概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題庫

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試題〔1〕

一、判斷題〔此題共15分，每題3分。正確打“V”，錯誤打“X”)

⑴對任意事件A和B,必有P(AB)=P(A)P(B)()

⑵設(shè)A、B是Q中的隨機事件，那么(AUB)-B=A()

⑶假設(shè)X服從參數(shù)為X的普哇松分布，那么EX=DX()

(4)假設(shè)檢驗根本思想的依據(jù)是小概率事件原理()

1n一

⑸樣本方差S>—是母體方差DX的無偏估計1)

n普

二、(20分)設(shè)A、B、C是Q中的隨機事件，將以下事件用A、B、C表示出來

(1)僅A發(fā)生，B、C都不發(fā)生；

12)A,5c中至少有兩個發(fā)生；

(3)A,瓦C中不多于兩個發(fā)生；

(4)A,3,C中恰有兩個發(fā)生；

⑸A,5c中至多有一個發(fā)生。

三、門5分)把長為a的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率.

四、(10分)離散型隨機變量X的分布列為

求y=x?的分布列.

五、(10分)設(shè)隨機變量X具有密度函數(shù)f(x)=geTM,oo<x<oo,

求X的數(shù)學(xué)期望和方差.

六、門5分)某保險公司多年的資料說明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%,以X表示在隨機抽查100

個索賠戶中因被盜而向保險公司索賠的戶數(shù)，求P(14KXK30).

x00.511.522.53

①(x)0.5000.6910.8410.9330.9770.9940.999

七、(15分)設(shè)X-X2，?，X”是來自幾何分布

p(X=k)=pQ_p)kT,k=1,2,…,0<p<l,

的樣本，試求未知參數(shù)p的極大似然估計.

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試題〔1〕評分標(biāo)準(zhǔn)

一(DX；⑵X；⑶J；(4)V；(5)XO

二解[1)ABC

⑵ABACBC^LABCABCABCABC,

[3)Zj豆IJ。或ABSABCABC\ABC(ABC\ABCABC；

⑷ABCABC\ABC-,

(5)ABACl耳右或南「ABCABC.ABC

每題4分；

三解設(shè)4='三段可構(gòu)成三角形’，又三段的長分別為—x—y,那么

0<x<?,0<y<a,G<x+y<a,不等式構(gòu)成平面域S.------------------------------------5分

八、乙八a八aa

/^0<x,0<y<],5Vx+y<a

不等式確定S的子域A,-----------------------------------------10分

所以

Dc4的面積_1

-------------------------------------------15分

四解F的分布列為

70149

530530

Y的取值正確得2分，分布列對一組得2分；

00

p+1II

五解￡X=f%?TTna=0,(因為被積函數(shù)為奇函數(shù))-----------------4分

J-2

1+00(*4-00

=2[-祀-1+j0^Xdx]=2.------------------------------------------10分

六解X?b(k;100,0.20),EX=100X0.2=20,DX=100X0.2X0.8=16,一一5分

30-2014-20

P(14<X<30)?①(廣)-0()----------------------------10分

-A/16

=0.994+0.933-1

=0.927.----------------------------------------------------15分

n

n工國一〃

七解L(Xi，—,x,;p)=[["(l-p)“T=pn(l-p)<^----------5分

Z=1

dppl-p

解似然方程

p1-p

得p的極大似然估計

1八

p=o-----------------------------------------------------------------------15分

X

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末試題(2)與解答

一、填空題(每題3分，共15分)

1.設(shè)事件A3僅發(fā)生一個的概率為0.3,且P(A)+P(5)=0.5,那么至少有一個不發(fā)生的概率

為.

2.設(shè)隨機變量X服從泊松分布，且。(X<1)=4P(X=2),那么P(X=3)=.

3.設(shè)隨機變量X在區(qū)間(0,2)上服從均勻分布，那么隨機變量y=X?在區(qū)間(0,4)內(nèi)的概率密度為

%(y)=-

4.設(shè)隨機變量XI相互獨立，且均服從參數(shù)為4的指數(shù)分布，尸(X>l)="2,那么彳=,

P{min(X,r)<1}=.

5.設(shè)總體X的概率密度為

(6+1)/,0<x<1,

/(x)=<

[0,其它

X],x2,…,x”是來自x的樣本，那么未知參數(shù)e的極大似然估計量為

解：1.P(AB+AB)=0.3

即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)

所以P(A5)=0.1

P(AU目)=P(A8)=1-P(AB)=0.9.

