八年級(jí)下冊(cè) 專題. 三角形的中位線兩大題型（人教版）（解析版）22

專題18.6三角形的中位線兩大題型【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角形的中位線兩大題型的理解！【題型1一條中位線的問題】1．（2023上·遼寧鐵嶺·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，若EF=3A．24 B．18 C．12 D．9【答案】A【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，由三角形的中位線定理可得BC=2【詳解】解：∵E、F分別是AB、∴BC=2∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=∴菱形ABCD的周長(zhǎng)=4×6=24，故選：A．2．（2023上·重慶忠縣·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖所示的△ABC中，點(diǎn)D，E在邊AB上，∠BAC的平分線AF⊥CE于F，∠ABC的平分線BH⊥CD于H，若ABA．10 B．12 C．18 D．20【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理．證明△CAF≌△EAFASA，推出AC=AE，CF=EF，同理【詳解】解：∵AF平分∠BAC，且AF∴∠CAF=∠EAF，AF∴△CAF∴AC=AE，同理可證BC=BD，∴FH是△CDE∴DE=2∴△ABC的周長(zhǎng)為AB故選：D．3．（2023下·黑龍江伊春·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC=3，A．32 B．2 C．52 D【答案】C【分析】延長(zhǎng)BC到E使BE=AD，則四邊形ACED是平行四邊形，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CM=【詳解】：延長(zhǎng)BC到E使BE=∵AD∥∴四邊形ABED是平行四邊形，∴BE=AD∵BC=3∴C是BE的中點(diǎn)，∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，∴CM=∵AC⊥∴AB=∴CM=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校?？计谀┤鐖D，在△ABC中，CF、BE分別平分∠ACB和∠ABC，過點(diǎn)A作AD⊥CF于點(diǎn)D，作AG⊥BE于點(diǎn)GA．5.5 B．5 C．6 D．6.5【答案】B【分析】本題主要考查了三角形中位線定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．問題的難點(diǎn)在于過關(guān)鍵點(diǎn)作輔助線構(gòu)造△APQ延長(zhǎng)AD，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，延長(zhǎng)AG，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，依據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，即可得到PQ的長(zhǎng)；再根據(jù)三角形中位線定理，即可得到DG的長(zhǎng)等于PQ的長(zhǎng)的一半．【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)AD，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，延長(zhǎng)AG，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，∵CF、BE分別平分∠ACB和∠∴∠ACD=∠PCD又∵AD⊥∴∠ADC=∠PDC∴∠CAP∴AC=又∵BC=7∴PQ=BQ+∵AC=PC,∴點(diǎn)D是AP的中點(diǎn)，同理可得，點(diǎn)G是AQ的中點(diǎn)，∴DG是△APQ∴DG=故選：B．5．（2023下·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O是?ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，OD=AD，點(diǎn)E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)F作FP∥BE交邊AB于點(diǎn)P

A．CD=2AP B．PF⊥AC C．【答案】D【分析】如圖，連接EF，由三角形的中位線定理結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可證明四邊形BEFP為平行四邊形，可得CD=2EF=2BP=2AP，可判斷A選項(xiàng)；由平行四邊形的性質(zhì)可得OB=BC，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；由四邊形BEFP為平行四邊形，可得BE=【詳解】解：如圖，連接EF，

