機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ) 課件 第4章 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析

第4章機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)問(wèn)題導(dǎo)入第三章討論的運(yùn)動(dòng)學(xué)只關(guān)心機(jī)械臂的位姿，并沒(méi)有考慮其到達(dá)各位姿的快慢，而工業(yè)機(jī)器人在實(shí)際工作中速度是一個(gè)無(wú)法回避的問(wèn)題。因此，本章的第一節(jié)就討論各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)速度與機(jī)器人手部運(yùn)動(dòng)速度之間的映射關(guān)系，這里引入了速度雅克比矩陣。問(wèn)題導(dǎo)入仍以圖中的6軸機(jī)械臂為例，如果夾爪夾起了物料以很慢的速度運(yùn)動(dòng)，或者靜止在某個(gè)位姿，為了保持機(jī)械臂的靜平衡狀態(tài)，各關(guān)節(jié)電機(jī)應(yīng)該輸出多大的力矩？本章的第二節(jié)靜力學(xué)分析討論的就是各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩與機(jī)器人手部輸出的靜力之間的映射關(guān)系，這里引入了力雅克比矩陣，而它正好是速度雅克比矩陣的轉(zhuǎn)置。這也是將速度分析與力學(xué)分析歸入同一章的原因。問(wèn)題導(dǎo)入工業(yè)機(jī)器人完成搬運(yùn)作業(yè)時(shí)，為了兼顧工作效率和工作質(zhì)量，我們希望它在拿起和放下物料時(shí)做到慢而準(zhǔn)，而運(yùn)送過(guò)程要穩(wěn)而快，這就要求機(jī)器人在不同位姿提供不同的速度和加速度。那么機(jī)器人的位置、速度和加速度與各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩之間又有怎樣的關(guān)系？這就是本章第三節(jié)動(dòng)力學(xué)分析的研究主題。本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解速度雅克比矩陣的構(gòu)成及其推導(dǎo)過(guò)程；2.能夠利用速度雅克比矩陣求解速度運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆問(wèn)題；3.理解奇異點(diǎn)產(chǎn)生的原因及帶來(lái)的問(wèn)題；4.理解建立機(jī)械臂手部廣義力F與關(guān)節(jié)力矩的映射關(guān)系的過(guò)程；5.能夠利用力雅克比矩陣求解靜力學(xué)的兩類問(wèn)題；6.能夠用拉格朗日方程建立簡(jiǎn)單多剛體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程；7.理解二自由度機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程各項(xiàng)的物理意義；8.掌握利用MATLAB及其符號(hào)工具箱輔助公式推導(dǎo)與計(jì)算的方法。目錄contants4.1速度分析4.2靜力學(xué)分析4.3動(dòng)力學(xué)分析第4章機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析4.1速度分析4.1.1速度雅克比4.1.2速度分析4.1.1速度雅克比4.1.1速度雅克比例4.14.1.1速度雅克比例4.14.1.1速度雅克比例4.1將其寫為矩陣形式令則有4.1.1速度雅克比例4.1機(jī)械臂手部在操作空間的移動(dòng)速度各關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)速度定義了這兩者之間的關(guān)系僅由關(guān)節(jié)1運(yùn)動(dòng)引起的機(jī)械臂手部的速度僅由關(guān)節(jié)2運(yùn)動(dòng)引起的機(jī)械臂手部的速度手部的速度V是這兩個(gè)速度矢量的合成4.1.1速度雅克比例4.1拓展練習(xí)：借助MATLAB軟件和符號(hào)工具箱可以完成以上推導(dǎo)過(guò)程，此外還可建立二自由度仿真機(jī)械臂，方便觀察。4.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.2機(jī)械臂手部在操作空間的移動(dòng)速度各關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)速度定義了這兩者之間的關(guān)系僅由關(guān)節(jié)1運(yùn)動(dòng)引起的機(jī)械臂手部的速度僅由關(guān)節(jié)2運(yùn)動(dòng)引起的機(jī)械臂手部的速度僅由關(guān)節(jié)6運(yùn)動(dòng)引起的機(jī)械臂手部的速度手部的速度V是這6兩個(gè)速度矢量的合成4.1.1速度雅克比例4.2拓展練習(xí)：手工完成6軸機(jī)械臂的相關(guān)推導(dǎo)和運(yùn)算非常困難，這也是我們必須學(xué)會(huì)使用計(jì)算軟件的原因。