江西省贛州市十八縣（市）二十四校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題2

2024年贛州市十八縣（市）二十四校期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊(cè)至選擇性必修第二冊(cè)第二章第4節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在數(shù)列中，，，則（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，，由遞推關(guān)系求出，進(jìn)而得到.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，故選：C.2.給定兩個(gè)隨機(jī)變量的5組成對(duì)數(shù)據(jù)：，，，，.通過(guò)計(jì)算，得到關(guān)于的線性回歸方程為，則（）A.1 B.1.1 C.0.9 D.1.15【答案】A【解析】【分析】根據(jù)回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，故選：A3.已知雙曲線上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為8，虛軸長(zhǎng)為6，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義及性質(zhì)求解即可.【詳解】依題意可得，，，所以的離心率為,故選：A.4.贛南臍橙是江西省贛州市特產(chǎn)，是中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品.贛南臍橙年產(chǎn)量達(dá)百萬(wàn)噸，原產(chǎn)地江西省贛州市已經(jīng)成為臍橙種植面積世界第一，年產(chǎn)量世界第三的城市.已知某地銷(xiāo)售的贛南臍橙來(lái)自甲、乙兩個(gè)果園，甲、乙兩個(gè)果園提供的贛南臍橙果量（單位：箱）的占比分別為，，且甲、乙兩個(gè)果園提供的贛南臍橙的優(yōu)品率分別為，，現(xiàn)從該地銷(xiāo)售的贛南臍橙中隨機(jī)買(mǎi)1箱，則這1箱贛南臍橙為優(yōu)品的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全概率公式即可求解【詳解】設(shè)“甲果園提供贛南臍橙”為事件A，“乙果園提供贛南臍橙”為事件B，“贛南臍橙為優(yōu)品”為事件C，則由題意得，，，，由全概率公式得，故選：B.5.已知隨機(jī)變量的分布列為X4810P0.30.60.1則（）A.7 B.5 C.4.8 D.4.2【答案】D【解析】【分析】利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D.6.函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為（）A B. C.900 D.960【答案】D【解析】【分析】依題意，令，則，則，求出，即可得到答案.【詳解】令，則，則，所以，所以圖象在處的切線的斜率為960，故選：D.7.在的展開(kāi)式中，形如的所有項(xiàng)的系數(shù)之和是（）A.256 B. C.1512 D.【答案】D【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理求解即可.【詳解】形如的所有項(xiàng)，即展開(kāi)式中所有項(xiàng)，令，得的所有項(xiàng)的系數(shù)之和是，故選：D.8.已知函數(shù)滿(mǎn)足，，則（）A.80199 B.80200C.81001 D.81201【答案】A【解析】【分析】令，變形得，得，，，，采用累加法求出.【詳解】令，得，則，則，，，，將以上各式相加得，因?yàn)椋?，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，直線與曲線，，，均相交，則（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義判斷即可.【詳解】，，由圖可知，且曲線在處比曲線更陡峭，曲線在處比曲線更陡峭，所以，所以A，B，D選項(xiàng)正確，C錯(cuò)誤，故選：ABD.10.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，下列命題為真命題的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】據(jù)題意及等比數(shù)列的性質(zhì)即可逐項(xiàng)判斷ABC，對(duì)于D，由等比數(shù)列性質(zhì)及基本不等式可判斷.【詳解】對(duì)于A，易知，，，若，則，又因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：BD11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在圓（常數(shù)）上，點(diǎn)在直線上.平面內(nèi)一點(diǎn)滿(mǎn)足（常數(shù)，常數(shù)），則（）A.當(dāng)時(shí)，直線與圓相交B.當(dāng)時(shí)，的最小值為C.當(dāng)常數(shù)，，均已知，且為定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓D.當(dāng)，與圓相離，且為定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)時(shí)，無(wú)論定點(diǎn)在何處，總存在最小值【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，求出圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系判斷A；對(duì)于B，先判斷圓與直線的位置關(guān)系，再利用的最小值為圓心到直線的距離減半徑判斷B；對(duì)于C，設(shè)，，根據(jù)，得，，代到直線方程，即可得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，判斷C；對(duì)于D，在線段上，分與平行與不平行討論，判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，故直線與圓相切，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，故直線與圓相離，當(dāng)三點(diǎn)共線且時(shí)，，B正確；對(duì)于C，由于點(diǎn)固定，設(shè)，，則，所以，，則，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，C正確；對(duì)于D，由題可知，，，，即，所以在線段上，當(dāng)與不平行時(shí)，的最小值為0，當(dāng)與平行時(shí)，的最小值不存在，但趨近于0，D錯(cuò)誤，故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.甲、乙、丙、丁各自研究?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)，若甲、乙、丙、丁計(jì)算得到各自研究的兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)系數(shù)分別為，，，，則這四人中，______研究的兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度最高.【答案】乙【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以這四人中，乙研究的兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度最高，故答案為：乙.13.