遼寧省大連市遼寧2023-2024學(xué)年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

遼寧省大連市遼寧師大附中2023-2024學(xué)年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫(huà)中女子神秘的微笑,，數(shù)百年來(lái)讓無(wú)數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛(ài)好者

對(duì)《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測(cè)繪，將畫(huà)中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，在嘴角AC處作圓弧的切線,

兩條切線交于3點(diǎn)，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：AB=6cm,BC=6cm,AC=10.392cm（其中且00.866）.根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)

2

果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角大約等于（）

0.392cmy

/Dem

B

2.已知集合/={]|為2—3x+2<0},N={x|y=若McN=M,則實(shí)數(shù)"的取值范圍為（）

A.（-oo,l]B.（-oo,l）C.（1,-Hx>）D.[l,+oo）

3.已知函數(shù)/（%）=；”.下列命題：①函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；③當(dāng)x=g時(shí),

X+12

函數(shù)”X）取最大值；④函數(shù)/（X）的圖象與函數(shù)y=L的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，其中正確命題的序號(hào)是（）

X

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

4.一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大

小是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

5.已知全集0=2人={1,2,3,4},3=卜卜+1）@—3）＞0,.2},則集合ArXQB）的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

5兀4萬(wàn).2萬(wàn)

A.B.——C.2+D.4+—

T3T3

“,設(shè)。=/(1114/=/(仿,。=/(111冷),

7.已知定義在R上的偶函數(shù)/（%）,當(dāng)x20時(shí),f(x)=ex-

則()

A.b>a>cB.b>a-cC.a=c>bD.c>a>b

|log3(x+l)|,xe(-l,8)

8.已知/(x)=<4若/［（加―1）/（力］一240在定義域上恒成立，則加的取值范圍是（)

——-,xe[8,+oo)

、%—6

A.(0,+oo)B.[1,2)C.[1,+<?)D.(0,1)

9.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上為減函數(shù)的是()

2

A.y=4x+lB.y=x-1C.y=D.y=log2%

10.設(shè)全集為R,集合A={x[0<x<2},B={x|x>l},則A(\B)=

A.1x|0<x<1}B.1x|0<x<1}C.1x|l<x<2jD.1x|0<x<2j

11.設(shè)兀0是定義在尺上的偶函數(shù)，且在(0,+oo)單調(diào)遞減，貝！I()

340Aa3

A./(log30.3)>/(2-°)>/(2-°-)B./(log30.3)>f(2~)>f(2-)

03A3

C.f(2~-)>C2*>/(log30.3)D.f(2~°)>f(2~°-)>/(log30.3)

12.已知集合4={-1,0,1,2},3=卜卜+1)(%—2)<0},則集合A8的真子集的個(gè)數(shù)是()

A.8B.7C.4D.3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在等比數(shù)列&｝中,03a4a5-64,a5=8,貝!）%=.

14.等邊AABC的邊長(zhǎng)為2,則在方向上的投影為

15.等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,PA=1,PB=V2.PC=2,NA=90，則AABC面積為.

16.在長(zhǎng)方體ABC。一4男如。中，AD=3,A4=A3=4,則異面直線4啰與AC所成角的余弦值為（）

.V2?2「2&n4

A?上5??----------U?

5555

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，三棱錐P—ABC中，PA=PC,AB=BC,ZAPC=120°,ZABC=9Q°，AC=^PB.

（1）求證：AC1PB；

（2）求直線AC與平面所成角的正弦值.

18.（12分）已知函數(shù)/'（x）=e?一xQaeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）=lnx+mx+l.

（1）若/（九）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）當(dāng)a=l時(shí)，％[〃％）+%]?8（%）對(duì)任意的行（0,”）恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

19.（12分）已知0＜夕＜彳，函數(shù)/（x）=Y^sin（2x+9）-cos2》.

22

（1）若（p=9,求/（%）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若/["=一：，求sin。的值.

20.（12分）如圖，在四棱錐尸—ABCD中，平面ABC。，底面ABC。是矩形，AD=PD,E,尸分別是

CD,的中點(diǎn).