借助MATLAB軟件和符號(hào)工具箱可以比較容易地完成以上推導(dǎo)過(guò)程。思考：通過(guò)運(yùn)行上面的程序可以發(fā)現(xiàn)，上式中雅克比矩陣的第5列和第6列均為0，請(qǐng)問(wèn)該如何解讀？4.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.2思考：添加轉(zhuǎn)角之后的雅克比矩陣比較復(fù)雜，不經(jīng)過(guò)計(jì)算，請(qǐng)判斷該矩陣的第5列和第6列是否全為0？4.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.2拓展練習(xí)：借助MATLAB軟件和符號(hào)工具箱求出思考題中的雅克比矩陣，并檢查你的思考題答案是否正確。第4章機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析4.1速度分析4.1.1速度雅克比4.1.2速度分析4.1.2速度分析4.1.2速度分析4.1.2速度分析例4.34.1.2速度分析例4.34.1.2速度分析例4.3例4.34.1.2速度分析例4.34.1.2速度分析拓展練習(xí)：借助MATLAB軟件及其符號(hào)工具箱，可以非常方便地完成以上推導(dǎo)和計(jì)算。工業(yè)機(jī)器人通常是6自由度的，奇異點(diǎn)比上例中的二自由度機(jī)械臂更多，會(huì)給軌跡規(guī)劃帶來(lái)困擾，因此有必要進(jìn)一步了解。當(dāng)機(jī)械臂中的兩軸共線時(shí)，速度雅克比矩陣內(nèi)各列并非完全線性獨(dú)立，這會(huì)造成矩陣的秩減少，其行列式值為零，則逆速度雅克比矩陣不存在。因此奇異點(diǎn)常發(fā)生于兩軸或多軸共線時(shí)。當(dāng)機(jī)械臂的軸數(shù)增加時(shí)，發(fā)生奇異點(diǎn)的位置也會(huì)增加。以6軸機(jī)械臂為例，它的奇異點(diǎn)分為三類：腕關(guān)節(jié)奇異點(diǎn)、肩關(guān)節(jié)奇異點(diǎn)和肘關(guān)節(jié)奇異點(diǎn)。4.1.2速度分析當(dāng)?shù)?軸的轉(zhuǎn)角為0，就會(huì)導(dǎo)致第4軸與第6軸共線，此時(shí)出現(xiàn)腕關(guān)節(jié)奇異點(diǎn)，如圖（a）所示；（a）腕關(guān)節(jié)奇異點(diǎn)4.1.2速度分析當(dāng)?shù)?軸與腕關(guān)節(jié)中心C點(diǎn)（第5軸與第6軸之交點(diǎn)）共線時(shí)，出現(xiàn)肩關(guān)節(jié)奇異點(diǎn)，如圖（b）所示（b）肩關(guān)節(jié)奇異點(diǎn)4.1.2速度分析當(dāng)腕關(guān)節(jié)中心C點(diǎn)與第2軸、第3軸共面時(shí)，出現(xiàn)肘關(guān)節(jié)奇異點(diǎn)，如圖（c）所示（c）肘關(guān)節(jié)奇異點(diǎn)4.1.2速度分析機(jī)器人奇異點(diǎn)不僅會(huì)導(dǎo)致無(wú)法求解速度逆運(yùn)算，還會(huì)造成機(jī)械臂自由度減少，無(wú)法實(shí)現(xiàn)某些運(yùn)動(dòng)；或者使得某些關(guān)節(jié)角速度趨向于無(wú)窮大，導(dǎo)致失控。比如噴涂機(jī)器人要用噴槍以穩(wěn)定的速度畫(huà)一條直線，已知操作空間的速度，通過(guò)速度逆雅克比矩陣就可以計(jì)算出各關(guān)節(jié)的速度，并通過(guò)控制各電機(jī)達(dá)到相應(yīng)的速度完成該直線的繪制。但如果該直線上某點(diǎn)正好在機(jī)械臂的奇異點(diǎn)附近，計(jì)算出的關(guān)節(jié)速度就會(huì)非常大，電機(jī)根本無(wú)法達(dá)到，就會(huì)引發(fā)報(bào)警，嚴(yán)重的時(shí)候電機(jī)甚至?xí)Э亍Ｒ虼?，如何?guī)避奇異點(diǎn)，是機(jī)器人制造商和機(jī)器人用戶都必須認(rèn)真對(duì)待的問(wèn)題。4.1.2速度分析多年來(lái)，機(jī)器人制造商一直都致力于改進(jìn)其奇異點(diǎn)規(guī)避技術(shù)。比如在軟件中限制機(jī)器人各關(guān)節(jié)的最大速度就是一個(gè)辦法，當(dāng)關(guān)節(jié)被命令以“無(wú)限大”的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，軟件就會(huì)自動(dòng)降低其速度，等它通過(guò)了奇異點(diǎn)，再以正確的速度完成剩余的運(yùn)動(dòng)。