2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：相似三角形的綜合問題（重點突圍）(教師版)

高考復(fù)習(xí)材料

專題11相似三角形的綜合問題

.【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一（雙），字型相似】.................................................................1

【考向二（雙）8字型相似】..................................................................8

【考向三母子型相似】.....................................................................16

【考向四旋轉(zhuǎn)相似】......................................................................24

【考向五K字型相似】....................................................................37

尸G.

￡等【直擊中考】

【考向一（雙）“字型相似】

例題：（2022?上海?九年級專題練習(xí)）如圖，在中，點。在邊上，點E、點/在邊NC上，且?！辍?/p>

AFAE

BC,

FE~EC'

(1)求證：DF//BE；

(2)如且4F=2,EF=4,48=6后.求證△ADEsAAE'2.

【分析】（1）由題意易得—則有R,進(jìn)而問題可求證；

BDECFEBD

（2）由（1）及題意可知咨=空=1，然后可得⑷）=26,進(jìn)而可證理=絲=",最后問題可求

BDEF2ABAE3

證.

【詳解】解：（1）"DE//BC,

ADAE

,,麗一耘’

AFAE

,瓦―菽'

高考復(fù)習(xí)材料

AF_AD

:?DF〃BE：

(2)-AF=29EF=4,

AD_AF

.??由（1）可知,^D~^F~2AE=6,

,:AB=65

AD=LAB=26,

3

tAE_6_V3AD_2y/3_y/3

,?南一南一丁加一丁一萬

.AEAD

??商一區(qū)一'

??,Zj=zL4,

^AADE-AAEB.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，在RtV48c中，NACB=90。,AC=BC=6,。是48上一點，點E

在BC上，連接C。，4E交于點尸，若NCFE=45°,BD=2AD,則C￡=.

A

C

【答案】2

【分析】過。作垂直4。于H點，過。作。G〃/E交8c于G點，先利用解直角三角形求出C。的長,

其次禾U用VCDGsVCBD,求出CG的長，得出8G的長，最后利用VADGsVB/E,求出8E的長，最后得出答

案.

【詳解】解：如圖：過。作垂直"C于〃點，過。作。G〃/E交3C于G點，

?.?在RtV/BC中，AC=BC=6,

高考復(fù)習(xí)材料

??AB=ylAC2+BC2=672，

又???BD=2AD,

???AD=2V2,

???在等腰直角三角形中，AH=DH=2,

.??C〃=6—2=4,

在MVC/TO中，CD7cH2+DH?=2下，

VDG//AE,

??./CFE=/CDG=45。,4=45。，

ZCDG=ZB,

XvZDCG=/BCD,

??.VCDGsVCBD,

CDCG

：,~CB~~CD"

???CD?=CGCB,

即20=6CG,

“10

CG--,

3

1QO

：.BG=BC-CG=6——=—,

33

又?:DG〃AE,

:.VBDGsVBAE,

又;BD=2AD,

BDBG_2

..而一正一

o

又3G=|,

3

；.BE=BGx—=4,

2

；.CE=6-4=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做

出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例求出答案.

2.（2023秋?安徽六安?九年級?？计谀┤鐖D，在V/3C中，BD、CE分別是NC、48邊上的高.求證：

MACB^MAED.

高考復(fù)習(xí)材料

【答案】見詳解

【分析】先證明V/CESV48，即有任=江，再結(jié)合乙1=乙4,即可證明V/CBsV/即.

ADAB

【詳解】＜BD、CE分別是ZC、邊上的高，

：?NAEC=/ADB=90。,

N4=N4,

/.MACEs'ABD,

.AE_AC

??茄一茄’

又??,乙4=乙4,

：NACB3AED.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

3.(2021秋?山東濟(jì)寧?九年級?？茧A段練習(xí))

RtV/BC中，ZC=90°,/C=20cm,SC=15cm,現(xiàn)有動點尸從點/出發(fā)，沿/C向點C方向運(yùn)動，動

點。從點C出發(fā)，沿線段C8也向點3方向運(yùn)動，如果點P的速度是4c加/s,點。的速度是2cw/s,它們

同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達(dá)所在線段的端點時，就停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為/秒.

(1)求運(yùn)動時間為多少秒時，P、0兩點之間的距離為10cm?