2.P(X<1)=P(X=0)+P(X=1)=尸(X=2)=—

由P(X<1)=4P(X=2)知+Q'=2^

即2下—2一1=0解得丸=1,故

P(X=3)=#.

3.設(shè)F的分布函數(shù)為弓(y),X的分布函數(shù)為弓(x),密度為人(x)那么

因為x~u(o,2),所以耳(―J7)=o,即工(y)=q(J7)

故

另解在(0,2)上函數(shù)丁=必嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)為/z(y)=J1

所以

4.尸(X>1)=1—P(X<l)=e-"="2,故2=2

=1l-e八一4.

5.似然函數(shù)為L(x…立(，+1)靖=(。+1)"&,

1=1

解似然方程得e的極大似然估計為

o=——--------1.

1n

—力nx,

二、單項選擇題〔每題3分，共15分)

1.設(shè)A,瓦C為三個事件，且相互獨立，那么以下結(jié)論中不正確的選項是

[A)假設(shè)P(C)=1,那么AC與也獨立.

(B)假設(shè)P(C)=1,那么A。與B也獨立.

[C)假設(shè)P(C)=0,那么A。與B也獨立.

[D)假設(shè)CuB,那么A與C也獨立.〔

2.設(shè)隨機變量X~N(0,l),X的分布函數(shù)為①(x),那么P(|X|>2)的值為

[A)2[1—①(2)].(B)2①(2)—1.

[C)2-0(2).(D)1-20(2).()

3.設(shè)隨機變量X和y不相關(guān)，那么以下結(jié)論中正確的選項是

[A)X與F獨立.〔B〕D(X-Y)DX+DY.

[C)D(X-Y)=DX-DY.(D〕D(XY)=DXDY,〔)

4.設(shè)離散型隨機變量X和F的聯(lián)合概率分布為

假設(shè)x,y獨立，那么名尸的值為

,、2cl,、1c2

[A)OL——,B——.(A)CC=-,B=-.

9999

,、5。1

[C)a=—,/3=—(D〕a=—,B=—

661818

5.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望為〃,X-X2，、X“為來自X的樣本，那么以下結(jié)論中

正確的選項是

［A)X1是〃的無偏估計量.(B〕X］是〃的極大似然估計量.

［C)X］是〃的相合〔一致)估計量.(D)X］不是〃的估計量.〔)

解：1.因為概率為1的事件和概率為。的事件與任何事件獨立，所以［A),(B),［C)都是正確的,

只能選［D).

事實上由圖可見A與C不獨立.

2.X~N(O,1”3(|X|<2)=1-P(-2<X<2)

=1-0(2)+0(-2)=-0(2)]應(yīng)選[A).

3.由不相關(guān)的等價條件知應(yīng)選［B).

4.假設(shè)X/獨立那么有

—▼~

12')

X\3

1111

1

69183

11

2a—+cr+/

33故應(yīng)選(A).

j_1

—FCC帚估計，應(yīng)選(A).

2918

ZU、1/八)14H|y\J/UAC.口T口MU檢查時，一個合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.05,一個次品

被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.02,求［1)一個產(chǎn)品經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的概率；［2)一個經(jīng)

檢查后被認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率.

解：設(shè)4='任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢驗認(rèn)為是合格品‘

B='任取一產(chǎn)品確是合格品'

那么⑴P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)

⑵P(B|A)="A3)=S9xS95=09977

P(A)0.857

四、［12分)從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨

立的，并且概率都是2/5.設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列、分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方

差.

解：X的概率分布為

X0123

即

p2754368

125125125125

X的分布函數(shù)為

318

DX3Xx—=

t525

五、［10分)設(shè)二維隨機變量(X,y)在區(qū)域D={(x,y)|x20,y>0,x+y<l}上服從均勻分布.求

(1)(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度；(2)Z=X+F的分布函數(shù)與概率密度.

解［y］1)(X,Y)的概率密度為

《利用公式fz(z)=\z-x)dx

7、\%+y=lrc

^kpf2,0<x<l,0<z-x<l-xJ2,0<x<1,x<z<l.