∵E、F分別是OC、∴EF∥CD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴PB∥又∵FP∥∴四邊形BEFP為平行四邊形，∴CD=2EF=2在?ABCD中，OB=OD，BC∴OB=又∵E為OC中點(diǎn)，∴BE⊥∴PF⊥AC，故∵四邊形BEFP為平行四邊形，∴BE=故C正確，不符合題意；∵OD=∴∠DAC又∵∠BOC當(dāng)2∠BAC=∠DAC∴OA=OB=即：只有當(dāng)?ABCD是矩形時(shí)，2∠故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．6．（重慶市萬州區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，DE是△ABC的中位線，∠ACB的角平分線交DE于點(diǎn)F，若AC=6，BC=14，則【答案】4【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，角平分線的定義，等邊對(duì)等角，根據(jù)三角形中位線定理和定義得到DE=12BC=7，CE=12AC【詳解】解：∵DE是△ABC的中位線，AC=6∴DE=12BC=7∴∠EFC∵∠ACB的角平分線交DE于點(diǎn)F∴∠ECF∴∠EFC∴EF=∴DF=故答案為：4．7．（2023上·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=45°，E，F(xiàn)分別是過CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，連接GH，則GH【答案】2【分析】連接AF，利用三角形中位線定理，可知GH=12AF，求出【詳解】解：連接AF，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=∵G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，∴GH是△AEF∴GH=當(dāng)AF⊥BC時(shí)，AF最小，則∠AFB∵∠B∴△ABF∴AF=∴GH=2即GH的最小值為22故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．8．（2023上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)校考期末）如圖，?ABCD中，AB=3，BC=4，BE平分∠ABC，交AD于點(diǎn)E，CF平分∠BCD，交AD于點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，H分別是【答案】1【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線定理，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD=3，BC【詳解】解：?ABCD中，AB∴AB=∴∠AEB∵BE平分∠ABC，CF平分∠∴∠ABE∴∠ABE∴AB=∵AE+∴EF=2∵點(diǎn)G，H分別是OF和OE的中點(diǎn)，∴GH是△OEF∴GH故答案為：1．9．（2023上·山東淄博·八年級(jí)淄博市淄川實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分別是其角平分線和中線，過點(diǎn)C作CG⊥AD于F【答案】1【分析】本題考查了三角形的中位線定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，首先證明△ACG是等腰三角形，則AG=AC=3，【詳解】解：∵AD為△ABC的角平分線，CG∴△ACG∴AG=∵AC=3∴AG∵AF為∠CAG∴FG=CF，即點(diǎn)F為∵AE為△ABC∴點(diǎn)E為CB的中點(diǎn)，∴EF是△BCG∴EF=∵AB=5∴BG=∴EF=故答案為：1．10．（2023上·江蘇南京·八年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在OD上，DF=OF，連接EF交OA于點(diǎn)G，若OG=1，連接CE，S△BEC=12【答案】3【分析】取AO中點(diǎn)M，連接EM，可證明EM是ABO的中位線，得到EM=12OB，EM⊥OA，因此OF=EM，推出△EMG≌△FOG，得到MG=【詳解】解：取AO中點(diǎn)M，連接EM，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥OA，OD=∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，M為AO中點(diǎn)，∴EM是△ABO∴EM=12∴EM⊥AC，∵DF=∴OF=∴EM=∵∠MEG=∠OFG∴△EMG∴MG=∴OM=2∴OA=2∴AC=2∵AE=∴S△∴12∴OB=6∴EM=∵CM=∴CE=故答案為：35【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題是解題關(guān)鍵．11．（2023下·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A=120°，點(diǎn)F、點(diǎn)N分別為CD、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AD上運(yùn)動(dòng)，將△EDF沿EF折疊，使得點(diǎn)D落在D'處，連接BD'，點(diǎn)

【答案】7【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得MN=12AD'，可知當(dāng)AD'取得最小值時(shí)，MN取得最小值，根據(jù)折疊可知D'在以點(diǎn)F為圓心，DF的長(zhǎng)為半徑的半圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D'運(yùn)動(dòng)到線段AF上時(shí)，此時(shí)AD'取得最小值，最小值為AF-D'F，過點(diǎn)F作FH⊥【詳解】解：連接AD

∵點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為BD∴MN為△∴MN∴當(dāng)AD'取得最小值時(shí)，在平行四邊形ABCD中，AB=CD，∴∠A∵AB=4，AD=6∴CD=4，∵點(diǎn)F為線段CD的中點(diǎn)，∴DF根據(jù)折疊可知D'∴點(diǎn)D'在以點(diǎn)F為圓心，DF當(dāng)點(diǎn)D'運(yùn)動(dòng)到線段AF上時(shí)，此時(shí)AD'過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)則∠FHD∴∠HFD∴DH在Rt△DHF中，根據(jù)勾股定理，得∵AD∴AH在Rt△AFH中，根據(jù)勾股定理，得∴AD'∴MN的最小值為7故答案為：7-【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，線段最小值問題，平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，找出線段AD'最小時(shí)點(diǎn)12．（2023下·河南漯河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別時(shí)邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G，H分別時(shí)EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，這接GH，苦AB=4，BC=6，則GH的長(zhǎng)度為