(2)若VCP0的面積為S,求S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)/為多少時，以點C,P,0為頂點的三角形與V48c相似？

【答案】⑴3秒或5秒；⑵S=(20f-4r)cm2；(3):3或f*

【分析】(1)根據(jù)題意得到加，CQ=2tcm,AC=20cm,CP=(204)cm,根據(jù)三角形的面積公式列方

程即可得答案；

(2)若運(yùn)動的時間為Es,則CP=(20-4/)cm,CQ=2tcm9利用三角形的面積計算公式，即可得出

S=20%-4%再結(jié)合各線段長度非負(fù)，即可得出，的取值范圍;

高考復(fù)習(xí)材料

（3）分①RtACPQsRtACAB和②RtACPQsRtACBA,利用相似三角形得出比例式，建立方程求解,

即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：由運(yùn)動知，AP=4tcm,CQ-2tcm,

'-'AC-20cm,

■?■CP=（20-4/）cm,

在Rt/^CPQ中,

CP2+CQ2=PQ2,

即（20_4。2+（202=1（）2；

>'-t=3秒或％=5秒

（2）由題意得4P=4/,CQ^lt,則。尸=20-41,

因此RtMCPQ的面積為S=；x（20-4f）x2/=（20"4/）cn?；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)必△CP0s放△C/8時，蕓=等，即空h=三，解得"3；

Ctf2015

②當(dāng)及△CPQs放△C"時一，CP^CQgp20-4￡=2￡解得公”.

CBCA152011

因止匕f=3或"子40時，以點C、P、0為頂點的三角形與VNBC相似.

【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

4.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，VN8C中，點。在ZC邊上，且/ADC=90°+；.

（1）求證：DB=AB；

（2）點￡在2C邊上，連接/E交8。于點R且乙4FD=乙4BC,BE=CD,求//C3的度數(shù).

（3）在（2）的條件下，若3C=16,尸的周長等于30,求相的長.

【答案】（1）見解析；（2）//C8=60。；（3）AF=\\

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角之間的關(guān)系建立等式，運(yùn)用等量代換得出NN=ZBD4,證得DB=4B；

（2）作CH=BE,連接根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系證得NENC=NC,再由三角形全等判定得△8。"三△J8E,

最后推出△DC”為等邊三角形，即可得出ZACB=60°；

（3）借助輔助線/O1CE,構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合平行線構(gòu)造△AFEsaADH,建立相應(yīng)的等量關(guān)系式，

完成等式變形和求值，即可得出//的值.

高考復(fù)習(xí)材料

【詳解】（1）證明：■■■^BDC=90°+^^ABD,乙BDC4BD+乙4,

???Z^4=90°-^-AABD.

■■■^BDC+^BDA=1SO°,

：.^BDA=180°-乙BDC=90°-y^ABD.

???U=4D4=90?！?；UBD.

?-DB—AB.

解：（2）如圖1,作CH=BE,連接?！?，

ffll

；UFD=UBC,，4FD=UBD+乙BAE,UBC=UBD+/JDBC,

：.^BAE=Z-DBC.

???由（1）知，/^AD=4BDA,

又?：/LEAC=4BAD-乙BAE,4C=UDB一4DBC,

二4CAE=4C.

：.AE=CE.

■：BE=CH,

■■.BE+EH=CH+EH.

即BH=CE=AE.

■：AB=BD,

???△BDHwAABE.

:.BE=DH.

■：BE=CD,

???CH=DH=CD.

??.△DC"為等邊三角形.

=60°.

(3)如圖2,過點/作/O1CE,垂足為O.

高考復(fù)習(xí)材料

-DHWAE,

工乙CAE=LCDH=6G°,44EC—DHC=6。。.

???△//CE是等邊三角形.

^AC=CE=AE=x,貝。=16—x,

-DHWAE,

:.ABFE?ABDH.

BFBE_EF_16-x

BF=史三&D=%三N3,

XX

EF=^^DH

X

的周長等于30,

即AB+BF+AF=AB+^^AB+x—/川?=30；

xX

X

解得/8=16一

o

在必A4CO中，AC=~,AO=—,

22

X

.??50=16—二.

2

在放“8。中，AO2+BO2=AB2,

即：/+116_￡|2=（16_￡|2.

解得玉=0（舍去）X2=等.