（II）設(shè)45=65。=3，求三棱錐P—AEF的體積.

22

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓「+4=1（?！?〉0）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,焦距為2,直

a"b~

線/與橢圓交于C,。兩點(diǎn)（均異于橢圓的左、右頂點(diǎn)）.當(dāng)直線/過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)尸且垂直于工軸時(shí)，四邊形的

面積為6.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線AC,加的斜率分別為勺,心.

①若左2=3%,求證：直線/過(guò)定點(diǎn);

②若直線/過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)試判斷I是否為定值，并說(shuō)明理由.

左2

22.（10分）在①J§（Z?cosC-a）=csin8；②2a+c=2bcosC；③1sinA=Gasin0這三個(gè)條件中任選一

個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問(wèn)題.

在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足,b=25a+c=4,求AABC的面

積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

由已知AB=BC=6,設(shè)NABC=2，.可得sin6=—^—=0.866.于是可得。，進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】

解：依題意AB=BC=6,設(shè)ZABC=23.

貝！Isin=0.866?—.

72

：.e=-,2，="

33

設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為夕.

貝(Ia+28=4,

71

CL——.

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

2、A

【解析】

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合"的表示，求解函數(shù)>=4^二？的定義域化簡(jiǎn)集合N的表示，根據(jù)"cN=〃可以得

到集合〃、N之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行求解即可.

【詳解】

M=|x|x2-3x+2<0|={x|1<x<2},N={x|y=Jx-a}=[x\x>a].

因?yàn)镸cN=M,所以有因此有aWl.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了已知集合運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，考查了解一元二次不等式，考查了函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學(xué)

運(yùn)算能力.

3、A

【解析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數(shù)特點(diǎn)知②錯(cuò)誤；函數(shù)定義域?yàn)镽,最值點(diǎn)即為極值點(diǎn)，由/

知③錯(cuò)誤；令g(x)=〃x)-L在％>0和x<0兩種情況下知g(x)均無(wú)零點(diǎn)，知④正確.

【詳解】

由題意得：/(九)定義域?yàn)镽,

"-1)=/：2、=--=7=-/(X),.?./("為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，①正確；

(-X)+1X+17

y=sinx為周期函數(shù)，y=/+l不是周期函數(shù)，，/(九)不是周期函數(shù)，②錯(cuò)誤；

(X?+l)cosx-2xsinx((兀、

rW=-——丁,~------,彳卜0,彳不是最值，③錯(cuò)誤；

(%2+1)。⑺

1

sinx-x——

令g(x)=，(x)T=蜀-卜_________x_9

X2+1

當(dāng)x>0時(shí)，sinx<x—>0,/.g(%)<0,此時(shí)/(%)與y=(無(wú)交點(diǎn)；

9x

g(H>0,此時(shí)〃尤)與y=：無(wú)交點(diǎn)；

當(dāng)x<0時(shí)，sinx>x>—<0,/.

綜上所述：/(%)與？=:無(wú)交點(diǎn)，④正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的

求解；本題綜合性較強(qiáng)，對(duì)于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.

4、D

【解析】

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式，進(jìn)而求得1=2R即可得圓錐軸截面底角的大

小.

【詳解】

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,底面半徑為R,則有兀N+兀Rl=兀史+271K，解得1=2H,所以圓錐軸截面底角的余弦值是

R1

丁=一，底角大小為60°.