其您m，…它不，其匕

x+y=z

當(dāng)z<0或z>l時L(z)=0

0<z卜1時加/爐工［0dx=2忒=2z

/故Z的概率密度為

Z白陣金3_______

或利用分布函數(shù)法

六、(10分)向一目標(biāo)射擊，目標(biāo)中心為坐標(biāo)原點，命中點的橫坐標(biāo)X和縱坐標(biāo)F相互獨立，且均服從

N(0,22)分布.求［1)命中環(huán)形區(qū)域D={(x,y)|l<x2+y2<2}的概率；［2)命中點到目標(biāo)中心

距離Z=7^2+/2的數(shù)學(xué)期望.

七、〔11分)設(shè)某機器生產(chǎn)的零件長度(單位：cm)X~,今抽取容量為16的樣本，測得樣

本均值元=10,樣本方差Y=0.16.(1)求〃的置信度為0.95的置信區(qū)間；［2)檢驗假設(shè)

2

Ho:a<0.1〔顯著性水平為0.05).

(附注)?005(16)=1.746,r005(15)=1.753,/0025(15)=2.132,

解：［1)〃的置信度為1一a下的置信區(qū)間為

所以〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為〔9.7868,10.2132)

(2〕J/。的拒絕域為27，(“一1).

15V2

z2=-=15x1.6=24,麻a(15)=24.996

因為/=24<24.996=麻。5(15)，所以接受％.

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末試題(3)與解答

一、填空題(每題3分，共15分)

(1)設(shè)事件A與6相互獨立，事件6與C互不相容，事件A與C互不相容，且P(A)=P(5)=0.5,

P(C)=0.2,那么事件A、B、。中僅C發(fā)生或僅C不發(fā)生的概率為.

(2)甲盒中有2個白球和3個黑球，乙盒中有3個白球和2個黑球，今從每個盒中各取2個球，發(fā)現(xiàn)

它們是同一顏色的，那么這顏色是黑色的概率為.

2x,0<x<1,

(3)設(shè)隨機變量x的概率密度為｛現(xiàn)對x進行四次獨立重復(fù)觀察，用丫表示

觀察值不大于0.5的次數(shù)，那么EY2=.

(4)設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的分布列為

假設(shè)￡XY=0.8,那么Cov(X,Y)=.

(5)設(shè)X],X2,…,X"是總體N(〃,4)的樣本，S?是樣本方差，假設(shè)P(S2〉q)=0.01,那么

a=_________.

1注:2^(17)=33.4,就005g7)=35.7,^1(16)=32.0,就005a6)=34.2)

解：mP(ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)

因為A與C不相容，5與C不相容，所以XnC,豆=)C,故而C=C

同理ABC=AB.

P(ABC+ABC)=P(C)+P(AB)=0.2+0.5x0,5=0.45.

[2)設(shè)4='四個球是同一顏色的‘，

耳='四個球都是白球'，耳=’四個球都是黑球，

那么A=耳+3?.

P(AB2)

所求概率為P(B2|A)==—豈匿

P(A)P(4)+P(

所以尸(BJA)=g.

⑶y~B(4,p),

r0-5i-1

其中p=P(XV0.5)=]()2xdx=xo1^,

1133

￡y=4x—=1,DY=4x-x-=-

4444f

15

EY92=DY+(EY)92=—+1=—.

44

⑷(x,y)的分布為

0.60.4

這是因為〃+5=0.4,由石XY=0.8得0.2+2/?=0.8

EX=0.6+2x0.4=14,￡7=0.5

故cov(X,r)=EXF-￡XEr=0.8-0.7=0.1.

i6o2

[5)P(S2>a)=P{-^->4a}=0.01

4

即/.oi(16)=4a，亦即4a=32，a=8.

二、單項選擇題〔每題3分，共15分)

[1)設(shè)A、B、C為三個事件，P(AB)>0RP(C\AB)=l,那么有

(A〕P(C)<P(A)+P(B)-1.⑻P(C)<P(AB).

(C)P(C)>P(A)+P(B)-1.(D)P(C)>P(A.B).()

[2)設(shè)隨機變量X的概率密度為

且y=aX+人~N(0,l),那么在以下各組數(shù)中應(yīng)取

(A〕<7=1/2,b=l.(B)a=A/212,b=-s/2.

(C)a=1/2,Z?=—1.(D)a--s/2/2,b=—A/2.()

[3)設(shè)隨機變量X與F相互獨立，其概率分布分別為

那么有

(A)P(X=y)=0.⑻P(X=Y)=0.5.

