高考物理復習第八章簡諧運動、機械波知識點

第八章：簡諧運動、機械波

機械振動和機械波這一部分概念較多，考點較多，對圖象要求層次較高，因而高考試題對

本部分內(nèi)容考查的特點是試題容量較大，綜合性較強，一道題往往要考查力學的多個概念或

者多個規(guī)律。因此，在復習本部分時，應注意概念的理解和記憶、應注意機械振動與牛頓定

律、動量守恒定律、機械能守恒定律的綜合應用。在理解和掌握簡諧運動的運動學特征和動

力學特征的基礎上，進而掌握機械波的相關知識。本部分高考題多以選擇題、填空題形式出

現(xiàn)，但試題信息量大，一道題中考查多個概念、規(guī)律，尤其注重對波的考查。例如：2000年

高考第7題，由動態(tài)波形判定入、T、V、A等量，以檢查學生的理解能力、推理能力和空間想

象能力；2001年高考題第9題考查單擺與機械能的綜合問題、理綜第20題將波動圖象和振動

圖像結合起來考查綜合運用知識的能力；2003年全國物理第7題考查對振動圖像理解、上海

物理試題則考查波的形成和波的圖像的描繪；2004年各種物理試卷和理科綜合試卷中都含有

這一部分知識的考題，特別是上海卷第13題要求學生作出兩列波長不同的波疊加以后的波形,

將這一部分試題的難度推到了頂峰！但從歷年的高考得分情況來看，這一部分試題的難度還

是較低的，因此同學們只要弄清下面所講的相關問題，得到這一部分試題的分數(shù)是不困難的。

『夯實基礎知識」

機械振動

1、定義：物體（或物體的一部分）在某一中心位置兩側做的往復運動。簡稱振動。其特

點是具有往復性、重復性和周期性。

2、振動的特點：

①存在某一中心位置：

②往復運動

2、產(chǎn)生振動的條件：

（1）受到一個始終指向平衡位置的回復力的作用

（2）振動過程中的阻力足夠小

說明：

①回復力：是指振動物體所受到的指向平衡位置的力。

a：是由作用效果來命名的?？捎扇我庑再|(zhì)的力提供，可以是幾個力的合力也可以是一個力

的分力

它可以重力、彈力或者摩擦力或者幾個力的合力（如彈簧振子），甚至是某一個力的分力

（如單擺）。

b：回復力時刻指向平衡位置

c：在平衡位置處：回復力為零，而物體所受合外力不一定為零，如單擺運動，當小球在最

低點處，回復力為零，而物體所受的合外力不為零。

d：回復力的作用效果總是將物體拉回平衡位置，從而使物體圍繞平衡位置做周期性的往

復運動。

②平衡位置：平衡位置是指物體在振動中所受的回復力為零的位置，也是振動停止后，振

動物體所在位置，平衡位置通常在振動軌跡的中點?！捌胶馕恢谩辈坏扔凇捌胶鉅顟B(tài)”。此時

振子未必一定處于平衡狀態(tài)。比如單擺經(jīng)過平衡位置時，雖然回復力為零，但合外力并不為

零，還有向心力.

3.描述振動的物理量：

（1）位移：由平衡位置指向振動質(zhì)點所在位置的有向線段

物體振動時的位移總是相對于平衡位置而言的，振動中的位移x都是以平衡位置為起點的，

方向從平衡位置指向末位置一一總是背離平衡位置向外。大小為這兩位置間的直線距離。

①是矢量，其最大值等于振幅；②始點是平衡位置，所以跟回復力方向永遠相反；③位移

隨時間的變化圖線就是振動圖象

（2）振幅A：振動物體離開平衡位置的最大距離稱為振幅。

①是標量，沒有方向，是一個正數(shù)。質(zhì)點在做簡諧振動時，振幅不變。

②它是描述振動強弱的物理量。

（3）周期T和頻率f：振動物體完成一次全振動所需的時間稱為周期T,它是標量，單位是

秒；單位時間內(nèi)完成的全振動的次數(shù)稱為振動頻率，單位是赫茲（Hz）。周期和頻率都是描

述振動快慢的物理量，它們的關系是：T=l/f。

二.簡諧運動

1、簡諧運動：物體在跟偏離平衡位置的位移大小成正比，并且總指向平衡位置的回復力

的作用下的振動。

F--kx

式中X指振動物體相對于平衡位置的位移，起點在平衡位置，終點隨物體的所在位置而變

化、方向始終由平衡位置指向物體所在位置，如圖所示彈簧振子位移的示意圖。

2、簡諧運動的特征是：

（1）受力特征：F=-kx

從動力學角度看，簡諧運動的特征表現(xiàn)在所受到的回復力的形式上：簡諧運動的質(zhì)點所受

到的回復力F其方向總與質(zhì)點偏離平衡位置的位移x的方向相反，從而總指向平衡位置；其大

小則總與質(zhì)點偏離平衡位置的位移x的大小成正比，即尸=-6動力學特征也是判斷某機械

運動是否為簡諧運動的依據(jù)

