第3章 一次方程與方程組（壓軸必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）（原卷版）

第3章一次方程與方程組（壓軸必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）一．一元一次方程的解（共3小題）1．（2022秋?定遠(yuǎn)縣期中）我們規(guī)定，若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為x＝b﹣a，則稱該方程為“差解方程”，例如：2x＝4的解為2，且2＝4﹣2，則方程2x＝4是差解方程．請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問(wèn)題：（1）判斷3x＝4.5是否是差解方程；（2）若關(guān)于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程，求m的值．2．（2022秋?潁州區(qū)校級(jí)期中）我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為x＝b+a，則稱該方程為“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解為x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，則方程2x＝﹣4為“和解方程”．請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問(wèn)題：（1）已知關(guān)于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；（2）已知關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．3．（2022秋?裕安區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，且a、b滿足|a+3|+（b﹣2）2＝0．（1）求A、B所表示的數(shù)；（2）點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程2x+1＝x﹣8的解．①求線段BC的長(zhǎng)；②在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PB＝BC？求出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．二．解一元一次方程（共2小題）4．（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）用“☆”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a☆b＝ab2﹣2ab+a．如：1☆3＝1×32﹣2×1×3+1＝4．（1）求（﹣2）☆5的值；（2）若☆3＝8，求a的值；（3）若m＝4☆x，n＝（1﹣2x）☆3（其中x為有理數(shù)），試比較大小mn（用不等號(hào)填空）．5．（2022秋?蚌山區(qū)月考）已知關(guān)于x的方程（m+2）x|m|﹣1+5＝0是一元一次方程，求m的值及另一個(gè)方程的解．三．一元一次方程的應(yīng)用（共13小題）6．（2021秋?潁東區(qū)期末）下表所示是2019年元月的月歷表．下列結(jié)論：①每一豎列上相鄰的兩個(gè)數(shù)，下面的數(shù)比上面的數(shù)大7；②可以框出一豎列上相鄰的三個(gè)數(shù)（如圖所示），這三個(gè)數(shù)的和是24；③不可以框出一個(gè)2×2的矩形塊的四個(gè)數(shù)（如圖所示），這四個(gè)數(shù)的和是82；④任意框出一個(gè)3×3的矩形塊的九個(gè)數(shù)（如圖所示），這九個(gè)數(shù)的和是中間數(shù)的9倍，其中正確的是（把所有正確的序號(hào)都填上）．7．（2022秋?包河區(qū)月考）2016年春節(jié)即將來(lái)臨，甲、乙兩單位準(zhǔn)備組織退休職工到某風(fēng)景區(qū)游玩．甲、乙兩單位共102人，其中甲單位人數(shù)多于乙單位人數(shù)，且甲單位人數(shù)不夠100人．經(jīng)了解，該風(fēng)景區(qū)的門票價(jià)格如下表：數(shù)量（張）1﹣5051﹣100101張及以上單價(jià)（元/張）60元50元40元如果兩單位分別單獨(dú)購(gòu)買門票，一共應(yīng)付5500元．（1）如果甲、乙兩單位聯(lián)合起來(lái)購(gòu)買門票，那么比各自購(gòu)買門票共可以節(jié)省多少錢？（2）甲、乙兩單位各有多少名退休職工準(zhǔn)備參加游玩？（3）如果甲單位有12名退休職工因身體原因不能外出游玩，那么你有幾種購(gòu)買方案，通過(guò)比較，你該如何購(gòu)買門票才能最省錢？8．（2022秋?亳州期末）為舉辦校園文化藝術(shù)節(jié)，甲、乙兩班準(zhǔn)備給合唱同學(xué)購(gòu)買演出服裝（一人一套），兩班共92人（其中甲班比乙班人多，且甲班不到90人），下面是供貨商給出的演出服裝的價(jià)格表：購(gòu)買服裝的套數(shù)1套至45套46套至90套91套以上每套服裝的價(jià)格60元50元40元如果兩班單獨(dú)給每位同學(xué)購(gòu)買一套服裝，那么一共應(yīng)付5020元．