(C)P(X=Y)=0.52.(D)P(X=y)=l.()

[4)對任意隨機變量X,假設(shè)EX存在，那么E[E(EX)]等于

[A)0.[B)X.1C)EX.[D)(EX：〔)

15)設(shè)石,々，為正態(tài)總體N(〃,4)的一個樣本，元表示樣本均值，那么〃的

置信度為的置信區(qū)間為

_4_

(zX—U2~7=?X+u

a/yjn

/—2.

⑻(X~Ul-a/2~i=^X+U

7n

2_

(C)(X—"a~1==,冗+〃

Jn

L2_

(D)(X—U2-%〃)

a/y/n

解⑴由P(CIAB)=1知P(ABC)=P(AB),故P(C)>P(AB)

應(yīng)選C.

[a+2)2[[x-(-2)]2

⑵/(x)=e~=re2(*

即X~N(-2,V22)

1-71-

故當(dāng)。=萬b=--j==41時Y=aX+b~Ng,1)

應(yīng)選B.

(3)尸(X=y)=p(x=0,y=o)+P(x=i,y=1)

應(yīng)選c.

[4)E[E(EX)]=EX

應(yīng)選C.

15)因為方差，所以〃的置信區(qū)間為

應(yīng)選D.

三、(8分)裝有10件某產(chǎn)品〔其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的

箱子中喪失一件產(chǎn)品，但不知是幾等品，今從箱中任取2件產(chǎn)品，結(jié)果都

是一等品，求喪失的也是一等品的概率。

解：設(shè)4='從箱中任取2件都是一等品'

耳='喪失，等號'，=1,2,3.

那么尸(A)=尸(4)P(A|4)+P(B2)P(AI約)+尸(反)P(AI自)

1C；3C：1Cl2

———.——I-------------.1-=——.

2C；10Cg5C；9'

所求概率為P(B"A)==3

P(A)8

四、[10分)設(shè)隨機變量X的概率密度為

求⑴常數(shù)。；⑵X的分布函數(shù)歹(x)；⑶P(1<X<3).

解：⑴1=[f(x)dx=[{ax+V)dx=(―x2+X)Q=2a+2

J-ooJo2

〔2)X的分布函數(shù)為

32

⑶P(l<x<3)=ji/(x)t&=ji(l-|)t&=1.

五、(12分)設(shè)(X,Y)的概率密度為

求門)邊緣概率密度％(x),人(y)；⑵p(x+r<i)；

(3)z=x+r的概率密度1yz(z).

f4-00fO,x<0,

解：⑴A(x)=Jf(x,y)dy=<=<

J—00x>0.[xe~x,x>0.

y

￡

1-y_

(2y=>=JJ/(x,y)dxdy=j2e~xdxdy

x+y<l0y1

1

=l-2e~^+el.

zX-----

x+y=l

「4-00

13)人(z)=f(x,z-x)dx

J—00

zz=2x當(dāng)z<0時心⑶:。

z

z>0時，()—=e'-"Z

/所以

六、1以/m設(shè)x~u[o,i],y~u[o,u且x與F獨立，求E|X—W；

-o設(shè)X~N(O,I),y~貓。,1)且x與F獨立，求?x—

試用來自總體的樣本國,馬,…,Z，求未知參數(shù)。的矩估計和極大似然估計.

解：先求矩估計

3=-^-故。的矩估計為。=一乙

1—〃11-X

再求極大似然估計

所以。的極大似然估計為

0=————.

苣In%

n,=i

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末試題(4)與解答

一、填空題(每題3分，共15分)

(1)設(shè)尸(A)=0.5,P(B)=0.6,尸(81A)=0.8,那么A,8至少發(fā)生一個的概率為.

(2)設(shè)X服從泊松分布，假設(shè)EX2=6,那么P(X>1)=.

設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為/■(x)=<Z(x+l)‘°<x<2,今對x進行8次獨立觀測，以

(3)

0,其他.

F表示觀測值大于1的觀測次數(shù)，那么DF=.

元件的壽命服從參數(shù)為'的指數(shù)分布，由5個這種元件串聯(lián)而組成的系統(tǒng)，能夠正常工作100

(4)

100

小時以上的概率為.