（2）運動學特征：此式表明加速度也跟位移大小成正比，并總指向

mm

平衡位置。由此可見，簡諧運動是一變加速運動，且加速度和速度都在做周期性的變化。

簡諧振動是一種周期性運動，相關物理量也隨時間作周期性變化，其中位移、速度、加速

度、回復力都為矢量，隨時間作周期性變化；而動能和勢能為標量，變化周期為匕

2

（3）能量特征：振幅確定振動物體的能量，在振動的過程中只發(fā)生動能和勢能的轉(zhuǎn)化，

總的機械能守恒。

（4）對稱特征：關于平衡位置對稱的兩點尸、。、V.Ep、EK等物理量的大小相等，此

外還體現(xiàn)在過程量上的相等，如從某點到平衡位置的時間和從平衡位置到與該點關于平衡位

置對稱點的時間相同等等

3、簡諧運動的規(guī)律：

（1）彈簧振子：一個可作為質(zhì)點的小球與一根彈性很好且不計質(zhì)量的彈簧相連組成一個

彈簧振子。一般來講，彈簧振子的回復力是彈力（水平的彈簧振子）或彈力和重力的合力（豎直的

彈簧振子）提供的。彈簧振子與質(zhì)點一樣，是一個理想的物理模型。

（2）彈簧振子振動周期：T=2乃標7E,只由振子質(zhì)量和彈簧的勁度決定，與振幅無關，

也與彈簧振動情況無關。（如水平方向振動或豎直方向振動或在光滑的斜面上振動或在地球上

或在月球上或在繞地球運轉(zhuǎn)的人造衛(wèi)星上）

（3）可以證明，豎直放置的彈簧振子的振動也是簡諧運動，周期公式也是T=2%仁。這

個結論可以直接使用。

（4）振動過程中各物理量的變化情況

如圖所示是一個彈簧振子的振動，。點為平衡位置，AA，分別是左、右兩端的最大位移處，

振子的振動可以分成四個階段：

OfA;AfO;O—A';A'fOo

四個階段中，振子的位移，回復力、速度和加速度的變化如下表:

從。至"A從A至||0從。到A'從A.到0

位移X的變化變大變小變大變小

X的方向向右向右向左向左

F的變化變大變小變大變小

F的方向向左向左向右向右

a的變化變大變小變大變小

a的變化向左向左向右向右

V的變化變小變大變小變大

V的方向向右向左向左向右

①在平衡位置：速度最大、動能最大、動量最大；位移最小、回復力最小、加速度最小。

②在離開平衡位置最遠時：速度最小、動能最小、動量最??；位移最大、回復力最大、加

速度最大

（5）周期性：

①每經(jīng)過一個周期，描述振動的物理量大小和方向都恢復到原來狀態(tài)，振動質(zhì)點都以相同

的方向通過原位置。

②振動質(zhì)點在一個周期內(nèi)通過的路程為4A,半個周期通過的路程為2A,但四分之一周期

通過的路程也能大于A也可能等于A也可能小于A,這要看從何位置開始計時。

4、簡諧運動的判斷方法：通?？梢岳煤喼C運動的動力學特征去判斷某質(zhì)點的運動是否

是簡諧運動，其具體的判斷方法是分為兩個步驟：

首先找到運動質(zhì)點的平衡位置，即運動過程中所達到的受到的合力為零的位置，以該位置

為坐標原點，沿質(zhì)點運動方向過立坐標；其次是在質(zhì)點運動到一般位置（坐標值為X）處時所

受到的回復力F,如F可表為b=Tlx則運動是簡諧的，否則就不是簡諧運動。

★4.勻速圓周運動與簡諧運動的關系。

勻速圓周運動的投影是簡諧運動

如圖所示，當質(zhì)點m沿半徑A的圓，以角速度3做勻速圓周運動時，一束平行光的照射

下，質(zhì)點在水平地面上的投影將在O點附近往復運動，做圓周運動的質(zhì)點所受到的向心力大

小為

平行光

F=ma>2A

X

其投影相當于受到的大小為尸=Reos。的回復力的振動，考慮到cose=-

其F的方向與投影偏離"平衡位置"0點的位移x的方向相反，于是有

F=-ma>~ACQSO=-kx

即：勻速圓周運動的投影是簡諧運動

5、簡諧運動的周期公式

由于勻速圓周運動的周期與角速度的關系為（0=”27r而其投影做簡諧運動的周期也為T,

T

且注意到

k=mar

于是可得到簡諧運動的一般表達式為

T=（彈簧振子）

6.簡諧運動的圖象及其應用

（1）定義：振動物體離開平衡位置的位移X隨時間t變化的函數(shù)圖象。不是運動軌跡，它

只是反映質(zhì)點的位移隨時間的變化規(guī)律。

（2）圖象特點：用演示實驗證明簡諧運動的圖象是一條正弦（或余弦）曲線。

（3）作法：以橫軸表示時間，縱軸表示位移，根據(jù)實際數(shù)據(jù)取單位，定標度，描點，用

平滑線連接各點便得圖線。

（4）圖象的意義：簡諧運動的振動圖像反映的是某振動質(zhì)點在各個時刻相對于平衡位置

的位移的變化情況。

（5）簡諧運動圖象的應用：

①可求出任一時刻振動質(zhì)點的位移。

②可求振幅A：位移的正負最大值。

③可求周期T:兩相鄰的位移和速度完全相同的狀態(tài)的時間間隔。

④可確定任一時刻的回復力、速度、加速度的方向。

⑤可判斷某段時間內(nèi)位移、回復力、加速度、速度、動能、勢能的變化情況

⑥計時點一旦確定，形狀不變，僅隨時間向后延伸。

三.機械振動的應用一一受迫振動和共振現(xiàn)象的分析

1、振動的能量：對于給定的振動系統(tǒng)，振動的動能由振動的速度決定，振動的勢能由振

動的位移決定，振動的能量就是振動系統(tǒng)在某個狀態(tài)下的動能和勢能的總和.

2、振動系統(tǒng)的機械能大小由振幅大小決定，同一系統(tǒng)振幅越大，機械能就越大.若無能

量損失，簡諧運動過程中機械能守恒，做等幅振動.

3、阻尼振動與無阻尼振動

振幅逐漸減小的振動叫做阻尼振動

振幅不變的振動為等幅振動，也叫做無阻尼振動

注意：等幅振動、阻尼振動是從振幅是否變化的角度來區(qū)分的，等幅振動不一定不受阻力

作用

4、受迫振動

（1）物體在周期性的外力（策動力）作用下的振動叫做受迫振動

受迫振動的頻率在振動穩(wěn)定后總是等于外界策動力的頻率，與物體的固有頻率無關。受迫

振動是等幅振動，振動物體因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振動能量剛好由周期性的驅(qū)動

力做功給予補充，維持其做等幅振動。

5、共振

在受迫振動中，策動力的頻率與物體的固有頻率相等時，振幅最大，這種現(xiàn)象叫共振。

產(chǎn)生共振的條件：驅(qū)動力頻率等于物體固有頻率。

共振曲線

共振的應用：轉(zhuǎn)速計、共振篩

四.單擺

單擺的振動是一種比較特殊的簡諧運動，對它的學習可以加深我們對簡諧運動的理解。

1、單擺：在細線的一端掛上一個小球，另一端固定在懸點上，如果線的伸縮和質(zhì)量可以

忽略，球的直徑比線長短得多，這樣的裝置叫做單擺.