【答案】13【分析】連接CH并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)P，連接PE，由矩形的性質(zhì)得∠A=90°，AD∥BC，AD=BC=6，從而得到∠DPH=∠FCH，通過AAS證明【詳解】解：如圖，連接CH并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)P，連接PE，

，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥∴∠DPH∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別時(shí)邊AB，BC的中點(diǎn)，AB=4，BC∴AE=1∵點(diǎn)H為DF的中點(diǎn)，∴DH在△DPH和△∠DPH∴△DPH∴PD=CF∴AP∴PE∵點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，CH=∴GH是△∴GH故答案為：132【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造三角形，是解題的關(guān)鍵．13．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D、E分別為邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F為邊

【答案】2.5或1.1【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，可知DE=12【詳解】解：∵點(diǎn)D、E分別為邊BC、∴DE=又∵CF=∴CF=在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB=即CF=種：當(dāng)F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，∵△ABC是直角三角形，∠∴CF=∵點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，則AF=

；種：如圖，作CH⊥AB，交AB于點(diǎn)

，∵S△∴CH=∵AF=在Rt△CHF中，在Rt△CHF中，∴AF=綜上所述：AF的長(zhǎng)為2.5或1.1，故答案為：2.5或1.1．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線、勾股定理以及直角三角形斜邊中線，解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行求解．14．（2023上·上海靜安·八年級(jí)上海田家炳中學(xué)?？计谀┤鐖D，直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），DF⊥DE交(1)求證：DE=(2)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)寫出x為何值時(shí)，EF∥【答案】(1)見詳解(2)y=2-x(3)x【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，正確證明△EDH（1）取AB的中點(diǎn)記為H，取AC的中點(diǎn)記為N．根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得DH=DN，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠EDH=∠FDN，根據(jù)ASA（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得HE=NF，從而得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，以及（3）連接HN，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得x為1時(shí)，EF∥【詳解】（1）解：取AB的中點(diǎn)記為H，取AC的中點(diǎn)記為N．連接DH∵∠A=90°，點(diǎn)D是∴DH，∴DN∥AB∵AB=∴DH=∴∠NDH∵∠NDF∴∠在△EDH與△∠EDH∴△EDH∴DE=（2）解：∵△EDH∴HE=NF∴x即y∵E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），∴0<x（3）解：連接HN，當(dāng)E與H重合時(shí)，EF∥∵此時(shí)x=∴當(dāng)x=1時(shí)，EF15．（2023上·北京東城·八年級(jí)匯文中學(xué)?？计谀┰凇鰽BC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB邊上（不與點(diǎn)A，B合），分別過A，C作AB，CD

(1)依題補(bǔ)全圖形；(2)求證：CE=(3)用等式表示線段AE，【答案】(1)見解析(2)證明見解析(3)AF+【分析】（1）依題意作圖即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠EAC=∠DBC=45°，再根據(jù)同角的余角相等可得出∠ECA（3）取AB的中點(diǎn)為Q，連接CQ交BE于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作AE的垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，先利用ASA證明△FQC≌△HQB，得出FQ=HQ，再證明HQ是△EAB的中位線，可得出【詳解】（1）解：依題意補(bǔ)全圖形如下：

（2）證明：∵△ABC中，AC∴∠又∵EA∴∠EAF∴∠EAC∴∠EAC∵∠ECD∴∠ECA在△ECA和△∠ECA∴△ECA∴CE（3）解：線段AE，AC，取AB的中點(diǎn)為Q，連接CQ交BE于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作AE的垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，如圖所示：

∵CF⊥BE交AB于點(diǎn)即∠CGH又∵∠∴∠GCH在△FQC和△∠FQC∴△FQC∴FQ∵∠EAB∴EA又∵AQ∴HQ是△∴HQ∴FQ∵△ABC中，AC∴△ABC∵Q為AB的中點(diǎn)，∴CQ垂直平方AB則AQ=又∵∠EAF∴四邊形AKCQ為正方形，∴AC∴AC即AF+【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線，同角的余角相等，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線以及能熟練掌握三角形的判定方法．【題型2多條中位線的問題】1．（2023下·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD+∠ADC=270°，點(diǎn)E、F分別是AD、BC上的中點(diǎn)，EF=3，則AB2+