■■.AF=11.

【點睛】本題考查了三角形角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,

解題的關(guān)鍵是能熟練掌握三角形的性質(zhì)與全等判定并借助輔助線構(gòu)造特殊三角形的能力.

高考復(fù)習(xí)材料

【考向二（雙）8字型相似】

例題：（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在菱形49。中，UDE、乙CDF分別交BC、4B于點、E、F,

DF交對角線/C于點M,且乙乙CDF.

（1）求證：CE=AF：

（2）連接ME,若笠=胃，AF=2,求ME的長.

BECE

【答案】（1）見解析（2）2

【分析】（1）通過已知條件，易證AADFmACDE,即可求得；

（2）根據(jù)黑=畀，易求得和3凡根據(jù)已知條件可得黑=要=坐，證明

BECEBECEAF

CDCMCE.,-^口口—.

—=——=—,再證nn明?AWEC,即可求出ME.

AFAMBE

【詳解】解：⑴???四邊形45C。是菱形，

：?AD=CD,Z-DAF=Z.DCE,

又?:乙4DE—CDF,

???乙4?！?（EDF=LCDF-AEDF,

:&DF=（CDE,

在/和△CZ）E中，

ZADF=ZCDF

<AD=CD,

ZDAF=ZDCE

:.AADF必CDE,

^CE=AF.

(2)???四邊形45co是菱形,

：?AB=BC,

由(1)得：CE=AF=2,

：.BE=BF,

設(shè)BE=BF=x,

CECD

AF=2,

蕨~CE

2x+2

解得x=遙-1,

X2

高考復(fù)習(xí)材料

.BE=BF=4^—\,

CECDj

—=—,且C￡=/R

BECE

CECD_CD

~BE~~CE~~^

ZCMD=UMF,乙DCM=AMF,

???/1AMFFCMD,

CDCM

~AF~^4M

CDCMCE口

----=------=-----，CB=Z-ACB,

AFAMBE

：?AABC?AMEC,

：^CAB=乙CME=UCB,

：,ME=CE=2.

【點睛】本題主要考查了三角形全等，三角形相似和菱形的判定和性質(zhì)，熟練它們的判定和性質(zhì)是解答此

題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春?九年級課時練習(xí)）如圖，在平行四邊形48C。中，點E是4D上一點，AE=2ED,連接

交NC于點G,延長交CD的延長線于點尸，則空的值為（）

GF

13

C.一D.-

34

【答案】4

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到4列。。，則可判斷ZU5G?△C/G,AABE?4DFE,于是根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)和AE=2ED即可得結(jié)果.

【詳解】解：???四邊形Z5CD為平行四邊形，

.'-ABWCD.

???^ABGFCFG,

高考復(fù)習(xí)材料

BGAB

''GF~~CF

?：5BEFDFE,

AE_AB

：'^E~~DF"

?：AE=2ED,

：,AB=2DF,

AB2

ACF-3

BG_2

,,赤―H

故選：A.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的

判定和性質(zhì)進(jìn)行解題.

2.（2022春?陜西渭南?八年級統(tǒng)考期末）如圖在平行四邊形45CZ）中，E是CD的中點，下是4E的中點，

CF交BE于點、G,若BE=8,貝!]GE=—.

【分析】延長CF、BA交于M,根據(jù)已知條件得出斯=4/，CE=^DC,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出

DCWAB,根據(jù)全等三角形的判定得出aCEF三&1￡4尸，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE=AM,求

出的W=3CE,根據(jù)相似三角形的判定得出△CEGs^MBG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答

案即可.

【詳解】解：延長CF、B4交于M,

???E是CD的中點，尸是/￡的中點,

：.EF=AF,CE=^DC,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.DCUB,DC=AB,

高考復(fù)習(xí)材料

：.CE=^AB,乙ECF=4M,

在尸和△■以產(chǎn)中

AEFC=AAMF

，ZECF=ZM,

EF=AF

；ACEF必MAF(AAS),

■■.CE=AM,

?:CE二AB,

；.BM=3CE,

"DCMB,

???△CEGsAMBG,

CEEG_1

"W"SG"3'

,:BE=8,

GE1

“8-GEZ'

解得：GE=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和

判定等知識點，能綜合運(yùn)用知識點進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵.

