魯教版初一(上)數(shù)學(xué)第10講：一元一次方程的應(yīng)用(教師版)

一元一次方程的應(yīng)用__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通過觀察、歸納得出等數(shù)學(xué)模型的思想。通過應(yīng)用題教學(xué)使學(xué)生進(jìn)一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實(shí)中的相等關(guān)系,體會(huì)代數(shù)方法的優(yōu)越性。3、能夠“找出實(shí)際問題中的已知數(shù)和求知數(shù)，分析它們之間的關(guān)系，高級(jí)求知數(shù)，列出方程表示問題中的相等立關(guān)系”，體會(huì)建立一步體會(huì)利用一元一次方程解決問題的基本過程，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提高分析問題、解決問題的能力。4、通過探究實(shí)際問題與一元一次方程的關(guān)系，進(jìn)一步體會(huì)利用一元一次方程解決問題的基本過程，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提高分析問題、解決問題的能力。利息問題：本金×利率×年數(shù)=利息，本金+利息=本息和，利息稅=____×稅率行程問題：速度×____=路程（1）相遇問題（2）追擊問題（3）距中點(diǎn)問題（4）環(huán)形跑道問題行船問題：船速：船在靜水中的速度水速：河流中水流動(dòng)的速度順?biāo)伲捍陧標(biāo)叫袝r(shí)的速度順?biāo)俣?船速+____逆水速度：船在逆水航行時(shí)的速度逆水速度=船速-水速4.工程問題：工作總量=________×工作時(shí)間5.年齡問題6.比賽積分問題7.和差倍分問題（生產(chǎn)、做工等各類問題）8.數(shù)字問題9.列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：（1）“找”：看清題意，分析題中及其關(guān)系，找出用來(lái)列方程的____________；（2）“設(shè)”：用字母（例如x）表示問題的_______；（3）“列”：用字母的代數(shù)式表示相關(guān)的量，根據(jù)__________列出方程；（4）“解”：解方程；（5）“驗(yàn)”：檢查求得的值是否正確和符合實(shí)際情形，并寫出答（6）“答”：答出題目中所問的問題。參考答案利息時(shí)間水速水速工作效率9.數(shù)量關(guān)系量等量關(guān)系1.利息問題：本金×利率×年數(shù)=利息，本金+利息=本息和，利息稅=利息×稅率【例1】王大伯3年前把手頭一筆錢作為3年定期存款存入銀行,年利率為5%.到期后得到本息共23000元,問當(dāng)年王大伯存入銀行多少錢?【解析】設(shè)當(dāng)年王大伯存入銀行X元,年利率為5%,存期3年,所以3年的利息為3×5%x元.3年到期后的本息共為23000元。根據(jù)題意得x+3×5%x=23000解方程得x=20000答:當(dāng)年王大伯存入銀行20000元。練1.某同學(xué)把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少？（不計(jì)利息稅）【解析】設(shè)年利率為X，則半年利率為x/2根據(jù)題意有：250×（1+X/2）=252.7

解之得X=0.0216

即2.16%，半年期的年利率是2.16%。練2.小剛把壓歲錢按定期一年存入銀行，若一年定期存款的年利率為4.14％，利息稅的稅率為5％，到期支取時(shí)，扣除利息稅后，小剛本利和為519.665元，問小剛存入銀行的壓歲錢有多少元？【解析】?jī)?chǔ)蓄問題答案：設(shè)小剛存入銀行的壓歲錢為X元。由題意列方程得：X×4.14%×95%+X=519.665