A．36 B．27 C．18 D．9【答案】A【分析】連接AC，取AC的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，根據(jù)三角形的中位線定理可以得到EM∥DC，MF∥【詳解】連接AC,取AC的中點(diǎn)M，連接EM，

則EM∥DC，MF∥∴∠EMA=∠DCA∴∠=∠=∠=∠=360°-=360°-270°=90°∴E∴AB故選A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線定理，勾股定理，作輔助線利用平行線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期末）邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，連接EC、FD，點(diǎn)G，H分別是EC、DF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為(

)A．22 B．1 C．2 D．【答案】D【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接GO、HO，可得GO、HO分別是△ACE、△BDF的中位線，從而求出GO，HO的長(zhǎng)，在通過證明△GOH是直角三角形，利用勾股定理求出GH的長(zhǎng)．【詳解】解：連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接GO、HO，如圖所示，∵點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)．∴AE=12AB=2，BF=12BC＝∵點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)．∴點(diǎn)O是AC、BD的中點(diǎn)．∵點(diǎn)G是EC的中點(diǎn)．∴GO是△ACE的中位線．∴GO=12AE=1，且GO∥AB同理，HO=1，且HO∥BC．∵∠ABC=90°．∴AB⊥BC．∴GO⊥HO．∴∠GOH=90°．在Rt△GOH中，GH=GO故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與三角形的中位線性質(zhì)定理，通過作輔助線把GH歸納到直角三角形中是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·四川成都·八年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語學(xué)校校考期中）如圖，?ABCD中，BD=12，∠AOB=60°，點(diǎn)F為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E為AO邊上一點(diǎn)，若AE=

A．5 B．32 C．25 D【答案】D【分析】由平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BD=12，得OB=OD=12BD=6，在AO上截取AI=OB=6，連接BI，取BI的中點(diǎn)H，連接EH、FH，可證明IE=OE，根據(jù)三角形的中位線定理得EH∥OB，EH=12OB=3，F(xiàn)H∥AI，F(xiàn)H=【詳解】∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BD=12∴OB=在AO上截取AI=OB=6，連接BI，取BI的中點(diǎn)H，連接EH

∵AE=∴IE=∵取BI的中點(diǎn)H，∴IH∵點(diǎn)F為AB中點(diǎn)，∴AF=∴EH∥OB，EH=1延長(zhǎng)EH到點(diǎn)G，使GH=EH=FH=3∵∠FHG∴△FGH∴FG=FH=3∵∠HFE∴2∠HFE∴∠HFE∴∠EFG∴EF=故選：D．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·浙江臺(tái)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，線段AB=6，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在AB作等邊△APC、等邊△BPD，連接CD，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B

