2023年江西省南昌高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)z=9龍上3的虛部為()

1+1

A.—1B.—3C.1D.2

2

Yy

2.已知雙曲線。J=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片，乃，過”的直線/與雙曲線C的左支交于A、

8兩點(diǎn).若|AB|=|Aq,ZA4E=12(y,則雙曲線C的漸近線方程為()

A.y=+^-xB.y=+^-xC.y=±(V^—D.y=±(V^—l)x

32

0e

3.i是虛數(shù)單位，z二,則|z|=()

1-z

A.1B.2C.V2D.272

4.偶函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，當(dāng)一IWXWO時(shí)，〃力=一爐+1,求“2020)=()

A.2B.0C.-1D.1

5.已知向量1=(-加,4),1=(加,1)(其中"?為實(shí)數(shù))，則“加=2”是“打戶的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

[IT1T\

6.已知a、,a手B，則下列是等式sina-sin4=。一24成立的必要不充分條件的是()

A.sina>sin/3B.sincz<sin

C.cosa>cos尸D.cosa<cos/?

7.若復(fù)數(shù)z=2加一l+mi(meR)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線=上，則三等于()

,.11.11.

A.1+zB.1—zC.----------1D.------1—I

3333

8.已知正方體ABC。-AMG。的棱長為2,點(diǎn)P在線段C4上，且4P=2PC,平面a經(jīng)過點(diǎn)A,P，G，則正方

體ABC。-4與G。被平面a截得的截面面積為()

A.3限B.2瓜C.5

D?竽

10.將函數(shù)/(x)=sin(2x-e)的圖象向右平移5個(gè)周期后，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則。的最小正值是(

)

8

0<2x+y<6

11.若x，y滿足約束條件則z=x+2)-的最大值為()

3<x-y<6,

A.10B.8C.5D.3

12.已知平行于.1'軸的直線分別交曲線17=2%+1,丁2=2X一1(”0)于48兩點(diǎn)，則4同目的最小值為()

A.5+In2B.5-In2C?3+ln2D.3—In2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(刈=/--,一1,則關(guān)于x的不等式/(2幻+/*+1)>-2的解集為.

r2v2

14.已知雙曲線。：二一2T=1(?>0,。>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F-F2,過點(diǎn)冗的直線與雙曲線的左，右兩

ab

7

支分別交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=|A鳥COSZBAF=~,則雙曲線C的離心率為.

2O

15.如圖，AB是圓。的直徑，弦BO,C4的延長線相交于點(diǎn)瓦所垂直弦的延長線于點(diǎn)F.求證：

AB2=BE-BD-AE-AC

16.已知函數(shù)/(x)TsinH+|cosx|,則下列結(jié)論中正確的是.①是周期函數(shù)；②的對(duì)稱軸方程

為x=*,keZ；③/(x)在區(qū)間A，上為增函數(shù)；④方程〃x)=g在區(qū)間一￡,0有6個(gè)根.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知在AABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=l,A=J,且鳥—2b=l.

(1)求cosC的值；

(2)求AABC的面積.

18.(12分)底面ABCO為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若ZM=D〃=Q3=4,

AE=CG=3.

(1)求證：EG±DF；

(2)求二面角A—族—C的正弦值.

x=1+cosa

19.(12分)曲線G的參數(shù)方程為《(a為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為夕cos26=4sin6?.

(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程和曲線G的直角坐標(biāo)方程；

(2)過原點(diǎn)且傾斜角為的射線/與曲線G，G分別交于48兩點(diǎn)(異于原點(diǎn))，求|。4|?|0理的取值

范圍.

20.(12分)在等比數(shù)列｛4｝中，已知q=l,%=］設(shè)數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為S.，且伉=T,%+2=—<S,i

o2

(〃之2,MGN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：數(shù)列:九|是等差數(shù)列；

IAJ

(3)是否存在等差數(shù)列｛%｝,使得對(duì)任意〃eN*,都有5“<或4勺？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列｛g｝；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.(12分)如圖1,已知四邊形8CDE為直角梯形，NB=90，BE1/CD,且BE=2CD=2BC=2,A為BE

的中點(diǎn)?將AEZM沿AO折到AHM位置(如圖2),連結(jié)尸C,尸8構(gòu)成一個(gè)四棱錐P-ABCD.

(I)求證A￡>_LPB；

(H)若平面A3CD.

①求二面角8-PC-。的大??；

②在棱PC上存在點(diǎn)M,滿足麗=Xl(OW；lWl),使得直線AM與平面所成的角為45。，求X的值.