1.03933X=519.665

X=500答：小明存入銀行的壓歲錢有500元2.利潤(rùn)贏虧問題商品利潤(rùn)=商品售價(jià)—商品進(jìn)價(jià)=商品標(biāo)價(jià)×折扣率—商品進(jìn)價(jià)商品利潤(rùn)率=商品利潤(rùn)/商品進(jìn)價(jià)商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)×折扣率【例2】一家商店將某種服裝按進(jìn)價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進(jìn)價(jià)是多少？【解析】盈虧問題答案：設(shè)進(jìn)價(jià)為X元依題意得：X×(1+40%)×80%-X=15解方程得X=75練3.某商店促銷某種品牌彩電，2008年元旦那天購(gòu)買該彩電可分兩期付款，在購(gòu)買時(shí)先付一筆款，余下的部分及它的利息（年利率為6%）在2009年元旦付清，該彩電售價(jià)是每臺(tái)6592元，若兩次付款相同，那每次應(yīng)付款多少元？【解析】銷售問題答案：設(shè)每次x元第一筆就是x元，第二筆就是x×(1+6%)依題意列方程：x+1.068x=6592x≈3187.63.工程問題【例3】一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要10天完成，乙單獨(dú)做要15天完成，甲單獨(dú)做5天,然后甲、乙合作完成，共得到1000元，如果按照每人完成工作量計(jì)算報(bào)酬，那么甲、乙兩人該如何分配？【解析】此題注意的問題是報(bào)酬分配的根據(jù)是他們各自的工作量。所以甲、乙兩人各得到800元、200元.解:設(shè)甲乙合作了x天.