I2

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

先求B.再求求得Ac(GB)則子集個(gè)數(shù)可求

【詳解】

由題CVB=|x|(x+l)(x-3)<0,xez}={x|-l<x<3,xeZ}=={-1,0,1,2,3},則集合AnfC^B)={1,2,3}，故

其子集個(gè)數(shù)為23=8

故選C

【點(diǎn)睛】

此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算及子集個(gè)數(shù)，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題

6^A

【解析】

觀察可知，這個(gè)幾何體由兩部分構(gòu)成，：一個(gè)半圓柱體，底面圓的半徑為1,高為2；一個(gè)半球體，半徑為1,按公式計(jì)

算可得體積。

【詳解】

設(shè)半圓柱體體積為匕，半球體體積為匕，由題得幾何體體積為

V=vy,=^-xl2x2x-+-x^-xl3x-=—,故選A。

1+-2323

【點(diǎn)睛】

本題通過(guò)三視圖考察空間識(shí)圖的能力，屬于基礎(chǔ)題。

7、B

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，可判斷a，C關(guān)系；由xNO時(shí)，/(x)="-土尤2+黃2x，求得導(dǎo)函數(shù)，并構(gòu)造函數(shù)g(x)=e'-x-1,

由g'(x)進(jìn)而判斷函數(shù)/(%)在x之0時(shí)的單調(diào)性，即可比較大小.

【詳解】

Ax)為定義在R上的偶函數(shù)，

所以a=c；

r2+2%

當(dāng)xNO時(shí)，f(x)=ex-

則尸(x)=e-x—1,

令g(%)="_%_]

貝！|g'(x)=e*—1,當(dāng)x?0時(shí)，g'(x)=ex-l>0,

貝!|g(x)=e、一為一1在時(shí)單調(diào)遞增，

因?yàn)間(O)=e°—0—1=0,所以g(x)="—x—120,

即/'(x)=/—x—120,

2

則/⑴=e-三X+產(chǎn)2x在x2。時(shí)單調(diào)遞增,

而O<ln0〈夜，所以

/(lnV2)</(V2),

綜上可知，/^ln^=/(lnV2)</(V2)

即a=c<Z>,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

8、C

【解析】

QQ

先解不等式〃x)W2,可得出xN-求出函數(shù)y=/(x)的值域，由題意可知，不等式("7-§在定義

域上恒成立，可得出關(guān)于根的不等式，即可解得實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【詳解】

|log3(x+l)|,xe(-l,8)

〃力=4,、，先解不等式〃x)W2.

——-,XG[8,+CC)

①當(dāng)—l<x<8時(shí)，由/(尤)=|log3(%+l)|<2,得—2Wlog3(x+l)W2,解得—■|?xW8,此時(shí)—■|<x<8；

4

②當(dāng)時(shí)，由/(%)=——<2,得]N8.

x-6

[8

所以，不等式y(tǒng)(x)W2的解集為§>.

下面來(lái)求函數(shù)y=f(x)的值域.

當(dāng)—1<X<8時(shí)，0<x+l<9,則log3(x+l)<2,此時(shí)/(x)=|log3(x+l)|20；

當(dāng)時(shí)，x-6>2,此時(shí)/（x）=^^e（O,2］.

x—6

綜上所述，函數(shù)y=/（x）的值域?yàn)椋?。，轉(zhuǎn)），

由于/■［（7〃一1）/（司］—2<0在定義域上恒成立，

Q

則不等式（機(jī)-§在定義域上恒成立，所以，加-120,解得加

因此，實(shí)數(shù)M的取值范圍是［L+8）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，同時(shí)也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中

等題.

9、C

【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間（0,+。）上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)y=在區(qū)間（0,+”）上為增函數(shù)；

對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)丁=必—1在區(qū)間（0,+。）上為增函數(shù)；

對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)y=在區(qū)間（0,+"）上為減函數(shù)；

對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)y=10g2x在區(qū)間（0,+8）上為增函數(shù).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，熟悉一些常見(jiàn)的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

分析：由題意首先求得CRB,然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.

詳解:由題意可得:QB={x|x<l},

結(jié)合交集的定義可得：An（QB）={0<x<l}.

本題選擇B選項(xiàng).

點(diǎn)睛：本題主要考查交集的運(yùn)算法則，補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

11、D

【解析】

利用"%)是偶函數(shù)化簡(jiǎn)/(log30.3),結(jié)合〃龍)在區(qū)間(0,+。)上的單調(diào)性，比較出三者的大小關(guān)系.

