陜西省榆林市2024屆高三第一次模擬檢測(cè) 數(shù)學(xué)（文科）試題

榆林市2023—2024年度高三第一次模擬檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題（文科）

考生注意：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.

2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)i?+i3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合4={7,—2,0,2,4},3={%|3—x<2},則Ac5=（）

A.{0,2,4}B.{<-2,0}C.{-4,-2}D.{2,4}

3.3.已知向量,貝ip"=（）

11

A.—B.C.2D.-2

22

4.在等比數(shù)列{a“}中，6+“2=1，。2+。3=2,則%=（）

168

A.—B.-C.16D.8

33

5.某圓錐的側(cè)面積為16兀，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）

A.2B.4C.2夜D.472

6.將函數(shù)f（x）=sin^x->0）的圖像向右平移|個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C,若C關(guān)于J軸對(duì)稱,則

。的最小值是（）

5211

A.—B.—C.-D.一

6336

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S=（）

137

A.18B.22C.25D.——

5

8.已知。=10805（）.7/=10852,。=；,則（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.a<c<bT).b<c<a

jr3兀

9.已知函數(shù)/（%）=0￥+以）8^在一“彳上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（)

6〕

A.[-1,+“)B.[1,+。)D.----,十。

2/

10.下圖是由兩個(gè)邊長(zhǎng)不相等的正方形構(gòu)成的,在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自八"＞。,_4/。43所的

概率分別記為四,。2，。3,則（

AR=p2B.Pi=p3

C.P2=P3D.Pi=0+2

11.如圖，設(shè)拋物線V=4x的焦點(diǎn)為歹，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A6C,其中點(diǎn)A6在該拋

物線上，點(diǎn)C在V軸上，若E4=7,EB=；；,則以=（）

2nC

12.已知〃是球。的直徑A3上一點(diǎn)，4"：“5=1:2,45，平面%//為垂足，a截球。所得截面的面積

為兀，“為a上的一點(diǎn)，且MH=顯,過點(diǎn)/作球。的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為

AV14口而?Vi4nvn

A.----D.----C.----U.----

2442

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

_22

13.已知直線>=氐是雙曲線與—二=1(?！?2〉0)的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為.

ab

8x-y-4<0,

14.若羽y滿足約束條件x+y+4>0,則目標(biāo)函數(shù)z=x—3y的最大值為.

y-2<0,

15.已知y=/(%)+2為奇函數(shù)，則/(—1)+/(。)+/(1)=.

16.某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了A商品近30天的日銷售量，日銷售量依次構(gòu)成數(shù)列{4},已知％=20,且

a”+「a”=l+(-l)"("eN+),則A商品近30天的總銷量為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試

題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.(12分)

在三棱錐A—BCD中，AB=AD,CB=CD,O為3。的中點(diǎn).

(1)證明：平面。AC.

(2)若AB=BC=BD=2,平面ABD，平面BCD,求點(diǎn)3到平面AC。的距離.

18.(12分)

ABC的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為a,瓦c,己知,ABC的周長(zhǎng)為6,43,AC=j.

(1)求。的值；

(2)求A的最大值.

19.(12分)

某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作

為樣本，將100個(gè)樣本數(shù)據(jù)按[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成6組，并整理得到如下

頻率分布直方圖.

(1)請(qǐng)通過頻率分布直方圖估計(jì)這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代

表).

(2)該市決定表彰知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)排名前30%的市民，某市民知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)是78,請(qǐng)估計(jì)該市民能否得到

表彰

20.(12分)

設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+ax+匕，曲線y=/(%)在點(diǎn)(1"。))處的切線方程為y=6x-3.

(1)求a,。；

3

(2)證明：/(x)>----.

5x

21.（12分）

22（83、

已知橢圓C:鼻+g=l（a〉）〉o）經(jīng)過—MJ兩點(diǎn).

（1）求。的方程；

（2）斜率不為。的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，且點(diǎn)A不在/上，AMLAN,過點(diǎn)P作V軸的垂線，

S.

