2019-2020學年江蘇省無錫市錫山區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷附答案解析

2019-2020學年江蘇省無錫市錫山區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10題，每題3分，共30分.）

1.（3分）一元二次方程無2=9的根是（）

A.3B.±3C.9D.±9

2.（3分）如圖，以A8為直徑的。。上有一點C,且/BOC=50°,則NA的度數(shù)為（)

C.30°D.25°

3.（3分）為了比較甲乙兩足球隊的身高誰更整齊，分別量出每人身高，發(fā)現(xiàn)兩隊的平均身

高一樣，甲、乙兩隊的方差分別是1.7、2.4,則下列說法正確的是（）

A.甲、乙兩隊身高一樣整齊

B.甲隊身高更整齊

C.乙隊身高更整齊

D.無法確定甲、乙兩隊身高誰更整齊

4.（3分）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若拋擲6次都是正面朝上，則拋擲第7次正面朝上的

概率是（）

A.小于工B.等于工C.大于工D.無法確定

222

5.（3分）下列方程有兩個相等的實數(shù)根是（）

777?

A.x-x+3=0B.x-3x+2=0C.x-2x+l=0D.x-4=0

6.（3分）如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點，下列說法中不正確的是（）

RADAE

ABAC

C.D.DE=1^C

2

7.（3分）如圖，已知O。的內(nèi)接正方形邊長為2,則。。的半徑是（）

A.1B.2C.A/2D.272

8.（3分）已知RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=2,BC=3,則下列各式中，正確的是（）

A.sinB=AB.cosB=—C.tanB=-D.以上都不對

333

9.（3分）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,8C=8,點M是AB上的一點，

33

10.（3分）如圖1,S是矩形ABC。的A。邊上一點，點E以每秒此相的速度沿折線BS-

SD-DC勻速運動，同時點F從點C出發(fā)點，以每秒1cm的速度沿邊CB勻速運動并且

點F運動到點B時點￡也運動到點C.動點E,尸同時停止運動.設點E,F出發(fā)f秒時，

△EBF的面積為ye%?.已知〉與/的函數(shù)圖象如圖2所示.其中曲線。加，NP為兩段拋

物線，為線段.則下列說法：

①點E運動到點S時，用了2.5秒，運動到點。時共用了4秒

②矩形ABCD的兩鄰邊長為BC=6cm,CD=4cm；

@smZABS=^-；

2

④點E的運動速度為每秒2c〃z.其中正確的是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

二、填空題（本大題共8題，每空2分，共16分.）

11.（2分）二次函數(shù)y=-（X+5）2-3,圖象的頂點坐標是.

12.（2分）一元二次方程無2=彳的解為.

13.（2分）如圖，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止后（指針落在線上重轉(zhuǎn)），指針停留的區(qū)域中

14.（2分）為了解某校九年級學生每天的睡眠時間，隨機調(diào)查了其中20名學生，將所得數(shù)

據(jù)整理并制成如表，那么這些測試數(shù)據(jù)的中位數(shù)是小時.

睡眠時間（小時）6789

學生人數(shù)8642

15.（2分）已知圓錐的底面半徑為3,母線長為7,則圓錐的側(cè)面積是.

16.（2分）如圖，半徑為?的OO與邊長為8的等邊三角形ABC的兩邊A3、都相切,

連接OC,貝Usin/OC8=.

17.（2分）如圖，在平面直角坐標系中，直線/：y=-2龍+8與坐標軸分別交于A,B兩點,

點C在x正半軸上，且OC=O8.點P為線段（不含端點）上一動點，將線段。尸繞

點0順時針旋轉(zhuǎn)90。得線段OQ,連接CQ,則線段C。的最小值為

18.（2分）如圖，直線A,B,C分別為直線/1，b，/3上的動點，連接AB，BC,

AC,線段AC交直線/2于點D設直線/i，/2之間的距離為小直線8/3之間的距離為

n,若NA8C=90°,BD=3,且典=■1,則m+n的最大值為

n2

三、解答題（本大題共10題，共84分.）

19.（8分）（1）計算：4sin30°-（2-?）°+2tan45°；

（2）解方程：x-6尤=7.