(5)設(shè)測量零件的長度產(chǎn)生的誤差X服從正態(tài)分布N(〃Q2),今隨機地測量16個零件，得

1616

XX,=8,XX,②=34.在置信度0.95下，〃的置信區(qū)間為

/=1，=1

P(BA)P(B)-P(AB)

解：⑴0.8=尸(例4)=得P(AB)=0.2

l-P(A)0.5

P(AB)=P(A)+P(B)一P(AB)=1.1—0.2=0.9.

(2)X~P(A),6^EX2^DX+(EX)2=A+A2故Z=2.

=l-e-2-2e-2=l-3e-2.

C215

(3)y~5(8,p),其中p=p(x>i)=L4(%+1)辦=§

py=8x-x-=—

888

(4)設(shè)第，件元件的壽命為X,.,那么X,~E(擊)，z=1,2,3,4,5.系統(tǒng)的壽命為丫，所求概率為

[5)〃的置信度1-。下的置信區(qū)間為

所以〃的置信區(qū)間為(-0.2535,1.2535).

二、單項選擇題〔以下各題中每題只有一個答案是對的，請將其代號填入〔)

中，每題3分，共15分)

[1)A,B,C是任意事件，在以下各式中，不成立的是

1A)(A—B)B=AB.

⑻(AlB)-A=B.

(C)(AB)-AB^ABAB.

(D)(AB)C=(A-C)U(B-C).()

〔2)設(shè)X「X2是隨機變量，其分布函數(shù)分別為片(x),工(x),為使

=(x)+花(x)是某一隨機變量的分布函數(shù)，在以下給定的各組數(shù)值

中應(yīng)取

,、3,2,.2,2

(AJ?=—,b=——.(BJa=—,b=-.

5533

1313

[C)a=—,b=—.(D)a=—,b=-.()

2222

13)設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為七(x),那么y=3—5X的分布函數(shù)為4(y)=

[A)&(5y—3).[B)5Fx(y)-3.

?心(?)?①)1—4(平).

)

Xj-101

[4)設(shè)隨機變量X-X2的概率分布為J―]一7=1,2.

P一一一

424

且滿足P(X]X2=0)=1,那么％,X2的相關(guān)系數(shù)為Px、x,=

(A)0.[B)[C)1D)-1.[)

42

15)設(shè)隨機變量X?。[0,6],Y?5(12,()且X,V相互獨立，根據(jù)切比

雪夫不等式有尸(X—3<y<X+3)

(A)<0.25.⑻<—.?>0.75.(D)>—.

1212

解：⑴[A)：成立，[B)：(AB)-A=B-A^B應(yīng)選(B)

⑵廠(+00)=1=〃+/?.應(yīng)選(C)

⑶FY(y)=P(Y<y)=尸(3-5X<y)=P(X>(3-y)/5)

=1—P(\^NX)=1—七應(yīng)選(D)

111

04042

11

100

44

111

424

JCOV

EX{=0,EX2=0,￡XX2=0,所以(X-X2)=0,

于是p=0.應(yīng)選［A)

Av1AY2

⑸p(x—3<y<x+3)=p(|y—xi<3)

由切比雪夫不等式

21

P(］Y-X\<3)>l--^-=^|-應(yīng)選［D)

三、18分)在一天中進入某超市的顧客人數(shù)服從參數(shù)為2的泊松分布，而進入

超市的每一個人購置A種商品的概率為p,假設(shè)顧客購置商品是相互獨立的，

求一天中恰有左個顧客購置A種商品的概率。

解：設(shè)3='一天中恰有左個顧客購置4種商品'k=0,1,

C“='一天中有〃個顧客進入超市'n=k,k+1,

0000

那么P(B)=EP(C“B)=EP(C")P(B\C”)

n=kn=k

而女=0,i,.

k\

四、(10分)設(shè)考生的外語成績(百分制)X服從正態(tài)分布，平均成績(即參

數(shù)〃之值)為72分，96以上的人占考生總數(shù)的2.3%,今任取100個考生

的成績，以F表示成績在60分至84分之間的人數(shù)，求⑴F的分布列.(2)

EV和。Y.

84-72

解：［1)丫?8(100,p),其中p=P(60<X<84)=(D(--------)

a

96-7224

由0.023=P(X>96)=1—0(--------)=1-①(一)

(j(J

242412

得①(―)=0.977,即一二2,故一二1

cra(J

所以夕=2①(1)—1=0.6826.