A．3 B．2.8 C．2.5 D．2【答案】A【分析】分別延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)H，易證四邊形HCPD為平行四邊形，得出G為PH中點(diǎn)，則G的運(yùn)行軌跡為三角形HAB的中位線NJ．最后運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出【詳解】解：如圖：分別延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)H，則∴∠AHB∵等邊△APC、等邊△∴∠∵∠ACP∴DH∴四邊形HCPD為平行四邊形，∴HP與CD互相平分．M為CD的中點(diǎn)，∴M也正好為PH中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動(dòng)過程中，M始終為PH的中點(diǎn)，∴M的運(yùn)行軌跡為三角形HAB的中位線NJ．∴NJ=故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理、等邊三角形的性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M移動(dòng)的規(guī)律，判斷出其運(yùn)動(dòng)軌跡是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)四川省渠縣中學(xué)校考期末）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC邊中點(diǎn)E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的面積記作S1；取BE中點(diǎn)E1【答案】1【分析】本題考查了三角形中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，探究規(guī)律．根據(jù)三角形中位線定理可求出S1的值，進(jìn)而可得出S2的值，找出規(guī)律即可得出【詳解】解：由題意得S△∵E為BC的中點(diǎn)，ED∥∴DE是△∴DE∴S同理S△∴S∵取BE中點(diǎn)E1，作E1D1∥∴S四邊形∴S同理可得S3∴S∴S2024故答案為：146．（2023下·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形OA1B1C的對(duì)角線A1C和OB1交于點(diǎn)M1；以M1A1為對(duì)角線作第二個(gè)正方形A2A1B2M1，對(duì)角線A1M1【答案】2【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)求出CM1=A1M1，∠COA1=∠M1A2A1=90°，推出【詳解】解:∵四邊形OA1B∴CM1∴A∴O∴A2M1即M1的坐標(biāo)是同理A3M∴OA即M2的坐標(biāo)是2同理M3的坐標(biāo)是23-123,12M6的坐標(biāo)是26-12故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形性質(zhì),三角形的中位線的應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律.7．（2023下·云南文山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，以它的三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)新三角形，以這個(gè)新三角形三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)又組成一個(gè)小三角形，依次類推，第2023次組成的三角形的周長(zhǎng)【答案】1【分析】以△ABC的三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的新三角形的三邊是原三角形的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理可得：三角形的中位線等于第三邊的一半．故第一個(gè)新三角形的周長(zhǎng)為△ABC周長(zhǎng)的一半．按照這個(gè)規(guī)律，即可得第【詳解】解：如下圖：點(diǎn)D，E是AB和BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC∴DE=同理可得：DF=12BC∴△DEF的周長(zhǎng)為：1∴第一個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為：12同理可得：第二個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為：12第三個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為：12依次類推：第2023個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為：12故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線的定義及定理，識(shí)別中位線并熟練掌握三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做中位線．中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．8．（2023下·廣東陽江·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AD=4，在AD邊上有一動(dòng)點(diǎn)C，分別以AC、CD為邊在AD邊的上方作等邊△ABC和等邊△CDE，連接BE，取BE邊上的中點(diǎn)F，連接CF，則CF

【答案】3【分析】延長(zhǎng)AB，DE交于點(diǎn)G，P，Q分別是AG，DG的中點(diǎn)，連接PF，QF，GF，可知當(dāng)CF⊥PQ時(shí)，CF最小，則此時(shí)CG⊥AD，亦即當(dāng)點(diǎn)C為AD的中點(diǎn)時(shí)，【詳解】解：延長(zhǎng)AB，DE交于點(diǎn)G，取P，Q分別是AG，DG的中點(diǎn)，連接PF，QF，GF，

∵△ABC和△∴AB=BC=∠A=∠D∴AD=∴BG=CE，BC=∵F為BE的中點(diǎn)，∴BF=EF，即F為平行四邊形∴GF=CF，即F為∵P，Q分別是AG，DG的中點(diǎn)，∴PF∥AC，∴F，P，Q三點(diǎn)在一條直線上，即：F在線段PQ上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)CF⊥PQ時(shí)，CF最小，則此時(shí)CG⊥AD，亦即當(dāng)點(diǎn)C為則AB=BC=∵P，Q分別是AG，DG的中點(diǎn)，∴AP=DQ=2，即點(diǎn)B，E與點(diǎn)P

又∵∠ACB=∠∴△BCE∴BE=∵點(diǎn)F是BE邊上的中點(diǎn)，∴BF=∴CF=故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，解決本題的關(guān)鍵是添加輔助線得到當(dāng)CF⊥PQ時(shí)，9．（2023下·廣東佛山·八年級(jí)?？计谀┤鐖D1所示，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在邊AB和AC上（D，E均不在所在線段的端點(diǎn)上），且AD=AE，點(diǎn)M，P，N分別是線段DE