20.（8分）某校九年級學生某科目期末評價成績是由完成作業(yè)、單元檢測、期末考試三項

成績構(gòu)成的，如果期末評價成績80分以上（含80分），則評定為“優(yōu)秀”，下面表中是

小張和小王兩位同學的成績記錄：

完成作業(yè)單元測試期末考試

小張709080

小王6075—

若按完成作業(yè)、單元檢測、期末考試三項成績按1：2：7的權重來確定期末評價成績.

（1）請計算小張的期末評價成績?yōu)槎嗌俜郑?/p>

（2）小王在期末（期末成績?yōu)檎麛?shù)）應該最少考多少分才能達到優(yōu)秀？

21.（6分）己知△ABC三頂點的坐標分別為A（0,2）、B（3,3）、C（2,1）.

（1）畫出△ABC；

（2）以2為位似中心，將aABC放大到原來的2倍，在右圖的網(wǎng)格圖中畫出放大后的圖

形△A1BC1；

（3）寫出點A的對應點4的坐標：.

yA

01

22.（8分）某市有A、B、。三個公園，甲、乙兩位同學隨機選擇其中一個公園游玩.

（1）甲去A公園游玩的概率是;

（2）求甲、乙恰好在同一個公園游玩的概率.（請用“畫樹狀圖”或“列表”或“列舉”

等方法給出分析過程）

23.（8分）如圖，在矩形A2CD中，已知在邊上取點E,連結(jié)CE.過點E

作EFLCE,與邊AB的延長線交于點F.

（1）求證：AAEFsADCE.

24.（8分）己知：如圖，在△ABC中，AB^AC,以AB為直徑的。。交于點。，過點

。作。E_LAC于點E.

（1）求證：DE是的切線.

（2）若O。的半徑為3c",NC=30°,求圖中陰影部分的面積.

25.（8分）如圖1是超市的手推車，如圖2是其側(cè)面示意圖，已知前后車輪半徑均為5CM,

兩個車輪的圓心的連線A8與地面平行，測得支架AC.CO所在直線與

地面的夾角分別為30°、60°,CD=50cm.

(1)求扶手前端。到地面的距離；

(2)手推車內(nèi)裝有簡易寶寶椅，為小坐板，打開后，椅子的支點”到點C的距離為

10cm,DF=20cm,EF//AB,ZEHD=45°,求坐板的寬度.(本題答案均保留根號)

26.(10分)某公司研制出新產(chǎn)品，該產(chǎn)品的成本為每件2400元.在試銷期間，購買不超

過10件時，每件銷售價為3000元；購買超過10件時，每多購買一件，所購產(chǎn)品的銷售

單價均降低5元，但最低銷售單價為2600元.請解決下列問題：

(1)直接寫出：購買這種產(chǎn)品件時，銷售單價恰好為2600元；

(2)設購買這種產(chǎn)品尤件(其中x>10,且尤為整數(shù))，該公司所獲利潤為y元，求y與

尤之間的函數(shù)表達式；

(3)該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當購買產(chǎn)品的件數(shù)超過10件時，會出現(xiàn)隨著數(shù)量的增多,

公司所獲利潤反而減少這一情況.為使購買數(shù)量越多，公司所獲利潤越大，公司應將最

低銷售單價調(diào)整為多少元？(其它銷售條件不變)

27.(10分)在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=o?+bx+2的圖象與無軸交于A(-3,0),

B(1,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式，并直接寫出當x滿足什么值時y<0?

(2)點尸是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點尸，使△ACP面積最大？若存

在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)點M為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點。，使以A、C、M、。為頂點的四

邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

28.（10分）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,半圓。的直徑AB=10,點P是半圓。上的一個動點，則

△PAB的面積最大值是

【問題探究】如圖2所示，AB,AC,左是某新區(qū)的三條規(guī)劃路，其中42=6加，AC=

3km,ZBAC=60°,前所對的圓心角為60°.新區(qū)管委會想在前路邊建物資總站點P,

在A3、AC路邊分別建物資分站點E、F,即分別在前、線段AB和AC上選取點P、E、

F.由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按尸一E-F-P的路徑進行運輸，因

此，要在各物資站點之間規(guī)劃道路PE、EF和EP.顯然，為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本，就

要使線段PE、EF、FP之和最短（各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計）.可

求得APEF周長的最小值為km；

【拓展應用】如圖3是某街心花園的一角，在扇形048中，ZAOB=90°,。4=12米，

在圍墻04和02上分別有兩個入口C和。，且AC=4米，。是的中點，出口石在益

上.現(xiàn)準備沿CE、OE從入口到出口鋪設兩條景觀小路，在四邊形COOE內(nèi)種花，在剩

余區(qū)域種草.

