2020年第37屆全國中學生物理競賽復賽試題答案詳解

第37屆全國中學生物理競賽

復賽試題答案詳解

1.高鐵運行的平穩(wěn)性與列車的振動程度密切相關(guān)，列車上安裝的空氣彈簧可以有效減振。某高鐵測試實驗

采用的空氣彈簧模型由主氣室（氣囊）和附加氣室（容積不變）構(gòu)成，如圖所示?？諝鈴椈蓪缮县撦d豎

直向上的作用力由氣囊內(nèi)被壓縮的空氣產(chǎn)生的彈力提供?；缮县撦d處于平衡狀態(tài)時，主氣室內(nèi)氣體的壓強

和體積分別為尸10和口。，附加氣室的容積為吻，大氣壓強為P0?？諝鈴椈韶Q直向上的作用力廠與主氣室內(nèi)

氣體壓強和大氣壓強之差的比值稱為空氣彈簧的有效承載面積4。已知空氣的定容摩爾熱容Cy（R

是普適氣體常量）。假設(shè)在微振幅條件下主氣室內(nèi)氣體的體積力和有效承載面積4均可視為空氣彈簧（氣

囊）的承我面相對于其平衡位置的豎直位移y（向下為正）的線性函數(shù)，變化率分別為常量-a（?>0）和

P（￡>0）。

（1）附加氣室與主氣室連通（閥門關(guān)閉）。試在下述兩種情形下，導出空氣彈簧的勁度系數(shù)與其有效

承載面積A之間的關(guān)系；

i）上下乘客（主氣室內(nèi)氣體壓強和體積的變化滿足等溫過程）。

ii）列車運行中遇到劇烈顛簸（主氣室內(nèi)氣體壓強和體積變化滿足絕熱過程）。

（2）主氣室連通附加氣室（閥門打開）后，在上述兩種情形下，導出空氣彈簧的勁度系數(shù)K與其有效承載面

積4之間的關(guān)系。主氣室與附加氣室之間連通管道的容積可忽略。

77

【答案】（l）K=a上*4+/Pi。吃J一%1Pl

(2)K=a^Ae+J3p㈤

【解析】

【詳解】（1）依題意，空氣彈簧主氣室對簧上負載整直向上的作用力為

尸=(0一A))Ae①

式中，Pi是主氣室內(nèi)空氣的壓強。

當空氣彈簧承受的負載發(fā)生變化時，主氣室內(nèi)氣體的壓強Pi和體積0均會發(fā)生變化。為了統(tǒng)一處理題給的

兩種情形，考慮氣體壓強和體積變化的過程方程為

PM"=常量②

式中，〃是常數(shù)。①式左右兩邊對空氣彈簧承載面的整直位移y微商，可知空氣彈簧的勁度系數(shù)K滿足

“dF,、dA,dp,-

K=『=8-外仁+子At③

ayayay

②式左右兩邊對y微商得

乎彳+軀廣器=0①

ayay

由題意知，空氣彈簧主氣室內(nèi)體積V和有效承載面積Ae相對于平衡位置的豎直位移的變化率為

dp.M萬

4=_a「=/3@

ayay

聯(lián)立①③④⑤式得，空氣彈簧勁度系數(shù)K與其有效承載面積4之間的關(guān)系為

/xn

K=［即叫+尸pi。向-pQ⑥

在高鐵上下乘客的情形下，主氣室內(nèi)氣體壓強和體積變化滿足等溫過程

"=1⑦

由⑥⑦式得

K=。爺!4+廣。擊-Po⑧

在列車行中遇到強烈顛簸的情形下，主氣室內(nèi)氣體壓強和體積變化滿足絕熱過程

〃=/⑨

式中，7是空氣的定壓摩爾熱容◎與定容摩爾熱容Cv之比

由⑥⑨式得

77

K=q7/呼4+1p

"101/〃0?

