有；D中若，，，平面，可能平行也可能相交.故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于簡單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、④【解析】

利用反函數(shù)，增減性，周期函數(shù)，奇偶性判斷即可【詳解】①，當(dāng)時(shí)，的反函數(shù)是，故錯(cuò)誤；②，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，故錯(cuò)誤；③，不是周期函數(shù)，故錯(cuò)誤；④，與都是奇函數(shù)，故正確故答案為④【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)及其反函數(shù)的性質(zhì)，熟記其基本性質(zhì)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題12、【解析】

直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式和疊加法求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.時(shí)也成立.所以數(shù)列的通項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，疊加法在數(shù)列中的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題．13、4【解析】

利用求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，等號成立.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值不等式求最值，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.14、【解析】試題分析：方程組無解等價(jià)于直線與直線平行，所以且．又，為正數(shù)，所以（），即取值范圍是．考點(diǎn)：方程組的思想以及基本不等式的應(yīng)用．15、；【解析】

不等式轉(zhuǎn)化為，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．【詳解】由題意存在，使得不等式成立，當(dāng)時(shí)，，其最小值為，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查不等式能成立問題，解題關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．不等式能成立與不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化區(qū)別：在定義域上，不等式恒成立，則，不等式能成立，則，不等式恒成立，則，不等式能成立，則．轉(zhuǎn)化時(shí)要注意是求最大值還是求最小值．16、【解析】

根據(jù)平面向量時(shí)，列方程求出的值．【詳解】解：向量，，若，則，即，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2），，；（3）乙班的總體學(xué)習(xí)情況比甲班好【解析】試題分析：每組樣本數(shù)據(jù)有10個(gè)，求樣本的平均數(shù)利用平均數(shù)公式，10個(gè)數(shù)的平均數(shù)等于這10個(gè)數(shù)的和除以10；比較平均分的大小可以看出兩個(gè)班學(xué)生平均水平的高低，求樣本的方差只需使用方差公式，求這10個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的平方方和再除以10；比較兩組數(shù)據(jù)方差的大小就可得出兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的大小，標(biāo)準(zhǔn)差較小者成績較穩(wěn)定。試題解析：(1)＝×(82＋1＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83.2，＝×(90＋76＋86＋81＋1＋87＋86＋82＋85＋83)＝1．(2)＝×[(82－83.2)2＋(1－83.2)2＋(85－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(80－83.2)2＋(91－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(74－83.2)2]＝26.36，＝[(90－1)2＋(76－1)2＋(86－1)2＋(81－1)2＋(1－1)2＋(87－1)2＋(86－1)2＋(82－1)2＋(85－1)2＋(83－1)2]＝13.2，則s甲＝≈5.13，s乙＝≈3.2．(3)由于，則甲班比乙班平均水平低．由于，則甲班沒有乙班穩(wěn)定．所以乙班的總體學(xué)習(xí)情況比甲班好【點(diǎn)睛】怎樣求樣本的平均數(shù)，n個(gè)數(shù)的平均數(shù)等于這n個(gè)數(shù)的和除以n；比較平均數(shù)的大小可以看出兩個(gè)樣本平均水平的高低，怎樣求樣本的方差，就是求這n個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的平方方和再除以n；比較兩組數(shù)據(jù)方差的大小就可得出兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的大小，標(biāo)準(zhǔn)差較小者成績較穩(wěn)定。18、（1），；（2）；（3）1【解析】

(1)根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；(2)根據(jù)奇函數(shù)的定義得出，化簡得，解方程可得(3)將化成的形式，依題意有，從而得到，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以，兩式相減即可求解.【詳解】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，；（2）因?yàn)?，所以即，所以又由，得?）記，則，其中；因?yàn)榈膱D像關(guān)于點(diǎn)對稱，所以①因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以②②-①得，因?yàn)?，?dāng)，時(shí)，取得最小值為0【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法、三角函數(shù)的化簡以及正弦型函數(shù)圖像的性質(zhì)，考查較全面，屬于難題.19、（1）；（2）【解析】

（1）利用三角形面積公式得出和的表達(dá)式，由，化簡得出的值；（2）由結(jié)合，得出，在中，利用余弦定理得出，再由余弦定理得出，進(jìn)而得出，由直角三角形的邊角關(guān)系得出，最后由得出的長.【詳解】（1）因?yàn)?，，且，所以即，所?（2）由（1）知，所以在中，，，由余弦定理所以.且所以，解得.所以.即邊BC的長為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積公式以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.20、（1）能接到；（2）不能接到【解析】

（1）在中由條件可得，，進(jìn)一步可得為等邊三角形，然后計(jì)算運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需時(shí)間即可判斷；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，作于，求出