2020年全國II卷理科數學高考真題（答案版）

2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數學

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項

中，有一項是符合題目要求的。

1,已知集合0={-21,0,123},A={-1,O,1}>3={1,2},則①(AB)=

A.I}

B.{-223}

C{-2,-1,0,3}

D.{-2-1,0,2,3}

答案：A

解析：

〃={-Z-LO,1,2,3},/={-LO,1},8={L2}

<U8={-LO,L2}，G(/U8)={-2,3}

2.若a為第四象限角，則

A.cos2<z>0

B.cos2a<0

C.sin2a>0

D.sin2a<0

答案：D

解析：

aw(24”一52Jbr),/sZ

2aw(4A〃-”,4A”)

z.sin2a<0

3.在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業(yè)務，每天能完成1200份訂

單配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓，為解決困難，許多志愿者踴躍報

名參加配貨工作。已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單

超過1600份的概率為0.05,o志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第

二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者

A.10名

B.18名

C.24名

D.32名

答案：B

4.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、

下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石

板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊。下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)

多9塊，向外每環(huán)依次增加9塊。已知每層環(huán)數相同，且下層比中層多729

塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）

A.3699塊

B.3474塊

C.3402塊

D.3339塊

答案：C

5.若過點（2,1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距離為

A.

5

275

B.

5

375

C.

4后

D.

5

答案：B

6.數列(%)中，q=2，%"+,=%"％,若磯+囁+…+10=2'3-25,則％=

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：C

7.右圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應的

點為在俯視圖中對應的點為N,則該端點在側視圖中對應的點為

A.E

B.F

8.設。為坐標原點，直線％與雙曲線

C:-=1(。>0/>0)的兩條漸近線分別交于。,E兩點。若^ODE的面積為

a"b~

8,則C的焦距的最小值為

A.4

B.8

C.16

D.32

答案：B

9,設函數/(x)=ln12x+l|—ln|2x—1|,則/(x)

1、

qZ,+00)

A.是偶函數，且在2單調遞增

(-11)

B.是奇函數，且在2'2單調遞減

/1、

(-00,--■)

C.是偶函數，且在2單調遞增

(-8-1)

D.是奇函數，且在一萬單調遞減

答案：D

9G

10.已知△ABC是面積為丁的等邊三角形，且其頂點都在球。的球面上。若

球。的表面積為16萬，則°到平面ABC的距離為

A.G

3

B.2

C.1

2

D.2

答案：C

11.若2*-2><3-*-37,則

A.—x+1)>0

B.ln(y—x+1)<0

C.ln|x-y|>0

D.b?|x—y|<0

答案：A

12.0T周期序列在通信技術中有著重要應用，若序列4%%…滿足

4'{°'1}('=12…)，且存在正整數加，使得*=q(i=l,2,...)成立，則稱其為

0T周期序列，并滿足心,“=q(i=l,2,...)的最小正整數加為這個序列的周期，對

1"J

于周期為m的0T序列q%,…,C(Z)=(左=-1)是描述其

C(A:)<-(^=1,2,3,4)

性質的重要指標,下列周期為5的0T的序列中,滿足5的序

列是

A.11010...

B.11011...

C.10001...

D.11001...

答案：C

a.%=0或1

“及)41=￡>即?4105個積至多一個為1

5.1

xiioioiioio

511011

C.10001

pfioofi

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知單位向量a,b的夾角為45°,ka-b與a垂直，則k=.

14.4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個

小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法共有一種。

15.設復數Z],滿足匕|=0|=2,則4+z2=6+i,則匕-Zz|=

16.設有下列四個命題：

Pi：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內.

出：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/u平面a,直線加1平面a,則加1/.

則下述命題中所有真命題的序號是—

①P1八，4

②P1△P2

③「P2Vp3

④V」P4

填空題答案:

13.42/2

解析：

?.,（版―各州=0,

:.k--=0

2

k=—

2

14.36

解析：C：/”36

15.2V3

解析：

㈤=同=2

Z1+Z2=y/3+2

|z,-z21=2^1

16.①③④

解析：

耳Jx/>X/?V

①耳n/J

②4"X

③MU巴V

④V

?dX3)

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題

為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作

答。

(一)必考題，共60分。

17.(12分)

AABC中，sin224—sin2S-sin2C=sin5sinC,

(1)求A；

(2)若8C=3,求周長的最大值.

參考答案：

(1)

在“3C中，sin:J-sin2J?-sin2C=sin5sinC

由正弦定理可知，

a~-b'—c2①

a2=b2+c'-2bccosA②

.“I.,2

??cosA=—???%=—汽

23

(2)

^ABC41?BC=3=a

Vsin2J-sin2B-sin2C=sin6sinC=J="+c'+6c

9=b?+c[+he之3bc

工be￡3(當6=c=6等號成立)

(A+r)2=Z>2+c2bc=b2-*-c?x-^bc^hc-9^-bc<12

(6+c)g=25

工周長=a+b+c=3+6+。43+24(b=c=?取最大值)

???周長最大值為3+24

18.（12分）

某沙漠地區(qū)經過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數量有所增加，為

調查該地區(qū)某種野生動物的數量，將其分為面積相近的200個地塊，從這些地塊

中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調查得到樣本數據

（X/y）（i=l,2,…,20）,其中Xj和yj分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單

位：公頃）和這種野生動物的數量，并計算得

202020_220_220

￡%=60,￡%=1200￡卜產）=80￡（y「y）=9000,￡卜閔（丫“卜800.

i=li=li=li=li=l

（1）求該地區(qū)這種野生動物數量的估計值（這種野生動物數量的估計值等于樣

區(qū)這種野生動物數量的平均數乘以地塊數）

（2）求樣本（冷凹）（'=12…,20）的相關系數（精確到o.oi）；

（3）根據現有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表

性以獲得該地區(qū)這種野生動物數量更準確的估計，請給出一種你認為更合

理的抽樣方法，并說明理由。

r

7r

附：相關系數V.=1,及，L414.