【詳解】

/(X)是偶函數(shù)，/(1叫0.3)=/(—log3T)=/(log3號(hào))，

而log3y>l>2{3>2心>0,因?yàn)?(元)在(0,+8)上遞減，

t,304

.??/(log3y)</(2-)</(2-),

即/(心3。3)</(2")</(2<4).

故選:D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】

轉(zhuǎn)化條件得AB=利用元素個(gè)數(shù)為〃的集合真子集個(gè)數(shù)為2"-1個(gè)即可得解.

【詳解】

由題意得3={x|(x+l)(x-2)<o}={x|-l<x<2},

.〔A3={0,1},.?.集合A8的真子集的個(gè)數(shù)為22—1=3個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，考查了集合真子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

設(shè)等比數(shù)列{??}的公比為您再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進(jìn)而利用等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系得出=/=*=1即

可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛?！埃墓葹?.由％%%=64，得（的曠=64,解得%=4.又由%=8,得4=&=2.則

%一/_齊一L

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.

14、-1

【解析】

建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解AB在8C方向上的投影即可.

【詳解】

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知：A（0,0）,B（2,0）,C（16）,

貝！1：AB=（2,0）,BC=（-1,A/3）,ABBC=-2

且叫=2,3C=癡，

ABBC-2,

據(jù)此可知A3在BC方向上的投影為45一2一L

肛

2-C

;

?一i/—i-

-1-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量投影的定義與計(jì)算等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

【解析】

利用余弦定理計(jì)算cosN上鉆3。5僅0°-NPAB),然后根據(jù)平方關(guān)系以及三角形面積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)AB=AC=x

由題可知：

+A3?-PB?

cosNPAB=

2PAAB

「42+4。2一尸。2

cos（90°-ZPAB）==sinZPAB

2PAAC

由sin2NPAB+cos2ZPAB=1,

PA=1,PB=?，PC=2

-2-22

所以

2x

化簡(jiǎn)可得：X4-6X2+5=0

則為2=5或爐=1,即X=J?或x=1

由所以x=

所以。=”以0=3

故答案為：—

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查余弦定理解三角形，仔細(xì)觀察，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

16、C

【解析】

根據(jù)//CQ確定ZAC。是異面直線與AC所成的角，利用余弦定理計(jì)算得到答案.

【詳解】

由題意可得AC=陰=5,=CD1=40.因?yàn)?5//eq,

所以ZAC.是異面直線45與AC所成的角，記為氏

3+CD；-A。：_25+32-25_2后

故cos0=

2ACCDt-2X5X4A/2-5

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了異面直線夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)證明見(jiàn)詳解；(2)好

5

【解析】

(1)取AC中點(diǎn)。，根據(jù)ACLPQACLB。，利用線面垂直的判定定理，可得AC，平面003,最后可得結(jié)果.

(2)利用建系，假設(shè)AC長(zhǎng)度，可得AC，以及平面MB的一個(gè)法向量，然后利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)取AC中點(diǎn)。，連接0R03,如圖

由？A=PC,AB=BC

所以AC，PO,AC，8。

由POBO=O,PO,BOcOPB

所以AC,平面O/歸，又PBu平面OPB

所以ACLP3

(2)假設(shè)AC=3,

由NAPC=120°,NABC=90°，AC=^PB.

所以尸3=6,03=3,OP=走

則P§2=o§2+op2,所以。

又OPLAC,ACc03=0,AC,06u平面ABC

所以尸0,平面ABC,所以POLOB,POLOC

又OB上OC,故建立空間直角坐標(biāo)系O-孫z,如圖

「25J，I，2,y(2…J，(，，2

AC=(O,3,O),A5=f|,|,o\AP=k|,^

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=(%,y,z)

f33

-+-y=0

rn-AB=O2x2“

則4=>4r-

n-AP=O

令z=g，所以”=(1,—1,6)

ri-AC=好

則直線AC與平面245所成角的正弦值為RM

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直、線線垂直的應(yīng)用，還考查線面角，學(xué)會(huì)使用建系的方法來(lái)解決立體幾何問(wèn)題，將幾何問(wèn)題代數(shù)化,

化繁為簡(jiǎn)，屬中檔題.