(2)主氣室連通附加氣室后，如果車輛振動頻率較低，例如情形。，空氣彈簧變形較慢，可認為在任意瞬間,

空氣彈簧主氣室的壓強與附加氣室的壓強相同，兩氣室間的壓強差可視為零。兩氣室的空氣作為一個整體,

經(jīng)歷等溫過程?？諝鈴椈傻膭哦认禂?shù)K與其有效承載面積4之間的關(guān)系

K-gPw^w+V^A+B\p耐

化+匕『4"產(chǎn)。5勺?

對于情形力，車輛系統(tǒng)的振動頻率較高，空氣彈簧主氣室內(nèi)部的壓力和體積變化較快，主氣室與附加氣室

之間來不及進行氣體流動，此時空氣彈簧的容積相當于主氣室容積單獨作用，經(jīng)歷絕熱過程?？諝鈴椈傻?/p>

勁度系數(shù)K與其有效承載面積4之間的關(guān)系為

5

K=a^^-Ae+/3Pi。子-/?0@

空J

2.一質(zhì)量為加半徑為R的均質(zhì)實心母球靜置于水平桌面上，母球與桌面之間的滑動摩擦因數(shù)為〃。將球桿

調(diào)整到位于過球心的豎直平面內(nèi)保持水平，并擊打母球上半部，球桿相對于球心所在水平面的高度為四,

2

擊打時間極短；母球獲得的沖量大小為P,方向水平。假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。重力加速度大小

為g。

(1)問擊打后經(jīng)過多長時間母球開始做純滾動？求母球達到純滾動時球心的運動速度；

(2)記母球達到純滾動時(以此時刻為計時零點)母球上與桌面接觸點為B,求此后的「時刻球上B點的位置、

速度與加速度。

【答案】(1)乎；

14m

15Pt'?,15Pt'J115Pt'y15P.15Pt'(15YP2

⑵--------7?sin--------,R\1-cos--------,——sin---------,-

14-m14mR(14mR)Im1SmR114)m2R

【解析】

【詳解】⑴對擊球過程應用剛體質(zhì)心運動的動量定理，有

P=mu0-0①

式中，劭是擊打結(jié)束后的瞬間母球質(zhì)心的速度(與沖量P同向)。母球受到的相對于其質(zhì)心的沖量矩為

J=P-

2

對擊球過程應用剛體轉(zhuǎn)動的角動量定理有

J—IG)Q—0③

式中，外是在擊打結(jié)束后的瞬間母球的轉(zhuǎn)動角速度。母球的轉(zhuǎn)動慣量為

7

I=-mR2④

在擊球結(jié)束后的瞬間，母球上與桌面相接觸的點A的速度為

vA-u0-Ra>0⑤

由①②③④⑤式可知，在擊球結(jié)束的瞬間，母球上A點的速度為

P

v=—<0⑥

A4m

A點沿著x軸(取x軸正向與尸同向)負方向滑動。小球受到沿龍軸正方向的摩擦力6為

Ff=jumg⑦

在擊球結(jié)束后的時刻t,應用剛體的質(zhì)心運動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理有

mu=Ff⑧

Ia)=-/jmgR⑨

式中，取。與g同向為正。由①①②③④⑧⑨式可知，，時刻母球質(zhì)心的速度和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度分別

為

u(?)=u0+ut=u0+jugt⑩

/八PR/LimgRt

①(t)=①。+cot=-------——(11)

在r時刻，A點的速度為

tp

(r)="(r)+7?0(/)=—?

由?式可知，接觸點A的速度隨時間的增加逐漸由負值變?yōu)?/p>

時，母球開始做純滾動。由上式和?式得，母球被擊打后經(jīng)過時間

P

t=~——03)

012/umg

開始做純滾動，此時母球球心C的速度為

15P

u=kigt+u=——(14)

c0Q14m

(2)由純滾動條件知，在任意時刻一>0,水平滾動距離等于8點(此點就是在擊球結(jié)束后的瞬間母球上與桌

面相接觸的點A)從時刻f'=0到時刻/經(jīng)過的弧長，該弧長對應的圓心角為

8(15)

R

B點在時刻「的位置為

15P.utf15Ptf

ffnc157Vn.

xB=uct-RsinO=-----1-Rsin=----------Asin--------(16)

14mR14m14m7?

15Pfy

力=R(1-cos8)=R1-=R\1-cos14m7?J?