同時(shí)，機(jī)器人使用者也能做出自己的貢獻(xiàn)。比如，機(jī)器人的工作軌跡通常并非唯一，在軌跡確定之前必須在仿真軟件中多做模擬，盡量避免軌跡經(jīng)過(guò)奇異點(diǎn)。如果實(shí)在無(wú)法避免，也要注意在奇異點(diǎn)附近將控制手部的方式切換為控制關(guān)節(jié)的方式，等安全度過(guò)奇異點(diǎn)后再切換回來(lái)。機(jī)器人奇異點(diǎn)問(wèn)題一直是一個(gè)研究熱點(diǎn)，或許讀者也會(huì)投身其中并做出自己的貢獻(xiàn)。4.1.2速度分析目錄contants4.1速度分析4.2靜力學(xué)分析4.3動(dòng)力學(xué)分析第4章機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析4.2靜力學(xué)分析4.2.1力雅克比4.2.2靜力學(xué)的兩類問(wèn)題機(jī)器人靜力學(xué)研究機(jī)器人靜止或緩慢運(yùn)動(dòng)時(shí)，作用在機(jī)器人上的力和力矩問(wèn)題。串聯(lián)機(jī)器人在工作中，手部與環(huán)境接觸，環(huán)境會(huì)對(duì)手部產(chǎn)生作用力，各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)裝置提供關(guān)節(jié)力矩，通過(guò)連桿傳遞到手部，克服外界的作用力，使機(jī)器人保持平衡狀態(tài)。本節(jié)將討論機(jī)械臂在靜平衡狀態(tài)下，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力/力矩與機(jī)械臂手部的力/力矩之間的關(guān)系，這是研究機(jī)器臂力控制的基礎(chǔ)。4.2靜力學(xué)分析4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比第4章機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析4.2靜力學(xué)分析4.2.1力雅克比4.2.2靜力學(xué)的兩類問(wèn)題4.2.2靜力學(xué)的兩類問(wèn)題4.2.2靜力學(xué)的兩類問(wèn)題6個(gè)未知數(shù)7個(gè)方程已知如果JT滿秩，則屬于過(guò)約束狀態(tài)，因此F沒(méi)有精確解，但可以通過(guò)最小二乘法求得F的近似解。4.2.2靜力學(xué)的兩類問(wèn)題例4.44.2.2靜力學(xué)的兩類問(wèn)題例4.44.2.2靜力學(xué)的兩類問(wèn)題例4.4所以4.2.2靜力學(xué)的兩類問(wèn)題例4.4目錄contants4.1速度分析4.2靜力學(xué)分析4.3動(dòng)力學(xué)分析第4章機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析4.3動(dòng)力學(xué)分析4.3.1動(dòng)力學(xué)分析基礎(chǔ)和方法4.3.2拉格朗日方程4.3.3關(guān)節(jié)空間和操作空間中的動(dòng)力學(xué)方程4.3.1動(dòng)力學(xué)分析基礎(chǔ)和方法

一個(gè)可愛(ài)的小姑娘走在你前面，跟隨她蹦蹦跳跳的步伐，馬尾辮在微風(fēng)中自然地起伏、搖晃、飄揚(yáng)。這是每個(gè)人都司空見(jiàn)慣的場(chǎng)景，然而要在動(dòng)畫(huà)片中模擬出這個(gè)畫(huà)面卻實(shí)非易事，因?yàn)轭^發(fā)所受外力及其質(zhì)量、彈性、曲直等內(nèi)在特性，都會(huì)影響其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。如果不通過(guò)數(shù)學(xué)模型建立力與運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系，就無(wú)法產(chǎn)生逼真的動(dòng)畫(huà)效果。4.3.1動(dòng)力學(xué)分析基礎(chǔ)和方法機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)同樣與其所受外力及其本身的一些特性緊密相關(guān)。