18、(1))；(2)0°,1]

【解析】

(1)將/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程。=皿有兩個(gè)相異實(shí)根，令G(x)=比求導(dǎo)，利用其單調(diào)性和極值求解；

XX

Inx1InY1

(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為加《/-上土」對(duì)一切尤w(O,a)恒成立，令E(x)=/——-——(x>0),求導(dǎo)，研究單調(diào)性,

XXXX

求出其最值即可得結(jié)果.

【詳解】

(1)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)o關(guān)于X的方程em=x有兩個(gè)相異實(shí)根

由e">0，知x>0

???/(九)有兩個(gè)零點(diǎn)=。=——有兩個(gè)相異實(shí)根.

X

令G(x)=叱，則G，(x)=上乎，

XJC

由G(x)>0得：0<x<e,由G'(x)<0得：X>e,

???G(x)在(0,e)單調(diào)遞增，在(e,a)單調(diào)遞減

??口心=G(e)=j

又G(l)=0

，當(dāng)0<x<l時(shí)，G(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，G(x)>0

當(dāng)％—>H~oo時(shí)，G(x)—>0

???/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)”的取值范圍為[。,()；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，f(x)=ex-x,

原命題等價(jià)于xex>\nx+nvc+l對(duì)一切x￡（0,y）恒成立

]nY1

<^m<ex--------對(duì)一切xe(0,+8)恒成立.

xx

令*》)=/_巫_"x>0)

XX

(

:.m<F\xz)mi.n

戶（x）=/+華=表，+山》

Xx2

^h(<x^=x2ex+lnx,xe(0,+oo),則

h!(x\=2xe+x2ex+—>0

x

,五⑺在（0,+立）上單增

1-2

又/z(l)=e>0,hIe‘-l<e°-l=0

使人（X0）=0即+lnx（）=0①

當(dāng)xe(O,x())時(shí)，/z(x)<0,當(dāng)xe(xo，+ao)時(shí)，7z(%)>0,

即尸（九）在（0,%）遞減，在5,+8）遞增,

?/(xL=*%)=*-竺-J

A0人()

由①知片靖。=-lnx0

2In—

xTlnx?1,1,與

xoe0=------2-=—In—=

%0玉)工0、x0?

函數(shù)（p（x）=xe'在（0,+。）單調(diào)遞增

?1

玉)=In—即x0=-lnx0

/.F(x),=e“一二1」」+1」=1,

\/min

X。

:.m<\

實(shí)數(shù)加的取值范圍為

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問(wèn)題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和分析能力，是一道難度較大的題目.

19、(1)--+k7L,^+kn(左eZ)；(2)@±豆2.

_36」6

【解析】

(1)利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)y=f(x)的解析式為/(x)=1sinl2x+1

I，然后解不等式

--+2k7i<2x+-<-+2k7i(keZ),可得出函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

262

⑵由=T得出sin[f=?，

并求出cos。。的值，利用兩角差的正弦公式可求出sin。的值.

【詳解】

(1)當(dāng)0=2時(shí),于(x)=H-cos2x=^1+cos2x

sinf2x+?-sin2x+—cos2x

2”22

3sin2x+^cos2x—L=Lsin12尤+工

4422I62

因此，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一§+左肛％+左萬(wàn)(左eZ)；

V3.

7131sin(g+夕=是<6

-----Qs1in[]+°

244一石(3'

71715兀71715171^6

Q<(p<—9:.—<—+(0<—,—<—(D<—，cos—(p

336236(3一一彳'

n711.71_A/3出+3后

Sin(P=SinIy+^9|-y=—sin彳+。阿三+夕

32一方6

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵，屬中等題.

3

20、(I)見(jiàn)解析(II)-

4

【解析】

(I)取Q4中點(diǎn)G,連FG,GD,根據(jù)平行四邊形，可得EF//DG,進(jìn)而證得平面上鉆，平面24。，利用面

面垂直的性質(zhì)，得。G_L平面又由EF/1DG,即可得到EF_L平面上鉆.