這是一種理想化的模型，理想的單擺應具備如下理想化條件：和小球的質(zhì)量m相比，線的

質(zhì)量可以忽略；與線的長度/相比，小球的半徑可以忽略。

2、單擺的受力特征

當單擺做小角6<5°度擺動時，其受力情況為：受到一個恒定的豎直向下的重力mg,和

一個變化的始終沿繩方向指向點的拉力F,而將這些力沿垂直于和平行于運速度方向分解，其

中垂直于速度方向上的力使擺球的速度方向發(fā)生改變，充當擺球繞懸點做變速圓周運動所需

的向心力。平行于速度方向上的力使擺球的速度大小發(fā)生改變，充當擺球的回復力

由圖可知：（當。很小時，一般小于10°）

G,=mgsin。amgtan，a。=mg=mg：

七=_mg%k=午:.%=-kx

可見：當單擺做小角度擺動時，其運動近似為簡諧運動。

圖2中，Gi不能認為等于重力G和拉力T的合力，因為T與G2一般不相等，不能抵消。

一般情況下：T>Gz，且

v2

T-G2=F^=m—

即T與G2的合力作為向心力。

特殊地：當單擺位于左、右兩端最大位移位時，因為此時V=0,，T=G2

（3）單擺的周期公式

對于單擺，回復力與偏離平衡位置的位移的比例系數(shù)為

%=弊

I

將其代入簡諧運動周期的一般表達式中，得

與擺球質(zhì)量m、振幅A都無關。其中擺長I指懸點到小球重心的距離，重力加速度為單擺

所在處的測量值。要區(qū)分擺長和擺線長。

小球在光滑圓弧上的往復滾動和單擺完全等同?只要擺角足夠小，這個振動就是簡諧運動。

這時周期公式中的I應該是圓弧半徑R和小球半徑r的差。

秒擺：周期為2s的單擺.其擺長約為Im

（4）單擺的等時性，從該式中可以看出，單擺的周期只與擺長/及重力加速度有關，與振

幅（即偏角）無關，這一性質(zhì)叫做單擺的等時性。

（5）等效擺長和等效加速度：實際應用中：不同環(huán)境下的單擺，如放在加速運動的升降

機中，或?qū)螖[放在勻強電場中，需將單擺周期公式：T=2萬J人中的g換成視重加速度g',

視重加速度等于擺錘相對懸點靜止時，懸線拉力與擺錘質(zhì)量的比值。

（6）單擺的應用：

47r~L

①計時器；②測定重力加速度g,g=——

（6）改變鐘的快慢

對于這一類問題，解決時抓住以下三點：

1、一擺鐘的機械結構是固定的，所以不管是準確的鐘還是不準的，擺錘擺動一次，鐘面

指示的時間都相同。

2、一段時間內(nèi)擺錘的擺動次數(shù)：

準確鐘“（）=’-不準的鐘〃'='

鐘面上相應的批示時間為

準確鐘t

不準的鐘，士加（"+"表示鐘快；代表鐘慢）

3、同一時間內(nèi)鐘面指示時間之比等于擺動次數(shù)之比.二一①=二

t±\tt/TTQ

即鐘面指示時間與鐘的周期成反比。

86400_r_

特殊地，對于一晝夜而言，就有:

86400±AZTo

機械波

一、機械波

1、定義：機械振動在介質(zhì)中傳播就形成機械波

簡諧波：波源做簡諧振動，傳播方向單一且振幅不變，波形圖為正弦或余弦線的波為簡諧

波

2、機械波產(chǎn)生的必要條件是：

（1）有作機械振動的物體作為波源；

（2）有能傳播機械振動的介質(zhì)。

3、分類

橫波：質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向垂直.凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷

縱波：質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向在一直線上。質(zhì)點分布密的叫密部，疏的部分叫疏

部，液體和氣體不能傳播橫波

4、機械波的特點：

每個質(zhì)點都在自己平衡位置附近作振動，并不隨波遷移

后一質(zhì)點重復前一質(zhì)點的運動，各質(zhì)點的周期、頻率及起振方向都與波源相同。

介質(zhì)中各質(zhì)點的振動周期和頻率都與波源的振動周期和頻率相同

5、描述機械波的物理量：

①波長：在波動中，對平衡位置的位移總是相等的兩個相鄰質(zhì)點間的距離。波長通常用/I

表示。

在橫波中，兩個相鄰的波峰或相鄰的波谷之間的距離。在縱波中兩相鄰的的密部（或疏部）

中央間的距離，振動在一個周期內(nèi)在介質(zhì)中傳播的距離等于波長。

波長反映了波動空間的周期性。

②周期：波在介質(zhì)中傳播一個波長所用的時間。波的周期與傳播的介質(zhì)無關，取決于波源,

波從一種介質(zhì)進入另一種介質(zhì)周期不會改變。周期用「表示。

③頻率：單位時間內(nèi)所傳播的完整波（即波長）的個數(shù)。周期的倒數(shù)為波的頻率。波的頻

率就是質(zhì)點的振動頻率。頻率用了表示。

周期或頻率反映了波動的時間周期性。

注意：波的頻率由振源決定，在任何介質(zhì)中傳播波的頻率不變。波從一種介質(zhì)進入另一種

介質(zhì)時，唯一不變的是頻率（或周期），波速與波長都發(fā)生變化

④波速：波在單位時間傳播的距離。機械波的波速取決于介質(zhì)，一般與頻率無關。波速用

V表示。

波速是介質(zhì)對波的傳播速度.介質(zhì)能傳播波是因為介質(zhì)中各質(zhì)點間有彈力的作用，彈力越

大，相互對運動的反應越靈教，則對波的傳播速度越大.通常情況下，固體對機械波的傳搖

速度校大，氣體對機械波的傳播速度較小.對縱波和橫波，質(zhì)點間的相互作用的性質(zhì)有區(qū)別，

那么同一物質(zhì)對縱波和對橫波的傳播速度不相同.所以，介質(zhì)對波的傳播速度由介質(zhì)決定，

與振動頻率無關.