交直線x=—1于點(diǎn)S,與橢圓。的另一個(gè)交點(diǎn)為T,記_SMN的面積為航，..JTVW的面積為邑，求

32

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

x=l+cosa,x=2+V5cos＞0,

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G和C的參數(shù)方程分別為1.（e為參數(shù)），〈廣

［y=sma［y=l+j5sin僅

（夕為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，》軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線。和。2的極坐標(biāo)方程；

（2）已知直線/:y=丘（左＞0）,且/與曲線G相交于QA兩點(diǎn)，與曲線。2相交于兩點(diǎn)，則當(dāng)|A到取

得最大值時(shí)，求左的值.

23.［選修4-5：不等式選講］（10分）

已知函數(shù)/（x）=|3x-2|+|2x+l|.

（1）求不等式/（￡）＞9的解集；

（2）若存在尤eR,使得/（%）＜加成立，求實(shí)數(shù)心的取值范圍.

榆林市2023-2024年度高三第一次模擬檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題參考答案（文科）

23

i.ci+i=_i-i，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為該點(diǎn)在第三象限.

2.D依題意得5={x|3—x<2}={x|x>l},則Ac5={2,4}.

3.B由題意可知—2切=1,則加=—工.

2

4.A設(shè)等比數(shù)列{凡}的公比為4,則女出=巡±fJ=4=2,即4=2,

+a?q+%

所以%=%寸=與

由勾+%=1，可得3al=1,即a[=-

5.D設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為2,底面半徑為「，即側(cè)面展開圖的半徑為/，側(cè)面展開圖的孤長(zhǎng)為力.又圓錐的底面

周長(zhǎng)為2兀廠，所以2兀r=兀/,即圓錐的母線長(zhǎng)/=2幾所以圓錐的側(cè)面積為?！?2口2=16兀，解得

r=242,1=442.

兀

6.B曲線。為丁=5皿,又。關(guān)于y軸對(duì)稱，所以

6

7T7T22

竺+±=±+ht,kGZ,解得。=—+2太左eZ,又。＞0,所以當(dāng)k=0時(shí)，。的最小值為一.

26233

7.C執(zhí)行該程序框圖，S=12,攵=2,4成立，S=18,左=3,鼠4成立，S=22,左=4,除4成立,

S=25,左=5,不滿足七4,輸出的S=25.

8.D因?yàn)?4=10805。.49〉10805。.5=1,所以因?yàn)?b=log54<l,所以故)vcva.

兀37r

9.B/'(x)=a—sinx.0在一“7"上恒成立，即a..sinv,所以a.l,則。的取值范圍是[1,+8).

/b2

10.A設(shè)〈從而s=幺，S跖.=幺，因?yàn)锳C〃3/，所以

AB=a,BE=b,ab,AUC27DtL/r2

SAFC=SABC=%，根據(jù)面積型幾何概型的概率公式’可以得到乩="2,故選A.

553

11.D由照=7,附=5,可得工人+1=7,+1=5，即“A=6,=萬，所以

\BC\XB~XC1

2

12.C如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為r,球。的半徑為R,因?yàn)?

所以。由勾股定理，得尺2=/+。笈2,由題意得口2=兀，=1,所以尺2=1+13k)，解得

此時(shí)過點(diǎn)M作球。的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的

半徑最小.設(shè)球心。到所求截面的距離為d,所求截面的半徑為/,則/=西—少,

所以只需球心。到所求截面的距離d最大即可，而當(dāng)且僅當(dāng)OM與所求截面垂直時(shí)，球心。到所求截面的

距離d最大,即4m所以媒「「TVi4

廠丁.

(±B)

A

13.叵由題意可知所以6=9=」立電=叵.

5ba\a25

14.12畫出可行域(圖略)知，當(dāng)/：z=x—3y平移到過點(diǎn)(0,—4)時(shí),z取得最大值，最大值為12.

15.-6因?yàn)閥=/(x)+2為奇函數(shù)，所以/(尤)+2=—[/(-x)+2],即/(一%)+/(%)=-4,所以

/(-l)+/(l)=^,/(O)=-2,即“T)+“0)+/⑴=-6.

16.1020當(dāng)〃=2左一1時(shí)，%/=。21，當(dāng)〃=2左時(shí)，。2心1=%大+2,所以。2上+1=。2心1+2,所以

。]++。3++。29+。30=2(囚+43+^5++。29)=2X^15X20+^1^x2^=1020.