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究的就是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)與廣義關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，描述這種動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)方程被稱為動(dòng)力學(xué)方程，它是機(jī)器人動(dòng)態(tài)仿真和控制器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)有兩類問(wèn)題：①動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題：已知關(guān)節(jié)的廣義驅(qū)動(dòng)力，求機(jī)器人相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，包括各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度。動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題是機(jī)器人動(dòng)態(tài)仿真的基礎(chǔ)。②動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題：已知機(jī)器人各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求相應(yīng)關(guān)節(jié)的廣義驅(qū)動(dòng)力。動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題是機(jī)器人控制器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。4.3.1動(dòng)力學(xué)分析基礎(chǔ)和方法我們通常假設(shè)機(jī)器人的連桿、驅(qū)動(dòng)裝置、傳動(dòng)元件等均為剛體，因此對(duì)于大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人而言，其動(dòng)力學(xué)分析建立在多剛體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)之上。對(duì)于彈性手臂機(jī)器人或者柔性機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)分析，則必須考慮系統(tǒng)彈性或非線性因素，其數(shù)學(xué)模型的建立會(huì)更為復(fù)雜。本節(jié)討論的機(jī)械臂為前者，即多剛體系統(tǒng)。4.3.1動(dòng)力學(xué)分析基礎(chǔ)和方法研究多剛體動(dòng)力學(xué)有多種方法。動(dòng)力學(xué)方程須將力與運(yùn)動(dòng)（位移、速度、加速）聯(lián)系起來(lái)，大多數(shù)讀者都熟悉牛頓力學(xué)，因此最容易聯(lián)想到的便是牛頓-歐拉法，該方法核心公式有兩個(gè)。首先是1687年提出的牛頓第二定理，用于描述物體平動(dòng)時(shí)的質(zhì)心加速度、質(zhì)量與合力的關(guān)系，這里稱為牛頓方程，即在牛頓方程的基礎(chǔ)上，歐拉于1750年提出了歐拉方程，該方程用于描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度、角加速度、慣性張量和合力矩之間的關(guān)系，即牛頓-歐拉方程4.3.1動(dòng)力學(xué)分析基礎(chǔ)和方法采用牛頓歐拉法研究多剛體動(dòng)力學(xué)，需要逐一分析系統(tǒng)內(nèi)各構(gòu)件的受力情況，主動(dòng)力和約束力均需要考慮，約束越多方程越復(fù)雜。而且，牛頓和歐拉方程均為矢量方程，需要通過(guò)建立坐標(biāo)系將其分解到X,Y,Z方向，一個(gè)矢量方程變?yōu)槎鄠€(gè)代數(shù)方程（二階微分方程），然后再進(jìn)行求解。因此，隨著系統(tǒng)構(gòu)件的增加，動(dòng)力學(xué)方程數(shù)量會(huì)直線上升，復(fù)雜性不斷增加，對(duì)建立和求解動(dòng)力學(xué)方程的難度都比較高。牛頓-歐拉方程4.3.1動(dòng)力學(xué)分析基礎(chǔ)和方法18世紀(jì)正是牛頓力學(xué)如日中天之時(shí)，它在各個(gè)領(lǐng)域證明著自己的正確性和有效性，甚至可以精確描述遙不可及的行星軌道，被視為宇宙不二真理。在這種背景下，企圖另立一個(gè)力學(xué)體系不啻為不可思議的瘋狂行為。然而，令人肅然起敬的挑戰(zhàn)者依然出現(xiàn)了——分析力學(xué)的誕生是對(duì)牛頓力學(xué)的革命性沖擊！4.3.1動(dòng)力學(xué)分析基礎(chǔ)和方法靜力學(xué)分析中用到的虛功原理，是約翰伯努利于1717年提出的，這是分析力學(xué)攻占的第一塊領(lǐng)地；1743年，達(dá)朗伯提出達(dá)朗伯原理，建立了靜力學(xué)與動(dòng)力學(xué)的密切聯(lián)系；1760年，拉格朗日提出了解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的拉格朗日方程，并于1788年出版了著名的《分析力學(xué)》一書(shū)，標(biāo)志著分析力學(xué)日趨成熟?！