甲的工作效率:1/10乙的工作效率:1/15

列方程:1/10*5+x(1/10+1/15)=1

解得:x=3

∴甲:1000*〔1/10*(5+3)〕=800元乙:1000*(1/15*3)=200元練4.某車間22名工人生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺釘1200個(gè)或螺母2000個(gè)，一個(gè)螺釘要配兩個(gè)螺母,為了使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套,應(yīng)該分配多少名工人生產(chǎn)螺釘,多少工人生產(chǎn)螺母？【解析】本題的配套關(guān)系是：一個(gè)螺釘配兩個(gè)螺母，即螺釘數(shù)：螺母數(shù)=1：2。解：設(shè)應(yīng)安排x名工人生產(chǎn)螺釘，(22－x)名工人生產(chǎn)螺母.依題意得：2000(22－x)＝2×1200x.解方程，得：5(22－x)＝6x，110－5x＝6x，x＝10.22－x＝12答：應(yīng)安排10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母【例4】整理一批圖書，由一個(gè)人做要40h完成.現(xiàn)計(jì)劃由一部分人先做4h，然后增加2人與他們一起做8h，完成這項(xiàng)工作.假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)該安排多少人工作？【解析】把總重量設(shè)為1，則人均效率(一個(gè)人做1h完成的工作量)為由x人先做4h,完成的工作量為再增加2人和前一部分人一起做8h,完成的工作量為這項(xiàng)工作分兩段完成任務(wù),兩段完成任務(wù)的工作量之和為解：設(shè)安排x人先做4h.依題意得：解方程，得：4x＋8(x＋2)＝40，4x＋8x＋16＝40，12x＝24，x＝2.答：應(yīng)先安排2人做4h.練5.一套儀器由一個(gè)A部件和三個(gè)B部件構(gòu)成.用1m3鋼材可以做40個(gè)A部件或240個(gè)B部件.現(xiàn)要用6m3鋼材制作這種儀器，應(yīng)用多少鋼材做A部件，多少鋼材做B部件，恰好配成這種儀器多少套？【解析】配套問題解：設(shè)應(yīng)用Xm3鋼材做A部件，則用(6-x）m3鋼材做B部件。3x40x=240（6-x）120x=1440-240X120x＋240x=1440360x=1440x=4A部件用4m36-4=2m3B部件用2m34×40=160個(gè)2×240=480個(gè)480÷160=3答：恰好配成這種儀器160套?！纠?】一條地下管線由甲工程隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)需要12天，由乙工程隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)需要24天.如果由這兩個(gè)工程隊(duì)從兩端同時(shí)施工，要多少天可以鋪好這條管線？【解析】簡(jiǎn)單的工程問題，功效之和乘以工作時(shí)間等于工總。解：設(shè)工作時(shí)間為x天則X/12+X/24=1解方程X=8答：如果由這兩個(gè)工程隊(duì)從兩端同時(shí)施工，要8天可以鋪好這條管線。練6.一件工程，甲獨(dú)做需15天完成，乙獨(dú)做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務(wù)，剩下工程由乙單獨(dú)完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？【解析】單位“1”減去甲乙合作的就是剩下的由單獨(dú)做的。解：設(shè)乙還要X天才完成全部工程，則：++=1=1--=1-0.2-0.25=0.55=0.55×12=6.6≈7答：乙還要7天才能完成全部工程?！纠?】一個(gè)裝滿水的內(nèi)部長(zhǎng)、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長(zhǎng)方體鐵盒中的水，倒入一個(gè)內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到0.1毫米，≈3.14）．【解析】此類問題的關(guān)鍵在“等積”上，是等量關(guān)系的所在，必須掌握常見幾何圖形的面積、體積公式?！暗确e變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?。常用等量關(guān)系為：①形狀面積變了，周長(zhǎng)沒變；②原料體積＝成品體積。解：設(shè)圓柱形水桶的高為x毫米，依題意，得·（）2x=300×300×80x≈229.3答：圓柱形水桶的高約為229.3毫米．練7.長(zhǎng)方體甲的長(zhǎng)、寬、高分別為260mm，150mm，325mm，長(zhǎng)方體乙的底面積為130×130mm2，又知甲的體積是乙的體積的2.5倍，求乙的高？【解析】“等積”解：設(shè)乙的高為 答：乙的高為300mm。4.行程問題練8.甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時(shí)行90公里，一列快車從乙站開出，每小時(shí)行140公里。（1）慢車先開出1小時(shí)，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時(shí)后兩車相遇？