17.(1)證明：因?yàn)锳3=AZ),CB=CZ),所以O(shè)A_LB￡),OCJ_皮)，

又因?yàn)镺A,OCu平面。4coAcOC=O,

所以50,平面。AC.

(2)解：因?yàn)槠矫鍭BD_L平面BCD,且平面ABDc平面

±BD,所以。A,平面BCD,

所以乙8=?￥乂22義百=1.

在，ACD中，AD=CD=2,AC=娓,則S=^xnx,2?—

''.AC/7

ZV

設(shè)點(diǎn)8到平面ACD的距離為d,所以Lx邊5d=1，解得d=2叵.

325

2

1o冷刀/1\4n4-7A。2+,2—〃23d-2bc

18.斛：(1)AB-AC=cbcosA=--------=---------

22

即3+C)2=4〃2.

因?yàn)锳5c的周長(zhǎng)為6,所以(6—。)2=4〃2,

解得a=2.

(2)由(1)可知b+c=4.

c2+b2-a1(b+c)2-2bc-a2_66_1

cosA=

2bc2bc一不一…『TJ——5,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立.

TT

故當(dāng)3=c=2時(shí)，A取得最大值一.

3

19.解：(1)100份樣本數(shù)據(jù)的平均值為

x=(35x0.005+45x0.010+55x0.010+65x0.020+75x0.032+85x0.023)xlO=68.3.

(2)成績(jī)低于70分的頻率為0.45,成績(jī)低于80分的頻率為0.77,

則被表彰的最低成績(jī)?yōu)?0+-07~-0~4x5l0=77.8125<78,

0.32

所以估計(jì)該市民能得到表彰.

20.(1)解：函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)?0,+")"'(％)=▲+a.

X

由題意可得/(I)=3,/'(I)=6.

故a+Z?=3,l+〃=6,解得Q=5,Z?=—2.

(2)證明：由⑴知/(X)=lnx+5x-2,

從而/'(x)>—上等價(jià)于xlwc>-5x2+2x--.

5x5

設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,則g'(x)=l+lnx.

所以當(dāng)xe，：卜寸，g'(x)<0,當(dāng)時(shí)，g'(x)>0.

故g(x)在［o,：

上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而g（x）在（0,+"）上的最小值為g

3

設(shè)函數(shù)//(%)=-5x2+2x--=-5■|,從而/z（x）在（0,+8）上的最大值為=

3

故g(x)>/z(x),即/(%)>----.

5%

b2=1,

21.解：(1)因?yàn)闄E圓C.過點(diǎn)A.和點(diǎn)P,所以1649

、25-十25。2一?

a=4.

解得，2

b2=l,

則橢圓C的方程為工+y2=i.

4

（2）當(dāng)直線軸時(shí)，；MAN為鈍角三角形，且/跖4N<90,不滿足題意.

設(shè)M（X，X）,N（X2，%），由AM_L4V，可得AM-A7V=O，

所以AM?A2V=（芯,％—1）?—1）=西9+（XT）（%—1）=°，

所以直線I的斜率存在.設(shè)直線I的方程為y=kx+m,

由"2化簡(jiǎn)得（1+4公）*2+8hnx+4療—4=。,

△>0=64左2//-4(1+4k°)(4/〃2—4)>0=m2<1+4k2.

—8km4m2—4

玉+X2=K'P2=K^，

+m-2

所以AM-AN=玉%2+左2玉%2+左（切―1）（%+^2）（l）

（1+左2）（4療一4）8A:2m（m—1）（m—I）2（1+4人

1+4父1+4421+442

則（1+左2）（4療—4）—8后〃（m—1）+0—1）2（1+4左2）=0,

整理得（加—1）（5加+3）=0,因?yàn)椤?，所以m=—丁

所以直線/的方程為y=fcc—|,恒過點(diǎn)Q[0,一1].

由題意可知一■!，_!■）,

設(shè)點(diǎn)S到直線I的距離為4,點(diǎn)T到直線I的距離為d2,

S]_51AM4_4」SQ|_5

r8

$2^\MN\-d2〃2Id

22.解：（1）由《得（x—1）+丁=1,即爐+產(chǎn)-2x=0,

y=sincr,、'

將