湖南省湘贛皖長郡十五校聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考（全國卷）文科數(shù)學(xué)試題

湘贛皖長郡十五校聯(lián)盟2022屆高三第二次聯(lián)考（全國卷）文科數(shù)學(xué)試題一、選擇題∶本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，則A∩B＝（

）A．{－1，1} B．{1，2} C．{0，2} D．{0，1，2}2．已知復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知a，b∈R，則“ab＝0”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．非零向量，，滿足，與的夾角為，，則在上的投影為（

）A．－1 B． C．1 D．5．已知一圓柱的底面半徑與球的半徑均為R，且該圓柱的體積與球的體積也相等，則該圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．6．已知，為橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則下列函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱的是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)（A＞0，，）的部分自變量、函數(shù)值如下表所示，則函數(shù)f(x)的解析式是（

）x0π2πf(x)－21A． B．C． D．9．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，例如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，那么在不超過12的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．10．已知等比數(shù)列的公比為q，且，則下列選項(xiàng)不正確的是（

）A． B． C． D．11．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，則角A的最大值為（

）A． B． C． D．12．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．b＞c＞a B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞a＞c D．a(chǎn)＞b＞c二、填空題13．已知拋物線C：（a＞0）上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為3，則a＝______．14．過原點(diǎn)的直線與函數(shù)在上的圖象切于點(diǎn)，則______．15．已知函數(shù)則不等式的解集為______．16．如圖，在正方體中，M，N，P，Q分別是，，AB，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)判斷：①平面PMN；②PN與QM所成的角為60°；③點(diǎn)B，D到平面PMN的距離相等；④平面PMN截該正方體的截面為正六邊形．則正確的序號(hào)為______．三、解答題17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求使不等式成立的所有正整數(shù)n組成的集合．18．某學(xué)校共有2000名學(xué)生，其中女生1200人，為了解該校學(xué)生在學(xué)校的月消費(fèi)情況，采取分層抽樣隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，月消費(fèi)金額分布在550～1050元之間．根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生在校月消費(fèi)金額的頻率分布直方圖如圖所示，將月消費(fèi)金額不低于850元的學(xué)生稱為“高消費(fèi)群”．(1)求a的值，并估計(jì)該校學(xué)生月消費(fèi)金額的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)若樣本中屬于“高消費(fèi)群”的男生有10人，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%以上的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高消費(fèi)群”與“性別”有關(guān)．屬于“高消費(fèi)群”不屬于“高消費(fèi)群”合計(jì)男女合計(jì)P（）（，其中n＝a＋b＋c＋d）19．如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為棱AD，，的中點(diǎn)．(1)求證：平面DFG；(2)求點(diǎn)E到平面DFG的距離．20．已知拋物線C：（p＞0），拋物線C的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且的最小值為1．(1)求p；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B為拋物線C上不同的兩點(diǎn)，直線OA，OB的斜率分別為，，且滿足，求｜AB｜的取值范圍．21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)0＜a≤4π時(shí)，證明：函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)遞增；(2)當(dāng)a＝14時(shí)，試討論f(x)在（0，π）內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為(1)求曲線C與坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積；(2)已知點(diǎn)，在曲線C上，求△OAB面積的最大值．23．已知函數(shù)．(1)若，解不等式；(2)求證：．參考答案：1．C2．B3．B4．C5．D6．A7．C8．D9．B10．B11．A12．D13．＃＃14．15．16．①②④17．(1),(2)【解析】【分析】（1）由與的關(guān)系可求得，由等比數(shù)列的基本量，可得；（2）根據(jù)單調(diào)性及不等式的解可求解問題.(1)因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，滿足上式，故.所以，從而,化為，又因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列且，設(shè)公比為，且，又，解得或（舍），從而.(2)不等式轉(zhuǎn)化為，即，記，，當(dāng)時(shí)，，從而單調(diào)遞減，所以.因此使不等式成立的所有正整數(shù)組成的集合為.18．(1)，平均數(shù)為元(2)列聯(lián)表見解析，有以上的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高消費(fèi)群”與“性別”有關(guān)．【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，解得，再根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計(jì)算公式計(jì)算可得；（2）按照分層抽樣求出樣本中男生、女生的人數(shù)，再由頻率分布直方圖求出“高消費(fèi)群”的人數(shù)，即可完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷；(1)解：由頻率分布直方圖可得，解得，所以樣本的平均數(shù)為（元）(2)解：依題意知，樣本中男生人，女生人，屬于“高消費(fèi)群”的有人，列出下列列聯(lián)表：屬于“高消費(fèi)群”不屬于“高消費(fèi)群”合計(jì)男107080女4080120合計(jì)50150200所以，所以有以上的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高消費(fèi)群”與“性別”有關(guān)．19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）補(bǔ)全平面后結(jié)合線面平行的判定定理來證得平面.（2）結(jié)合等體積法來求得到平面的距離.(1)設(shè)是的中點(diǎn)，連接如下圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，即四點(diǎn)共面，由于平面平面，所以平面.(2)由（1）得平面，所以到平面的距離，即到平面的距離，設(shè)為.，，，為銳角，則，所以.則.所以到平面的距離為.20．(1)(2)【解析】【分析】（1）由于，即可求得，從而得；（2）設(shè)，由得，設(shè)直線方程為，代入拋物線方程結(jié)合韋達(dá)定理得出，從而過焦點(diǎn)，即可求解的取值范圍．(1)因?yàn)?，則，所以；(2)由（1）得，設(shè)，則則，由得，所以，設(shè)直線方程為聯(lián)立方程組得，所以則故過焦點(diǎn)所以．21．(1)答案見詳解；(2)2．【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與基本不等式即可證明；（2）設(shè)，，分析單調(diào)性可得使得，使得，從而判斷在內(nèi)的正負(fù)性即可判斷在內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．(1)函數(shù)的定義域?yàn)橐驗(yàn)?，則故所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)遞增；(2)當(dāng)時(shí)，，設(shè)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?；；故使得，且?dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?，故使得，且?dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，所以在處取到極大值，在處取到極小值，故在內(nèi)有2個(gè)極值點(diǎn)．22．(1)(2)【解析】【分析】（1）分和兩種情況根據(jù)將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，即可得到曲線的圖形，從而求出面積；（2）首先可得，再根據(jù)利用兩角和的正弦公式、二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；(1)解：當(dāng)時(shí)，所以，則，即，因?yàn)?，，所以，又，所以；?dāng)時(shí)，所以，則，即，因?yàn)?，所以，所以，，所以；所以曲線的圖形如下所示：所以曲線與坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為；(2)解：因?yàn)辄c(diǎn)，在曲線C上，所