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湖南省湘東六校2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.如圖是一個(gè)射擊靶的示意圖,其中每個(gè)圓環(huán)的寬度與中心圓的半徑相等.某人朝靶上任意射擊一次沒(méi)有脫靶,則其命中深色部分的概率為()A. B. C. D.2.在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中,對(duì)任意都有.若,則等于()A.256 B.510 C.512 D.10243.已知數(shù)列滿足是數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A. B. C. D.4.如圖是某個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖,,是兩條側(cè)面對(duì)角線,則在該正方體中,與()A.互相平行 B.異面且互相垂直 C.異面且?jiàn)A角為 D.相交且?jiàn)A角為5.已知圓:及直線:,當(dāng)直線被截得的弦長(zhǎng)為時(shí),則等于()A. B. C. D.6.過(guò)點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是()A. B.C. D.7.函數(shù)的圖象如圖所示,則y的表達(dá)式為()A. B.C. D.8.如果數(shù)列的前項(xiàng)和為,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是()A. B. C. D.9.公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3是a2與a6的等比中項(xiàng),S3=3,則S8=()A.36 B.42 C.48 D.6010.已知,,從射出的光線經(jīng)過(guò)直線反射后再射到直線上,最后經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn),則光線所經(jīng)過(guò)的路程可以用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為一條線段,這條線段的長(zhǎng)為()A. B.3 C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱)的會(huì)徽?qǐng)D案,會(huì)徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的,其中,如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去,記的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)____.12.已知,,則________(用反三角函數(shù)表示)13.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則___________.14.在銳角△中,角所對(duì)應(yīng)的邊分別為,若,則角等于________.15.________.16.已知扇形的半徑為6,圓心角為,則該扇形的面積為_(kāi)______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.在直角坐標(biāo)系中,,,點(diǎn)在直線上.(1)若三點(diǎn)共線,求點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若,求點(diǎn)的坐標(biāo).18.“精準(zhǔn)扶貧”的重要思想最早在2013年11月提出,到湘西考察時(shí)首次作出“實(shí)事求是,因地制宜,分類指導(dǎo),精準(zhǔn)扶貧”的重要指導(dǎo)。2015年在貴州調(diào)研時(shí)強(qiáng)調(diào)要科學(xué)謀劃好“十三五”時(shí)期精準(zhǔn)扶貧開(kāi)發(fā)工作,確保貧困人口到2020年如期脫貧。某農(nóng)科所實(shí)地考察,研究發(fā)現(xiàn)某貧困村適合種植A、B兩種藥材,可以通過(guò)種植這兩種藥材脫貧。通過(guò)大量考察研究得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):藥材A的畝產(chǎn)量約為300公斤,其收購(gòu)價(jià)格處于上漲趨勢(shì),最近五年的價(jià)格如下表:編號(hào)12345年份20152016201720182019單價(jià)(元/公斤)1820232529藥材B的收購(gòu)價(jià)格始終為20元/公斤,其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下:(1)若藥材A的單價(jià)(單位:元/公斤)與年份編號(hào)具有線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)求出關(guān)于的回歸直線方程,并估計(jì)2020年藥材A的單價(jià);(2)用上述頻率分布直方圖估計(jì)藥材B的平均畝產(chǎn)量,若不考慮其他因素,試判斷2020年該村應(yīng)種植藥材A還是藥材B?并說(shuō)明理由.附:,.19.的內(nèi)角所對(duì)邊分別為,已知.(1)求;(2)若,,求的面積.20.已知常數(shù)且,在數(shù)列中,首項(xiàng),是其前項(xiàng)和,且,.(1)設(shè),,證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),,證明數(shù)列是等差數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;(3)若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),數(shù)列取到最小值,求的取值范圍.21.某科研小組研究發(fā)現(xiàn):一棵水蜜桃樹(shù)的產(chǎn)量(單位:百千克)與肥料費(fèi)用(單位:百元)滿足如下關(guān)系:,且投入的肥料費(fèi)用不超過(guò)5百元.此外,還需要投入其他成本(如施肥的人工費(fèi)等)百元.已知這種水蜜桃的市場(chǎng)售價(jià)為16元/千克(即16百元/百千克),且市場(chǎng)需求始終供不應(yīng)求.記該棵水蜜桃樹(shù)獲得的利潤(rùn)為(單位:百元).(1)求利潤(rùn)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí),該水蜜桃樹(shù)獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】