6、描述機械波的物理量關系：v=^=A-f

7、說明：

波的頻率是介質(zhì)中各質(zhì)點的振動頻率，質(zhì)點的振動是一種受迫振動，驅(qū)動力來源于波源，

所以波的頻率由波源決定，是波源的頻率

8、波的圖象

（1）坐標軸：規(guī)定用橫坐標x表示在波的傳播方向上各個質(zhì)點的平衡位置，縱坐標y表示

某一時刻各個質(zhì)點偏離平衡位置的位移，連結各質(zhì)點位移量末端得到的曲線叫做該時刻波的

圖象

（2）圖象特點：是一條正弦（余弦）曲線；

（3）物理意義：顯示某一瞬間波傳播方向上介質(zhì)中各質(zhì)點離開平衡位置的位移情況，類

似人們給大型團體操隊伍拍的一張照片。

注意：波的圖象和振動圖象是根本不同的，波的圖象描述的是介質(zhì)中“各質(zhì)點"在"某一時刻"

離開平衡位置的位移；而振動圖象描述的是“一個質(zhì)點"在"各個時刻"離開平衡位置的位移。

（4）波的圖象的特點

波圖象的重復性：相隔時間為周期的整數(shù)倍的兩個時刻的波的圖象是相同的；

波傳播方向雙向性：不指定波的傳播方向時，圖象中波可能向x軸正向或x軸負向傳播；

（5）橫波圖象的應用：

①可知波動中質(zhì)點的振幅和波長

②若已知波的傳播方向，可知介質(zhì)質(zhì)點的振動方向，反之亦然。

③相鄰的波峰波谷點間的質(zhì)點振動方向相同

④相鄰平衡位置間以波峰（或波谷）對稱的質(zhì)點振動方向相反.

⑤若知波速v,可求此時刻以后的波形圖，方法是把波形圖平移Ax=vAt的距離。

（6）波的傳播方向與質(zhì)點的振動方向關系確定方法。

①質(zhì)點帶動法（特殊點法）：

由波的形成傳播原理可知，后振動的質(zhì)點總是重復先振動質(zhì)點的運動，若已知波的傳播方

向而判斷質(zhì)點振動方向時，可在波源一側找與該點距離較近（小于°）的前一質(zhì)點，如果前

4

一質(zhì)點在該質(zhì)點下方，則該質(zhì)點將向下運動（力求重復前面質(zhì)點的運動），否則該質(zhì)點向上運

動。例如向右傳的某列波，某時刻波的圖象如圖所示，試判斷質(zhì)點M的振動方向，可在波源

一側找出離M較近的前一質(zhì)點“，在M下方，則該時刻M向下運動。

②微平移法：

所謂微移波形，即將波形沿波的傳播方向平衡微小的一段距離得到經(jīng)過微小一段時間后的

波形圖，據(jù)質(zhì)點在新波形圖中的對應位置，便可判斷該質(zhì)點的運動方向。如圖所示，原波形

圖(實線)沿傳播方向經(jīng)微移后得到微小一段時間的波形圖(虛線)，M點的對應位置在M'

處，便知原時刻M向下運動。

③上下坡法

沿波的傳播方向看去，"上坡”處的質(zhì)點向下振動。"下坡”處的質(zhì)點向上振動。如圖所示，

簡稱"上坡下，下坡上"

④同側法

在波的圖形的某質(zhì)點M上，沿波的傳播方向畫一箭頭，再沿豎直方向向曲線的同側畫另一

箭頭，則該箭頭即為質(zhì)點振動方向，如圖所示

(7)畫出再經(jīng)At時間波形圖的方法：

①方法一、平移法：

(1)確定At=?

(2)算出At時間內(nèi)波的傳播距離As=vAt=?

(3)把整個波形沿波的傳播方向平移Aso

2、方法二、特殊點法：

(1)找兩點(原點和4/4的點并確定其運動方向；

(2)確定經(jīng)At=?T時間內(nèi)這兩點所達到的位置；

(3)按正弦規(guī)律畫出新的波形。

波的干涉、衍射現(xiàn)象，了解多普勒效應

(1)波的疊加原理：在兩列波重疊的區(qū)域，任何一個質(zhì)點的總位移都等于兩列波分別引

起的位移的矢量和。

(2)波的獨立傳播原理：在兩列波重疊的區(qū)域，每一列波保持自己的特性互不干擾繼續(xù)

前進。

(3)波的干涉:①產(chǎn)生穩(wěn)定干涉現(xiàn)象的條件：頻率相同；振動方向相同；有固定的相位差。②

兩列相干波的波峰與波峰(或波谷與波谷)相遇處是振動最強的地方，波峰與波谷(或波谷

與波峰)相遇處是振動最弱的地方。③駐波：是一種特殊的干涉現(xiàn)象。駐波的特點是兩波節(jié)

間的各質(zhì)點均做同時向下或同時向上，但振幅不同的同步調(diào)振動；波形隨時間變化，但并不

在傳播方向上移動。

⑷波的衍射:①波繞過障礙物的現(xiàn)象叫做波的衍射。②能夠發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象的條件是：