故y的分布列為P(y=k)=Co(0.6826y(0.3174嚴(yán)/

⑵￡7=100x0.6826=68.26,DY=68.26x0.3174=21.6657.

1

五、〔10分)設(shè)(X,N)在由直線1=1,X=9y=0及曲線y=—所圍成的區(qū)域

X

上服從均勻分布，

［1)求邊緣密度A(X)和人(y),并說明X與y是否獨立.

⑵求P(X+Y22).

ce212

解：區(qū)域。的面積一辦=lnxle/=2

12)Blf(x,y)Jx(x)-fY(y),所以X,y不獨立.

⑶P(X+Y>2)=1-P(X+Y<2)=1-jjf(x,y)dxdy

x+y<2

六、【8分）二維隨機變量（x,y）在以（—i,0）,（0,1）,（1,0）為頂點的三角形區(qū)

域上服從均勻分布，求2=乂+「的概率密度。

yt1,(x,y)eD,

解1：（乂））的概率密度為了（羽）；）=<

0,其它.

設(shè)z的概率密度為L（z）,那么

當(dāng)z<—1或z>1時力(z)=0

z+1.-|

當(dāng)—1<Z<1時fz(z)=

所以z的密度為

解2：分布函復(fù).：設(shè)Z的分布函數(shù)為B（z），那么

故Z的一1為

七、[9分）分子運動的速度X具有概率密度

e(a),x>0,tz>0,

f(x)=<a3H

X；,x2,■,為X的簡單隨

0x<0.

機樣本

11）求未知參數(shù)a的矩估計和極大似然估計;（2）驗證所求得的矩估計是否為a的無偏估計。

解：（1）先求矩估計

再求極大似然估計

得a的極大似然估計

[2）對矩估計

所以矩估計a=近又是a的無偏估計.

2

八、(5分)一工人負責(zé)“臺同樣機床的維修，這幾臺機床自左到右排在一條直

線上，相鄰兩臺機床的距離為a(米)。假設(shè)每臺機床發(fā)生故障的概率均為

且相互獨立，假設(shè)Z表示工人修完一臺后到另一臺需要檢修的機床所走

n

的路程，求EZ.

解：設(shè)從左到右的順序?qū)C床編號為1,2,n

X為已經(jīng)修完的機器編號，V表示將要去修的機床號碼，那么

于是

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試題〔5〕

一、判斷題〔每題3分，此題共15分。正確打“V”，錯誤打“X”)

⑴設(shè)A、B是Q中的隨機事件，必有P(A-B)=P(A)-P(B)()

⑵設(shè)A、B是Q中的隨機事件，那么AUB=AUABUB()

⑶假設(shè)X服從二項分布b(k;n,p),那么EX=p()

一1n

⑷樣本均值x=是母體均值EX的一致估計()

⑸X?N(〃，b；),Y?N(〃，b；),那么X-Y-N(0,o-i-O-J)〔)

二、計算〔10分)

(1)教室里有r個學(xué)生，求他們的生日都不相同的概率；

(2)房間里有四個人，求至少兩個人的生日在同一個月的概率.

三、(10分)設(shè)尸(A)〉0,P(B)>0,證明A、B互不相容與A、6相互獨立不能同時成立.

四、115分)某地抽樣結(jié)果說明，考生的外語成績X(百分制)近似服從正態(tài)分布，平均成績〔即參數(shù)

〃之值)為72分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在60分至84分之間的概

率。分布表如下

x011.522.53

①(x)0.50.8410.9330.9770.9940.999

五、(15分)設(shè)(x,y)的概率密度為

問x,y是否獨立？

六、(20分)設(shè)隨機變量服從幾何分布，其分布列為

p(x=k)=Q-p)"ip,0<p<l,k=l,2,

求EX與DX

七、(15分)設(shè)總體X服從指數(shù)分布

試?yán)脴颖綳1,X2，」,X“，求參數(shù)。的極大似然估計.