①出口￡設在距直線0B多遠處可以使四邊形CODE的面積最大？最大面積是多少？（小

路寬度不計）

②已知鋪設小路CE所用的普通石材每米的造價是200元，鋪設小路DE所用的景觀石

材每米的造價是400元.

請問：在源上是否存在點E,使鋪設小路CE和DE的總造價最低？若存在，求出最低

總造價和出口￡距直線的距離；若不存在，請說明理由.

2019-2020學年江蘇省無錫市錫山區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10題，每題3分，共30分.）

1.（3分）一元二次方程，=9的根是（）

A.3B.±3C.9D.±9

【分析】根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案.

【解答】解：；）=9,

；.x=±3,

故選：B.

【點評】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬

于基礎題型.

2.（3分）如圖，以A8為直徑的上有一點C,且/BOC=50°,則/A的度數(shù)為（）

A.65°B.50°C.30°D.25°

【分析】直接利用圓周角定理求解.

【解答】解：???/8OC=50°,

AZA=AX50°=25°.

2

故選：D.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的一半.

3.（3分）為了比較甲乙兩足球隊的身高誰更整齊，分別量出每人身高，發(fā)現(xiàn)兩隊的平均身

高一樣，甲、乙兩隊的方差分別是1.7、2.4,則下列說法正確的是（）

A.甲、乙兩隊身高一樣整齊

B.甲隊身高更整齊

C.乙隊身高更整齊

D.無法確定甲、乙兩隊身高誰更整齊

【分析】根據(jù)方差的定義，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定即可得出答案.

【解答】解：.??甲、乙兩隊的方差分別是1.7、2.4,

甲2Vs薯2,

???甲隊身高更整齊；

故選：B.

【點評】本題考查了方差的意義.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，

表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這

組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

4.（3分）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若拋擲6次都是正面朝上，則拋擲第7次正面朝上的

概率是（）

A.小于工B.等于工C.大于工D.無法確定

222

【分析】利用概率的意義直接得出答案.

【解答】解：因為每次拋擲概率相同，則第7次拋擲這枚硬幣，正面朝上的概率為：1,

2

故選：B.

【點評】此題主要考查了概率的意義，正確把握概率的定義是解題關鍵.

5.（3分）下列方程有兩個相等的實數(shù)根是（）

7???

A.x-x+3=0B.x-3x+2=0C.x-2x+l=0D.x-4=0

【分析】先根據(jù)方程求出△的值，再根據(jù)根的判別式的內(nèi)容判斷即可.

【解答】解：A、，-x+3=0,

△=（-1）2-4X1X3=-11<0,

所以方程沒有實數(shù)根，故本選項不符合題意；

9

B、x-3x+2=0,

△=（-3）2-4XlX2=l>0,

所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，故本選項不符合題意；

C、x-2X+1=0,

△=（-2）2-4X1X1=。，

所以方程有兩個相等的實數(shù)根，故本選項符合題意；

7

D、x-4=0,

△=O2-4X1X（-4）=16>0,

所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，故本選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關鍵.

6.（3分）如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點，下列說法中不正確的是（）

RADAE

ABAC

C.AADEsAABCD.DE=1-BC

2

【分析】由。，E分別是A8,AC的中點，可得出DE是△ABC的中位線，進而可得出

DE//BC,他=3殳=邁=工，由DE//BC可得出再利用相似三角形

ABACBC2

的性質(zhì)可得出也處=工，此題得解.

,△ABC4

【解答】解：E分別是AB,AC的中點，

是△ABC的中位線，

C.DE//BC,9=坐=邁=上，

ABACBC2

AADE^AABC,DE=1^C,

2

■SAADE_（AD）2=（工）2=工

^AABC研24

故選：A.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線定理，利用相似三角形

的性質(zhì)找出也些=工是解題的關鍵.