障礙物或孔的尺寸比波長小，或者跟波長相差不多。

⑸多普勒效應

當波源或者接受者相對于介質(zhì)運動時，接受者會發(fā)現(xiàn)波的頻率發(fā)生了變化，這種現(xiàn)象叫多

普勒效應。

⑹聲波:①發(fā)聲體的振動在介質(zhì)中的傳播就是聲波。人耳能聽到的聲波的頻率范圍在20Hz

到20000Hz之間。②頻率低于20Hz的聲波叫次聲波。③頻率高于20000Hz的聲波叫超聲波。

④空氣中的聲波是縱波。⑤能夠把回聲與原聲區(qū)別開來的最小時間間隔為0.1S。⑥聲波也能發(fā)

生反射、干涉和衍射等現(xiàn)象。聲波的共振現(xiàn)象稱為聲波的共鳴。

工題型解析」

類型題:必須弄清簡諧運動的判斷方法

要判定一個物體的運動是簡諧運動，首先要判定這個物體的運動是機械振動，即看這個物

體是不是做的往復運動；看這個物體在運動過程中有沒有平衡位置；看當物體離開平衡位置

時，會不會受到指向平衡位置的回復力作用，物體在運動中受到的阻力是不是足夠小。然后

再找出平衡位置并以平衡位置為原點建立坐標系，再讓物體沿著X軸的正方向偏離平衡位置，

求出物體所受回復力的大小，若回復力為F=-kx,則該物體的運動是簡諧運動。

【例題】兩根質(zhì)量均可不計的彈簧，勁度系數(shù)分別為Ki、K2,它們與一個質(zhì)量為m的小球

組成的彈簧振子，如圖1所示。試證明彈簧振子做的運動是簡諧運動。

★解析：證明：以平衡位置0為原點建立坐標軸，當振子離開平衡位置0時，因兩彈簧發(fā)

生形變而使振子受到指向平衡位置的合力。設振子沿X正方向發(fā)生位移x,則物體受到的合力

為

F=Fi+F2=-kiX-k2X=-(ki+k2)x=-kx。

所以，彈簧振子做的運動是簡諧運動

【例題】試證明豎直方向的彈簧振子的振動是簡諧運動

★解析：如圖所示，設振子的平衡位置為。，向下方向為正方向，此時彈簧的形變?yōu)閄。

根據(jù)胡克定律及平衡條件有

mg-kx0=0①

當振子向下偏離平衡位置為x時，回復力(即合外力)為

F^=/ng-k(x+x())②

將①代人②得：可見，重物振動時的受力符合簡諧運動的條件

F&=-kx,

類型題:簡諧運動中各物理量的變化特點

簡諧運動涉及到的物理量較多，但都與簡諧運動物體相對平衡位置的位移x存在直接或間

接關系

【例題】彈簧振子在光滑的水平面上做簡諧運動，在振子向平衡位置運動的過程中：

A.振子所受的回復力逐漸增大

B.振子的位移逐漸增大

C.振子的速度逐漸減小

D.振子的加速度逐漸減小。

★解析：在振子向平衡位置運動的過程中，易知x減小，根據(jù)上述關系很容易判斷，回復

力F、加速度a減小；速度V增大。即D選項正確

【例題】有一彈簧振子做簡諧運動，則（CD）

A.加速度最大時，速度最大

B.速度最大時，位移最大

C.位移最大時，回復力最大

D.回復力最大時，加速度最大

類型題:必須弄清簡諧運動的對稱性

簡諧運動的對稱性是指振子經(jīng)過關于平衡位置對稱的兩位置時，振子的位移、回復力、加

速度、動能、勢能、速度、動量等均是等大的（位移、回復力、加速度的方向相反，速度動量

的方向不確定）。運動時間也具有對稱性，即在平衡位置對稱兩段位移間運動的時間相等。

理解好對稱性這一點對解決有關問題很有幫助。

【例題】如圖所示。彈簧振子在振動過程中，振子經(jīng)a、b兩點的速度相同，若它從a到b

歷時0.2s,從b再回到a的最短時間為0.4s,則該振子的振動頻率為：（B）

VaIVb

A

da0bC

A,1Hz;B、1.25Hz;C^2Hz;D、2.5Hz。

★解析：振子經(jīng)a、b兩點速度相同，根據(jù)彈簧振子的運動特點，不難判斷a、b兩點對平

衡位置（。點）一定是對稱的，振子由b經(jīng)。到a所用的時間也是0.2s,由于"從b再回到a

的最短時間是0.4s",說明振子運動到b后是第一次回到a點，且。b不是振子的最大位移。設

圖中的c、d為最大位移處，則振子從b經(jīng)c到b歷時0.2s,同理，振子從a經(jīng)d到a,也歷

時0.2s,故該振子的周期T=0.8S,根據(jù)周期和頻率互為倒數(shù)的關系，不難確定該振子的振動頻

率為1.25Hz。故本題答。

【例題】如圖所示，一輕質(zhì)彈簧豎直放置，下端固定在水平面上，上端處于a位置，當一

重球放在彈簧上端靜止時，彈簧上端被壓縮到b位置。現(xiàn)將重球（視為質(zhì)點）從高于位置的c

位置沿彈簧中軸線自由下落，彈簧被重球壓縮到最低位置d。以下關于重球運動過程的正確說

法應是

c-e

a——

b—

d—

77777777777

A、重球下落壓縮彈簧由a至d的過程中，重球做減速運動。

B、重球下落至b處獲得最大速度。

C、重球下落至d處獲得最大加速度。

D、由a至d過程中重球克服彈簧彈力做的功等于小球由c下落至d處時重力勢能減少量。

★解析：重球由c至a的運動過程中，只受重力作用，做勻加速運動；由a至b的運動過

程中，受重力和彈力作用，但重力大于彈力，做加速度減小的加速運動；由b至d的運動過

程中，受重力和彈力作用，但重力小于彈力，做加速度增大的減速運動。所以重球下落至b

處獲得最大速度，由a至d過程中重球克服彈簧彈力做的功等于小球由c下落至d處時重力勢

能減少量，即可判定B、D正確。

C選項很難確定是否正確，但利用彈簧振子的特點就可非常容易解決這一難題。重球接觸

彈簧以后，以b點為平衡位置做簡諧運動，在b點下方取一點a',使ab=ab,根據(jù)簡諧運動

的對稱性，可知，重球在a、a'的加速度大小相等，方向相反，如圖4所示。而在d點的加速

度大于在a點的加速度，所以重球下落至d處獲得最大加速度，C選項正確

【例題】如圖所示，一個輕彈簧豎直固定在水平地面上，將一個小球輕放在彈簧上，M點

為輕彈簧豎直放置時彈簧頂端位置，在小球下落的過程中，小球以相同的動量通過A、B兩點，

歷時1s,過8點后再經(jīng)過1s,小球再一次通過8點，小球在2s內(nèi)通過的路程為6cm,N點為

小球下落的最低點，則小球在做簡諧運動的過程中：（1）周期為:（2）振幅為:

（3）小球由M點下落到N點的過程中，動能EK、重力勢能EP、彈性勢能E｝的變化為；

（4）小球在最低點N點的加速度大小____________重力加速度g（填＞、=、＜）?

//'/

★解析：（1）小球以相同動量通過A、B兩點，由空間上的對稱性可知，平衡位置。在AB

的中點；再由時間上的對稱性可知，tAO=t8O=0.5s,tBN=tNB=0.5$,所以t0N=t08+t8N=lS,因

此小球做簡諧運動的周期r=4tow=4s。

（2）小球從A經(jīng)B到N再返回B所經(jīng)過的路程，與小球從B經(jīng)A到M再返回A所經(jīng)過的

路程相等。因此小球在一個周期內(nèi)所通過的路程是12cm,振幅為3cm。

（3）小球由M點下落到N點的過程中，重力做正功，重力勢能減少；彈力做負功，彈性

勢能增加；小球在振幅處速度為零，在平衡位置處速率最大，所以動能先增大后減小。

（4）M點為小球的振幅位置，在該點小球只受重力的作用，加速度為g,方向豎直向下，

由空間對稱性可知，在另一個振幅位置（N點）小球的加速度大小為g,方向豎直向上。

解答：4s；3cm；&先增大后減小，Ep減少，Ep'增加；=。

【例題】彈簧振子在光滑的水平面上作簡諧振動，周期是2.4s。當振子通過平衡位置向右

運動時刻開始計時。有下列說法：①經(jīng)過1.6s,振子向右運動，速度正在不斷變??；②經(jīng)過

1.6s,振子向左運動，速度正在不斷變??；③經(jīng)過1.9s,振子向右運動，回復力正在不斷變小;

④經(jīng)過1.9s,振子向左運動，回復力正在不斷變大。以上說法中正確的是（）

A.只有①、③正確B.只有②、④正確

C.只有①、④正確D.只有②、③正確

★解析：據(jù)振的規(guī)律可判斷D是正確的。

答案：D

類型題:

【例題】一彈簧振子作簡諧振動，周期為T,則：（C）

A.若t時刻和?+加）時刻振子運動位移的大小相等，方向相同，則加一定等于T的整

數(shù)倍

B.若t時刻和（f+Af）時刻振子運動位移的大小相等，方向相反，則一定等于T/2的

整數(shù)倍

C.若加=T,則r時刻和?+加）時刻振子運動的加速度一定相等

D.若加=T/2,則在小寸刻和?+4）時刻彈簧的長度一定相等

類型題:振動圖象的應用

【例題】一彈簧振子做簡諧運動，振動圖象如圖6—3所示。振子依次振動到圖中a、b、c、

d、e、f、g、h各點對應的時刻時，（1）在哪些時刻，彈簧振子具有：沿x軸正方向的最大加

速度；沿x軸正方向的最大速度。（2）彈簧振子由c點對應x軸的位置運動到e點對應x軸的

位置，和由e點對應x軸的位置運動到g點對應x軸的位置所用時間均為0.4so彈簧振子振動

的周期是多少？（3）彈簧振子由e點對應時刻振動到g點對應時刻，它在x軸上通過的路程

是6cm,求彈簧振子振動的振幅。

★解析：（1）彈簧振子振動的加速度與位移大小成正比，與位移方向相反。振子具有沿x

軸正方向最大加速度，必定是振動到沿x軸具有負向的最大位移處，即圖中/點對應的時刻。

振子振動到平衡位置時，具有最大速度，在八點時刻，振子速度最大，再稍過一點時間，

振子的位移為正值，這就說明在h點對應的時.刻，振子有沿x軸正方向的最大速度。

（2）圖象中c點和e點，對應振子沿x軸從+7cm處振動到一7cm處。e、/、g點對應振子

沿x軸，從一7cm處振動到負向最大位移處再返回到一7cm處。由對稱關系可以得出，振子從

c點對應x軸位置振動到g點對應x軸位置，振子振動半周期，時間為0.8s,彈簧振子振動周

期為r=1.6s?

（3）在e點、g點對應時間內(nèi)，振子從x軸上一7cm處振動到負向最大位移處，又返回一

7cm處行程共6cm,說明在x軸上負向最大位移處到一7cm處相距3cm,彈簧振子的振幅

A=10cm。

解答：⑴/■點;h點。（2）T=1.6s?（3）4=10cm?