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試題〔5〕評分標(biāo)準(zhǔn)

(1)X；(2)V；(3)X；(4)J；(5)Xo

二解(1)設(shè)人=’他們的生日都不相同'，那么

P(A)=&---------------------------------------------------------------5分

365，

[2)設(shè)3='至少有兩個人的生日在同一個月‘，那么

p(B)=。溫￡+《生+。詬+。：2=41

124961

或

_尸44I

P(B)=1—P(B)=1—-=---------------------------------10分

12496

三證假設(shè)A、8互不相容，那么A3=。，>P(AB)=0^P(A)P(B)>0

所以A、5不相互獨立.----------------------------------------5分

假設(shè)A、6相互獨立，那么P(A3)=P(A)P(5)>0,于是ABH。，

即A、6不是互不相容的.------------------------------------------5分

96-7224

四角星0.023=P(X>96)=1—0(------)=1-①(——)----------------3分

aa

242412

0(—)=0.977,——=2,—=1.-------------------------7分

aaa

QAm二八[oiQ

所求概率為P(60<X<84)=①()-(D()=0(-)-<D(——)-------12分

cr<y<y<y

=2①m-1=2X0.841-1=0.682--------------------15分

五解邊際密度為

f0,x<0,

廣+000,x<0,

fx(x)=f(x,y)dy=<+-

rx

J-00e\x>0;e~,x>0.

o,y<0,

人(y)=<10分

e~y,y>0.

因為f(x,y)=九(%)?人(y),所以X,V獨立.------------------------15分

000000(00、，

六解?EX=￡kQ-p)ip=p￡kqJ==PZ——8分

k=lk=lk=l

其中q=l-p

CO1

由函數(shù)的累級數(shù)展開有Yxk=—

k=01-X

所以石X=〃----------------------12分

00X

因為EX?=￡k2Pql=px(^xky=p(l-x)2J^16分

k=l_k=lJx=q

所以DX二EX2-(EX)2=4.-------------------------20分

PPP

n-2七

七解MX1，…，X”；。)=口"("4=e目，x,.>0,i=l,2,：.,n.

i=l

?

]nL=nO-ZXj-----------------------------------------8分

Z=1

由極大似然估計的定義，。的極大似然估計為8=尤⑴------------------15分

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試題〔6〕

一、判斷題〔此題共15分,每題3分。正確打“V”，錯誤打“X”)

⑴設(shè)A、B是Q中的隨機事件，那么A—BuA()

⑵對任意事件A與B,那么有P(AUB)=P(A)+P(B)()

⑶假設(shè)X服從二項分布b(k;n,p),那么EX=npq()

(4)X~N(//,<72),Xi,X2,……X?是X的樣本，那么X~N(4,(72)()

(5)X為隨機變量，那么DX=Cov〔X,X)-------------------------------［)

二、〔10分)一袋中裝有機枚正品硬幣，/枚次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國徽)從袋中任取一枚,

將它投擲r次，每次都得到國徽，問這枚硬幣是正品的概率是多少？.

三、(15分)在平面上畫出等距離a(a>0)的一些平行線，向平面上隨機地投擲一根長/(/<a)的針，

求針與任一平行線相交的概率.

四、(15分)從學(xué)校到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，

2

并且概率都是一，設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機變量X的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望.

5

五、〔15分)設(shè)二維隨機變量［X,F)在圓域x2+y2(a2上服從均勻分布，［1)求X和F的相關(guān)系數(shù)

0；(2)問x,y是否獨立？

六、10分)假設(shè)隨機變量序列X-X2,…,X,,滿足條件

試證明｛X"服從大數(shù)定律.

七、(io分)設(shè)X|,X2，-,x“是來自總體/口,。)的一個樣本，氏(x……,x”)是。的一個估計量，

假設(shè)EOn=O+kn,DOn=成且limkn=lim0

Tifsn—>oo

試證凡是e的相合(一致)估計量。

八、［10分)某種零件的尺寸標(biāo)準(zhǔn)差為。=5.2,對一批這類零件檢查9件得平均尺寸數(shù)據(jù)(毫米)：

嚏=26.56,設(shè)零件尺寸服從正態(tài)分布，問這批零件的平均尺寸能否認(rèn)為是26毫米［a=0.05).正態(tài)分布

表如下

x01.561.962.333.1

①(x)0.50.9410.9750.990.999

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試題〔6〕評分標(biāo)準(zhǔn)

一⑴J；⑵義；⑶X；⑷X；⑸

二解設(shè)4='任取一枚硬幣擲r次得r個國徽‘，

B='任取一枚硬幣是正品'，

那么

A=BA+BA,----------------------------------------5分

所求概率為

m

，----------------10分

m+n?2r

三解設(shè)人='針與某平行線相交'，針落在平面上的情況不外乎圖中的幾種,

t設(shè)X為針