22.(10分)某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機(jī)抽取1()()件產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量指標(biāo)值并繪制頻率分布直方圖(如

圖1)：規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在［65,85)的為劣質(zhì)品，在［85,1()5)的為優(yōu)等品，在［105,115］的為特優(yōu)品，銷售時(shí)劣

質(zhì)品每件虧損0.8元，優(yōu)等品每件盈利4元，特優(yōu)品每件盈利6元，以這10()件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于各區(qū)間的頻率代

替產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于該區(qū)間的概率.

I40

l20

loo

80

fto

4()

2()

0>-1--<-I_I~_L-

01()203()405060

年?duì)I俯督用x(萬元)

圖2

（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤;

（2）該企業(yè)主管部門為了解企業(yè)年?duì)I銷費(fèi)用X（單位：萬元）對(duì)年銷售量y（單位：萬件）的影響，對(duì)該企業(yè)近5年

的年?duì)I銷費(fèi)用￡和年銷售量K，1=1,2,3,4,5）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

555

A,￡(M,.-U)(V,.-V)

i=l/=1/=1i=l

16.3523.40.541.62

[5]5

表中％=lnx,,匕=lny,w=-^w,.,v=-^v；.

5i=i5i=i

根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=ox"可以作為年銷售量）（萬件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用x（萬元）的回歸方程.

①求y關(guān)于x的回歸方程；

②用所求的回歸方程估計(jì)該企業(yè)每年應(yīng)投入多少營銷費(fèi)，才能使得該企業(yè)的年收益的預(yù)報(bào)值達(dá)到最大？（收益=銷售

利潤一營銷費(fèi)用，取*59=36）

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（%,巧），（均，彩），…，（％，匕），其回歸直線0=2+6〃的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

/二上1一j-----------,a=v-pu.

i=\

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)二進(jìn)行化簡計(jì)算，得到答案.

【詳解】

（I』4-2/（4-2i）（l-z）?..

z=------------=-------=-----------------=1-3;

z+11+z2

所以z的虛部為-3

故選B項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，虛部的概念，屬于簡單題.

2.D

【解析】

設(shè)|伍|=〃7,利用余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

設(shè)=|人q=加,忸周=JaW+一2|ABHAF/COS120。=6m，由雙曲線的定義可知：|從4|=加一2a,

因此忸用=2a,再由雙曲線的定義可知：\BF2\-\BFl\=2a^m=^a，在三角形A6巴中，由余弦定理可知：

|大且「=|A用2+14用2-21AE卜|AK|?cos120°nC?=（5—26）4=>/+〃=（5-26）片

n〃=（4_2百）/n%=（4—2道）=>2=也一1,因此雙曲線的漸近線方程為：

aa

y=±（&-1卜.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

3.C

【解析】

由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出Z,再由模長公式，即可求解.

【詳解】

由z==-1+i,|z1=夜.

1-4

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法和模，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)y=/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由此可得出/(2020)=/⑼，代值計(jì)算即可.

【詳解】

由于偶函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則/(—x)=/(x),/(2+x)+y(-x)=0,

???〃x+2)=-/(-x)=-/(x),貝!I/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以，函數(shù)y=/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

由于當(dāng)一1&X&0時(shí)，=+貝!|〃2020)="4x505)=/(0)=l.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性求函數(shù)值，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于

中等題.

5.A

【解析】

結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.

【詳解】

由zn=2,則/.[=(-2,4)。(2,1)=-4+4=0,所以而

當(dāng)￡_!_/；,則”=4)?(/〃,：!)=一加2+4=0,解得m=2或m=-2.所以

um=2”是“alb”的充分不必要條件.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題考查平面向量的運(yùn)算，向量垂直，充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，應(yīng)用意識(shí).

6.D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)〃(x)=sinx-x,/(x)=sinx-2x,利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù)，由

TTTT

sina-sin/?=a-2〃得出sina—a=sin/7—2〃，分。=0、--<?<0,0<￡<,三種情況討論，利用放縮

法結(jié)合函數(shù)V=〃(x)的單調(diào)性推導(dǎo)出<0<，<()或0<用<a<］,再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)/z(x)=sinx-x9/(x)=sinx-2x,

則"(x)=cosx-l<0,/A(x)=cosx-2<0,

所以，函數(shù)y=/(%)、y=〃(x)在區(qū)間上均為減函數(shù)，

當(dāng)一2Vx<0時(shí)，則〃(x)>〃(0)=0,/(x)>,y(0)=0；當(dāng)0<x<工時(shí)，〃(x)<0,/(x)<0.