3.(2022秋?北京房山?九年級統(tǒng)考期中)如圖，4D與3c交于。點，N4=NC,2。=4,DO=2,

AB=3,求C。的長.

【答案】1.5

【分析】由N/=NC,44。8=/。。。可得出\//。臺6丫。?！?,利用相似三角形的性質(zhì)可得出券=器,

代入50=4,DO=2,AB=3,即可求出CZ)的長.

【詳解】解：,?弘。與交于。點，

ZAOB=/COD.

???ZA=ZC,

:.YAOBsVCOD.

高考復(fù)習(xí)材料

ABBO

CD~15d'

BO—4,DO=2,AB=3,

.?.CD=1.5.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例列式.

4.(2023秋?安徽六安?九年級?？计谀?如圖1,在出△49C中，乙4c8=90。，AC=BC=\,D為AB上一

點，連接8,分別過點/、3作/NLCO,BMLCD.

(1)求證：AN=CM；

(2)若點。滿足AD：AD=2：1,求DM的長；

(3)如圖2,若點E為48中點，連接EN,設(shè)sin乙NAD=k,求證：EM=k.

【答案】(1)見解析；(2)3叵；(3)見解析

15

【分析】(1)證明△/CNmZsCBM(44S),由全等三角形的性質(zhì)得出NN=CN；

(2)證明△NNQsABM),由相似三角形的性質(zhì)得出現(xiàn)=衛(wèi)上=42=1，設(shè)則2M=2x,由

BMDMBD2

(1)知NN=CA/=x,BM=CN=2x,由勾股定理得出了=當(dāng)，則可得出答案；

(3)延長ME,/N相交于點"證明?三ABME(AAS),得出證得HV=A/M過點E作

EGLBM于點、G,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案.

【詳解】(1)證明：?:ANLCD,BMLCD,

；.乙4NC=90°,Z.BMC=90°,

又乙4c2=90°,

:2CN+乙BCM=乙BCM+乙CBM=90°,

:&CN=LCBM,

又*AC=BC,

■■.AACN^ACBM(AAS),

：.AN=CM-,

(2)解：-：Z-AND=Z.BMD,乙ADN—BDM,

■.AAND-ABMD,

高考復(fù)習(xí)材料

AN_DN_AD_1

?前一5^7一茄一5'

設(shè)AN=x,則BM=2x,

由(1)知AN=CM=x,BM=CN=2x,

-AN2+CN2=AC2,

???N+(2x)2=12,

,_V5

??X------,

5

.-.CM=—,CN=—,

55

■.MN=—,

5

22V5275

-'-DM——MN=—x——=-----；

33515

(3)解：延長ME,4N相交于點H,

圖2

???E為Z5的中點，

；,AE=BE,

-Z-ANM=90°fZ-BMN=90°,

：?ANIIBM,

"HAE=44BE,UHE=LBME,

???△AHEzABME(44S),

：.AH=BM,

又?:BM=CN,CM=AN,

???CN=AH,

：.MN=HN,

:?LHMN=45°,

??"A?=45°,

過點E作于點G,

,:sinLNAD=k,Z-NAD=Z-EBG,

高考復(fù)習(xí)材料

:,sin/-EBG=——=k,

BE

又?：AC=BC=\,

：.AB=V2，

.RF—6

??Dili----,

2

：.EG=—k,

2

:.EM=6EG=邑,k=k.

2

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，等腰直角三角形

的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(2022?廣東佛山??？既?如圖1,AD、分別是AA8C的內(nèi)角/8/C、/A8C的平分線，過點A

作交3。的延長線于點￡.

⑴求證：/E=g/C；

(2)如圖2,如果4E=/B,且3。:?！?2:3,求C0S//8C的值；

⑶如果。是銳角，且A48c與A4DE相似，求N25C的度數(shù)，并直接寫出當(dāng)?shù)闹?

【答案】⑴見解析

(3)30°,2-退或45。，2-V2

【分析】(1)由題意：ZE=90°-ZADE,證明44DE=90。-；/。即可解決問題.

(2)延長/。交BC于點尸.證明NE//5C,可得/2E8=/E4O=90。，—,由AD:DE=2:3,

AEDE

BFBF2

可得cos/ABC=——=——

ABAE3

(3)因為A48C與A4DE相似，ZDAE=90°,所以/4B。中必有一個內(nèi)角為90。因為/4B。是銳角，推出

NABCf90°.接下來分兩種情形分別求解即可.