,△ABC4

7.（3分）如圖，己知O。的內(nèi)接正方形邊長為2,則。。的半徑是（）

A.1B.2C.A/2D.2V2

【分析】根據(jù)正方形與圓的性質(zhì)得出AB=BC，以及A22+B1=A^,進而得到結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，

,四邊形ABC。是正方形，ZB=90°,

；.AC是O。的直徑，

\"AB2+BC2=AC2,AB=BC,

.'.AB2+BC2=22+22=8,

；.AC=2%，

，o。的半徑是J5，

故選：c.

【點評】此題主要考查了正方形與它的外接圓的性質(zhì)，根據(jù)已知得出A^+BduAC2是

解題關鍵，此題難度一般.

8.（3分）已知Rt^ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=3,則下列各式中，正確的是（）

A.sinB=—B.cosB=—C.tanB=—D.以上都不對

333

【分析】根據(jù)勾股定理求出A8,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出各個三角函數(shù)值，即可得

出答案.

A

由勾股定理得：48=4^^^=電^^=6互，

所以8$8=旦~=3"1。,sinB=2上上乂13,tanB=3C=2,所以只有選項C正確；

AB13AB13BC3

故選：C.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義的應用，能熟記銳角三角函數(shù)的定義是解此題

的關鍵.

9.（3分）如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=9Q°，AC=6,BC=8,點M是A8上的一點，

33

【分析】可分兩種情況：①當NCAN=/8時，△C4Ns/\C8A,設CN=3k,BM=4k,

可得型解出左值即可；②當/CAN=/MC8時，過點M作MHLCB,可得△8M77

ACCB

S/XBAC,得出則CH=8-四,證明△ACNs/\c”M,得出

555

方程求解即可.

【解答】解：?/ZCMB>ZCAB>ZCAN,

:./CAN豐/CAB,設CN=3k,BM=4k,

①當NCAN=/B時，可得△CANs^CBA,

???C-N~--A-C,

ACCB

???—3k=—6,

68

:.k=3,

2

:.BM=6.

②當NCAN=NAfC8時，如圖2中，過點M作必/_LCB,可得△BMHS^BAC,

?MB_MH^BH；

*'AB=AC"BC'

?4kMHBH

"Io"6"8'

55

：.CH=S-^-k,

5

VZMCB=ZCAN,ZCHM=ZACN=90°,

△ACNs^CHM,

???C-N=--M-H,

ACCH

12,

.3k-k

??一，

k—1或0,

：.BM=4.

綜上所述，8M=4或6.

故選：D.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程等知識，解題的關鍵是

學會用分類討論的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

10.（3分）如圖1,S是矩形ABC。的邊上一點，點E以每秒反機的速度沿折線BS-

SO-OC勻速運動，同時點尸從點C出發(fā)點，以每秒1c機的速度沿邊C8勻速運動并且

點廠運動到點2時點E也運動到點C.動點E,尸同時停止運動.設點E,尸出發(fā)/秒時，

△EB尸的面積為yew?.已知y與/的函數(shù)圖象如圖2所示.其中曲線OM,NP為兩段拋

物線，為線段.則下列說法：

①點E運動到點S時，用了2.5秒，運動到點。時共用了4秒

②矩形ABCD的兩鄰邊長為BC=6cm,CD=4cm；

③sin/ABS=^A；

2

④點E的運動速度為每秒2c〃z.其中正確的是（）

圖1圖2

A.①②③B,①③④C.①②④D.②③④

【分析】①正確，根據(jù)圖象即可判斷.

②正確，設A8=C￡）=〃on,BC=AD=bcm,列出方程組即可解決問題.

③錯誤，由8S=2.5k,SD=15k,得空■=旦，設SD=3x,BS=5x,在R7YXABS中,由

SD3

AB2+AS2=BS2列出方程求出X,即可判斷.

④正確，求出8S即可解決問題.

【解答】解：由圖象可知點E運動到點S時用了2.5秒，運動到點D時共用了4秒.故

①正確.