22

由sina-sin/=a-2"得sina-a=sin￡—27?.

①若a=0,貝!Jsin￡-2尸=0,即/(4)=0=4=0,不合乎題意；

②若一］<a<0,則一^■<￡<(),則〃(a)=sina-a=sir)4-24〉sir)4-6=〃(/?),

7T

此時(shí)，一,<=<￡<0,

由于函數(shù)丁=??苫在區(qū)間(_5,()］上單調(diào)遞增，函數(shù)y=sinx在區(qū)間［-5,())上單調(diào)遞增，貝(Jsina<sin￡,

cosa<cos(3?

③若0<a<^,則則/z(a)=sina—a=sin4_24<sin￡-/?=/z(Q),

TT

此時(shí)0</?<a<5，

由于函數(shù)y=cosX在區(qū)間(0,上單調(diào)遞減，函數(shù)y=sinX在區(qū)間(0,上單調(diào)遞增，貝!］sina>sin分，

cosa<cosP.

綜上所述，cosa<cos，.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，解題時(shí)要注意對(duì)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，考查推理能

力，屬于中等題.

7.C

【解析】

由題意得2〃?-1+/〃=0,可求得〃?=：,再根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義可得選項(xiàng).

【詳解】

111—11.

由題意得2〃?一1+加=0,解得機(jī)=：,所以2=—：；+；^,所以z=------1,

33333

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的幾何表示和共扼復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面，然后利用面面平行的性質(zhì)定理，得到截面的形狀再求解.

【詳解】

如圖所示：

4?

邙.

C,

A,P，G確定一個(gè)平面a,

因?yàn)槠矫鍭A}DDJ/平面BB\CQ,

所以AQ//PG，同理AP//QG，

所以四邊形APGQ是平行四邊形.

即正方體被平面截的截面.

因?yàn)間P=2PC,

所以Cg=2PC,

即PC=PB=1

所以AP=PG=V5,AG=2V3

由余弦定理得：cosZAPC,=~^C'=I

/\.irX3

所以sinNAPC；=當(dāng)

所以S四邊影APQC,=2X|APXPC,XsinNAPg=2后

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面的基本性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于

中檔題.

9.C

【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B,再根據(jù)函數(shù)極值排除A；結(jié)合特殊值即可排除D,即可得解.

【詳解】

函數(shù)f(x)=

ln(x2+1)

則/-）=公言所以?為奇函數(shù)，排除B選項(xiàng);

當(dāng)X—住時(shí)，/（X）?-^―+00,所以排除A選項(xiàng);

Inx

2.72-0.37

當(dāng)x=l時(shí)，/(1)=?3.4,排除D選項(xiàng);

ln(l+l)In20^69

綜上可知，C為正確選項(xiàng)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像，注意奇偶性、單調(diào)性、極值與特殊值的使用，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

由函數(shù)y=Asin(5+s)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式，再利用誘導(dǎo)公式得到關(guān)于。的方程，對(duì)攵賦

值即可求解.

【詳解】

由題意知，函數(shù)/(x)=sin(2x—⑼的最小正周期為7=夸=",即《=?，

由函數(shù)y=Asin(a)x+e)的圖象平移變換公式可得，

將函數(shù)/(x)=而(2X一9)的圖象向右平移;個(gè)周期后的解析式為

g(x)=sin2［一()一°=sin(2x_(_0),

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于)'軸對(duì)稱，

TTTT37r

所以一1一9=耳+%肛4€z,即cp---1+k兀,kGz,

所以當(dāng)k=1時(shí)，。有最小正值為上.

4

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)y=Asin(a)x+9)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握誘導(dǎo)公式和

正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.

11.D

【解析】

1z1

畫出可行域，將Z7+2.V化為丁=-51+于通過平移y=即可判斷出最優(yōu)解，代入到目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值.

【詳解】

0<2x+y<6

解:由約束條件。*,作出可行域如圖，

3<%-y<6

y

Iz

化目標(biāo)函數(shù)Z=x+2y為直線方程的斜截式,丁=-5%+萬.由圖可知

1z

當(dāng)直線y=-5工+萬過4（3,0）時(shí),直線在V軸上的截距最大,z有最大值為3.

故選:o.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域，然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=or+》z的形式，在可行域內(nèi)通過平移

y=ox找到最優(yōu)解，將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時(shí),邊界線的虛實(shí)問題.