高考復(fù)習(xí)材料

圖1

???AELAD,

ZDAE=90°,ZE=900-ZADE,

???AD平分NBAC,

:./BAD=L/BAC,同理

22

?;NADE=/BAD+/DBA,ABAC+/ABC=180°-ZC,

/.NADE=1(ZABC+ABAC)=90°-1/C,

:"E=90°-(90°-1zC)=1zC.

(2)解：延長/。交5c于點廠.

圖2

???AB=AE,

/ABE=ZE,

BE平分/ABC,

ZABE=/EBC,

Z￡=ZCBE,

/.AE//BC,

BF_BD

ZAFB=ZEAD=90°,

^E~~DE

?;BD:DE=2:3,

BF2

cos/ABC-.....

AB~AE3

(3)與2MDE相似，ZDAE=90°,

高考復(fù)習(xí)材料

ZABC中必有一個內(nèi)角為90。

???ZABC是銳角，

ZABCH900.

①當(dāng)ABAC=NDAE=90°時，

?1?Z￡,=-ZC,

2

:.ZABC=ZE=-ZC,

2

QZABC+ZC=90°,

ZABC=30°,此時^^=2一道.

、LABC

②當(dāng)/C=/ONE=90。時，ZE=^ZC=45°,

ZEDA=45°,

???A48C與A4ZJE相似，

ZABC=45°,此時,產(chǎn)=2-6.

綜上所述，ZABC=30°,^^=2-6.ZABC=45°,=2-啦.

【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)

等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

【考向三母子型相似】

例題：(2022秋?全國?八年級專題練習(xí))定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足/1=/2,則稱

點P為這個三角形的“理想點”.

AC

圖①圖②

(1)如圖①，若點。是V/8C的邊48的中點，AC=142,48=4,試判斷點。是不是V48c的"理想點",

并說明理由；

(2汝口圖②，在mV/8C中，ZC=90°,AB=5,AC=4,若點。是V/8C的"理想點”，求CD的長.

【答案】⑴。為V/3C的理想點，理由見解析

129

⑵彳或Z

高考復(fù)習(xí)材料

【分析】(1)由已知可得養(yǎng)=姜，從而A4C￡>SA43C,ZJCZ)=Z5,可證點。是A43c的"理想點"；

ADAC

(2)由。是A/18C的"理想點"，分三種情況：當(dāng)。在AB上時，C。是42邊上的高，根據(jù)面積法可求CD

長度；當(dāng)。在/C上時，ABDCsMBC,對應(yīng)邊成比例即可求CD長度；。不可能在BC上.

(1)

解：點。是A43C的"理想點”，理由如下：

???。是48中點，AB=4,

...AD=BD=2,AD-AB=8,

4C=2收，

AC2=8,

:.AC2=AD-AB,

.ACAB

"~AD~~AC'

■：N4=ZA,

AACD^AABC,

NACD=ZB,

.?.點。是A48c的"理想點”；

(2)

①。在48上時，如圖：

C

?.?。是AA8C的"理想點”，

ZACD=4或/BCD=ZA,

當(dāng)448=N8時，

■.■ZACD+ZBCD=90°,

:.ZBCD+ZS=90°,

ZCDB=90°,即CD是AB邊上的高，

當(dāng)/8。=44時，同理可證/CD3=90。，即CD是48邊上的高,

在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,/C=4,

BC=\lAB--AC2=3，

S.A.2?46rc=2-ABCD=-2ACBC,

高考復(fù)習(xí)材料

②?.?4C=4,BC=3,

:.AC>BC有NB>/A,

，“理想點〃。不可能在8。邊上,

③。在/C邊上時，如圖：

C

是ZUBC的''理想點〃，

/.ZDBC=N4,

又“=

ABDC^AABC,

CDBCRnCD3

A—=—，即一=一，

BCAC34

9

:.CD=-,

4

129

綜上所述，點。是A4BC的"理想點"，的長為”或:.

54

【點睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解"理想點"的定義.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?黑龍江哈爾濱?九年級?？计谥校┤鐖D，V48c中，點。在AB上，NB=2/BCD,若BD=2,

BC=5,則線段。的長為.

