華師大版數(shù)學(xué)九上《相似三角形》教案

24.3相似三角形24.3.1．相似三角形教學(xué)目標(biāo)：1．知道相似三角形的概念；會根據(jù)概念判斷兩個三角形相似。2．能說出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的邊長。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)什么是相似形?識別兩個多邊形是否相似的標(biāo)準(zhǔn)是什么?二、新課1．相似三角形的有關(guān)概念：由復(fù)習(xí)中引入，如果兩個多邊形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角都相等，那么這兩個多邊形相似。三角形是最簡單的多邊形。由此可以說什么樣的兩個三角形相似?如果兩個三角形的三條邊都成比例，三個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，如在△ABC與△A′B′C′中，∠A＝A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′EQ\f(AB,A′B′)＝EQ\f(BC,B′C′)＝EQ\f(AC,A′C′)那么△ABC與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′；“∽”是表示相似的符號，讀作“相似于”，這樣兩三角形相似就讀作：“△ABC相似于△A′B′C′”。由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以點A的對應(yīng)頂點是A′，B與B′是對應(yīng)頂點，C與C′是對應(yīng)頂點，書寫相似時，通常把對應(yīng)頂點寫在對應(yīng)位置上，以便比較容易找到相似三角形中的對應(yīng)角、對應(yīng)邊．如果記EQ\f(AB,A′B′)＝EQ\f(BC,B′C′)＝EQ\f(AC,A′C′)＝K，那么這個K就表示這兩個相似三角形的相似比．相似比就是它們的對應(yīng)邊的比，它有順序關(guān)系．如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比為K，即指EQ\f(AB,A′B′)＝K，那么△A′B′C′與△ABC的相似比應(yīng)是EQ\f(A′B′,AB)，就不是K了，應(yīng)為多少呢?同學(xué)們想一想?2．△ABC中，D，E是AB、AC的中點，連結(jié)DE，那么△ADE與△ABC相似嗎?為什么?如果相似，它們的相似比為多少?如果點D不是AB中點，是AB上任意一點，過D作DE∥BC，交AC邊于E，那么△ADE與ABC是否也會相似呢?判斷它們是否相似，由①對應(yīng)角是否相等，②對應(yīng)邊是否成比例去考慮。能否得對應(yīng)角相等?根據(jù)平行線性質(zhì)與一個公共角可以推出①，而對應(yīng)邊是否成比例呢?目前還沒有什么依據(jù)，同學(xué)們不妨用刻度尺量一量，算一算是否成比例?通過度量，計算發(fā)現(xiàn)EQ\f(AD,AB)＝EQ\f(AE,AC)＝EQ\f(DE,BC)．所以可以判斷出△ADE與△ABC會相似。若是如圖DE∥BC，與BA、CA延長線交于D、E，那么△ADE與△ABC還會相似嗎?試一試看。如果相似寫出它們對應(yīng)邊的比例式．3．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比K＝1，你會發(fā)現(xiàn)什么呢?EQ\f(AB,A′B′)＝EQ\f(BC,B′C′)＝EQ\f(AC,A′C′)＝1，所以可得AB＝A′B′,BC＝B′C′，AC＝A′C′，因此這兩個三角形不僅形狀相同，且大小也相同，這樣的三角形稱之為全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例，試問：全等的兩個三角形一定相似嗎?相似的兩個三角形會全等嗎?全等的符號與相似的符號之間有什么關(guān)系與區(qū)別?4．例：如果一個三角形的三邊長分別是5、12、13，與其相似的三角形的最長．邊是39，那么較大三角形的周長是多少?較小三角形與較大三角形的周長的比是多少?分析：這兩個三角形會相似，對應(yīng)邊是哪些邊?相似比是多少?哪一個三角形較大?要計算出它的周長還需求什么?根據(jù)什么來求?三、練習(xí)判斷下列兩個三角形是否相似?簡單說明理由，如果相似，寫出對應(yīng)邊的比例四、小結(jié)1．填空。＿＿＿＿＿＿＿的三角形叫做相似三角形。2．兩個相似三角形的相似比為1，這兩個三角形有什么關(guān)系?3、如果一條直線平行于三角形一邊，與其它兩邊或其延長線相交截得的三角形與原三角形相似嗎?指出它們的對應(yīng)邊。五、作業(yè)

24.3.2．相似三角形的判定（1）教學(xué)目標(biāo)：1．會說出識別兩個三角形相似的方法，有兩個角分別相等的兩個三角形相似。2．會用這種方法判斷兩個三角形是否相似。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)1．兩個矩形一定會相似嗎?為什么?2．如何判斷兩個三角形是否相似?根據(jù)定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。3．如圖△ABC與△′B′C′會相似嗎?為什么?是否存在識別兩個三角形相似的簡便方法?本節(jié)就是探索這方面的識別兩個三角形相似的方法二、新課講解同學(xué)們觀察你與你的同伴所用的三角尺，以及老師用的三角板，如有一個角是30°的直角三角尺，它們的大小不一樣。這些三角形是相似的，我們就從平常所用的三角尺入手探索。(1)是45°角的三角尺，是等腰直角三角形會相似。(2)是30°的三角尺，那么另一個銳角為60°，有一個直角，因此它們的三個角都相等，同學(xué)們量一量它們的對應(yīng)邊，是否成比例呢?這樣，從直觀上看，一個三角形的三個角分別與另一個三角形三個角對應(yīng)相等，它們好像就會“相似”。是這樣嗎?請同學(xué)們動手試一試：1．畫兩個三角形，使它們的三個角分別相等。畫△ABC與△DEF，使∠A＝∠D、∠B＝∠E，∠C＝∠F，在實際畫圖過程中，同學(xué)們畫幾個角相等?