分別求出大圓面積和深色部分面積即可得解.【詳解】設(shè)中心圓的半徑為,所以中心圓的面積為,8環(huán)面積為,射擊靶的面積為,所以命中深色部分的概率為.故選:D【點(diǎn)睛】此題考查幾何概型,屬于面積型,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解面積,根據(jù)圓環(huán)特征分別求出面積即可得解.2、C【解析】
因?yàn)?,所以,則因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),所以所以,故選C3、D【解析】
由已知遞推關(guān)系式可以推出數(shù)列的特征,即數(shù)列和均是等比數(shù)列,利用等比數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】解:由已知可得,當(dāng)時(shí),由得,所以數(shù)列和均是公比為2的等比數(shù)列,首項(xiàng)分別為2和1,由等比數(shù)列知識(shí)可求得,,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推關(guān)系式,及等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí),屬于中檔題.4、D【解析】
先將平面展開(kāi)圖還原成正方體,再判斷求解.【詳解】將平面展開(kāi)圖還原成正方體如圖所示,則B,C兩點(diǎn)重合,所以與相交,連接,則為正三角形,所以與的夾角為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.5、C【解析】
求出圓心到直線的距離,由垂徑定理計(jì)算弦長(zhǎng)可解得.【詳解】由題意,圓心為,半徑為2,圓心到直線的距離為,所以,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題,解題方法由垂徑定理得垂直,由勾股定理列式計(jì)算.6、A【解析】
當(dāng)直線與垂直時(shí)距離最大,進(jìn)而可得直線的斜率,從而得到直線方程?!驹斀狻吭c(diǎn)坐標(biāo)為,根據(jù)題意可知當(dāng)直線與垂直時(shí)距離最大,由兩點(diǎn)斜率公式可得:所以所求直線的斜率為:故所求直線的方程為:,化簡(jiǎn)可得:故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式,涉及直線的點(diǎn)斜式方程和一般方程,屬于基礎(chǔ)題。7、B【解析】
根據(jù)圖像最大值和最小值可得,根據(jù)最大值和最小值的所對(duì)應(yīng)的的值,可得周期,然后由,得到,代入點(diǎn),結(jié)合的范圍,得到答案.【詳解】根據(jù)圖像可得,,即,根據(jù),得,所以,代入,得,所以,,所以,又因,所以得,所以得到,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式,屬于簡(jiǎn)單題.8、B【解析】
根據(jù),當(dāng)時(shí),,再結(jié)合時(shí),,可知是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由,當(dāng)時(shí),,所以,當(dāng)時(shí),,此時(shí),所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,即.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
設(shè)出等差數(shù)列的公差d,根據(jù)a3是a2與a6的等比中項(xiàng),S3=3,利用等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)得到關(guān)于等差數(shù)列首項(xiàng)和公差方程組,求出方程組的解集即可得到首項(xiàng)和公差,然后再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求出S8即可【詳解】設(shè)公差為d(d≠0),則有,化簡(jiǎn)得:,因?yàn)閐≠0,解得a1=-1,d=2,則S8=-82=1.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】此題考查運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求值,意在考查公式運(yùn)用,是基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)題意,畫出示意圖,求出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而利用兩點(diǎn)之間距離公式求解.【詳解】根據(jù)題意,作圖如下:已知直線AB的方程為:,則:點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為,則:,解得點(diǎn),同理可得點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為:故光線的路程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求解、斜率的求解、以及兩點(diǎn)之間的距離,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
由圖可知,由勾股定理可得,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】根據(jù)圖形,因?yàn)槎际侵苯侨切危?是以1為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列,,,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用,等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式,以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力,屬于與中檔題.12、【解析】∵,,∴.故答案為13、100【解析】