【答案】714

【分析】延長CB到E,使BE=BD,連接DE,可得等腰V8E。和等腰VCED,CD=ED,再證明

VEDB:MECD,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出ED.

【詳解】解：如圖所示，延長C8到E,使BE=BD,連接。E,

高考復(fù)習(xí)材料

???NE=NEDB

???NDBC=2NBCD,NDBC=ZE+NEDB,

??.ZE=NDCB=NEDB,

：.MEDB:MECD,CD=ED

EDEBED2

------------,UnJn--------=------，

ECED2+5ED

解得：ED=CD=y/14<

故答案為：Vu.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰

VBED和②構(gòu)造等腰VCED是解題關(guān)鍵.

2.（2022秋?安徽蚌埠?九年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，。為2C邊上的一點，且/。=26，CD=4,

BD=2,求證：AACD-ABCA.

【答案】證明見解析.

【分析】根據(jù)NC=2?，。。=4,BD=2,可得g=用，根據(jù)NC=NC,即可證明結(jié)論.

BCAC

【詳解】解：???NC=2?，C￡>=4,BD=2

_AC2y[6_y/6CD476

"sC-4+2-VAC~246~3

ACCD

“茲一就

vzC=zC

■.AACD-ABCA.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識點是解題關(guān)鍵.

3.（2022秋?安徽蚌埠?九年級?？计谥校┤鐖D，在V/8C中，NACB=90°,CO為42邊上的高，。的

高考復(fù)習(xí)材料

⑵若48=10,BC=6,求VC3尸的面積，

⑶若BC=4D,請直接寫出隼的值為_____.

AE

【答案】⑴證明見解析

27

⑵彳

(3)V5-1

2

【分析】(1)利用同角的余角相等可得乙8。尸=乙4,再由角平分線的定義可得NC8尸=ZABE,然后根據(jù)

相似三角形的判定即可得證；

(2)先根據(jù)HL定理可證V8ECMV8EG,推出8G=3C=6,設(shè)CE=EG=x,貝iJ/E：8-x,在RtZX/EG

中，利用勾股定理x=3,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得；

)

,EGBCADAC,../曰工「BC

⑶x由51必=益=加和xcos人就二商推n出"二9皿4=3。?,得到+--1=0,再根

ABAB

據(jù)一元二次方程的解法求解即可得.

【詳解】(1)證明：?.,N4C5=90。，CO為43邊上的高,

ZBCF+ZACD=90°,ZA+ZACD=90°f

ZBCF=ZA,

???BE是/Z3C的平分線,

/CBF=/ABE,

ZBCF=NA

在VCB尸和V/HE中,

ZCBF=/ABE

:MCBF-MABE.

(2)解：在中，AC=^AB2-BC2=^102-62=5?

如圖，過點￡作EG_L/B于G,

高考復(fù)習(xí)材料

?.?8E是/Z3C的平分線，ZACB=90°f

CE=GE,

fCE=GE

在RtZXBEC和中，,

[DbZH7=DbZH7

:MBEC=V5￡G（HL）,

BG=BC=6,

.?./G=10—6=4,

設(shè)CE=EG=x,貝!J/E=8—x,

在Rtz\4￡G中，AE2=EG2+AG2,BP（8-x）2=x2+42,

解得x=3,

「.S”=g/5?￡G=；xl0x3=15,

'：MCBF-MABE,

.4^ACBF_（8C]即S^_f6

??二rhij'即TCBFri制’

27

解得以.=彳，

27

即VC5廠的面積為g.

（3）解：如上圖，在RtZ\4EG和RtZ\45C中，sinA=-----=-----,

AEAB

CEBC

?寶一花’

在Rtz\/C。和RtZUBC中，cos4=——=——,

ACAB

:.AC2=ADAB=BCAB,

/.AB2-BC2=BCAB,即空T+些—1=0,

{AB）AB

解得好=避二L或&￡=±Yl<o（不符題意，舍去）,

AB2AB2

高考復(fù)習(xí)材料

.CEV5-1

?-----=--------,

AE2

故答案為：苴二

2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、解直角三角形的應(yīng)用、一元二次方

程的應(yīng)用等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.（2022,江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖：在矩形48。中，AB=6m,2c=8m,動點尸以2m/s的速度從/

點出發(fā)，沿NC向C點移動，同時動點。以lm/s的速度從點C出發(fā)，沿C8向點8移動，設(shè)P、0兩點移

動的時間為/秒（。＜/＜5）.