（1）甲、乙兩班聯(lián)合起來(lái)給每位同學(xué)購(gòu)買一套服裝，比單獨(dú)購(gòu)買可以節(jié)省多少錢？（2）甲、乙兩班各有多少名同學(xué)？9．（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為10，點(diǎn)M，N分別以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)度，每秒b個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸運(yùn)動(dòng)，a，b滿足|a﹣5|+（b﹣6）2＝0．（1）請(qǐng)直接寫出a＝，b＝；（2）如圖1，點(diǎn)M從A出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)原點(diǎn)后立即返回向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從原點(diǎn)O出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)P為線段ON的中點(diǎn)若MP＝MA，求t的值；（3）如圖2，若點(diǎn)M從原點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從原點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的右側(cè)，若此時(shí)以M，N，O，A為端點(diǎn)的所有線段的長(zhǎng)度和為142，求此時(shí)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)．10．（2021秋?明光市校級(jí)月考）某商場(chǎng)用2500元購(gòu)進(jìn)了A，B兩種新型節(jié)能臺(tái)燈共50盞，這兩種臺(tái)燈的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如下表所示：類型價(jià)格A型B型進(jìn)價(jià)（元/盞）4065標(biāo)價(jià)（元/盞）60100（1）這兩種臺(tái)燈各購(gòu)進(jìn)多少盞？（2）若A型臺(tái)燈按標(biāo)價(jià)的九折出售，B型臺(tái)燈按標(biāo)價(jià)的八折出售，那么這批臺(tái)燈全部出售完后，商家共獲利多少元？11．（2021秋?廬江縣期末）盛盛同學(xué)到某高校游玩時(shí)，看到運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的宣傳欄中的部分信息（如表）：院系籃球賽成績(jī)公告比賽場(chǎng)次勝場(chǎng)負(fù)場(chǎng)積分2212103422148362202222盛盛同學(xué)結(jié)合學(xué)習(xí)的知識(shí)設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題，請(qǐng)你幫忙完成下列問(wèn)題：（1）從表中可以看出，負(fù)一場(chǎng)積分，勝一場(chǎng)積分（2）某隊(duì)在比完22場(chǎng)的前提下，勝場(chǎng)總積分能等于其負(fù)場(chǎng)總積分的2倍嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2020秋?定遠(yuǎn)縣期末）整理一批圖書，由一個(gè)人做要40h完成．現(xiàn)計(jì)劃由一部分人先做4h，再增加2人和他們一起做8h，完成這項(xiàng)工作．假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作？13．（2020秋?全椒縣期末）整理一批圖書，由一個(gè)人做要40小時(shí)完成．現(xiàn)計(jì)劃由一部分人先做4小時(shí)，再增加2人和他們一起做8小時(shí)，完成這項(xiàng)工作．假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作？14．（2020秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）先填空再解答某村去年種植的油菜籽畝產(chǎn)量達(dá)150千克，含油率為40%．今年改種新選育的油菜籽后畝產(chǎn)量提高了30千克，含油率提高了10百分點(diǎn)．今年與去年相比，油菜的種植面積減少了40畝，而村榨油廠用本村所產(chǎn)油菜籽的產(chǎn)油量提高了20%．（1）求今年油菜的種植面積．設(shè)今年油菜的種植面積是x畝．完成下表后再列方程解答；畝產(chǎn)量（千克/畝）種植面積（畝）油菜籽總產(chǎn)量（千克）含油率產(chǎn)油量（千克）去年15040%今年x（2）已知油菜種植成本為200元/畝，菜油收購(gòu)價(jià)為6元/千克．試比較這個(gè)村去今兩年種植油菜的純收入．15．（2019秋?