(1)請(qǐng)說明PM=PN．并求出(2)把△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD(3)把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，【答案】(1)∠(2)△PMN(3)△PMN的面積的最大值為【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，可得AB=AC，∠A=60°，由AD=AE，可得BD=CE，由點(diǎn)M，P，N分別是線段DE，DC（2）由AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ABC=∠ACB=60°，可得∠BAD（3）由（2）可知，△ABD≌△ACE，則∠ABD=∠ACE，由點(diǎn)M，P，N分別是線段DE，DC，BC上的中點(diǎn)，可得PM∥EC，PN∥BD，∠MPD=∠DCE，∠PNC=∠DBC，則∠MPN=120°，△PMN是頂角為120°等腰三角形，由BD≤AB+AD，可得BD≤14，即【詳解】（1）解：∵△ABC∴AB=∵AD=∴AB-AD=∵點(diǎn)M，P，N分別是線段DE，∴MP=∴PM=PN，∠MPD∵∠ADC∴∠MPN∴∠MPN（2）解：△PMN∵AB=∴∠BAD∵AB=∴△ABD∴BD=∵點(diǎn)M，P，N分別是線段DE，∴MP=∴MP=∴△PMN（3）解：由（2）可知，△ABD∴∠ABD∵點(diǎn)M，P，N分別是線段DE，∴PM∥EC，∴∠MPD=∠DCE∴∠=∠=∠=∠ACB∴△PMN是頂角為120°∵BD≤∴BD≤14，即BD的最大值為14，PN的最大值為7如圖2中，過點(diǎn)N作NJ⊥MP的延長(zhǎng)線于

∴∠NPJ=60°，∴PJ=由勾股定理得，NJ=∴△PMN的面積的最大值為1∴△PMN的面積的最大值為49【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，中位線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．10．（2023上·遼寧遼陽·八年級(jí)校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)，依次連接E，G，F(xiàn)，H，連接EF，GH．

(1)求證：四邊形EGFH是平行四邊形；(2)當(dāng)AB=CD時(shí)，EF與【答案】(1)見詳解(2)EF⊥【分析】（1）因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)，所以EG是△ABD的中位線，HF是△ABC的中位線，故EG∥AB，HF∥AB，EG=（2）因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，H是AC的中點(diǎn)，所以EH是△ACD的中位線，則EH∥DC，EH=12DC，由（1）知EG=1【詳解】（1）證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)，所以EG是△ABD所以EG是△ABD的中位線，HF是△故EG∥AB，HF∥AB，那么EG∥HF，所以四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：EF⊥因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，H是AC的中點(diǎn)，所以EH是△ACD則EH∥DC，因?yàn)锳B=CD，且結(jié)合由（1）知所以EH=因?yàn)樗倪呅蜤GFH是平行四邊形，因?yàn)镋H因?yàn)樗倪呅蜤GFH是平行四邊形，故EF【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定等知識(shí)內(nèi)容；中位線的性質(zhì)：平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．11．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：對(duì)于一個(gè)凸四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”，如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中正四邊形”．

(1)概念理解：下列四邊形中一定是“中正四邊形”的是______；A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形(2)性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中正四邊形”，觀察圖形，直接寫出關(guān)于四邊形ABCD對(duì)角線的兩條結(jié)論；(3)問題解決：如圖2，△ABC為銳角三角形，以△ABC的兩邊AB，AC為邊長(zhǎng)，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BE，EG，GC，求證：四邊形BCGE是“中正四邊形【答案】(1)D(2)①AC=BD，(3)見解析【分析】（1）根據(jù)中正四邊形的概念得出結(jié)論即可；（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出結(jié)論即可；（3）先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)證四邊形MNRL是平行四邊形，再證△EAC≌△BAG，得出四邊形MNRL是菱形，然后得出四邊形【詳解】（1）平行四邊形的“中點(diǎn)四邊形”仍然是平行四邊形，矩形的“中點(diǎn)四邊形”是菱形，菱形的“中點(diǎn)四邊形”是矩形，正方形的“中點(diǎn)四邊形”是正方形，根據(jù)中正四邊形的概念知，正方形的“中點(diǎn)四邊形”一定是“中正四邊形”，故答案為：D；（2）性質(zhì)探究：∵四邊形ABCD是“中正四邊形”，∴四邊形EFGH是正方形，∴EF=FG∵EF∥AC且EF=1∴①AC=（3）問題解決：如圖2，取四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L并順次連接成四邊形MNRL，連接CE交AB于P，連接BG交CE于K，

∵四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L，∴MN、NR、RL、LM分別是△BCG、△CEG、△∴MN∥BG，MN=12BG，RL∥BG，RL∴MN∥RL，MN=RL∴四邊形MNRL是平行四邊形，∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，∴AE=AB，AG