斗治隽W(xué)》整本書(shū)沒(méi)有一幅圖，這在牛頓力學(xué)是無(wú)法想象的。這是因?yàn)榉治隽W(xué)是從能量的角度研究動(dòng)力學(xué)，其基本方程均為標(biāo)量方程，這樣就擺脫了牛頓力學(xué)中常見(jiàn)的選擇坐標(biāo)系、受力分析等帶來(lái)的困擾。而且，該方法的運(yùn)用更為程式化，即對(duì)于千變?nèi)f化的系統(tǒng)，建立動(dòng)力學(xué)模型的過(guò)程十分類似，因此更便于掌握、利用和推廣。4.3.1動(dòng)力學(xué)分析基礎(chǔ)和方法當(dāng)量子力學(xué)出現(xiàn)之后，人們發(fā)現(xiàn)分析力學(xué)還有一個(gè)其創(chuàng)造者都預(yù)想不到的神奇之處，即其看待問(wèn)題的方式以及很多概念和方程，可以非常容易地過(guò)渡到量子力學(xué)。因此，可以說(shuō)分析力學(xué)是溝通經(jīng)典物理和量子物理的橋梁，也是進(jìn)入各個(gè)物理學(xué)前沿的必備知識(shí)。常見(jiàn)的動(dòng)力學(xué)研究方法還有高斯原理法、凱恩方程法、旋量對(duì)偶數(shù)法、羅伯遜-威登堡法等，有興趣的讀者可以查閱相關(guān)文獻(xiàn)，這里僅對(duì)拉格朗日方程做詳細(xì)介紹。第4章機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析4.3動(dòng)力學(xué)分析4.3.1動(dòng)力學(xué)分析基礎(chǔ)和方法4.3.2拉格朗日方程4.3.3關(guān)節(jié)空間和操作空間中的動(dòng)力學(xué)方程4.3.2拉格朗日方程拉格朗日函數(shù)定義為機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)能(kineticenergy)與勢(shì)能(potentialenergy)之差，即4.3.2拉格朗日方程從以上公式可以看出拉格朗日方程的三個(gè)特點(diǎn)：①系統(tǒng)的拉格朗日方程個(gè)數(shù)與其廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)相同廣義坐標(biāo)數(shù)通常就是自由度數(shù)，約束越多則自由度越少，所以方程個(gè)數(shù)也越少。而在牛頓力學(xué)中約束個(gè)數(shù)越多，要分析的約束力就越多，建立的動(dòng)力學(xué)方程就越復(fù)雜。②拉格朗日方程是標(biāo)量方程相比建立在矢量方程上的牛頓-歐拉法，標(biāo)量方程擺脫了選擇坐標(biāo)系、受力分析等幾何運(yùn)算的麻煩。③系統(tǒng)的特點(diǎn)完全由拉格朗日函數(shù)L體現(xiàn)這個(gè)特點(diǎn)增加了研究不同系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)的共性，使得研究方法更為程式化。4.3.2拉格朗日方程如果讀者對(duì)拉格朗日方程的推導(dǎo)過(guò)程感興趣，可以參考經(jīng)典力學(xué)相關(guān)書(shū)籍。但我們也可以認(rèn)為拉格朗日方程是不需要證明的公理，只要方程反應(yīng)的規(guī)律與現(xiàn)實(shí)世界中的物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，即可證明其正確性，其價(jià)值就應(yīng)與一樣得到認(rèn)可。為了幫助讀者掌握用拉格朗日方程分析動(dòng)力學(xué)的方法并深刻體會(huì)其特點(diǎn)，一起來(lái)看兩道例題。4.3.2拉格朗日方程例4.54.3.2拉格朗日方程例4.5解：滑塊和直角劈構(gòu)成一個(gè)多剛體系統(tǒng)，可以使用拉格朗日方程來(lái)建立其動(dòng)力學(xué)方程，具體步驟如下。（1）確定廣義坐標(biāo)和廣義驅(qū)動(dòng)力4.3.2拉格朗日方程例4.5（2）求系統(tǒng)動(dòng)能4.3.2拉格朗日方程例4.5（3）求系統(tǒng)勢(shì)能假設(shè)以X軸為零勢(shì)能線。在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直角劈的質(zhì)心高度并無(wú)變化，也就是其勢(shì)能為一個(gè)常數(shù)，由于后續(xù)步驟中會(huì)對(duì)拉格朗日函數(shù)求導(dǎo)，而常數(shù)項(xiàng)的有無(wú)并不會(huì)影響計(jì)算結(jié)果，因此此處可以忽略直角劈的勢(shì)能。同理，滑塊的勢(shì)能本應(yīng)按其質(zhì)心的高度進(jìn)行計(jì)算，但為計(jì)算方便，完全可以按其頂點(diǎn)高度計(jì)算，因?yàn)槎咧顬槌?shù)，也不會(huì)影響最終結(jié)果。