設AB=CQ=ac?i,BC=AD=bcm,

(b-2.5)=7

由題意,

y'a(b-4)=4

解得a=4

b=6

所以AB=CQ=4CTn,BC=AD=6cm,故②正確,

,:BS=25k,SD=\5k,

.?.段=上，設S￡)=3x,BS=5x,

SD3

在RTAABS中，,/AB2+AS2=BS2,

.'.42+(6-3x)2=(5x),

解得x=l或-1A(舍)，

4

:.BS=5,SD=3,AS=3,

sin/ABS=^J=3故③錯誤，

BS5

：BS=5,

.".5—2.5k,

.,.k—2cm/s,故④正確，

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、勾股定理、三角形面積、函數(shù)圖象

問題等知識，讀懂圖象信息是解決問題的關鍵，學會設未知數(shù)列方程組解決問題，把問

題轉(zhuǎn)化為方程去思考，是數(shù)形結(jié)合的好題目，屬于中考選擇題中的壓軸題.

二、填空題（本大題共8題，每空2分，共16分.）

11.（2分）二次函數(shù)y=-（x+5）2-3,圖象的頂點坐標是（-5,-3）.

【分析】根據(jù)題目中函數(shù)的解析式直接得到此二次函數(shù)的頂點坐標.

【解答】解：??，=-（x+5）2-3,

...二次函數(shù)y=-（無+5）2-3的圖象的頂點坐標是（-5,-3）

故答案為:（-5,-3）.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

12.（2分）一元二次方程/=彳的解為,=0,尤2=1.

【分析】首先把x移項，再把方程的左面分解因式，即可得到答案.

【解答】解：，=X,

移項得：,-x=0,

.*.x（x-1）=0,

x=0或x-1=0,

??X\~~0,X2~~1?

故答案為：Xl=0,X2—1.

【點評】此題主要考查了因式分解法解一元二次方程，關鍵是把方程的右面變?yōu)?.

13.（2分）如圖，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止后（指針落在線上重轉(zhuǎn)），指針停留的區(qū)域中

的數(shù)字為偶數(shù)的概率是1.

~4~

【分析】由1占圓50%,2與3占25%,可得把數(shù)字為1的扇形可以平分成2部分，即

可得轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次共有4種等可能的結(jié)果，分別是1,1,2,3；然后由概率公式即可求

得.

【解答】解：：1占圓50%,2與3占25%,

...把數(shù)字為1的扇形可以平分成2部分，

???轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次共有4種等可能的結(jié)果，分別是1,1,2,3；

...當轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字為偶數(shù)的概率是：1.

4

故答案為：1.

4

【點評】此題考查了概率公式的應用.注意用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情

況數(shù)之比.

14.（2分）為了解某校九年級學生每天的睡眠時間，隨機調(diào)查了其中20名學生，將所得數(shù)

據(jù)整理并制成如表，那么這些測試數(shù)據(jù)的中位數(shù)是」^小時.

睡眠時間（小時）6789

學生人數(shù)8642

【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義進行求解即可.

【解答】解：?..共有20名學生，把這些數(shù)從小到大排列，處于中間位置的是第10和11

個數(shù)的平均數(shù)，

...這些測試數(shù)據(jù)的中位數(shù)是正工=7小時；

2

故答案為：7.

【點評】本題考查了中位數(shù)，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?

最中間的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）.

15.（2分）已知圓錐的底面半徑為3,母線長為7,則圓錐的側(cè)面積是21n.

【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形

的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式計算.

【解答】解：圓錐的側(cè)面積=1X27TX3X7=21IT.

2

故答案為21Tt.

【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓

錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.

16.（2分）如圖，半徑為?的。。與邊長為8的等邊三角形A3C的兩邊A3、都相切,

連接0C,則sin/OCB=返1.

一14—

【分析】連接作。OLBC于。，由等邊三角形的性質(zhì)得/ABC=60°,BC=8,由

。。與等邊三角形ABC的兩邊A3、BC都相切，得出。。是。。的半徑，ZOBC^ZOBA

=AzABC=30°,由tan/OBC=Q5l,求出3。=3,CD=BC-BD=5,由勾股定理得

2BD

出OC=7OD24CD2=2^即可得出答案?