又∵∠BAC∴∠EAB即∠EAC在△EAC和△AE=∴△EAC≌△∴CE=BG又∵RL=1∴RL∴?MNRL∵∠EAB∴∠AEP又∵∠AEC=∠ABG∴∠ABG+∠∴∠BKP又∵M(jìn)N∥BG∴∠LMN∴菱形MNRL是正方形，即原四邊形BCGE是“中正四邊形”．【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形的綜合題，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形與正方形的判定等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（2023下·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【操作】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是其內(nèi)部的一點(diǎn)，連接CD．將CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接DE、BE，作直線AD交BE

（1）求證：△ADC（2）設(shè)AF與BC交于點(diǎn)H，求∠AFE【探究】（3）如圖2，連接圖1中的AE，分別取AB、DE、AE的中點(diǎn)M、N、P，作△MNP．若BE=8，求【答案】（1）見解析；（2）90°；（3）8+4【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DCE=90°,CD=CE，再證∠（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠CAD=∠CBE（3）由全等三角形的性質(zhì)得AD=BE=8，再由三角形中位線定理得PM∥BE,PM=1【詳解】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠∴AC=由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠DCE∴∠ACB∴∠ACB即∠ACD在△ADC和△AC=∴△ADC（2）解：如圖1，設(shè)AF與BC交于點(diǎn)H，

由（1）可知，△ADC∴∠CAD∵∠AHB∴∠HFB∴∠AFE（3）解：由（1）可知，△ADC∴AD=∵M(jìn)、N、P分別是AB、∴PM是△ABE的中位線，PN是△∴PM∥BE,∴PM=由（2）可知，∠AFE∴AF⊥∴PM⊥∴∠MPN∴△MNP∴MN=∴△MNP的周長(zhǎng)=【點(diǎn)睛】本題是幾何變換的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．13．（2023下·廣東佛山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，AD=AE，連接DE，BD，點(diǎn)F，P，(1)線段PF與PG的數(shù)量關(guān)系是___________，位置關(guān)系是___________；(2)把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接PF，PG，F(xiàn)G，判斷△(3)若AD=3，AB=7，△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出△【答案】(1)PG=PF(2)△FPG(3)58【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理解答即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證明△ACD≌△ABE，推出CD=BE，∠ACD=∠ABE，根據(jù)三角形的中位線定理可得FP∥BE,FP=12BE，（3）由（2）結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得當(dāng)PG最大時(shí)，△FPG的面積最大，由于PG=12CD，故當(dāng)CD最大時(shí)，△FPG的面積最大，可得當(dāng)【詳解】（1）∵AB=AC，∴BE=∵點(diǎn)F，P分別為DE，BD的中點(diǎn)．∴FP∵點(diǎn)P，G分別為BD，BC的中點(diǎn)．∴PG∥∴PG=∵CD⊥∴PG⊥故答案為：PG=PF，（2）△FPG∵∠CAB∴∠CAD∵AC=∴△ACD∴CD=BE，∵點(diǎn)F，P分別為DE，BD的中點(diǎn)．∴FP∥∵點(diǎn)P，G分別為BD，BC的中點(diǎn)．∴PG∥∴PG=設(shè)CD的延長(zhǎng)線交AB于O，交BE于H，如圖，

∵∠ACD=∠ABE∴∠BHO=∠BAC∴PG⊥PF，即∴△FPG（3）∵△FPG∴△FPG的面積=∴當(dāng)PG最大時(shí)，△FPG∵PG=∴當(dāng)CD最大時(shí)，△FPG由題意可得，當(dāng)D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，CD最大，如圖，

則在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理可得BD=A【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握三角形的中位線定理、證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．14．（2023上·江西南昌·八年級(jí)校考期中）【綜合與實(shí)踐】老師讓同學(xué)們以“兩個(gè)大小不等的等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)重合，并讓一個(gè)三角板固定，另一個(gè)繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，連接AD，點(diǎn)M，P，N分別為DE，AD，AB的中點(diǎn)．試判斷線段甲小組發(fā)現(xiàn)：PM=PN，【片段1】∵點(diǎn)P，M分別是AD，DE的中點(diǎn)，∴PM∥AE，PM【片段2】∵∠BCA=90°，∴∠ADC反思交流(1)①填空：理由1：______________________；理由2：________________