12.A

【解析】

設(shè)直線為＞=43＞。）,4匹,凹）8（工2，%），用。表示出再，々，求出4IABI,4-f（a）=a2+2-\na,利用導(dǎo)數(shù)求出

單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值，即可求出41ABi的最小值.

【詳解】

解：設(shè)直線為了=。（。＞0）,4（芯,X）802，%）,則lna=2jq+1,.[X]=g（lna—l）,

而滿足/=2々-1,.,.々=土2

那么41ABl=4（工2_*1）=4"J—glna—l）=2（/+2_lna）

設(shè);■（a）=q2+2—Ina,貝（]八。）=肛二1,函數(shù)/（a）在（o,坐]上單調(diào)遞減，在（坐,+/上單調(diào)遞增,

aI2JI2J

所以4|AB/=2/（?）min=2/=5+ln2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡整理的運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)

鍵，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

/1、

13.(--,+℃)

【解析】

判斷g(x)=/(x)+l的奇偶性和單調(diào)性，原不等式轉(zhuǎn)化為g(2x)>-孰在)=g(—)，運(yùn)用單調(diào)性，可得到所

求解集.

【詳解】

令g(x)=/(x)+l,易知函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，

〃2x)+/(x+l)>—2=〃2x)+l+/(x+l)+l>0,

即g(2x)+g(x+l)>0,

g(2x)>T(x>)=g(_%_)

2x>-x-l?即x>--

3

故答案為：,+°°J

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用：解不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

14.巫

3

【解析】

設(shè)忸聞=〃,|傷|=加，由雙曲線的定義得出：忸耳|=2。+〃,|七|=6一2a,由|AB|=|A用得AABB為等腰三角

形，設(shè)/436=乙4耳8=6,根據(jù)cosZBA8=：,可求出口/二1_2忸7=2",得出機(jī)=2〃，再結(jié)合焦點(diǎn)

84\AF2\m

三角形AB耳工，利用余弦定理：求出。和c的關(guān)系，即可得出離心率.

【詳解】

解：^\BF2\=n,\AF^=m,

由雙曲線的定義得出：

|班|一忸瑪|=勿,則忸耳|=2a+〃,

|例HA耳|=2a,則明|=以_2a,

由圖可知：［45|=忸耳|—|A耳|=4a+〃一/n

即4a+n—m=m9

貝!j2m=4a+九，

??.A48K為等腰三角形，

7

,/cosZBAF2=—,

設(shè)=ZA&3=e,

20+ZBAF2=TC,則2。="-ZBAF2,

7

cos20-cos（7一ZBAF）=-cosBAF=——,

228

71

即cos2e=2cos9-e-l=——，解得：cos0=—,

84

,-\BFA.

則cos0=3-

|伍|4

1

—曾

,2__J_?解得：m=2n,

m4

4

.?.4幾=4。+%即3〃=4。，解得：n=—a,

3

8

:.m=-a

39

在48耳耳中，由余弦定理得：

“5—1明喘蠹產(chǎn)If

（2a+〃）~+（〃）-4c2

即:

2（2a+〃）?〃

2

2c96日口c25/6

解得:"二r=一，即c=-二二一

a~36a3

故答案為：巫

3

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，求雙曲線離心率.

15.證明見解析.

【解析】

4RAr

試題分析：四點(diǎn)共圓，所以BDBE=BABF,又△ABCSAAM,所以——=——，即

AEAF

ABAF=AEAC,得證.

試題解析:

A.連接4),因?yàn)锳B為圓的直徑，所以A￡>_L3O,

又則ARE,尸四點(diǎn)共圓,

所以BDBE=BABF.

又4ABCsAAEF,

AnAr

所以——=—,即AB?AF=AE?AC,

AEAF

：.BEBD-AEAC^BABF-ABAF=AB\BF-AF)=AB2.

16.①0④

【解析】

由函數(shù)/(x)=卜皿x|+|cos=J(|sinx|+|cosx『=Jl+|sin2x|，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.

【詳解】

?函數(shù)/(x)=|sinx|+|cosx\=^|sinx|+|cosx|)'="1+卜垣2x|，

???/(x)是周期函數(shù)，最小正周期為故①正確;

當(dāng)sin2x=±l或sin2x=0時(shí)，有最大值或最小值，此時(shí)2x="+5或2x=//eZ,即％=￡+?或

t7Uk7l,_

x=一,teZ,即工=——,keZ.

