數(shù)學(xué)概念課的教學(xué) 論文

數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)【摘要】以函數(shù)與方程為例，闡述概念課教學(xué)中踐行數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，通過(guò)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題串的設(shè)計(jì)，特殊到一般的教學(xué)策略是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一個(gè)重要途徑。【關(guān)鍵字】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問(wèn)題情境問(wèn)題串在新一輪的課改中提出六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思維和語(yǔ)言的教育，即通過(guò)數(shù)學(xué)的閱讀、運(yùn)算、推理、和表達(dá)的訓(xùn)練，使學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)知識(shí)，形成用數(shù)學(xué)知識(shí)合理解釋直至創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力。［1］“數(shù)學(xué)抽象”貫穿于數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。所謂數(shù)學(xué)抽象，是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng).主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念以及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征?！皵?shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的達(dá)成有其自身的特點(diǎn)：階段性與連續(xù)性、漸進(jìn)性與遷移性、關(guān)聯(lián)性與層次性、動(dòng)態(tài)性與階梯性。“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)培養(yǎng)的策略：同一教學(xué)內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生不同的認(rèn)知風(fēng)格，提供多樣化探究素材的教學(xué)策略；在不同的學(xué)習(xí)階段，讓“數(shù)學(xué)抽象”螺旋上升的教學(xué)策略；核心內(nèi)容學(xué)習(xí)中讓學(xué)生高效參與的教學(xué)策略；探究成為學(xué)生學(xué)習(xí)常態(tài)的教學(xué)策略。而數(shù)學(xué)本質(zhì)上是抽象的，用數(shù)學(xué)屬性來(lái)描述客觀事物，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中，可見(jiàn)其地位的重要性。下面以函數(shù)與方程（第1課時(shí)）的教學(xué)片斷的設(shè)計(jì)為例，談?wù)勅绾卧诟拍钫n教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)抽象這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。x/hy/℃一、“x/hy/℃教學(xué)片斷一：函數(shù)的零點(diǎn)概念的引入下列函數(shù)中，x取何值時(shí)，函數(shù)值為0（1）y=x-1（2）y=x2-2x-3（3）y=ex-4（4）y=f(x)(右圖所示)問(wèn)題1：怎么求出這些值的？函數(shù)值為0的x值與方程的關(guān)系？問(wèn)題2：這個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程可以求解嗎？函數(shù)值為0的x值與圖像的關(guān)系？問(wèn)題3：這些值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為0，都是函數(shù)的部分特征，為了研究方便，我們把它稱(chēng)為函數(shù)的零點(diǎn)。問(wèn)題4：那什么是函數(shù)的零點(diǎn)？（板書(shū)概念）一般地，我們把使函數(shù)y＝f(x)的值為0的實(shí)數(shù)x稱(chēng)為函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).問(wèn)題5：零點(diǎn)是不是點(diǎn)？問(wèn)題6：求上述函數(shù)的零點(diǎn).問(wèn)題7：你能求解函數(shù)y=x3-2x-4的零點(diǎn)嗎？通過(guò)不同類(lèi)別的函數(shù)，讓學(xué)生自己抽象出函數(shù)零點(diǎn)的概念，讓學(xué)生知道函數(shù)、方程與圖像之間的關(guān)系，很多的時(shí)候是可以相互轉(zhuǎn)化的，而方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)只是函數(shù)的圖像的一些特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)。而數(shù)學(xué)概念的形成需要從大量的實(shí)際例子出發(fā)，經(jīng)過(guò)比較、分類(lèi)從中找到一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性，然后再通過(guò)具體的例子對(duì)所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行檢驗(yàn)與修正，最后通過(guò)概括得到數(shù)學(xué)概念的定義。教學(xué)片斷二：零點(diǎn)存在性定理的引入問(wèn)題情境：觀察下圖，這是學(xué)校某班級(jí)教室的一天氣溫變化圖，由于圖像中有一段不小心被擦掉，那請(qǐng)你把圖像補(bǔ)充完整問(wèn)題1：它有無(wú)出現(xiàn)0℃？為什么？問(wèn)題2：你畫(huà)出的圖像上可能出現(xiàn)幾次0℃？讓學(xué)生自己自己畫(huà)圖，并展示部分學(xué)生的作品問(wèn)題3：函數(shù)y=f(x)滿足什么條件，在(a,b)上有零點(diǎn)？（并讓學(xué)生說(shuō)出概念，其他同學(xué)補(bǔ)充）知識(shí)源于生活而又高于生活。因此，結(jié)合這一類(lèi)知識(shí)的教學(xué)教師可以采用鏈接生活的方式，以具體的生活實(shí)例為切入點(diǎn)激活學(xué)生的體驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生們經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，并通過(guò)感受具體的生活實(shí)例從中抽象出相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而更真切的體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，進(jìn)而有效地提高學(xué)生們的抽象能力。以看似簡(jiǎn)單的一個(gè)問(wèn)題，卻從直觀上揭示問(wèn)題的本質(zhì)，在學(xué)生缺乏高等數(shù)學(xué)知識(shí)的前提下，為學(xué)生提供了有力條件，為學(xué)生充分理解這個(gè)抽象的判定方法提供有利條件，讓學(xué)生自己動(dòng)手，讓學(xué)生在實(shí)踐中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)問(wèn)題帶有一定的開(kāi)放性，留有學(xué)生想象的空間，同樣也留有深度，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況，觸發(fā)學(xué)生的思考，并最終抽象出數(shù)學(xué)概念。同時(shí)通過(guò)特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于抽象出的一般形式如何解決，并引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的這一方面來(lái)考慮問(wèn)題，從問(wèn)題直觀到數(shù)學(xué)抽象，形成數(shù)學(xué)的思維習(xí)慣。