無(wú)窮級(jí)數(shù)與函數(shù)逼近市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

無(wú)窮級(jí)數(shù)與函數(shù)迫近

孫永健制作二○○四年二月第1頁(yè)

無(wú)窮級(jí)數(shù)與函數(shù)迫近

級(jí)數(shù)和演示

函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

傅立葉級(jí)數(shù)第2頁(yè)定義稱(chēng)為級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和(n=1,2,···).簡(jiǎn)稱(chēng)部分和.由此可由無(wú)窮級(jí)數(shù)，得到一個(gè)部分和數(shù)列若存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂，并稱(chēng)此極限值S為級(jí)數(shù)和，記為.若不存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散.第3頁(yè)

例1：觀察部分和序列改變趨勢(shì)，并求和。級(jí)數(shù)和演示第4頁(yè)解：第5頁(yè)程序1S[n_]:=Sum[1/k^2,{k,n}]data=Table[S[n],{n,100}];ListPlot[data]第6頁(yè)運(yùn)行后圖象第7頁(yè)圖1第8頁(yè)程序1

再求出其和來(lái)S[n_]:=Sum[1/k^2,{k,n}]data=Table[S[n],{n,100}];ListPlot[data]N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]]第9頁(yè)運(yùn)行后得其和近似值為

1.644934066848第10頁(yè)例2求和第11頁(yè)第12頁(yè)程序2

s[n_]:=Sum[(-1)^k/k^2,{k,n}]d=Table[s[n],{n,100}];ListPlot[d]N[Sum[(-1)^n/n^2,{n,1,Infinity}]]第13頁(yè)圖2第14頁(yè)圖3第15頁(yè)運(yùn)行后得其和近似值為

-0.82246703342411321第16頁(yè)例3求冪級(jí)數(shù)和。第17頁(yè)程序3

Sum[x^n/(n*3^n),{n,1,Infinity}]第18頁(yè)運(yùn)行后結(jié)果第19頁(yè)函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

例4寫(xiě)出函數(shù)f(x)=sinx冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并利用圖形考查冪級(jí)數(shù)部分和迫近函數(shù)情況。第20頁(yè)解：冪級(jí)數(shù)展開(kāi)必為：即為Maclaurin級(jí)數(shù)第21頁(yè)展開(kāi)式為第22頁(yè)故sinx可展開(kāi)為第23頁(yè)程序4f[x_]:=Sin[x]g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}];s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}]第24頁(yè)程序4f[x_]:=Sin[x]g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}];s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}]Do[Plot[{s[n,x],Sin[x]},{x,-Pi,Pi},PlotRange->{-1.1,1.1},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}],{n,1,9,2}]第25頁(yè)運(yùn)行后圖象

第26頁(yè)圖4第27頁(yè)圖5第28頁(yè)圖6第29頁(yè)圖7第30頁(yè)圖8第31頁(yè)結(jié)論1 從這些圖能夠比較清楚地看到冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式前n項(xiàng)部分和迫近函數(shù)情況，這里n=9，在區(qū)間[-π,π]上冪級(jí)數(shù)與函數(shù)本身看起來(lái)已沒(méi)有什么差異。我們?cè)賮?lái)看分別在閉區(qū)間[-π,π]和

[-2π,2π]上在同一個(gè)坐標(biāo)系中這些圖象情況第32頁(yè)程序4f[x_]:=Sin[x]g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}];s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}]Do[Plot[{s[n,x],Sin[x]},{x,-Pi,Pi},PlotRange->{-1.1,1.1},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}],{n,1,9,2}]t=Table[s[n,x],{n,1,9,2}];Plot[Evaluate[t],{x,-Pi,Pi}]Plot[Evaluate[t],{x,-2Pi,2Pi}]第33頁(yè)運(yùn)行后圖象第34頁(yè)圖9第35頁(yè)圖10第36頁(yè)圖11第37頁(yè)結(jié)論2從圖中可看到，函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式前n項(xiàng)部分和函數(shù)迫近函數(shù)程度，伴隨n增大而提升。但對(duì)于確定n而言，它只在展開(kāi)點(diǎn)附近一個(gè)局部范圍內(nèi)才有很好近似準(zhǔn)確度。第38頁(yè)傅立葉級(jí)數(shù)

自然界中許多現(xiàn)象是周期性重復(fù)，比如，聲波是空氣粒子周期性振動(dòng)而產(chǎn)生，人們呼吸時(shí)肺部運(yùn)動(dòng)和心臟跳動(dòng)也是周期性，交流電也表達(dá)了周期改變。對(duì)自然界這種周期改變現(xiàn)象能夠用周期函數(shù)近似地描述。在數(shù)學(xué)上也就是用三角多項(xiàng)式迫近函數(shù)問(wèn)題，傅立葉級(jí)數(shù)就是一個(gè)迫近方法第39頁(yè)以2π為周期周期函數(shù)f(x)傅立葉級(jí)數(shù)由下式所定義：其中第40頁(yè)例5設(shè)周期為2π周期函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)表示式為試生成f(x)傅立葉級(jí)數(shù)，并從圖上觀察該函數(shù)部分和迫近f(x)情況。第41頁(yè)程序5f[x_]:=Which[x<0,0,x<Pi,1,x<2Pi,0,x<3Pi,1,x<4Pi,0]a[n_]:=Integrate[Cos[n*t],{t,0,Pi}]/Pib[n_]:=Integrate[Sin[n*t],{t,0,Pi}]/Pis[x_]:=a[0]/2+Sum[a[k]*Cos[k*x]+b[k]*Sin[k*x],{k,1,n}]Do[Plot[Evaluate[{s[x],f[x]}],{x,-Pi,3Pi},PlotPoints->50,PlotStyle->{RGBColor[