【解答】解:連接。2,作OOLBC于。，如圖所示：

,/AABC是邊長為8的等邊三角形，

AZABC=60°,BC=8,

：O。與等邊三角形ABC的兩邊A3、BC都相切，

是。。的半徑，NOBC=NO8A=JL/ABC=30°,

2

VtanZOBC=^P-,

BD

BD=_05_=裳=3,

tan300V3

3

:.CD=BC-BD=8-3=5,

0C=70D24<D2=V（V3）2+52=2"

sinZOCB=@=2Z2T.

OC2V714

BDC

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識；熟

練掌握切線的性質(zhì)是解題的關鍵.

17.（2分）如圖，在平面直角坐標系中，直線/：y=-2x+8與坐標軸分別交于A,B兩點,

點C在x正半軸上，且OC=O8.點P為線段（不含端點）上一動點，將線段。尸繞

點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得線段OQ,連接C。，則線段C。的最小值為—國代_.

5

【分析】證明△EOP四△B。。，可得?！?。尸，PE=FQ,設PG,2尤+8）,貝I］。（2x+8,

-x）,即可求得。所在的直線，根據(jù)垂線段最短可知當CQLMN時，C。的長最短，根

據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求得線段CQ的最小值.

【解答】解：?..直線/：y=2x+8與坐標軸分別交于A,2兩點，

AA（0,8）,B（-4,0）,

:點尸為線段AB（不含端點）上一動點，將線段。尸繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段O。,

作軸于E,QF_Ly軸于F,

由旋轉(zhuǎn)可知，OP=OQ,ZPOQ=ZAOB=90°,

：.ZEOP=ZFOQ,

在△EOP和△R9Q中，

，ZPE0=ZQF0

<NEOP=/FOQ，

tOP=OQ

：.^EOP^/\FOQ（AAS）,

；.OE=OF,PE=FQ,

設尸（x,2x+8）,貝I。（2x+8,-x）.

.?.Q點是直線y=--v+4上的點，

2

設直線y=-/x+4與x，y軸的交點為N、M點，則M(0,4),N(8,0),

?,匹=山2+82=4旄

根據(jù)垂線段最短可知當CQ，MN時，CQ的長最短，

如圖，'：CQ±MN,

：.ZCQN=ZMON=90°,

'：ZCNQ^ZMNO,

：./\CNQ^/\MNO,

?CQ=CN

"OMMN，

OC=OB=4,ON=8,OM=4,

:.CN=4,

?CQ=4

"Ty'

：.

5

線段c。的最小值為延■,

5

故答案為延

【點評】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短等

知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用垂線段最短解決最值問題,

屬于中考壓軸題.

18.(2分)如圖，直線/1〃/2〃/3,A,B,C分別為直線/1，h，，3上的動點，連接A3,BC,

AC,線段AC交直線/2于點D設直線/］，/2之間的距離為直線勿/3之間的距離為

n,若NABC=90°,BD=3,且典=工，則根+”的最大值為生.

n2—4一

【分析】過3作于延長E8交石于R過A作AALL/2于N,過C作CM，％

于M,設AE=x,CF=y,BN=x,BM=y,得至！JDM=y-4,DN=4-x,根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)得到孫=根〃，y=9-2x,由衛(wèi)1=工可得(加十幾)最大=3m，由mn=xy=x(9-2x)

n2

=9%-2，=2M2,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求M的最大值，即可求解.

【解答】解：解：過5作于E,延長血交七于R過A作ANL/2于N,過。作

CM_L/2于M，

設AE=x,CF=y,BN=x,BM=y,

VBZ)=4,

：.DM=y-4,DN=4-x,

?.,ZABC=ZAEB=ZBFC=ZCMD=ZAND=90°,

AZEAB+ZABE=ZABE+ZCBF=90°,

：.ZEAB=ZCBF,

：.AABEsABFC,

?AEBEpnxm

BFCFny

??xy=mn,

???ZADN=ZCDM,

：?ACMDs叢AND,

?ANDNgpjn1

，y=9-2x,

n2

??〃2Hz,

（m+n）最大=3根,

mn=xy=x（9-2x）=9x-2^=2m2,

：.2m=-2（x-旦）2+11,

48

.,.當x=2時，m最大=—,

44

/.m+n的最大值=3?J=ZL

4

故答案為：21

4

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確

的作出輔助線是解題的關鍵.