【例題】如下圖中，若質(zhì)點在A對應的時刻，則其速度V、加速度。的大小的變化情況為:

A）

A.u變大，。變小B.u變小，Q變小

C.1/變大，。變小D.v變小，a變大

類型題:單擺周期公式的應用

【例題】一個單擺，如果擺球的質(zhì)量增加為原來的4倍，擺球經(jīng)過平衡位置時速度減為原

來的V2則單擺的（）

A.頻率不變，振幅不變

B.頻率不變，振幅改變

C.頻率改變，振幅不變

D.頻率改變，振幅改變

★解析：（1）決定單擺周期（頻率）的是擺長及當?shù)氐闹亓铀俣?，單擺的周期與質(zhì)量無關,

與單擺的運動速度也無關。所以不能選C,Do

（2）決定振幅的是振動的能量，在平衡位置（即最低點）時的動能七=上/〃。2,當m增

2

為原來的4倍，速度減為原來的皿時，動能不變，最高點的的重力勢能也不變。但是由于第

二次擺的質(zhì)量增大了，勢能Ep=mgh不變，m大了，h就一定變小了，也就是說，振幅減小了。

因此正確答案應選B。

答案:B

誤點警示：

誤解一：因為單擺的周期（頻率）是由擺長L和當?shù)刂亓铀俣萭決定的，所以頻率是不

變的，而從動能公式上看七=,機。2質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?倍，速度變?yōu)樵瓉淼墓ィY果動能不

2

變，既然動能不變，（指平衡位置動能也就是最大動能），由機械能守恒可知，勢能也不變。

所以振幅也不變，應選A。

誤解二：認為速度減為原來的1/2,即運動變慢了，所以頻率要變，而振幅與質(zhì)量、速度無

關所以振幅不變，應選C。

誤解三：認為頻率要改變，理由同錯解二。而關于振幅的改變與否，除了錯解一中所示理

由外，即總能量不變，而因為重力勢能EP=mgh,Ep不變，m變?yōu)樵瓉淼?倍，h—■定變小了，

即上擺到最高點的高度下降了，所以振幅要改變，應選D。

答案：C

【例題】單擺的周期在下述情況下會變大的有：（）

A、擺錘質(zhì)量增大

B、擺長減小

C、單擺從赤道移到北極

D、單擺從海平面移到高山

分析：由單擺周期公式7=2乃口7可以看出：周期T只與/及g有關，與擺錘質(zhì)量無關，

從赤道到北極，g增大，從海平面到高山，g減小，所以要使周期變大。應選D。

答：D

【例題】已知某擺長為1m的單擺在豎直平面內(nèi)做簡諧運動，則：(1)該單擺的周期

為;(2)若將該單擺移到表面重力加速度為地球表面重力加速度1/4倍的星球表面，

則其振動周期為;(3)若在懸點正下方擺長中點處釘一光滑小釘，則該小球擺動的周期

為。

★解析：第一問我們可以利用單擺周期公式計算出周期；第二問是通過改變當?shù)刂亓铀?/p>

度來改變周期的。只要找出等效重力加速度，代入周期公式即可得解。第三問的情況較為復

雜，此時小球的擺動已不再是一個完整的單擺簡諧運動。但我們注意到，小球在擺動過程中，

擺線在與光滑小釘接觸前后，分別做擺長不同的兩個簡諧運動，所以我們只要求出這兩個擺

長不同的簡諧運動的周期，便可確定出擺動的周期。

解答：(1)依據(jù)T可得7=2s?

(2)等效重力加速度為g'=g/4,則依據(jù)

可得r=4s。

(3)釘釘后的等效擺長為：半周期擺長為L=im,另半周期擺長為a=0.5m。

則該小球的擺動周期為：

說明：單擺做簡諧運動的周期公式是我們學習各種簡諧運動中唯一給出定量關系的周期公

式。應該特別注意改變周期的因素：擺長和重力加速度。例如：雙線擺沒有明確給出擺長，

需要你去找出等效擺長；再例如：把單擺放入有加速度的系統(tǒng)中，等效重力加速度將發(fā)生怎

樣的變化。比如把單擺放入在軌道上運行的航天器中，因為擺球完全失重，等效重力加速度

為0,單擺不擺動。把單擺放入混合場中，比如擺球帶電，單擺放入勻強電場中，這時就需要

通過分析回復力的來源從而找出等效重力加速度。這類問題將在電學中遇到

【例題】如圖，兩個相同的彈性小球，分別掛在不能伸長的細繩上，開始時兩繩互相平行,

兩球在同一水平線上且互相接觸，第二球的擺長是第一球擺長的4倍?，F(xiàn)把第一球拉開一個

很小的角度后釋放并開始計時，則在第一個擺球固有周期的兩倍時間內(nèi)，兩球碰撞的次數(shù)為

()

A.2次B.3次

C.4次D.5次

★解析：由單擺的周期公式，T=2畸,可知(：4=1：2,據(jù)時間相等，會發(fā)生3

交次碰撞。

答案：B

等效單擺

等效單擺分等效擺長單擺、等效重力加速度單擺，以及擺長、重力加速度雙重等效單擺三

種情況。等效單擺的周期公式為7=2萬拒。

1、等效擺長單擺：等效擺長不再是懸點到擺球球心的距離，但g'=g。擺長U是指擺動圓

弧的圓心到擺球重心的距離，擺動圓弧的圓心即為等效單擺的懸點。

【例題】例如，在圖中，三條長度均為L的繩子共同系住一個密度均勻的小球m,球直徑

為d。若擺球在紙面內(nèi)做小角度的左右擺動，擺動圓弧的圓心在。［處，故等效擺長為

若擺球做垂直紙面的小角度擺動，則擺動圓弧的圓心在0處，故等效擺長為

/L+Lsina+一

A+Asina+-|,周期5=2町J-------------------2

【例題】雙線擺由兩根長為L的細線下端栓一質(zhì)量為m的小球構成，如圖所示，兩線夾角

為2a,今使擺球在垂直紙面的平面內(nèi)做小幅度擺動，求其周期。

★解析：當雙線擺在垂直紙面的平面內(nèi)做小幅度擺動時可以等效為以AB的中心為懸點,

0。，長為擺長的單擺，其等效擺長為U=Lcosa,故此擺周期為：T=27

2、等效重力加速度單擺：該類單擺的等效重力加速度g、g,但擺長仍為懸點到球心的距

離。等效重力加速度g'與單擺所在的空間位置、單擺系統(tǒng)的運動狀態(tài)和單擺所處的物理環(huán)境有

關。

(1)公式中的g'由單擺所在的空間位置決定，由g'=G二M知，￡隨地球表面不同位置、

R2

不同高度而變化，在不同星球上也不相同，因此應求出單擺所在處的等效值g'代入公式，即g

不一定等于9.8m/s2o

【例題】有人利用安裝在氣球載人艙內(nèi)的單擺來確定氣球的高度。已知該單擺在海平面處

的周期為To,當氣球停在某一高度時，測得該氣球的周期為T。求該氣球此時離海平面的高度

ho地球半徑為Ro

★解析：根據(jù)單擺的周期公式可知："=2乃一,T=2兀上(其中I為擺長，g。和g

Sog

分別是兩地的重力加速度)；根據(jù)萬有引力與重力的關系公式可知:

MM

…r前g=rG再屆(其中G是引力常量，M是地球的質(zhì)量)由以上各式解得:

(2)g，由單擺系統(tǒng)的運動狀態(tài)決定，"等效重力加速度”等于擺球處于平衡位置不振動時，

等效擺長"繩子"上拉力對擺球產(chǎn)生的加速度。具體求法：等效重力加速度g'等于擺球相對系統(tǒng)

靜止在平衡位置時擺線的張力(視重)7■與擺球質(zhì)量m的比值，即￡=工。

m

【例題】如圖2所示，將擺長為L的單擺放在一升降機中，若升降機以加速度。向上運加

速運動，求單擺的擺動周期。

圖2

★解析：單擺的平衡位置在豎直位置，若擺球相對升降機靜止，則單擺受重力mg和繩拉

力F,根據(jù)牛頓第二定律：F-mg=ma,此時擺球的視重mg，=F=m(g+a),所以單擺的等效

重力加速度g'=F/m=g+a,因而單擺的周期為

T=2TT怛=2萬,IL

]g,Ng+a

【例題】如圖3(a)所示，長為L的輕繩一端系一質(zhì)量為m的小球，掛于小車支架上的。

點，當小車以加速度。向右加速運動時，將小球拉離平衡位置a(a<10°)由靜止釋放，求

其周期。

★解析：當小球相對小車靜止時，擺球的平衡位置偏離豎直。角，如圖3(b)中A點為擺

球的平衡位置，擺球相對車靜止在平衡位置時，繩子拉力為F,則由牛頓第二定律：

圖3(b)

FcosB=mg①

Fs\nQ=ma（2）

解得F-myjg2+a2

懸線拉力產(chǎn)生的加速度，即等效重力加速度

(3)g'還由單擺所處的物理環(huán)境決定，如帶點小球做成單擺在豎直方向的勻強電場中，回

復力應是重力和電場力的合力在圓弧切線方向的分力，所以也有一個等效重力加速度的問題。

在這類問題中，除了重力，拉力，以外的力為恒力時，采用等效法，將重力和恒力的合力等

效為重力。

【例題】如圖4所示，擺長為L的單擺，小球質(zhì)量為m,帶正電荷，電荷量為q,處在水

平向右的場強為E的勻強電場中，現(xiàn)將小球拉離平衡位置a由靜止釋放，求其周

期。

★解析：由平衡條件，當小球靜止在平衡位置時，擺線的張力F=mg'=《(mg)?+(qEf,

等效重力加速度g'=+(q￡)2/m。所以：丁=/"

但再看這種情況，，當擺球受到除重力拉力以外的其它力總是與速度垂直時，等效重力加

速度仍不變。所以T不變。

【例題】如圖所示，擺球的質(zhì)量為m,半徑為r,帶正電荷，用長為L的細線把擺球吊在

懸點0處做成單擺，在懸點。處固定著另一個正點電荷，則這個單擺的周期為()

B.

★解析：單擺的周期與重力加速度有關，其根本原因是重力的分力提供回復力。題中單擺

在振動過程中要受到天花板上帶正電小球的斥力，但是兩球之間的斥力方向與運動方向總是

垂直的，不影響回復力，故單擺的周期不變

【例題】如圖所示，單擺甲放在空氣中，周期為T中，單擺乙?guī)д?，放在勻強磁場中?/p>

周期為T乙，單擺丙帶正電，放在勻強電場中，周期為T丙，單擺丁放在靜止在水平面上的

光滑斜面上，周期為T「，那么()

T甲〉T乙＞T丙〉Tj-;

T乙〉T甲二T丙）Tr；

T丙〉T甲〉Tj＞T乙；

D.T「＞T甲二T乙＞T丙；

★解析：根據(jù)等效重力加速度的求法：平衡位置處，且相對靜止時受力情況可知：對乙有

=mg1注意相對靜止時，電荷不受洛侖茲力），即豈=2〃/—對丙有：F丙二mg二mg"

即：n=2萬

對丁有：Fr=mgsina-mg',

即：了「=24,由此可知D正確

gsina

3、擺長、加速度雙等效單擺：

【例題】如圖是記錄地震裝置的水平擺示意圖，擺球m固定在邊長L、質(zhì)量可忽略的等邊

三角形頂點A處，它的對邊BC與豎直線成不大的角6,擺球可沿固定軸8c擺動，則擺球做微

小振動的周期是多少？

★解析：當m做微小擺動時，實際上圍繞BC中點。運動，所以等效擺長應是L，=Lsin60。

2

當擺球處于平衡位置且不擺動時，沿。A方向的等效拉力下=切9$而。=切d,即g^gsinOo

故擺球的振動周期T=2%百七

丫2gsin，

【例題】由長度依次為L和2L的AC和BC兩根細繩懸掛著小球G,如圖所示，每根細繩跟

豎直方向的夾角均為30。。當該小球向紙外做微小擺動時;其擺動周期為多少？

★解析：2萬，3紅（連接AB,則AC與AB垂直，則AC為等效擺長，再找等效重力加

速度就可以了。）

二、單擺模型在其它問題中的應用

【例題】如圖所示，A、8為固定在輕桿中點和一個端點的兩個小球，桿可繞。點無摩擦

地轉(zhuǎn)動，將輕桿從圖中水平位置由靜止釋放，在輕桿下落到