答案：

（1）12000

（2）0.94

（3）根據各地塊間植物覆蓋面積進行分層抽樣

解析：

（1）野生動物估計值■照X200-12000

20

58008141nod

,80x90002V2?33

（3）根據各地塊間植物邀蓋面積進行分層抽樣

19.(12分)

22

已知橢圓G:—+~T=l(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合,G

的中心與。2的頂點重合.過F且與X軸垂直的直線交G于A、B兩點，交。2于

C、D兩點，且31巖網?

(1)求G的離心率；

(2)設M是G與G的公共點.若阿司=5,求G與02的標準方程.

答案：

(1)^=—

2

(2)C,:—+^-=1.G：y2-12x

3627

解析：

2

(1)C2?y=4cx這里c=

不妨C(c92c),D(c,-2c)

則|CD|=12c—(—2r)|=4c

|^|=||CZ)|=|x4<'=3c

不妨A(c,1c)5(c,—^c)

2o2

代入G得［+J=1。/+-=1

『b，41-e2

?4e2(I—e2)+9e2=4(1—e2)

=4e2-4J+9e2=4-4e2

。4/-175+4=0

<=>(4e2—1X^2-4)=0又EW(0,1)

(2)設”(Ajo).由MeG得5=|MF|=%+C

由得a-；Xo=|MF|=5

20.如圖I,已知三棱柱ABC-A百G的底面是正三角形，側面BBCC是矩形，

M,N分別為BC,4G的中點，尸為AA/上一點，過8?和P的平面交AB于

E,交AC于F.

(1)證明：AAVN,且平面AAMNL平面Egc/；

設。為的中心，若。平面。一，且

(2)A4GAEgC

AO^AB,求直線gE與平面4AMN所成角的正弦值

答案：

(1)if明IAA.IMN

n四邊形48MV為平行四邊形

||MN

由以11叫

得4XJIMV

BB'MN

4GliUBC

8CJI6C將

B￡.￡F共面

又丁區(qū)BCC、是矩形nMNLBC

JMNJ.8C

|￡F||BC'

rtU/5C是正三角形，ViBCLAM

60面43/

BC\\ET

n￡F_LAM4W.n面A\NM±面做C；F

(2)例已知以”為坐標收點,m的方詢?yōu)?軸正方向，|A”|為單位長.建。如圖所示的

空網/I用坐標HM-聽，如82.XA/-75.

連接NP.西四邊形40”為平行四邊JU.故。V'?.￡/g.；.3,由⑴如詈百4小仆_1平匍”皮?

.作04M.?足為。.咐.\、_1平面彳6。

/i6

故“7個.1^.

3

如

又?一是平面44WJV的法臼量，故“M、?C。'，.

所以直線B\E與平面44A/N所成用的正弦位為

21.(12分)

已知函數〃x)=sin2xsin2x

(1)討論〃x)在區(qū)間(0,4)的單調性;

(2)證明：|/(x)歸攣；

O

3”

(3)設〃eN*,證明sin2xsin22元sin?4x…sin?2nx<—.

4〃

答案：

⑴，(x)=sin'x(2sinjrcosx)=2gin'jrco”

/(x)?2((sin:x)cosx-*-sin'x(-sinx))=2(3sin;xcos2x-sin4x)

?2sin:x(3cos2x-sin:x)?2sh：X4cas1x-l)

■861nx8sx?-)(cosx--)

X2<

(O.->(->—)(—?4T)

3333T3

co&rIIi11

coir>—--<co5x<-CO8X<一

222222

/(X)■0-0?

/(X)tJt

故/⑶在(吟,《g.<)t-.m,a(-,—)±M.

(2)由四元均值不等大

小國…n2VW吟

(3)由于(sinhsin2x…$in'2'x)：

=|sii'Jsn，…川？'】I

=siix||sii:isii1lx-*$ia'2'*'xsii2'i||sii:2'x

=|ii111/(J|/(2ib-/U*'jlilsioJ'x

一lilflhi—I,

所以、in：vsin'21-sin'2'x4(

4"

（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。并用2B鉛筆

將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做第一題計分。

22.［選修4-4：坐標系與參數方程］（10分）

已知曲線Cl,。2的參數方程分別為

1

2x=t+-

x=4cos0,,;，。為參數),

,(6為參數)，C：

=4sin2^2

yy-t——

（1）將C,C2的參數方程化為普通方程:

(2)以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，設Cl,C2的交點

為尸，求圓心在極軸上，且經過極點和尸的圓的極坐標方程.

答案：

x+y=4cos20+4sin-8=4

⑴Cti(

222

C2:X-/=(/+-)-(/--)=4

x+y=42n

1=4