（2）兩車同時(shí)開出，相背而行多少小時(shí)后兩車相距600公里？（3）兩車同時(shí)開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時(shí)后快車與慢車相距600公里？（4）兩車同時(shí)開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時(shí)后快車追上慢車？（5）慢車開出1小時(shí)后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時(shí)追上慢車？【解析】此題關(guān)鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結(jié)合圖形分析。（1）分析：相遇問題，畫圖表示為：等量關(guān)系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里。解：設(shè)快車開出x小時(shí)后兩車相遇，由題意得，140x+90(x+1)=480解這個(gè)方程，230x=390答：快車開出小時(shí)兩車相遇（2）分析：相背而行，畫圖表示為：等量關(guān)系是：兩車所走的路程和+480公里=600公里。解：設(shè)x小時(shí)后兩車相距600公里，由題意得，(140+90)x+480=600解這個(gè)方程，230x=120∴x=答：小時(shí)后兩車相距600公里。（3）分析：等量關(guān)系為：快車所走路程－慢車所走路程+480公里=600公里。解：設(shè)x小時(shí)后兩車相距600公里，由題意得，(140－90)x+480=60050x=120∴x=2.4答：2.4小時(shí)后兩車相距600公里。（4）分析：追及問題，畫圖表示為：等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。解：設(shè)x小時(shí)后快車追上慢車。由題意得，140x=90x+480解這個(gè)方程，50x=480∴x=9.6答：9.6小時(shí)后快車追上慢車。（5）分析：追及問題，等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。解：設(shè)快車開出x小時(shí)后追上慢車。由題意得，140x=90(x+1)+48050x=570∴x=11.4答：快車開出11.4小時(shí)后追上慢車。練9.（2015永城第一中學(xué)月考）甲乙兩人在同一道路上從相距5千米的A、B兩地同向而行，甲的速度為5千米/小時(shí)，乙的速度為3千米/小時(shí)，甲帶著一只狗，當(dāng)甲追乙時(shí)，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反復(fù)，直至甲追上乙為止，已知狗的速度為15千米/小時(shí)，求此過程中，狗跑的總路程是多少？【解析】追擊問題，不能直接求出狗的總路程，但間接的問題轉(zhuǎn)化成甲乙兩人的追擊問題。狗跑的總路程=它的速度×?xí)r間，而它用的總時(shí)間就是甲追上乙的時(shí)間。解：設(shè)甲用X小時(shí)追上乙，根據(jù)題意列方程5X=3X+5解得X=2.5，狗的總路程：15×2.5=37.5答：狗的總路程是37.5千米。練10.某船從A地順流而下到達(dá)B地，然后逆流返回，到達(dá)A、B兩地之間的C地，一共航行了7小時(shí)，已知此船在靜水中的速度為8千米/時(shí)，水流速度為2千米/時(shí)。A、C兩地之間的路程為10千米，求A、B兩地之間的路程?！窘馕觥繉儆谛写瑔栴}，這類問題中要弄清：（1）順?biāo)俣?船在靜水中的速度+水流速度；（2）逆水速度=船在靜水中的速度－水流速度。相等關(guān)系為：順流航行的時(shí)間+逆流航行的時(shí)間=7小時(shí)。解：設(shè)A、B兩碼頭之間的航程為x千米，則B、C間的航程為(x-10)千米，由題意得，答：A、B兩地之間的路程為32.5千米。練11.有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長(zhǎng)度比第一鐵橋長(zhǎng)度的2倍短50米，試求各鐵橋的長(zhǎng)．【解析】火車過橋問題解：設(shè)第一鐵橋的長(zhǎng)為x米，那么第二鐵橋的長(zhǎng)為（2x-50）米，過完第一鐵橋所需的時(shí)間為分．過完第二鐵橋所需的時(shí)間為分．依題意，可列出方程+=解方程x+50=2x-50得x=100∴2x-50=2×100-50=150答：第一鐵橋長(zhǎng)100米，第二鐵橋長(zhǎng)150米．練12.（2014北京文匯第一學(xué)期月考）已知甲、乙兩地相距120千米，乙的速度比甲每小時(shí)快1千米，甲先從A地出發(fā)2小時(shí)后，乙從B地出發(fā)，與甲相向而行經(jīng)過10小時(shí)后相遇，求甲乙的速度？【解析】設(shè)甲的速度為x千米/小時(shí)，則乙的速度為（x+1）千米/小時(shí),依題意得， 乙的速度為：答：甲的速度為5千米/小時(shí)，乙的速度為6千米/小時(shí)。1、甲、乙兩人相距60米，相向而行，甲從A地每秒走3米，乙從B地每秒走2米，如果甲 先走10米，那么幾秒后兩人相遇？2、甲、乙兩人相距60米，相向而行，甲從A地每秒走3米，乙從B地每秒走2米，那么幾 秒后兩人相距20米？