根據(jù)題意可求出首項(xiàng)和公差,進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】得【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為等差數(shù)列的求和,為基礎(chǔ)題目,利用基本量思想解題即可,充分記牢等差數(shù)列的求和公式是解題的關(guān)鍵.14、【解析】試題分析:利用正弦定理化簡(jiǎn),得,因?yàn)?,所以,因?yàn)闉殇J角,所以.考點(diǎn):正弦定理的應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用、以及特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題,其中解答中涉及到解三角形中的邊角互化,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值的應(yīng)用,解答中熟練掌握正弦定理的變形,完成條件的邊角互化是解答的關(guān)鍵,注重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,同時(shí)注意條件中銳角三角形,屬于中檔試題.15、【解析】
直接利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn),即可得到結(jié)果.【詳解】.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.16、【解析】
用弧度制表示出圓心角,然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算出扇形的面積.【詳解】圓心角為對(duì)應(yīng)的弧度為,所以扇形的面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查角度制和弧度制互化,考查扇形面積的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)三點(diǎn)共線,則有與共線,由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得點(diǎn)坐標(biāo);(2),則,由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得【詳解】設(shè),則,(1)因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以與共線,所以,,點(diǎn)的坐標(biāo)為.(2)因?yàn)?,所以,即,,點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線和向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.18、(1),當(dāng)時(shí),;(2)應(yīng)該種植A種藥材【解析】
(1)首先計(jì)算和,將數(shù)據(jù)代入公式得到回歸方程,再取得到2020年單價(jià).(2)計(jì)算B藥材的平均產(chǎn)量,得到B藥材的總產(chǎn)值,與(1)中A藥材作比較,選出高的一個(gè).【詳解】解:(1),,當(dāng)時(shí),(2)利用概率和為1得到430—450頻率/組距為0.005B藥材的畝產(chǎn)量的平均值為:故A藥材產(chǎn)值為B藥材產(chǎn)值為應(yīng)該種植A種藥材【點(diǎn)睛】本題考查了回歸方程及平均值的計(jì)算,意在考察學(xué)生的計(jì)算能力.19、(1);(2)5.【解析】
(1)根據(jù)正弦定理得,化簡(jiǎn)即得C的值;(2)先利用余弦定理求出a的值,再求的面積.【詳解】(1)因?yàn)?,根?jù)正弦定理得,又,從而,由于,所以.(2)根據(jù)余弦定理,而,,,代入整理得,解得或(舍去).故的面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦余弦定理解三角形,考查三角形面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)證明見(jiàn)解析,;(2)證明見(jiàn)解析,;(3).【解析】
(1)令,求出的值,再令,由,得出,將兩式相減得,再利用等比數(shù)列的定義證明為常數(shù),可得出數(shù)列為等比數(shù)列,并確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比,可求出;(2)由題意得出,再利用等差數(shù)列的定義證明出數(shù)列為等差數(shù)列,確定等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,由數(shù)列在時(shí)取最小值,可得出當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,再利用參變量分離法可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),有,即,;當(dāng)時(shí),由,可得,將上述兩式相減得,,,且,所以,數(shù)列是以,以為公比的等比數(shù)列,;(2)由(1)知,,由等差數(shù)列的定義得,且,所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列,因此,;(3)由(2)知,,,由數(shù)列在時(shí)取最小值,可得出當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由,得,得在時(shí)恒成立,由于數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞減,則,此時(shí),;由,得,得在時(shí)恒成立,由于數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞減,則,此時(shí),.綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用定義證明等比數(shù)列和等差數(shù)列,證明時(shí)需結(jié)合題中數(shù)列遞推式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行證明,同時(shí)也考查數(shù)列最值問(wèn)題,需要
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