（1）AP=m,PC=m,CQ=m（用含，的代數(shù)式表示）

（2）/為多少秒時，以P、。、C為頂點的三角形與V/8C相似？

（3）在尸、。兩點移動過程中，四邊形N3QP與VCP。的面積能否相等？若能，求出此時,的值；若不能,

請說明理由.

【答案】（1）2?,10-2?,t.（2）”行或7；（3）四邊形尸與VW0的面積不相等，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)矩形和勾股定理的性質(zhì)，計算得NC,結(jié)合題意，根據(jù)代數(shù)式的性質(zhì)計算，即可得到答案;

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程并求解，即可得到答案；

（3）過點尸作PM12C,交2c于點“，通過證明,根據(jù)相似比的性質(zhì)，推導(dǎo)得

15f3?

^Acpe=-＞根據(jù)題意列一兀二次方程，根據(jù)一兀二次方程判別式的性質(zhì)分析，即可得到答案?

［詳解］（1）?.?矩形ABCD中，AB=6m,BC=8m

:/c=YIAB2+BC2=10加

?.?動點P以2m/s的速度從/點出發(fā)，沿/C向C點移動，同時動點。以hn/s的速度從點C出發(fā)，沿CB

向點2移動，

.-.AP=2t（m）,CQ=t（m）

■.PC=AC-AP=10-It(m)

故答案為：2t,10-27,t.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，得CQ=/(m),PC=lO-2t(m),AP^2t(m),

ZPCQ=ZACB

高考復(fù)習(xí)材料

二當(dāng)筆==，或坐=注時，以尸、0、C為頂點的三角形與V/8C相似

nCACACnC

當(dāng)絲=匕pc時，得t」10-2￡

BCAC810

5t—40—8,

40

t=—?

13'

當(dāng)穿叁時，片10-2￡

8

4t=50-10/

25

T

(3)如圖，過點尸作交3C于點M

-ZABC=ZPMC=90°fZACB=ZPCM

???AABCsAPMC

PCPM

~AC~^4B

PCxAB_6(W-2t)_30-6t

：.PM

AC-10—-—5-

c1…「八130-6/15/-3/2

?SMpc=—PMxCQ=—x---------x/=------------

△cP。2255

???四邊形ABQP與丫CPQ的面積相等,Sy皿=四邊形450尸面積+S.p0

=

,S叢CPQ5S^ABC

15”3/1

=-x—x6x8

522

■-?/2-5f+20=0

?.?A=(-5)2-4X20=25-80=-55<0

32_5/+20=0無解，即四邊形ABQP與vCPQ的面積不相等.

【點睛】本題考查了代數(shù)式、相似三角形、一元二次方程、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握

相似三角形、一元二次方程判別式的性質(zhì)，從而完成求解.

高考復(fù)習(xí)材料

【考向四旋轉(zhuǎn)相似】

例題：(2022秋?貴州貴陽?九年級?？计谥?如圖1,在中，NB=90。,AB=4,BC=2,點D,E分

別是邊3C,/C的中點,連接。E.將VCDE繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為口.

(1)問題發(fā)現(xiàn)

AE

①當(dāng)a=0。時,

BD

AT

②當(dāng)a=180。時，—

(2)拓展探究

4F

試判斷當(dāng)0°<a<360。時，"的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明;

(3)問題解決

當(dāng)VCDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至4瓦E三點在同一條直線上時，求線段8。的長.

【答案】⑴①VL②石

4FI-

⑵當(dāng)0。<々<360。時，—=45,大小沒有變化，證明見解析

BD

⑶線段8。的長為半或逐

【分析】(1)①先利用勾股定理可得/C=2石，再根據(jù)線段中點的定義可得/片=石,8。=1,由此即可得;

②先畫出圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/。?！?90。,?！?2,以=遙，再利用勾股定理可得CD=1,然后根

據(jù)線段和差分別求出NE,8。的長，由此即可得;

(2)根據(jù)相似三角形的判定證出△DCB,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得；

(3)分①點E在43的延長線上和②點E在線段48上，利用勾股定理求出3￡=1,從而可得/￡的長,

再根據(jù)鑒=有求解即可得.