教學(xué)片斷三：概念辨析引入概念：函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理一般地，若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn).問(wèn)題1：“不間斷”能否去掉?（讓學(xué)生畫(huà)圖舉反例）問(wèn)題2：區(qū)間[a,b]能否改為(a,b)?（讓學(xué)生畫(huà)圖舉反例）問(wèn)題3：若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn).是否有f(a)·f(b)<0？（讓學(xué)生畫(huà)圖舉反例）問(wèn)題4：關(guān)鍵字有哪些？①[a，b]的圖象不間斷②f(a)·f(b)<0設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生畫(huà)圖的形式來(lái)舉反例說(shuō)明，進(jìn)行概念辨析，讓學(xué)生之間相互交流，展示各自的作品，并深刻理解概念，而理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延要從內(nèi)涵與外延兩個(gè)方面考慮：明確函數(shù)的內(nèi)涵；第一，明確包含在定義中關(guān)鍵詞語(yǔ)的意義，第二，對(duì)概念中的有些詞語(yǔ)作必要的概括。明確概念的外延；第一，概念的例子和概念屬性的例子。第二，構(gòu)建概念體系。在數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，能通過(guò)抽象、概括去認(rèn)識(shí)、理解、把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣，概念辨析就是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理，為什么定理需要諸多的條件限制，是多余，還是必須，同時(shí)理解了定理所蘊(yùn)含的思想方法。二、實(shí)踐“數(shù)學(xué)抽象”的教學(xué)感悟數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)離不開(kāi)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、應(yīng)用、創(chuàng)新，綜合體現(xiàn)“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”［2］要把落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)任務(wù)要體現(xiàn)在課堂上，怎么體現(xiàn)？其實(shí)課堂之中時(shí)時(shí)可探究，事事可探究，關(guān)鍵要讓學(xué)生的思維動(dòng)起來(lái)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷解決經(jīng)歷一些問(wèn)題的抽象思維過(guò)程。問(wèn)題解決作為一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的組成部分，成為數(shù)學(xué)課程的核心，數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中，特別強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題與分析問(wèn)題的能力，所以基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)中也是關(guān)鍵。所以數(shù)學(xué)課堂應(yīng)當(dāng)圍繞問(wèn)題解決來(lái)組織。問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)創(chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情境能激發(fā)學(xué)生的興趣，更能引導(dǎo)學(xué)生的思考。概念教學(xué)需要大量的實(shí)際例子，能從共性中抽象出數(shù)學(xué)概念出來(lái)，其實(shí)每一類(lèi)函數(shù)的內(nèi)涵、外延和數(shù)量屬性都是由學(xué)生抽象出來(lái)，在這其中其實(shí)就培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，就是通過(guò)問(wèn)題情境的形式讓學(xué)生在問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、抽象出數(shù)學(xué)概念，繼而解決問(wèn)題。問(wèn)題串的設(shè)計(jì)問(wèn)題串能引導(dǎo)課堂教學(xué)，能引發(fā)學(xué)生的思考。以問(wèn)題串的形式，將學(xué)生的思維過(guò)程層層解構(gòu)，通過(guò)實(shí)際的問(wèn)題情境，逐步深入，通過(guò)學(xué)生觀察、分析，再用自己的語(yǔ)言來(lái)總結(jié)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的概念，問(wèn)題串的設(shè)計(jì)要讓學(xué)生有可操作性；讓學(xué)生知道想什么，怎么去想，想到什么程度。所以應(yīng)該讓學(xué)生發(fā)揮他們的想象，充分相信學(xué)生，學(xué)生動(dòng)起來(lái)，這樣的課堂才能有生成，同時(shí)更加有活力。在集合教學(xué)教學(xué)中處處體現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象，教科書(shū)除了介紹集合的基本知識(shí)，還特別注意指引學(xué)生“如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象”，即引入一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象后，需要研究些什么，研究方法是什么等。集合的研究方法，主要是“類(lèi)比”，類(lèi)比的對(duì)象是學(xué)生非常熟悉的“數(shù)”，遵循數(shù)的研究路徑：定義—關(guān)系—運(yùn)算，就獲得了集合需要研究的內(nèi)容：關(guān)系和運(yùn)算。通過(guò)提出引導(dǎo)性的問(wèn)題，指引學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出研究問(wèn)題；通過(guò)設(shè)置觀察欄目，指引學(xué)生類(lèi)比數(shù)的大小關(guān)系和運(yùn)算，聯(lián)想集合的基本關(guān)系和運(yùn)算．由此，讓學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法，如概括、類(lèi)比、聯(lián)想等的過(guò)程中，提高數(shù)學(xué)思維能力，初步掌握數(shù)學(xué)研究方法。集合語(yǔ)言是數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，它能簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，表達(dá)和交流數(shù)學(xué)問(wèn)題。掌握語(yǔ)言的最好的方法就是使用，因此，教科書(shū)在本章分三個(gè)層次安排集合語(yǔ)言的使用：一是讀懂問(wèn)題中的集合概念和符號(hào)；二是在處理問(wèn)題時(shí)，根據(jù)需要，運(yùn)用集合語(yǔ)言進(jìn)行表述；三是創(chuàng)設(shè)情境，根據(jù)情境需求進(jìn)行三種語(yǔ)言（自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）的轉(zhuǎn)換。通過(guò)這樣進(jìn)階式的安排，讓學(xué)生逐漸熟悉集合語(yǔ)言的抽象性，積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗(yàn)，從而提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；在教學(xué)中，也建議教師多選取一些例子，創(chuàng)設(shè)使用語(yǔ)言的情境，同時(shí)讓學(xué)生自己舉些例子，互相表