三、解答題（本大題共10題，共84分.）

19.（8分）（1）計算：4sin30°-（2-、R）O+2tan45°；

（2）解方程：尤2-6尤=7.

【分析】（1）根據(jù)實數(shù)的混合運算順序和運算法則計算可得；

（2）利用因式分解法求解可得.

【解答】解：（1）原式=4x1_-1+2義1=2-1+2=3；

2

（2）VX2-6X-7=0,

（x-7）（x+1）=0,

貝Ux-7=0或無+1=0,

解得：x=7或x=-1.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關鍵.

20.（8分）某校九年級學生某科目期末評價成績是由完成作業(yè)、單元檢測、期末考試三項

成績構(gòu)成的，如果期末評價成績80分以上（含80分），則評定為“優(yōu)秀”，下面表中是

小張和小王兩位同學的成績記錄：

完成作業(yè)單元測試期末考試

小張709080

小王607585

若按完成作業(yè)、單元檢測、期末考試三項成績按1：2：7的權重來確定期末評價成績.

（1）請計算小張的期末評價成績?yōu)槎嗌俜郑?/p>

（2）小王在期末（期末成績?yōu)檎麛?shù)）應該最少考多少分才能達到優(yōu)秀？

【分析】（1）直接利用算術平均數(shù)的定義求解可得；

（2）根據(jù)加權平均數(shù)的定義計算可得.

【解答】解：（1）小張的期末評價成績?yōu)楣?1+90X2+80X7=81（分）；

1+2+7

（2）設小王期末考試成績?yōu)橛确郑?/p>

根據(jù)題意，得：60X1+75X2+7x^80,

1+2+7

解得x284.2,

小王在期末（期末成績?yōu)檎麛?shù)）應該最少考85分才能達到優(yōu)秀.

故答案為：85.

【點評】本題主要考查加權平均數(shù)，解題的關鍵是掌握加權平均數(shù)的定義.

21.（6分）已知△ABC三頂點的坐標分別為A（0,2）、B（3,3）、C（2,1）.

（1）畫出△ABC；

（2）以8為位似中心，將AABC放大到原來的2倍，在右圖的網(wǎng)格圖中畫出放大后的圖

形△AM；

（3）寫出點A的對應點小的坐標：（-3,1）

3）、C（2,1）.在坐標系中找出連接即可;

⑵根據(jù)把原三角形的三邊對應的縮小或放大一定的比例即可得到對應的相似圖形，在

改變的過程中保持形狀不變（大小可變）即可得出答案.

（3）利用（2）中圖象，直接得出答案.

【解答】解：（1）根據(jù)A（0,2）、B（3,3）、C（2,1）.

（2）把原三角形的三邊對應的縮小或放大一定的比例即可得到對應的相似圖形.

所畫圖形如下所示：

它的三個對應頂點的坐標分別是：（-3,1）、（3,3）、（1,-1）.

（3）利用（2）中圖象，直接得出答案.

故答案為：（-3,1）.

【點評】此題考查了相似變換作圖的知識，注意圖形的相似變換不改變圖形中每一個角

的大?。粓D形中的每條線段都擴大（或縮?。┫嗤谋稊?shù).

22.（8分）某市有A、B、C三個公園，甲、乙兩位同學隨機選擇其中一個公園游玩.

（1）甲去A公園游玩的概率是1

一3一

（2）求甲、乙恰好在同一個公園游玩的概率.（請用“畫樹狀圖”或“列表”或“列舉”

等方法給出分析過程）

【分析】（1）直接利用概率公式求解；

（2）畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出甲、乙恰好在同一個公園游玩的的

結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【解答】解：（1）:有A、B、C三個公園，

甲去A公園游玩的概率是工；

3

故答案為：1；

3

（2）畫樹狀圖如下：

開始

共有9種等可能結(jié)果，其中甲、乙恰好在同一個公園游玩的有3種，

則甲、乙恰好在同一個公園游玩的概率圖■=』?.

93

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法:利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果小

再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式求事件A或8的概率.

23.（8分）如圖，在矩形中，已知在邊上取點E,連結(jié)CE.過點E

作斯，CE,與邊AB的延長線交于點足

(1)求證：△AEFs^DCE.