因此，系統(tǒng)勢(shì)能寫為4.3.2拉格朗日方程例4.5（4）求拉格朗日函數(shù)（5）建立拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程例4.5（5）建立拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程例4.54.3.2拉格朗日方程例4.5拓展練習(xí)：借助MATLAB軟件及其符號(hào)工具箱，可以非常方便地完成以上推導(dǎo)和計(jì)算。4.3.2拉格朗日方程例4.5思考：請(qǐng)讀者根據(jù)牛頓方程F=ma嘗試求解該問(wèn)題，并體會(huì)其不同于拉格朗日方程的求解過(guò)程和特點(diǎn)。4.3.2拉格朗日方程例4.64.3.2拉格朗日方程例4.6解：二自由度串聯(lián)機(jī)器臂可以看作一個(gè)多剛體系統(tǒng)，可以使用拉格朗日方程來(lái)建立其動(dòng)力學(xué)方程，具體步驟如下。（1）確定廣義坐標(biāo)和廣義驅(qū)動(dòng)力（2）求系統(tǒng)動(dòng)能4.3.2拉格朗日方程例4.6（2）求系統(tǒng)動(dòng)能4.3.2拉格朗日方程例4.6（2）求系統(tǒng)動(dòng)能將上面兩式帶入進(jìn)而求出桿2的平動(dòng)動(dòng)能為4.3.2拉格朗日方程例4.64.3.2拉格朗日方程例4.64.3.2拉格朗日方程例4.6該式體現(xiàn)了關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩與關(guān)節(jié)加速度、速度、位移之間的關(guān)系，即力與運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，我們稱之為二自由度串聯(lián)機(jī)器臂的動(dòng)力學(xué)方程。4.3.2拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程例4.6拓展練習(xí)：借助MATLAB軟件及其符號(hào)工具箱，可以非常方便地完成以上推導(dǎo)和計(jì)算。4.3.2拉格朗日方程例4.6思考：請(qǐng)讀者思考用牛頓-歐拉法求解例4.5和4.6的思路和過(guò)程，并與用拉格朗日方程法對(duì)比，體會(huì)哪一種更易于程式化。4.3.2拉格朗日方程通過(guò)例4.6可以看出，對(duì)于最簡(jiǎn)單的二自由度平面關(guān)節(jié)型串聯(lián)機(jī)器人，其動(dòng)力學(xué)方程已經(jīng)如此冗長(zhǎng)，而且兩個(gè)關(guān)節(jié)之間的耦合錯(cuò)綜復(fù)雜。那么對(duì)于常見(jiàn)的6軸工業(yè)機(jī)器人，其動(dòng)力學(xué)方程之繁復(fù)龐雜必將更為驚人，6個(gè)關(guān)節(jié)的耦合必定盤根錯(cuò)節(jié)。求解這樣的微分方程，需要做大量計(jì)算，十分耗時(shí)，所以機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型很難用于機(jī)器人實(shí)時(shí)控制。4.3.2拉格朗日方程然而，高質(zhì)量的控制應(yīng)當(dāng)基于被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性，因此合理簡(jiǎn)化機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，使其適合于實(shí)時(shí)控制的要求，是機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究追求的目標(biāo)。動(dòng)力學(xué)模型常見(jiàn)的簡(jiǎn)化方法有以下幾種。①當(dāng)桿件很輕時(shí)，動(dòng)力學(xué)方程中的重力項(xiàng)可以省略；②當(dāng)關(guān)節(jié)速度不是很大時(shí)，動(dòng)力學(xué)方程中包含關(guān)節(jié)速度的向心力項(xiàng)和科式力項(xiàng)可以省略；③當(dāng)關(guān)節(jié)加速度不是很大時(shí)，即關(guān)節(jié)電機(jī)的升降速不是很突然時(shí)，動(dòng)力學(xué)方程中包含加速度的慣性力項(xiàng)可以省略。4.3.2拉格朗日方程思考：如果真的可以對(duì)動(dòng)力學(xué)方程做如此大刀闊斧的簡(jiǎn)化，那么建立在其上的機(jī)器人控制系統(tǒng)還能有什么精度可言？如果你暫時(shí)無(wú)法回答，請(qǐng)?jiān)趯W(xué)習(xí)完機(jī)器人控制系統(tǒng)一章后，再來(lái)回顧該問(wèn)題，看看是否會(huì)有新發(fā)