這里，以5點在七0的位置為坐標原點，入軸與尸同向，y軸正向豎直向上。（16）?式兩邊對時間求導得，B

點速度分量為

vBy=ucsin0=ucsin—

3點速度的大小為

15P.15Pt'

=2ucsin里-=

VB=-----sin--------?

2R7m18mR

設(shè)5點速度的方向與水平方向的夾角為a,則

.urtc.l/Ly-ttl/Ly-tt

sin—2sin—^cos—ut

tan?=2kRRR=cot—r

V、utR

Bx1-cos-tr―2城也

RR

故

f

71Urt7115Pf

a-------———.....................?

22R228mR

將5點速度分量對時間求導得，8點的加速度分量為

2fr

aBx=—sin—

RR

2

H/f-y

aBy-cos—

RR

加速度大小為

?

R114JnrR

方向指向母球球心Co

3.負微分電阻效應是指某些電路或電子元件（如隧道二極管）在特定的電壓范圍內(nèi)其電流隨端電壓增加而

減少的特性，該效應可在電路中維持高頻振蕩并輸出放大的交流信號。在圖所示的簡化電路中，。為一隧

道二極管，其左側(cè)由一定值電阻R、一電感L和一電容C串聯(lián)組成，回路交流電流記為i（r）；其右側(cè)由一

理想的高頻扼流圈RFC（直流電阻為零，完全阻斷交流信號）和一理想恒壓直流電源Vo組成，回路直流電

流記為（力|）,已標示電流正方向。D始終處在特定電壓范圍內(nèi)，這時其電阻值為-Ro（R|>0,且為

一定值）。

⑴已知Z=0時，1（0）=0,1（0）=萬30"表示a對1微商）;交流電流隨時間的變化滿足

（%、四、12、尸2為待定常量）試確定常量%、兒、。2、42，以確定任意時刻f的交流電流（力；

（2）試說明在什么條件下左側(cè)回路中會發(fā)生諧振？并求在發(fā)生諧振的情形下左側(cè)回路中電流加（?）和諧振頻

率向

（3）試說明在什么條件下左側(cè)回路中會發(fā)生RLC阻尼振蕩？并求此時左側(cè)回路中電流為力（力和振蕩頻率由；

（4）已知該隧道二極管。正常工作（即能保持其具有負微分電阻效應）的范圍為均后笆區(qū)匕如，（Vmin.Vnua

為已知常量）試求該隧道二極管上交流部分可能達到的最大平均功率匕^、以及此時理想恒壓直流電源的

輸出電壓Vbo

Lc阪v

廣000000Ml------<666666TH

_￡

CLX—,-------------------------a?—

【答案】⑴2,皇;￡'2

「lb

1+2L'I2LJLC1

---------------；⑵。/7T7；⑶

j產(chǎn)2兀瓜

22LN2L)LC

【解析】

【詳解】(1)左側(cè)回路電勢之和為零，有

7?z(/)+Lz(/)+—|+(-7?0)z(?)=00

Co

題給的i")的一般形式是

z(?)=cqe4+a/陽②

由初始條件有

z(0)=4+%=0

“o)”+%&=，③

由③式知

%彳0,%片0④

將②式代入①式得

ptPltfl,thtl3tPlt

^R-RQ)[axe'+a2e+L-^-^ale+a^e^+-^^aie'+a2e^dt'=0

得

-nrn/\

apJ+

\(R-&)+L01+e'+a2[R-RQ)+Lf32+-^-0=3~p~p

兩邊對t微商得

aiL優(yōu)+(R—R。)0[+e的+%乙虜+(R—R0)夕2+5e，”=0

不失普遍性，可設(shè)A（因為A=A可視為A*A但A4A的極限情形）。上式對任意的時刻t都