3、甲、乙兩人騎自行車同時(shí)從相距65千米的兩地相向而行，２小時(shí)后相遇。已知甲騎車 每小時(shí)比乙每小時(shí)多走2千米，求甲，乙兩人的速度。4、（2015北京14中月考）甲、乙兩人同時(shí)同地同向而行，甲的速度是4千米/小時(shí)，乙的 速度比甲慢，半小時(shí)后，甲調(diào)頭往回走，再走10分鐘與乙相遇，求乙的速度。5、甲、乙兩人在相距18千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，1小時(shí)48分相遇，如果甲比乙 早出發(fā)40分鐘，那么在乙出發(fā)1小時(shí)30分時(shí)兩人相遇，求甲、乙兩人的速度。6、甲、乙兩人練習(xí)賽跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，甲讓乙先跑5米然后奮力去追， 求幾秒后甲追上乙？7、（2014鹽城一中期末）甲乙兩人在400米的環(huán)形跑道上跑步，從同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，甲 的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒。（1）如果背向而行，兩人多久第一次相遇？（2）如果同向而行，兩人多久第一次相遇？8、甲、乙兩人分別從相距140千米的A，B兩地同時(shí)出發(fā)，甲的速度為40千米/小時(shí)，乙的 速度為20千米/小時(shí)（1）若相向而行，經(jīng)過多少小時(shí)兩人相距20千米？（2）如果同向而行，經(jīng)過多少小時(shí)兩人相距20千米？（2015北京161中學(xué)月考）休息日我和媽媽從家里出發(fā)一同去外婆家，我們走了1小時(shí) 后，爸爸發(fā)現(xiàn)帶給外婆的禮品忘在家里，便立刻帶上禮品以每小時(shí)6千米的速度去追， 如果我和媽媽每小時(shí)行2千米，從家里到外婆家需要1小時(shí)45分鐘，問爸爸能在我和 媽媽到外婆家之前追上我們嗎？__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________10.某工程由甲、乙兩隊(duì)完成，甲隊(duì)單獨(dú)完成需16天，乙隊(duì)單獨(dú)完成需12天。如先由甲隊(duì) 做4天，然后兩隊(duì)合做，問再做幾天后可完成工程的六分之五？11.某件文件需要打印，小李獨(dú)立完成需要6個(gè)小時(shí)，小王獨(dú)立完成需要8個(gè)小時(shí)，如果兩 人合作的話，需要多少時(shí)間可以完成。12.（2014北京鐵二中學(xué)月考）一項(xiàng)工作甲工程隊(duì)單獨(dú)施工需要30天才能完成，乙隊(duì)單獨(dú) 需要20天才能完成?，F(xiàn)在由甲隊(duì)單獨(dú)工作5天之后，剩下的工作再由兩隊(duì)合作完成， 問他們需要合作多少天？13、一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做10天完成，現(xiàn)在由乙先獨(dú)做幾天后，剩下的 部分由甲獨(dú)做，先后共花12天完成，問乙做了幾天？14、理一批圖書，由一個(gè)人做要40小時(shí)完成?，F(xiàn)計(jì)劃由一部分人先做4小時(shí)，再增加2人 和他們一起做8小時(shí)，完成這項(xiàng)工作。假設(shè)這些人的工作效率相同，具體先安排多少人 工作。15.某車間加工30個(gè)零件，甲工人單獨(dú)做，能按計(jì)劃完成任務(wù)，乙工人單獨(dú)做能提前一天半 完成任務(wù)，已知乙工人每天比甲工人多做1個(gè)零件，問甲工人每天能做幾個(gè)零件？原計(jì) 劃幾天完成？16.整理一批數(shù)據(jù)，由一個(gè)人做需80小時(shí)完成任務(wù)。現(xiàn)在計(jì)劃由一些人先做2小時(shí)，再增加 5人做8小時(shí)，完成任務(wù)這項(xiàng)工作的3/4。怎樣安排參與整理數(shù)據(jù)的具體人數(shù)？17.某中學(xué)的學(xué)生自己動(dòng)手整修操場(chǎng)，如果讓初一學(xué)生單獨(dú)工作，需要7.5小時(shí)完成；如果 讓初二學(xué)生單獨(dú)工作，需要5小時(shí)完成。如果讓初一、初二學(xué)生一起工作1小時(shí)，再由 初二學(xué)生單獨(dú)完成剩余部分，共需幾小時(shí)完成？18.甲車隊(duì)有50輛汽車，乙車隊(duì)有41輛汽車，如果要使乙隊(duì)汽車數(shù)比甲隊(duì)汽車數(shù)的2倍還 多1輛，應(yīng)從甲隊(duì)調(diào)多少輛到乙車隊(duì)？19.甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的2倍，從甲隊(duì)調(diào)12人到乙隊(duì)后，甲隊(duì)剩下來(lái)的人數(shù)是原乙隊(duì)人數(shù)的 一半還多15人。求甲、乙兩隊(duì)原有人數(shù)各多少人？甲、乙兩車間各有工人若干，如果從乙車間調(diào)100人到甲車間，那么甲車間的人數(shù)是乙車 間剩余人數(shù)的6倍；如果從甲車間調(diào)100人到乙車間，這時(shí)兩車間的人數(shù)相等，求原來(lái)甲 乙車間的人數(shù)。21.學(xué)校分配學(xué)生住宿，如果每室住8人，還少12個(gè)床位，如果每