某質(zhì)點(diǎn)的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為，瞬時(shí)加速度為，則______，數(shù)列的前20項(xiàng)和為_(kāi)_____.【答案】①.20②.3620【解析】【分析】根據(jù)位移導(dǎo)數(shù)是速度求解；根據(jù)速度的導(dǎo)數(shù)是加速度，結(jié)合等差數(shù)列求和求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，所以，所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為，故答案為：20；3620.14.提供6種不同顏色的顏料給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不能涂相同顏色，則不同的涂色方法共有______種.【答案】6120【解析】【分析】根據(jù)和、和同色或者不同色分類(lèi)，每一種情況中用分步乘法計(jì)數(shù)原理，最后利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得到涂色方法的數(shù)量.【詳解】假定涂色順序?yàn)槿?、涂相同顏色，則有種涂法；若、涂不同顏色，、涂相同顏色，則有種涂法；若、涂不同顏色，、涂不同顏色，則有種涂法；故由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方法共有種.故答案為：6120.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知甲社區(qū)有120人計(jì)劃去四川旅游，他們每人將從峨眉山與青城山中選擇一個(gè)去旅游，將這120人分為東、西兩小組，兩組的人數(shù)相等，已知東小組中去峨眉山的人數(shù)是去青城山人數(shù)的兩倍，西小組中去峨眉山的人數(shù)比去青城山的人數(shù)少10.（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān)；去峨眉山旅游去青城山旅游合計(jì)東小組西小組合計(jì)（2）在東小組的游客中，以他們?nèi)デ喑巧铰糜蔚念l率為乙社區(qū)游客去青城山旅游的概率，從乙社區(qū)任選3名游客，記這3名游客中去青城山旅游的人數(shù)為，求及的數(shù)學(xué)期望.附：，.當(dāng)時(shí)，沒(méi)有充分的證據(jù)判斷變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒(méi)有關(guān)聯(lián)的；當(dāng)時(shí)，有的把握判斷變量A，B有關(guān)聯(lián)；當(dāng)時(shí)，有的把握判斷變量A，B有關(guān)聯(lián)；當(dāng)時(shí)，有的把握判斷變量A，B有關(guān)聯(lián).【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān)（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全列聯(lián)表，代入公式，得到答案；（2）分析得到乙社區(qū)游客去青城山旅游的概率為，，根據(jù)二項(xiàng)分布，得到答案.【小問(wèn)1詳解】的列聯(lián)表如下：

去峨眉山旅游去青城山旅游合計(jì)東小組402060西小組253560合計(jì)6555120，所以有的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān).【小問(wèn)2詳解】在東小組的游客中，他們?nèi)デ喑巧铰糜蔚念l率為，所以乙社區(qū)游客去青城山旅游的概率為，所以，所以，.16.已知函數(shù)在點(diǎn)處切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的方程.（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可；（2）由（1）得，利用定義法證明數(shù)列是等比數(shù)列；（3）由（2）得，利用錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】，則，因?yàn)椋缘姆匠虨?，?小問(wèn)2詳解】令，得，所以，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，則，則，所以，故17.如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若以為直徑的球的表面積為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，則，根據(jù)線面平行的判定定理證明即可.（2）建系，利用二面角的向量求法求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)橐詾橹睆降那虻谋砻娣e為，所以，解得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，豎直向上為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，因?yàn)椋蓤D可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.18.在個(gè)數(shù)碼構(gòu)成的一個(gè)排列中，若一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱(chēng)它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為，例如，.（1）計(jì)算；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，，求的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)排列滿(mǎn)足，，，，，證明：.【答案】（1）13（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題干對(duì)的定義，列舉即可得到的值；（2）將的值代入后，由數(shù)列的遞推公式的特點(diǎn)可以構(gòu)造等差數(shù)列，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）根據(jù)和的關(guān)系得到即，將代入，得到，放縮后裂項(xiàng)相消求和.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，左右同時(shí)除以13得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1位公差的等差數(shù)列，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】所以，所以，即，所以，所以，即得證.19.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6.（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)，是上的兩點(diǎn)，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，原點(diǎn)到直線PA，PB的距離均為3，求面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，則，進(jìn)而得到拋物線的方程；（2）分別表示出的直線方程，利用原點(diǎn)到直線PA，PB的距離均為3，得到是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)韋達(dá)定理，得到