為什么?實際畫圖中，只畫∠A＝∠D，∠B＝∠E，則第三個角∠C與∠F一定會相等，這是根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°所確定的。2．用刻度尺量一量各邊長，它們的對應(yīng)邊是否會成比例?與同伴交流，是否有相同結(jié)果。3．發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象：發(fā)現(xiàn)如果一個三角形的三個角與另一個三角形的三個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。4．兩個矩形的四個角也都分別相等，它們?yōu)槭裁床粫嗨颇?這是由于三角形具有它特殊的性質(zhì)。三角形有穩(wěn)定性，而四邊形有不穩(wěn)定性。于是我們得到識別兩個三角形相似的一個較為簡便的方法：如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，簡單地說：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。同學(xué)們思考，能否再簡便一些，僅有一對角對應(yīng)相等的兩個三角形，是否一定會相似呢?例題：1．如圖兩個直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，判斷這兩個三角形是否相似。2．在△ABC與△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，這兩個三角形相似嗎?3．如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，試說明△ADE∽△EFC。三、練習(xí)1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，找出圖中所有的相似三角形。2．△ABC中，D是AB的邊上一點，過點D作一直線與AC相交于E，要使△ADE與△ABC會相似，你怎樣畫這條直線，并說明理由。和你的同伴交流作法是否一樣?四、小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了識別兩個三角形相似的簡便方法：有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似。五、作業(yè)P641

24.3.2．相似三角形的判定（1）教學(xué)目標(biāo)1．會說出識別兩個三角形相似的方法：有兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似；三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。2．能依據(jù)條件，靈活運用三種識別方法，正確判斷兩個三角形相似。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)1．現(xiàn)在要判斷兩個三角形相似有哪幾種方法?有兩種方法，(1)是根據(jù)定義；(2)是有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似。2．如圖△ABC中，D、E是AB、AC上三等分點(即AD＝EQ\F(1,3)AB，AE＝EQ\F(1,3)AC)，那么△ADE與△ABC相似嗎?你用的是哪一種方法?由于沒有兩個角對應(yīng)相等，同學(xué)們可以動手量一量，量什么東西后可以判斷它們能否相似?(可能有一部分同學(xué)用量角器量角，有一部分同學(xué)量線段，看看能否成比例)無論哪一種，都應(yīng)肯定他們，是正確的，要求同學(xué)說出是應(yīng)用哪一種方法判斷出的。二、新課講解同學(xué)們通過量角或量線段計算之后，得出：△ADE∽△ABC。從已知條件看，△ADE與△ABC有一對應(yīng)角相等，即∠A＝∠A(是公共角)，而一個條件是AD＝EQ\F(1,3)AB，AE＝EQ\F(1,3)AC，即是EQ\F(AD,AB)＝EQ\F(1,3)，EQ\F(AE,AC)＝EQ\F(1,3)；因此EQ\F(AD,AB)＝EQ\F(AE,AC)?！鰽DE的兩條邊AD、AE與△ABC的兩條邊AB、AC會對應(yīng)成比例，它們的夾角又相等，符合這樣條件的兩個三角形也會相似嗎?我們再做一次實驗。觀察圖，如果有一點E在邊AC上，那么點E應(yīng)該在什么位置才能使△ADE與△ABC相似呢?圖中兩個三角形的一組對應(yīng)邊AD與AB的長度的比值為EQ\F(1,3)，將點E由點A開始在AC上移動，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)AE＝EQ\F(1,3)AC時，△ADE與△ABC相似。此時EQ\F(AD,AB)＝EQ\F(AE,AC)同學(xué)們畫兩個三角形，△ABC與△A′B′C′，使之∠A＝∠A′，AB＝2A′B′,AC＝2A′C′,量一量BC與B′C′的長,計算BC:B′C′與同伴交流，EQ\f(BC,B′C′)是否與EQ\f(AB,A′B′)，EQ\f(AC,A′C′)相等?再量一量∠B與∠B′、∠C與∠C′，它們是否對應(yīng)相等呢?這樣的兩個三角形相似嗎?于是有識別兩個三角形相似的第二種簡便方法：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡單地說；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。強調(diào)對應(yīng)相等的角必須是成比例的邊的夾角，如果不是夾角，它們不一定會相似。你能畫出有兩邊會對應(yīng)成比例，有一個角相等，但它們不相似的兩個三角形嗎?(畫頂角與底角相等的兩個等腰三角形)∠B＝∠B′，EQ\f(AB,A′B′)＝EQ\f(AC,A′C′)例題：1．(課本中例3)判斷圖中△AEB與△FEC是否相似?2．如圖△ABC中，D、E是AB、AC上點，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，試判斷△ADE與△ABC是否會相似，小張同學(xué)的判斷理由是這樣的：解：因為AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1，故AE＝6-2.1＝3.9由于EQ\f(AD,AB)≠EQ\f(AE,AC)所以△ADE與△ABC不會相似。