等于零；因而，各指數(shù)項的系數(shù)均應為零，即

L優(yōu)+伊—&）四十:=0

<；⑤

L雋+（7?-7?（））/?2+—=0

解得

R-%

4=B+=2L

區(qū)=R-&

B=2L

另一種選擇A=昆、夕2=，+，導致同樣的結(jié)果。由③⑥式得

飛產(chǎn)―，的-⑦

H2L)LCH2L)LC

由②⑥⑦式得

(2)要在左側(cè)回路中產(chǎn)生諧振(即電流i(t)持續(xù)等幅振蕩)，須使電路的能量不隨時間耗損，同時電流隨時

間期性變化。因而有

"用=0

⑨

(2L)LC

注意，⑨式第一式直接導致⑨式第二式。所以，⑨式第一式是此電路發(fā)生諧振的條件。由⑧式和⑨式第一

式得

⑺=0?[J='辰sin[⑩

請振頻率為

⑶要在左側(cè)回路中產(chǎn)生RLC阻尼振蕩(即電流i(t)振幅隨時間t衰減)，須使電路的能量不斷隨時間耗損,

同時電流隨時間周期性變化。因而有

R—%=0?

由②國式得

這是電路發(fā)生阻尼振蕩條件。由⑧(14)式得

振蕩頻率

f-J_「Ry

Jd2MLe{2L

(4)若要使得隧道二極管上交流部分的平均最大，同時以要確保隧道二極管始終工作在負電阻區(qū)域，則須使

隧道二極道上的直流偏置電壓處在工作電壓范圍的中間位置

+

y=KnaxKlin

-2

此時的交流部分電壓可達到最大振幅

v=嗑X-嗑n

丫￡)max2

考慮到右側(cè)回路中電壓源為理想恒壓電源，且理想的高頻扼流圈RFC的直流電阻為0,由回路電勢之和為

0可知

yn一囁n

°2

此時，隧道二極管交流部分的最大平均功率為

pJ吟max(嗑x-丫而?

324竭

4.勞倫斯(E.O.Lawratce)在1930年首次提出了回旋加速器的原理：用兩個半圓形磁場，使帶電粒子沿圖

弧形軌道旋轉(zhuǎn)，反復通過兩半圓健瞰間的高頻電場加速而獲得較高能量。他因這個極富創(chuàng)意的方案而獲得

了1939年的諾貝爾物理學獎。已知數(shù)據(jù)：質(zhì)子質(zhì)量頊=938.3MeWc2,真空中的光速e=300xl08%/s。

(1)目前全球最大的回旋加速器是費米實驗室中的高能質(zhì)子同步加速器Tevaron(粒子運行最大回旋圓軌道的

周長為品*=6436機)。可以將一質(zhì)子加速到的最大能量為耳產(chǎn)"㈤=L00xl06MeV。假設(shè)質(zhì)子在被加速過程中

Imax

始終在垂直于均勻磁場的平面內(nèi)運動，不計電磁輻射引起的能量損失。求該同步加速器嶷血力?！▽①|(zhì)子加

速到上述最大能量所需要的磁感應強度的最小值5m

(2)高能入射質(zhì)子轟擊靜止的質(zhì)子(靶質(zhì)子)?？僧a(chǎn)生反質(zhì)子力，反應式為。+。。。求能產(chǎn)

生反質(zhì)子時入射質(zhì)子的最小動能，并判斷第(1)間中的在血加〃加速的質(zhì)子是否可以襲擊靜止的靶質(zhì)子而產(chǎn)生

反質(zhì)子。

【答案】

5.星際飛行器甲、乙、丙如圖所示：在慣性系E(坐標系O-孫)中觀測到飛行器甲和乙在同一直線上朝y

軸負方向勻速飛行，飛行器丙在另一直線上朝y軸正方向勻速飛行：兩條飛行直線相互平行，相距乩三艘

飛行器的速度在慣性系2中分別為慍z=(一2。/3)5\v乙z=(-c/3)g、v丙z=(2c/3)y(亍是沿

y軸正方向的單位矢量），圖中飛行器旁的箭頭表示其飛行速度的方向。假設(shè)飛行器甲、乙、丙的尺寸遠小

于1do

I

甲

TA

乙

IM丙

XU

Y'