24

???/(x)的對(duì)稱軸方程為犬=今，keZ,故②正確

當(dāng)年)時(shí)，,此時(shí)丁=卜由2X在(?，5上單調(diào)遞減，在(名平)上單調(diào)遞增，「./(x)在

(n37r、

區(qū)間;，二-上不是增函數(shù)，故③錯(cuò)誤;

(44)

作出函數(shù)/(X)的部分圖象，如圖所示

.??方程/(x)=￡在區(qū)間一彳,0有6個(gè)根，故④正確.

D乙

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

1/7

17.(1)——s(2)出

24

【解析】

JTS

(1)將。=1代入等式，結(jié)合正弦定理將邊化為角，再將A及8==萬-C代入，即可求得cosC的值;

66

(2)根據(jù)(1)中cosC的值可求得C和B,進(jìn)而可得。=。=1,由三角形面積公式即可求解.

【詳解】

(1)由小一26=1,得辰-2b=a,

由正弦定理將邊化為角可得V3sinC-2sinB=sinA，

VA=-,

6

B=—兀一C,

6

/.V3sinC-2sin-n-C=—,化簡可得VisinC-2x—cosC-2x-^sinC=—，

16J2222

解得cosC=—'.

2

(2),在△AJBC中，cosC=—,

2

?C-空

3

71

:?B=TI-A-C=—

69

:?b=a='.

??S=-。/?sinC=-x1x1x—=—?

"AaRr2224

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理在邊角轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用，正弦差角公式的應(yīng)用，三角形面積公式求法，屬于基礎(chǔ)題.

18.（1）見解析；（2）sin^=—

4

【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理證明EG，平面3?！笔僮C明線線垂直即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面AFH的一個(gè)法向量與平面CFH的一個(gè)法向量，再利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可.

【詳解】

（1）證明：連接AC,由AE,CG平行且相等，可知四邊形AEGC為平行四邊形，所以EG//AC.

由題意易知ACA.BF,所以EG，BO,EG工BF,

因?yàn)?。03尸=8,所以EG,平面也》所，

又。Eu平面3?！笆?，所以EG上DF.

（2）設(shè)EGCHF=P,由已知可得：平面ATWE//平面BCGE,

所以E"〃尸G,同理可得：EF//HG,所以四邊形EFGH為平行四邊形，

所以P為EG的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，所以。P,AE平行且相等，從而平面ABCQ,

又。4_LQB,所以。4,0B,。尸兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

OP=3,DH=4,由平面幾何知識(shí)，得BF=2.

貝！|A（2#,0,0）,C（-2V3,0,0）,*0,2,2）,H（0,-2,4）,

所以/=（一26,2,2）,甌=（2后,2,2）,而=（0,4,—2）.

設(shè)平面AFH的法向量為〃=（x,y,z）,由〈——，可得＜,

\7[HF-n=0|4y-2z=0

令y=l,貝ijz=2,x=6,所以[=（6,1,2）.同理，平面CF”的一個(gè)法向量為沅=（一6,1,2）.

設(shè)平面AFH與平面CFH所成角為0,

m-n-3+1+4」所以sin6='叵.

則|cos0\

HW瓜瓜~44

?z

G

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重點(diǎn)考查了空間向量的應(yīng)用，屬中檔題.

19.(1)〃=2cos8,x2=4y；(2)18,86).

【解析】

(1)先將曲線G化為普通方程，再由直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：x=/7cos8,y=Qsine,/?=x2+y2,

可得G極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)由已知可得出射線/的極坐標(biāo)方程為匕4&<§,聯(lián)立G和C2的極坐標(biāo)方程可得點(diǎn)A和點(diǎn)5的極坐標(biāo),

從而得出|Q4HQW=8tan&,由a的范圍可求得|。4|.|。國的取值范圍.

【詳解】

(1)曲線G的普通方程為(xTy+y2=i,即爐+/―2x=o,

其極坐標(biāo)方程為p~-2/7COS。=0=>p=2cos6；

曲線C?的極坐標(biāo)方程為pcos26=4sin夕，即"cos20=4/?sin^,

其直角坐標(biāo)方程為f=4y；

(2)射線/的極坐標(biāo)方程為6=1(?4&<51,

6=a[0=cc4sincc

聯(lián)立｛cc=A(2cosa,a),聯(lián)立2c…八nB(一—,a)

夕=2cosJ[pcos夕=4smJcos-a

/.|OA|-|(?B|=2cos4si?"=8tana,v—<a1<tana<-\/3

1111cos2a43

：.\0^-\0B\的取值范圍是[8,8石)

