專(zhuān)題. 同底數(shù)冪的除法（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（北師大版）

專(zhuān)題1.5同底數(shù)冪的除法（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）【知識(shí)點(diǎn)一】同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.即：用字母表示為am法則的拓展運(yùn)用法則的推廣：適用于三個(gè)及三個(gè)以上的同底數(shù)冪相乘，即am同底數(shù)冪的除法法則也可以逆用，逆用時(shí)am?n特別提醒運(yùn)用此法則要注意兩點(diǎn)：一是底數(shù)相同，二是指數(shù)相減.底數(shù)a可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但底數(shù)a不能為0.【知識(shí)點(diǎn)二】零指數(shù)冪零指數(shù)冪同底數(shù)冪相除，如果被出示的指數(shù)等于除式的指數(shù)等于除式的指數(shù)，例如am÷am，根據(jù)除法的意義可知所得的商為1.另一方面，如果依照同底數(shù)冪的除法來(lái)計(jì)算，又有零指數(shù)冪的性質(zhì)任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.即：用字母表示為a0特別提醒1.零指數(shù)冪在同底數(shù)冪的除法中，是除式與被除式的指數(shù)相同時(shí)的特殊情況.2.指數(shù)為0，但底數(shù)不能為0.【知識(shí)點(diǎn)三】負(fù)指數(shù)冪負(fù)整數(shù)指數(shù)冪一般地，當(dāng)p是正整數(shù)時(shí)，a?p=1ap（a≠0）.這就是說(shuō)，a整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則am·an=amn（a≠0,m,n是整數(shù)）；abnam÷a特別提醒負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，既可以等于正整數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)，也可以等于倒數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪，即a?p=1a整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算結(jié)果要化成正整數(shù)指數(shù)冪的形式.【知識(shí)點(diǎn)四】科學(xué)記數(shù)法用科學(xué)技術(shù)法表示數(shù)用科學(xué)計(jì)數(shù)法可以把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n是正整數(shù)），引進(jìn)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，也可以用科學(xué)計(jì)數(shù)法把一個(gè)小于1的正數(shù)表示為a×10用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的正數(shù)的一般步驟確定a：a是大于或等于1且小于10的數(shù).確定n：確定n的方法有兩種，即①n等于原數(shù)中左起第一個(gè)非0的數(shù)字前面0的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前的那個(gè)0）；②小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)到第一個(gè)非0的數(shù)字后，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了幾位，n就等于幾.將原數(shù)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為a×10?n特別提醒對(duì)于大于-1的負(fù)數(shù)也可以類(lèi)似的用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為a×10?n用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)時(shí)，10的指數(shù)是負(fù)數(shù)，一定不要忘記指數(shù)n前面的“-”號(hào).【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)1】【考點(diǎn)1】科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)及還原科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)【考點(diǎn)2】零指數(shù)與負(fù)指數(shù)【考點(diǎn)3】同底數(shù)冪相除運(yùn)算【考點(diǎn)4】同底數(shù)冪相除的逆運(yùn)算【考點(diǎn)5】?jī)绲幕旌线\(yùn)算【考點(diǎn)1】科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)及還原科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)【例1】（2022下·河北邢臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）世界上最輕的昆蟲(chóng)是一種卵蜂，其質(zhì)量為0.000005克．（1）用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)據(jù)0.000005；（2）一個(gè)雞蛋的質(zhì)量大約為50克，若m只卵蜂的質(zhì)量與這個(gè)雞蛋的質(zhì)量相等，請(qǐng)用科學(xué)記數(shù)法表示m．【答案】（1）；（2）【分析】（1）絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定；（2）根據(jù)題意列方程，解方程即可得解．（1）解：0.000005用科學(xué)記數(shù)法表示為0.000005=5×10-6；（2）解：設(shè)m只卵蜂的質(zhì)量和與這個(gè)雞蛋的質(zhì)量相等，根據(jù)題意，得0.000005m=50，解得m=10000000=1×107，答：1×107只卵蜂的質(zhì)量和與這個(gè)雞蛋的質(zhì)量相等．【點(diǎn)撥】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)．解題的關(guān)鍵是能夠正確的用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【變式1】（2022上·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）奧密克戎是一種新型冠狀病毒，它的直徑約為納米（1納米米）．其中“140納米”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)的方法：將原數(shù)化為的形式，其中，n為整數(shù)，n的值等于把原數(shù)變?yōu)閍時(shí)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)．解：140納米米，∴“140納米”用科學(xué)記數(shù)法表示為米，故選：B．