(II)根據(jù)三棱錐的體積公式，利用等積法，即可求解.

【詳解】

(I)取E4中點(diǎn)G,連FG,GD,

由FG//AB,FG=-AB,ED//AB,ED=-AB,可得FG//ED,FG=ED,

22

可得EZJGb是平行四邊形，則EF//DG,

又PD，平面ABCD,；.平面上4。平面ABC。，

；ABLADnAB，平面ABu平面??.平面FAB,平面PA。，

VPD=AD,G是K4中點(diǎn)，則DGLB4,而。Gu平面B4￡>n￡)G，平面上45,

而EF//DG,；.EF上平面PAB.

(II)根據(jù)三棱錐的體積公式，

=X

得^P-AEF=VB-AEF=^F-BAE]^P-BAE=萬(wàn)義§*S&BAEPD

=—x—x—x3x^/3X^/3=—.

2324

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了空間中線面位置關(guān)系的判定與證明，以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積，其中解答中熟記線面位

置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，以及合理利用“等體積法”求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)

題.

22人]

21、(1)—+^=1；(2)①證明見(jiàn)解析；②U=￡

43A23

【解析】

22i2

(1)由題意焦距為2,設(shè)點(diǎn)C(l,%),代入橢圓+與=1(?！?〉0),解得％=±￡_,從而四邊形的面積

aba

h2

6=25詔=2〃?一=2凡由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

a

22

(2)①由題意AC:y=4(x+2),聯(lián)立直線與橢圓的方程'+二=1,得(3+4勺2)爐+16蜉-12=0,推導(dǎo)出

431

QK2_A\2k2—612k

以-田），D^，-E）'由此猜想：直線/過(guò)定點(diǎn)尸（1，°）,從而能證明〃C,D三點(diǎn)共

線，直線/過(guò)定點(diǎn)尸（L0）.

22

②由題意設(shè)。（占，%）,D（X2,女），直線/：%=沖+1，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：、+二=1,得（3療+4）/+6〃9—9=0,

43

3口,6m9

推導(dǎo)出％+%=—而*'％%二一而富由此推導(dǎo)出&=工±1=史三J（吵T）」（定

3

&%%（占+2）%（〃彷+3）777yly2+3%

尤2-2

值）.

【詳解】

22

（1）由題意焦距為2,可設(shè)點(diǎn)C（l,%）,代入橢圓二+與=1（?！等恕?）,

ab

得二+至=1,解得為=±工，

aba

一h1

四邊形ACBD的面積6=2s=2〃?一=2b2，

Aa

/.b2=3942=4,

22

二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+2L=I.

43

（2）①由題意AC:y=《（x+2）,

22

聯(lián)立直線與橢圓的方程工+匕=1,得（3+41）尤2+16片-12=0,

431

16k^—12癡46-8%；_z?1、_12kl

?一2X=^^,解得s占=二詬'從H而％=7%（％+1）=直時(shí)，

以一矢六'3^），同理可得"（為/'一

JT*+兒]JIr?V]JTJ'r/V2

猜想：直線/過(guò)定點(diǎn)尸（1,0）,下證之:

12kl12k2

_3+4<-3+4武

,k

左2=3k1,?=8婷-6]-8%2_6-

-3+4^23+42一

他12k24K36kl4Al4K

2-22-22

I的4^2-91-4^36^-91-4^-1-4^

：.P,C,。三點(diǎn)共線，，直線/過(guò)定點(diǎn)P(1,O).

k.

②7r為定值，理由如下：

k2

由題意設(shè)C(X],%),D(X2,%)，直線/：%=沖+1,

22

代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：—+^-=1,得(3根2+4)V+6辦y—9=0,

43

-6m±J36M+36(3〃/+4)

一及2―2(3〃/+4)

6m9

?*-X+%=一3m2+4%%=-3m2+4

%

.左=%