O—

⑴某時刻，飛行器甲向乙發(fā)射一個光信號，乙收到該信號后立即將其反射回甲。據(jù)甲上的原子鐘讀數(shù)，該

光信號從發(fā)出到返回共經(jīng)歷了時間（“光信號）甲試求分別從慣性系X和乙上的觀測者來看，光信號從

甲發(fā)出到返回甲，所經(jīng)歷的時間各是多少？從甲上的觀測者來看，從甲收到返回的光信號到甲追上乙需要

多少時間？

（2）當飛行器甲和丙在慣性系S中相距最近時，從甲發(fā)射一個小貨物（質(zhì)量遠小于飛行器的質(zhì)量，尺寸可忽

略），小貨物在慣性系Z中的速度大小為=：c。為了讓丙能接收到該貨物，從甲上的觀測者來看，

該貨物發(fā)射速度的大小和方向是多少？從乙上的觀測者來看，貨物從甲發(fā)射到被丙接收所需時間（4貨）乙

是多少？

【答案】（1）;T；（2）Lb/Hg

317c

【解析】

【詳解】（1）光信號從飛行器甲發(fā)出到返回甲，從慣性系2中的觀測者來看，所需時間為

根據(jù)狹義相對論速度合成法則，飛行器甲相對于飛行器乙的速度為

2ccc

V慳+為Z=嚙E+（—V乙E）=3+3=_3_=_3c

叫心］丫甲工（一丫乙工）7

1+1+f_ZVi_2

C2c2I3J39

式中，最后的等號右邊的負號表示飛行器甲相對于乙的速度沿y軸負方向，余類推，從飛行器乙上的觀測者

來看，光信號從飛行器甲發(fā)出到返回甲所需時間為

從飛行器甲上觀測者來看，飛行器甲收到返回的光信號時，飛行器甲和乙間的距離為

I=5HA光信號）甲TV乙甲|光信號）用）=,c（△/光信號）用=,cT

從甲收到返回的光信號到甲追上乙所需的時間為

M信號）=5

=§（△，光信號）甲=

（2）考慮小貨物在慣性系Z中的速度，為了讓小貨物能被飛行器丙收到，小貨物速度的y分量應該與飛行

器丙相同

（7=丫丙工=|。

據(jù)題意，小貨物在慣性系X中的速度大小為

3

小貨物速度的X分量為

由題意，這里取正號

慣性系X相對于飛行器甲的速度為

2

（眩甲）,=。，（長甲））,=-（%）＞.=§C

根據(jù)狹義相對論速度合成法則，從飛行器甲上的觀察者來看，小貨物速度的兩個分量分別為

從飛行器甲上的觀測者來看，小貨物發(fā)射速度的大小為

貨甲（貨甲）T<2389

y=Jy8I-----------c

+p貨甲y52

發(fā)射方向與飛行器甲的運動方向之間的夾角。為

AO

兀v貨甲

0=—+arctan:人干?'=——Farctan—=2.95rad=169°

22785

v貨甲

回到參考系2，貨物從發(fā)送到接收所用的時間為

d_nd

（"貨?）xy/iyC

貨物在y方向上位移為

（Ay貨入=（n貨）（4貨』=卜髭=第

從飛行器乙上的觀測者來看，設(shè)貨物從發(fā)送到接收的時間為（△/貨）乙，由洛倫茲變換公式得

6.光纖陀螺儀是一種能夠精確測定運動物體方位的光學儀器，它是現(xiàn)代航海、航空和航天等領(lǐng)域中被廣泛

使用的一種慣性導航儀器。光纖陀螺儀導航主要基于下述效應：在一個半徑為R以角速度a轉(zhuǎn)動的光纖

環(huán)路（見下圖）中，從固定在環(huán)上的分束器A分出的兩束相干光分別沿逆時針（CCW）和順時針（CW）方

向傳播后回到4兩者的光程不一樣。檢測兩束光的相位差或干涉條紋的變化，可確定該光纖環(huán)路的轉(zhuǎn)動角

速度口。真空中的光速為C。

（1）如下圖，光纖由內(nèi)、外兩層介質(zhì)構(gòu)成，內(nèi)、外層介質(zhì)的折射率分別為九1、T12（ni>H2）o為了使光能在光纖

內(nèi)傳輸，光在輸入端口（端口外介質(zhì)的折射率為加）的入射角i應滿足什么條件？

（2）考慮沿環(huán)路密繞N匝光纖，首尾相接于分束器A,光纖環(huán)路以角速度◎沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。從A分出兩