你同意小張同學(xué)的判斷嗎?請你說說理由。小張同學(xué)的判斷是錯誤的。因為EQ\f(AD,AC)＝EQ\f(3,6)，EQ\f(AE,AB)＝EQ\f(3.9,7.8)＝EQ\f(1,2)所以EQ\f(AD,AC)＝EQ\f(AE,AB)而∠A是公共角，∠A＝∠A，所以△ADE∽△ACB．請同學(xué)再做一次實驗，看看如果兩個三角形的三條邊都成比例，那么這兩個三角形是否相似?看課本５８頁“做一做”。通過實驗得出：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．簡單說成：三邊成比例兩三角形相似。例:△ABC和△A′B′C′中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，試判定它們是否相似，并說明理由。三、練習(xí)課本59頁練習(xí)1、2，3．四、小結(jié)到現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了識別兩個三角形是否相似的三種較簡便的方法，請同學(xué)回憶說出．五、作業(yè)：P64424.3.3相似三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)會說出相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)中線、角平分線、高的比等于相似比，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)1．識別兩個三角形相似的簡便方法有哪些?2．在△ABC與△A′B′C′中，AB＝l0cm，AC＝6cm，BC＝8cm，A′B′＝5cm，A′C′＝3cm，B′C′＝4cm，這兩個三角形相似嗎?說明理由。如果相似，它們的相似比是多少?二、新課講解上述兩個三角形是相似的，它們對應(yīng)邊的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′，相似比為EQ\f(AC,A′C′)＝2。相似的兩個三角形，它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊會成比例，除此之外，還會得出什么結(jié)果呢?一個三角形內(nèi)有三條主要線段；高、中線、角平分線。如果兩個三角形相似，那么這些對應(yīng)的線段有什么關(guān)系呢?我們先探索一下它們的對應(yīng)高之間的關(guān)系。同學(xué)畫出上述的兩個三角形，作對應(yīng)邊AB和A′B′邊上的高，用刻度尺量一量CD與C′D′的長，EQ\f(CD,C′D′)等于多少呢?與它們的相似比相等嗎?得出結(jié)論相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比。我們能否用說理的方法來說明這個結(jié)論呢?同學(xué)們用上面類似方法，得出：相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比；相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比。兩個相似三角形的周長比會等于相似比嗎?兩個相似三角形的面積之間有什么關(guān)系呢?看如圖的三個三角形，三角形(2)的各邊長分別是(1)的2倍，(3)的各邊長分別是(1)的3倍，所以它們都是相似的，填空：(2)與(1)的相似比為()，(2)與(1)的面積比為()，(3)與(1)的相似比為()，(3)與(1)的面積比為()(3)與(2)的相似比為()，(3)與(2)的面積比為()。以上可以看出當(dāng)相似比為K時，面積比為K2。對于一般相似的三角形都具有這種關(guān)系，可以得出結(jié)論：相似三角形的面積比等于相似比的平方三、練習(xí)1.△ABC∽△A′B′C′，相似比為3:2，則對應(yīng)中線的比等于()。2．相似三角形對應(yīng)角平分線比為0.2，則相似比為()，周長比為()，面積比為()3．△ABC∽△A′B′c′，相似比為EQ\f(1,3)，已知△A′B′C′的面積為18cm2，那么△ABC的面積為()。四、小結(jié)（填空形式，同學(xué)回答）相似三角形（）相等，（）的比等于相似比，面積的比等于（）。五、作業(yè)24.3.4相似三角形的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)會應(yīng)用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)，測量簡單的物體的高度或?qū)挾?。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)1、相似三角形有哪些性質(zhì)?2．如圖，B、C、E、F是在同一直線上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF，(1)△DEF與△ABC相似嗎?為什么?(2)若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少?二、例題講解第二題我們根據(jù)兩個三角形相似，對應(yīng)邊成比例，列出比例式計算出AB的長。人們從很早開始，就懂得應(yīng)用這種方法來計算那些不能直接測量的物體的高度或?qū)挾?。?:古代的數(shù)學(xué)家想出了一種測量金字塔高度的方法：為了測量金字塔的高度OB，先豎一根已知長度的木棒O′B′，比較棒子的影長A′B′與金字塔的影長AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝l，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB。這實際上與上述問題是一樣的。例2．我軍一小分隊到達某河岸，為了測量河寬，只用簡單的工具，就可以很快計算河的寬度，在河對岸選定一個目標(biāo)作為點A，再在河的這一岸上選點B和C，使AB⊥BC