(2)若AB=3,A￡=4,DE=6,求線段8尸的長.

【分析】（1）根據(jù)兩角對應相等兩三角形相似證明即可.

（2）利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】（1）證明：???四邊形ABCQ是矩形,

AZA=ZD=90°,

：.ZAEF+ZF=90°

\'EF±CE,

：.ZCED+ZAEF^1SO°-90°=90°,

：.ZCED=ZF,又?.?/A=/O=90°,

AAFEsADEC.

(2):△AFEs/XDEC,

?AE=AF

*'DCED)

'：AB=CD=3,AE=4,DE=6,

???—4_3--+-B-F-,

36

解得BF=5.

答：線段8尸的長為5.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中

考?？碱}型.

24.(8分)己知：如圖，在△ABC中，AB^AC,以A2為直徑的。。交BC于點。，過點

。作。瓦LAC于點E.

(1)求證：?！晔?。。的切線.

(2)若。。的半徑為3cZC=30°,求圖中陰影部分的面積.

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)證出NODB=NC得出ODHAC.由已知條件證出

DELOD,即可得出結(jié)論；

(2)由垂徑定理求出。凡由勾股定理得出。R求出3。，得出△2。。的面積，再求出

扇形30。的面積，即可得出結(jié)果.

【解答】(1)證明：連接0D如圖1所示：

?：0D=0B,

：.ZB=Z0DB.

VAB=AC,

：.ZB=ZC.

：.ZODB=ZC.

：.OD//AC.

VZ)E±AC,

：.DE±OD,

???OE是。。的切線.

(2)解：過。作?？贚BD于R如圖2所示：

VZC=30°,AB=AC,OB=OD,

：.ZOBD=ZODB=ZC=30°,

：.ZBOD=120°,

在Rt△。/。中，ZFDO=30°,

OF——OD=^-cm,

22

'DF=VOD2-OF2=-^^777-

/.BD=2DF=3y/~2icm,

S^BOD=-XBDXOF=1-X3yx3=2^77/，

2224

2

?_120Hx32

S扇形30。-------------3ncm，

360_

??S陰=S扇形BOD-SABOD==(31T--)cm.

圖2

c

圖1

【點評】本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、勾股定理、三角

形和扇形面積的計算等知識；熟練掌握切線的判定，由垂徑定理和勾股定理求出。尸和

。產(chǎn)是解決問題（2）的關鍵.

25.（8分）如圖1是超市的手推車，如圖2是其側(cè)面示意圖，已知前后車輪半徑均為5cm,

兩個車輪的圓心的連線A8與地面平行，測得支架AC=2C=60c〃z,AC.CO所在直線與

地面的夾角分別為30°、60°,CD=5Qcm.

（1）求扶手前端。到地面的距離；

（2）手推車內(nèi)裝有簡易寶寶椅，為小坐板，打開后，椅子的支點H到點C的距離為

10cm,DF=20cm,EF//AB,ZEHD=45°,求坐板EF的寬度.（本題答案均保留根號）

【分析】（1）如圖2,過C作CM_LA2,垂足為M,又過。作。N_LA8,垂足為N,過

C作CGLON,構(gòu)造Rt^AMC和RtACGO中，通過解這兩個直角三角形求得相關線段

的長度；

（2）由平行線的性質(zhì)知/EFH=NQCG=60°；根據(jù)題意得到CD=50cs,DF=20cm,

FH=20cm,如圖2,過E■作垂足為。，設廠。=無，通過解RtZ\EQF和RtA

EQH,根據(jù)等量關系HQ+FQ=m=20c7w列出方程愿x+x=20,通過解方程求得答案.

【解答】（1）如圖2,過C作垂足為M,

又過。作OV_LAB,垂足為N,過C作CG_L￡W,垂足為G,則/OCG=60°.

'：AC=BC=60cm,AC、CQ所在直線與地面的夾角分別為30°、60°,

AZA=ZB=30°,

則在RtAAA/C中，CM=-^AC=30cm.

?.?在RtZkCGD中，sin/OCG=運，CD=50cm,

CD

.*.Z)G=CD-sinZZ)CG=50sin60°=