BD

【詳解】(1)解：①當(dāng)a=0。時，

???在中，/B=90°,AB=4,BC=2,

AC=YJAB2+BC2=275，

???點2E分別是邊BC,NC的中點,

:.CE=AE=-AC=y[5,BD=CD=-BC=1,

22

高考復(fù)習(xí)材料

故答案為：V5;

②如圖1,???點分別是邊的中點，AB=4,

:.DE=gAB=2,DE〃AB,

???ZL4SC=9O°,

:.ZCDE=ZABC=90°,

如圖，當(dāng)a=180。時,

ED

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：的大小不變，仍等于90。，長度不變，仍等于2,CE的長度不變，仍等于病,

:.AE=AC+CE=3出，CD=dCE?-DE?=1，

:.BD=BC+CD=3,

故答案為：V5.

4Fr-

(2)解：當(dāng)0。＜。＜360。時，—=V5,大小沒有變化，證明如下:

BD

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：/ECD=NACB,

ZECA=ZDCB,

.CEAC

又丁——=——

CDBC

:MECA:MDCB,

處=g=垂

BDBC

(3)解：①如圖，當(dāng)點E在的延長線上時,

在RtVBCE中，CE=45,BC=2,

高考復(fù)習(xí)材料

BE=yJCE2-BC2=1，

二.AE=AB+BE=4+1=5,

Q*

在RtVBCE中，CE=亞,BC=2,

BE=y]CE2-BC2=1，

AE=4B-BE=4-1=3,

綜上，線段8。的長為亭或石.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理等知識點，較

難的是題(3),正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?浙江寧波?校考一模)如圖1,在V/8C中，ZBAC=90°,AB=6,AC=S,點。，E分別是

的中點.把ABDE繞點B旋轉(zhuǎn)一定角度,連結(jié)/D,ZE,a?,CE.

圖1圖2

⑴如圖2,當(dāng)線段8。在V/8C內(nèi)部時，求證：ABADsABCE.

⑵當(dāng)點。落在直線ZE上時，請畫出圖形，并求CE的長.

⑶當(dāng)V/AE■面積最大時，請畫出圖形，并求出此時V4DE的面積.

高考復(fù)習(xí)材料

【答案】⑴見解析

⑵見解析；573

1Q

⑶見解析，—

【分析】(1)根據(jù)點。，￡分別是48,8C的中點，得到黑=萼=],再根據(jù)旋轉(zhuǎn)，得至I」乙=

ABnC2

即可得證；

(2)勾股定理定理求出的長，中位線定理得到AS747,進(jìn)而得到aBDE=NR4C=90。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)，得到

ZADB=90°,推出/ND8=/CEB=90。，利用勾股定理求出C￡的長；

(3)設(shè)點E到48的距離為隊判斷出〃最大=BE=5,V/8E的面積最大，過點、D作DH工4B于H,證

明\JBDHs\/CBA,利用對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，求出DH的長，利用SVADE=SVABE-SVABD-SVBDE進(jìn)行求解即

可.

【詳解】(1)證明：?.?點。，E分別是/瓦臺。的中點，

：.BD=LAB=3,BE=LBC=5,

22

BDBE

"AB-5C-2,

由旋轉(zhuǎn)知，NABD=NCBE,

???/\ABDs^CBE；

(2)解：如圖，

圖3

ABAC=90°,AB=6,AC^8,

???BC=YJAB2+AC2=10，

由(1)圖

?:點D,E分別是/氏8。的中點,

高考復(fù)習(xí)材料

:.回fiC,

NBDE=/BAC=90。,

???點。落在4E上，

；?/ADB=90。,

由(1)知，AABDs^CBE,

.?"ADB=/CEB=9。。,

在RtZiBEC中，BE=5,BC=T0,

根據(jù)勾股定理得，CE=4BC1-BE1=V102-52=573；

(3)解：如圖，

圖4

設(shè)點￡到的距離為〃，則SVABE=gaB.h=；x6h=3h,

要V4BE的面積最大，則〃最大，

即時，此時，h最大=BE=5,

vABAC=90°,

：.BE//AC,

：?NCBE=/ACB,

由旋轉(zhuǎn)知，ZABD=ZCBE9