束相干光沿光纖環(huán)路逆時針和順時針方向傳播，又回到A。已知光傳播介質(zhì)的折射率為小,兩束光在真空

中的波長為4），間兩束相干光分別沿光纖環(huán)路逆時針和順時針方向傳播的時間fccw和few為多少？這兩束

光的相位差為多少？試指出該相差與介質(zhì)折射率m之間的關(guān)系。

（3）為了提高陀螺系統(tǒng)的微型化程度，人們提出了諧振式光學陀螺系統(tǒng)。該系統(tǒng)中含有-一個沿逆時針方向旋

轉(zhuǎn)的光學環(huán)形腔，其半徑為R,旋轉(zhuǎn)角速度為◎（RQ?c）,已知腔中的介質(zhì)折射率為“，在腔內(nèi)存在沿逆

時針和順時針方向傳播的兩類共振模式。當環(huán)形腔靜止時，這些模式的波長4“o由周期邊界條件

27rR=m4“o決定，其中機為正整數(shù)，稱為共振模式的級次。當環(huán)形腔旋轉(zhuǎn)時，同一級次（均為相）的沿

順時針和逆時針方向傳播的共掘模式存在--個共振頻率差Af,試導出環(huán)形腔轉(zhuǎn)動角速度9與該共振頻率

差47之間的關(guān)系。

【答案】（1）z<arcsin^2-^；（2）見解析；（3）。=?（或9）4/

n0m2R

【解析】

【詳解】（1）設(shè)光在光纖端口以角度i入射到內(nèi)層介質(zhì)，折射角為八進而以入射角片入射到內(nèi)外層分界面

上，如圖所示

n0sini=々sini'

為了使光能在光纖內(nèi)傳輸（全反射），應有

i">ic

式中，ic是內(nèi)層介質(zhì)（相對外層介質(zhì)）的全反射的臨界角，應該滿足

sinic=

由幾何關(guān)系有

由上可行

nosin，=4cosi"4nlcosic

即

小樣一刃；

i<arcsin

(2)當圓環(huán)形陀螺儀沿逆時針以角速度。轉(zhuǎn)動時，其環(huán)路切向線速率為。凡由狹義相對論速度變換公式知,

沿逆時針和順時針方向傳播光相對實驗室參照系的線速度分別為

—FHR2

nx_c+nxQRc

—QR*+。氏

1+^—

C

J-QR

2

〃]_(c—n^QRc

*Rn1c-，R

1」—

式中，如為光傳播所通過的介質(zhì)的折射率，沿逆時針和順時針方向傳播的光繞N周回到出發(fā)點所需要的趕

時間為/ccw和tcwj它們分別由以下方程決定

v=

ccw^ccwN2?tR+HRtccw

Vcwkw=N2IR-QRtcw

由上可以解得

N27rA_N2TVR(%C+CR)

%CW—f2RR)2

N2兀R_N2TCR(\C—CR)

v℃w+CR，—(X27?)2

沿逆時針和順時針方向傳播的這兩束的相差為

N4兀NC

紈=苧Qccw-a)=苧

02_卬)2

可知相差與介質(zhì)的折射率無關(guān)

（3）在旋轉(zhuǎn)的環(huán)形腔中，存在沿逆時針方向和順時針方向傳播的共振模式，沿順時針和逆時針方向傳播的

共振光波的波長滿足以下條件（加表示諧振波的級次）

^cw=m^cw

^ccw=m^ccw

這里，Lew.Law分別表示在環(huán)形腔旋轉(zhuǎn)的情況下沿順時針和逆時針方向傳播的共振光波的波前從分束器A

發(fā)出又回到A所經(jīng)過的路程，即

^cw=vcw^cw

^ccw=vccw^ccw

取N=1及m=n可得

2TTR(C2-nQR)

vcw^cw=

C2-(/27?)2

27rH(，+nQR)