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程互化，圓，拋物線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,以及在極坐標(biāo)下的直線與圓和

拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

20.（1）&）見解析（3）存在唯一的等差數(shù)列｛5｝,其通項(xiàng)公式為g=0,滿足題設(shè)

【解析】

⑴由％=1,4=：可得公比心即得；⑵由（1）和a“+d=—：S,i可得數(shù)列也,｝的遞推公式，即可知之見一冬

a

82。”+1n

結(jié)果為常數(shù)，即得證；（3）由（2）可得數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式，S“=—2（。向+包+1）,設(shè)出等差數(shù)列｛c.｝,再根據(jù)不

等關(guān)系S“<c?<an來算出｛%｝的首項(xiàng)和公差即可.

【詳解】

（D設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,因?yàn)閰n=1,%=:，所以/=：，解得

882

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為：.

（2）由（1）得，當(dāng)〃22,〃wN*時(shí)，可得（g）+d=_gs,i…①,

+%=?…②

②-①得,,

-^11----?_=ibb

則有丫丫"，即’11■一"=1，"N2,nsN,.

[2JI2J%冊

因?yàn)橐?一1,由①得，仇=0,所以，■一一L=°一（T）=I,

a2a\

bn?

所以--------=1，neN,.

aa

n+i?

b

所以數(shù)列」?是以-1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

IAJ

（3）由⑵得務(wù)=〃—2,所以s'=—2（a“+|+〃+J=—2整+黑）=一券.

假設(shè)存在等差數(shù)列卜“｝,其通項(xiàng)c,=d〃+c,

使得對(duì)任意HGN,,都有S?<cn<an,

〃1

即對(duì)任意〃￡N*，都有一所T<dn-vc<王7.③

首先證明滿足③的4=0.若不然，dw。,則d>0,或d<0.

l—c1

(i)若d>0,則當(dāng)及>一^—,建cN*時(shí)，g=dn+c>1N=%’,

這與%<的矛盾.

1+c

(ii)若d<0,則當(dāng)〃>-----,〃cN*時(shí)，％=d〃+cv-l.

d

而S.+「S”=一*+號(hào)=號(hào)NO,S\=S2Vs3<……,所以S,"=—1.

故c“=dn+c<TWSn，這與S,Kc”矛盾.所以d=0.

其次證明：當(dāng)x?7時(shí)，/(x)=(x—l)ln2—21nx>0.

因?yàn)?'(x)=ln2—J>ln2—；>0,所以〃力在［7,+8)上單調(diào)遞增,

64

所以，當(dāng)x?7時(shí)，/(x)>/(7)=61n2-21n7=ln—>0.

所以當(dāng)〃27,〃eN*時(shí)，2"T>〃2.

再次證明c=0.

1n1

(iii)若cvO時(shí)，則當(dāng)〃27,n>—,neN*,S=--r>—>c,這與③矛盾.

cn2n

(iv)若c〉0時(shí)，同(i)可得矛盾.所以c=0.

當(dāng)c“=0時(shí)，因?yàn)?,,=/40,

所以對(duì)任意〃eN*，都有S“Wq,Wa“.所以%=0,nGN,.

綜上，存在唯一的等差數(shù)列{c.},其通項(xiàng)公式為%=0,〃eN*滿足題設(shè).

【點(diǎn)睛】

本題考查求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，證明等差數(shù)列，以及數(shù)列中的探索性問題，是一道數(shù)列綜合題，考查學(xué)生的分析，推

理能力.

2

21.(I)詳見解析；(II)①120。，②；1=0或幾=§.

【解析】

(I)可以通過已知證明出4)，平面這樣就可以證明出4)，必；

(H)④以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以48,AD,AP為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可以求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求

出平面尸8c的法向量為萬、平面PQ9的法向量沅，利用空間向量的數(shù)量積，求出二面角B-PC-。的大小；

②求出平面PBC的法向量，利用線面角的公式求出2的值.

【詳解】

證明：(1)在圖1中，-.-AB//CD,AB=CD,

?./8=90°，:.ADA.BE,

當(dāng)△￡7%沿AO折起時(shí)，ADVAB,ADA.AE,即ADLPA,

又ABcPA=A,48<=面/>48,24<=面~43；.4。_1平面PAB,

又「PBu平面叢3,.?.AZ)_L依.

解：(II)①以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A8,AD,AP為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由于Q4_L平面A8Q7

則A(0,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),P(0,0,1),0(0,1,0)

定=(1,1,-1),5C=(0,L0),PC=(1,0,