專題. 同底數(shù)冪的除法（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學年七年級數(shù)學下冊專項突破講與練（北師大版）

專題1.5同底數(shù)冪的除法（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.即：用字母表示為am法則的拓展運用法則的推廣：適用于三個及三個以上的同底數(shù)冪相乘，即am同底數(shù)冪的除法法則也可以逆用，逆用時am?n特別提醒運用此法則要注意兩點：一是底數(shù)相同，二是指數(shù)相減.底數(shù)a可以是單項式，也可以是多項式，但底數(shù)a不能為0.【知識點二】零指數(shù)冪零指數(shù)冪同底數(shù)冪相除，如果被出示的指數(shù)等于除式的指數(shù)等于除式的指數(shù)，例如am÷am，根據(jù)除法的意義可知所得的商為1.另一方面，如果依照同底數(shù)冪的除法來計算，又有零指數(shù)冪的性質任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.即：用字母表示為a0特別提醒1.零指數(shù)冪在同底數(shù)冪的除法中，是除式與被除式的指數(shù)相同時的特殊情況.2.指數(shù)為0，但底數(shù)不能為0.【知識點三】負指數(shù)冪負整數(shù)指數(shù)冪一般地，當p是正整數(shù)時，a?p=1ap（a≠0）.這就是說，a整數(shù)指數(shù)冪的運算法則am·an=amn（a≠0,m,n是整數(shù)）；abnam÷a特別提醒負整數(shù)指數(shù)冪的運算，既可以等于正整數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)，也可以等于倒數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪，即a?p=1a整數(shù)指數(shù)冪的運算結果要化成正整數(shù)指數(shù)冪的形式.【知識點四】科學記數(shù)法用科學技術法表示數(shù)用科學計數(shù)法可以把一個大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n是正整數(shù)），引進負整數(shù)指數(shù)冪后，也可以用科學計數(shù)法把一個小于1的正數(shù)表示為a×10用科學計數(shù)法表示小于1的正數(shù)的一般步驟確定a：a是大于或等于1且小于10的數(shù).確定n：確定n的方法有兩種，即①n等于原數(shù)中左起第一個非0的數(shù)字前面0的個數(shù)（包括小數(shù)點前的那個0）；②小數(shù)點向右移動到第一個非0的數(shù)字后，小數(shù)點移動了幾位，n就等于幾.將原數(shù)用科學計數(shù)法表示為a×10?n特別提醒對于大于-1的負數(shù)也可以類似的用科學計數(shù)法表示為a×10?n用科學計數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)時，10的指數(shù)是負數(shù)，一定不要忘記指數(shù)n前面的“-”號.【考點目錄】【考點1】【考點1】科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)及還原科學記數(shù)法表示的數(shù)【考點2】零指數(shù)與負指數(shù)【考點3】同底數(shù)冪相除運算【考點4】同底數(shù)冪相除的逆運算【考點5】冪的混合運算【考點1】科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)及還原科學記數(shù)法表示的數(shù)【例1】（2022下·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期中）世界上最輕的昆蟲是一種卵蜂，其質量為0.000005克．（1）用科學記數(shù)法表示數(shù)據(jù)0.000005；（2）一個雞蛋的質量大約為50克，若m只卵蜂的質量與這個雞蛋的質量相等，請用科學記數(shù)法表示m．【答案】（1）；（2）【分析】（1）絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定；（2）根據(jù)題意列方程，解方程即可得解．（1）解：0.000005用科學記數(shù)法表示為0.000005=5×10-6；（2）解：設m只卵蜂的質量和與這個雞蛋的質量相等，根據(jù)題意，得0.000005m=50，解得m=10000000=1×107，答：1×107只卵蜂的質量和與這個雞蛋的質量相等．【點撥】本題考查了用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)．解題的關鍵是能夠正確的用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【變式1】（2022上·廣東肇慶·八年級統(tǒng)考期末）奧密克戎是一種新型冠狀病毒，它的直徑約為納米（1納米米）．其中“140納米”用科學記數(shù)法表示為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本題主要考查了用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)，解題的關鍵是掌握用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)的方法：將原數(shù)化為的形式，其中，n為整數(shù)，n的值等于把原數(shù)變?yōu)閍時小數(shù)點移動的位數(shù)．解：140納米米，∴“140納米”用科學記數(shù)法表示為米，故選：B．【變式2】（2023上·八年級課時練習）若一個數(shù)可以用科學記數(shù)法表示為，則這個數(shù)為．【答案】0.00302【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．