vccw^ccw

C2-(HR)2

可知，沿順時針和逆時針方向傳播的同一能次（相相同）的兩個共振模式之間的頻率差為

cl1me11

AJ=Jew~Jeew=一右---------）=——（7-------~r------）

〃“CW&CW〃^cw^ccw

mf2c2—（127?）2mC,T2R。、

=------3―-——二x——（或-----）

7ic-（nCR）7i2w0

即

C兀A/—P-4冽。、力

o=一//￡（或=）/A/

m2R7r

7.激光干沙引力波天文臺（LIGO）2015年首次探測到了十億光年外雙黑洞并合產(chǎn)生的引力波，證實了愛因

斯坦理論關(guān)于存在引力波和黑洞的預言。黑洞并合過程分為三個階段：第一階段（旋近階段），兩黑洞圍繞

系統(tǒng)質(zhì)心在同一平面內(nèi)做近似圓周的運動（見圖），損失的機械能轉(zhuǎn)化為引力輻射能，兩者螺旋式逐漸靠近;

第二階段（并合階段），雙黑洞并合為一個黑洞；最后階段（衰蕩階段），并合的黑洞弛豫至平衡狀態(tài)，成

為一個穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)黑洞。在旋近階段，若忽略黑洞的自轉(zhuǎn)和大小，則雙黑洞均可視為質(zhì)量分別恒為M與機

的質(zhì)點。它們之間距離/。隨時間而逐漸減小。假定系統(tǒng)除了輻射引力波外無其它能量耗散，不考慮引力輻

射的反作用，可用牛頓引力理論進行近似處理。

⑴引力波輻射功率除了與引力常量G成正比之外，還可能與兩黑洞的質(zhì)量M與相、兩黑洞之間的距離L、

以及系統(tǒng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量/、轉(zhuǎn)動角速度。和輻射引力波的傳播速度（其大小等于真空中的光速c）有關(guān),

試選取描述轉(zhuǎn)動體系輻射的三個物理量與G一起導出引力波輻射功率的表達式（假設(shè)其中可能待定的無量

綱比例常數(shù)為&）；

（2）若在初始時刻U0時兩黑洞之間的距離為Lo,且引力波輻射功率表達式中的無量綱比例常數(shù)a是已知的,

求兩黑洞從t=0時開始繞系統(tǒng)質(zhì)心旋轉(zhuǎn)360。所需要的時間；

（3）當兩黑洞從t=0時開始繞系統(tǒng)質(zhì)心旋轉(zhuǎn)多少度時，它們間的距離恰好是其初始距離的一半?

【解析】

【詳解】（1）引力波輻射功率的表達式

P=aGI%2

式中a是無量綱的比例系數(shù)，九33是待定哥次，則

[P]=MUTT=叱-爐+力3Tge2

由上式得

2-1=1

{24+3+3=2

J+cr+2=3

由方程組解得

2=2,J=6,J=-5

聯(lián)立解得

aGI-a)6

P=

⑵兩黑洞繞質(zhì)心做近似圓周運動，設(shè)質(zhì)量為〃和0的兩黑洞相距L,到系統(tǒng)質(zhì)心的距離分別為7?和r,由牛

頓引力定律得

Mm

G三~=marr

Mm

G丁=M療R

由上式聯(lián)立得

G(M+m)

CD2

￡3

則系統(tǒng)總能量

GMmG213Mm

E2/3

2L2(M+m)1/3

則引力波輻射功率尸滿足

P二一姮G"3Mm-1/3dCD

dt3(M+m)dt

系統(tǒng)對其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為

M+m

由上式聯(lián)立得

^G7V/3M2m2

c5(M+m)2/3

即

53

_11/3dco3aGMm

CD-------=--------7--------------------------T7T

dtc+m)

對上式兩邊積分

…6M￥Mm7,

5---------------77?力

Jor+m)

得

-3/8

5/3

-8/38^GMmt

CO—CDq

c5(M+m)1/3

de

由折一得

dt

9=4+J。co1dt'

5/8

+加嚴恣5/351/353

c(M+m)_8/3SaGMmt

=%+