【變式2】（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示為，則這個(gè)數(shù)為．【答案】0.00302【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．解：；故答案為：0.00302．【點(diǎn)撥】本題考查還原科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式是關(guān)鍵．【考點(diǎn)2】零指數(shù)與負(fù)指數(shù)【例2】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）計(jì)算題（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，化簡(jiǎn)絕對(duì)值：（1）先化簡(jiǎn)零指數(shù)冪和絕對(duì)值，再運(yùn)算加減法，即可作答；（2）先化簡(jiǎn)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、立方根、和絕對(duì)值，再運(yùn)算加減法，即可作答；正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）解：；（2）解：．【變式1】（2023上·貴州銅仁·八年級(jí)?？计谥校┤簦瑒t正確的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了乘方運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)以及有理數(shù)大小比較等知識(shí)，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．解：∵，，，，∴．故選：D．【變式2】（2023上·重慶·八年級(jí)四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)次冪，零指數(shù)和絕對(duì)值的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵解：，故答案為：．【考點(diǎn)3】同底數(shù)冪相除運(yùn)算【例3】（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)積的乘方，同底數(shù)冪的乘除法進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的乘除法進(jìn)行計(jì)算即可．（1）解：原式；（2）解：原式．【點(diǎn)撥】本題考查了積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法和除法，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列四個(gè)算式：①；②；③；④．其中計(jì)算不正確的是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．②③【答案】B【分析】本題考查冪的運(yùn)算，涉及同底數(shù)冪的除法、積的乘方、冪的乘方等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．根據(jù)同底數(shù)冪的除法、積的乘方、冪的乘方法則逐個(gè)解題解：①，錯(cuò)誤，②，正確，③，錯(cuò)誤，④，正確故①③錯(cuò)誤，故選：B．【變式2】（2023上·福建泉州·八年級(jí)泉州五中校考期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足，，，則的值為．【答案】4049【分析】本題考查同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，代數(shù)式求值，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．解：∵，∴，則，∵，∴，則，∴，故答案為：4049．【考點(diǎn)4】同底數(shù)冪相除的逆運(yùn)算【例4】（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）試說(shuō)明：．【答案】（1）16；（2）62.5；（3）見(jiàn)解析解：（1）．（2），即的值為62.5．（3）．理由如下：，，，．【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法法則和除法法則，冪的乘方法則及公式的逆運(yùn)用．【變式1】（2023上·廣東湛江·八年級(jí)廉江市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的除法及冪的乘方的逆運(yùn)用，根據(jù)對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則將變形為是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．解：∵，，∴，故選：C．【變式2】（2023上·重慶渝北·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，，則的值為．【答案】【分析】本題考查了冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法計(jì)算，掌握冪的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．根據(jù)冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法計(jì)算即可．解：故答案為：12．【考點(diǎn)5】?jī)绲幕旌线\(yùn)算【例5】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：（1） （2）（3） （4）【答案】（1）；（2）；（3）6；（4）【分析】（1）利用冪的乘方和同底數(shù)冪的乘除法求解即可；（2）先利用同底數(shù)冪的乘法和積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可求解；（3）先進(jìn)行有理數(shù)的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（4）可根據(jù)積的乘方和同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算即可求解．（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點(diǎn)撥】本題考查含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算、整式的運(yùn)算，涉及到冪的乘方和同底數(shù)冪的乘除法、積的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、合并同類(lèi)項(xiàng)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則并靈活運(yùn)用，正確求解是解答的關(guān)鍵．【變式1】（2022下·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列運(yùn)算中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則運(yùn)算即可得出正確選項(xiàng)．解：A．，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．，選項(xiàng)錯(cuò)