解：；故答案為：0.00302．【點撥】本題考查還原科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，熟練掌握科學記數(shù)法的表示形式是關鍵．【考點2】零指數(shù)與負指數(shù)【例2】（2023上·湖南長沙·九年級統(tǒng)考階段練習）計算題（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，化簡絕對值：（1）先化簡零指數(shù)冪和絕對值，再運算加減法，即可作答；（2）先化簡負整數(shù)指數(shù)冪、立方根、和絕對值，再運算加減法，即可作答；正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）解：；（2）解：．【變式1】（2023上·貴州銅仁·八年級?？计谥校┤?，則正確的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了乘方運算、負整數(shù)指數(shù)冪的性質、零指數(shù)冪的性質以及有理數(shù)大小比較等知識，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．解：∵，，，，∴．故選：D．【變式2】（2023上·重慶·八年級四川外國語大學附屬外國語學校?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查實數(shù)的混合運算，掌握負整數(shù)指數(shù)次冪，零指數(shù)和絕對值的運算法則是解題的關鍵解：，故答案為：．【考點3】同底數(shù)冪相除運算【例3】（2023上·八年級課時練習）計算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)積的乘方，同底數(shù)冪的乘除法進行計算即可；（2）根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的乘除法進行計算即可．（1）解：原式；（2）解：原式．【點撥】本題考查了積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法和除法，熟練掌握以上運算法則是解題的關鍵．【變式1】（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級?？茧A段練習）下列四個算式：①；②；③；④．其中計算不正確的是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．②③【答案】B【分析】本題考查冪的運算，涉及同底數(shù)冪的除法、積的乘方、冪的乘方等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．根據(jù)同底數(shù)冪的除法、積的乘方、冪的乘方法則逐個解題解：①，錯誤，②，正確，③，錯誤，④，正確故①③錯誤，故選：B．【變式2】（2023上·福建泉州·八年級泉州五中?？计谥校┮阎獙崝?shù)a，b，c滿足，，，則的值為．【答案】4049【分析】本題考查同底數(shù)冪的除法運算，代數(shù)式求值，正確掌握運算法則是解題關鍵．解：∵，∴，則，∵，∴，則，∴，故答案為：4049．【考點4】同底數(shù)冪相除的逆運算【例4】（2023下·七年級課時練習）已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）試說明：．【答案】（1）16；（2）62.5；（3）見解析解：（1）．（2），即的值為62.5．（3）．理由如下：，，，．【易錯點分析】本題解題的關鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法法則和除法法則，冪的乘方法則及公式的逆運用．【變式1】（2023上·廣東湛江·八年級廉江市第四中學?？茧A段練習）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的除法及冪的乘方的逆運用，根據(jù)對相應的運算法則將變形為是解決問題的關鍵．解：∵，，∴，故選：C．【變式2】（2023上·重慶渝北·八年級校聯(lián)考期中）已知，，則的值為．【答案】【分析】本題考查了冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法計算，掌握冪的運算法則是關鍵．根據(jù)冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法計算即可．解：故答案為：12．【考點5】冪的混合運算【例5】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級?？茧A段練習）計算：（1） （2）（3） （4）【答案】（1）；（2）；（3）6；（4）【分析】（1）利用冪的乘方和同底數(shù)冪的乘除法求解即可；（2）先利用同底數(shù)冪的乘法和積的乘方運算法則計算，再合并同類項即可求解；（3）先進行有理數(shù)的乘方、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的運算，再進行加減運算即可；（4）可根據(jù)積的乘方和同底數(shù)冪的乘法的逆運算進行簡便運算即可求解．（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點撥】本題考查含乘方的有理數(shù)的混合運算、整式的運算，涉及到冪的乘方和同底數(shù)冪的乘除法、積的乘方、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、合并同類項等知識，熟練掌握相關運算法則并靈活運用，正確求解是解答的關鍵．【變式1】（2022下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）下列運算中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)冪的運算法則運算即可得出正確選項．解：A．，選項錯誤，不符合題意；B．，選項錯