瑤海區(qū)期末）十一期間，各大商場(chǎng)掀起購(gòu)物狂潮，現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)商場(chǎng)開展的促銷活動(dòng)如表所示：商場(chǎng)優(yōu)惠活動(dòng)甲全場(chǎng)按標(biāo)價(jià)的6折銷售乙實(shí)行“滿100元送100元的購(gòu)物券”的優(yōu)惠，購(gòu)物券可以在再購(gòu)買時(shí)沖抵現(xiàn)金（如：顧客購(gòu)衣服220元，贈(zèng)券200元，再購(gòu)買褲子時(shí)可沖抵現(xiàn)金，不再送券）丙實(shí)行“滿100元減50元的優(yōu)惠”（比如：某顧客購(gòu)物220元，他只需付款120元）根據(jù)以上活動(dòng)信息，解決以下問(wèn)題：（1）三個(gè)商場(chǎng)同時(shí)出售一件標(biāo)價(jià)290元的上衣和一條標(biāo)價(jià)270元的褲子，王阿姨想買這一套衣服，她應(yīng)該選擇哪家商場(chǎng)？（2）黃先生發(fā)現(xiàn)在甲、乙商場(chǎng)同時(shí)出售一件標(biāo)價(jià)380元的上衣和一條標(biāo)價(jià)300多元的褲子，最后付款額也一樣，請(qǐng)問(wèn)這條褲子的標(biāo)價(jià)是多少元？（3）丙商場(chǎng)又推出“先打折”，“再滿100減50元”的活動(dòng)．張先生買了一件標(biāo)價(jià)為630元的上衣，張先生發(fā)現(xiàn)竟然比沒(méi)打折前多付了18.5元錢，問(wèn)丙商場(chǎng)先打了多少折后再參加活動(dòng)？16．（2022秋?天長(zhǎng)市校級(jí)月考）某校有住宿生若干人，若每間宿舍住8人，則有5人無(wú)處??；若每間宿舍增加1人，則還空35張床位，求共有多少間宿舍？有多少住宿生？17．（2022秋?安慶期末）某校體育組長(zhǎng)王老師，到家樂(lè)福超市為學(xué)校購(gòu)買乒乓球拍、羽毛球拍共三次，有一次購(gòu)買時(shí)，乒乓球拍、羽毛球拍同時(shí)打折，其余兩次均按標(biāo)價(jià)購(gòu)買，三次購(gòu)買乒乓球拍、羽毛球拍數(shù)量及費(fèi)用如表：乒乓球拍的數(shù)量（副）羽毛球拍的數(shù)量（副）總費(fèi)用（元）第一次購(gòu)買651140第二次購(gòu)買371110第三次購(gòu)買981062（1）按打折價(jià)購(gòu)買乒乓球拍、羽毛球拍是第幾次購(gòu)買？（2）求乒乓球拍、羽毛球拍的標(biāo)價(jià)；（3）若乒乓球拍、羽毛球拍的折扣相同，問(wèn)家樂(lè)福超市是打幾折出售的？18．（2021秋?花山區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)C表示的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的數(shù)：，；（2）動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，C出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．①求數(shù)軸上點(diǎn)P，Q表示的數(shù)（用含t的式子表示）；②t為何值時(shí)，點(diǎn)P，Q相距6個(gè)單位長(zhǎng)度．四．二元一次方程組的解（共1小題）19．（2022秋?安慶期末）已知關(guān)于x、y的方程組的解也是二元一次方程x﹣y＝3的解，請(qǐng)求出方程組的解及m的值．五．解二元一次方程組（共2小題）20．（2022秋?定遠(yuǎn)縣期中）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法．解：將方程②變形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得x＝4，所以，方程組的解為．請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組．（2）已知x，y滿足方程組，求x2+4y2﹣xy的值．21．（2021秋?蚌山區(qū)月考）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1把y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程組的解為．請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組（2）已知x，y滿足方程組．（i）求x2+4y2的值；（ii）求+的值．六．二元一次方程組的應(yīng)用（共8小題）22．（2021秋?宣州區(qū)校級(jí)期末）在正常情況下，一個(gè)人在運(yùn)動(dòng)時(shí)所能承受的每分鐘心跳的最高次數(shù)S（次/分）與這個(gè)人年齡n（歲）滿足關(guān)系式：S＝an+b，其中a、b均為常數(shù)．（1）根據(jù)圖中提供的信息，求a、b的值；（2）若一位63歲的人在跑步，醫(yī)生在途中給他測(cè)得10秒心跳為26次，問(wèn)：他是否有危險(xiǎn)？為什么？23．（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）平價(jià)商場(chǎng)經(jīng)銷的甲，乙兩種商品，甲種商品每件售價(jià)98元，利潤(rùn)率為40%；乙種商品每件進(jìn)價(jià)80元，售價(jià)128元．（1）求甲種商品每件的進(jìn)價(jià)；（利潤(rùn)率＝×100%）（2）若該商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共50件，恰好總進(jìn)價(jià)為3800元，求購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？（3）在“元旦”期間，該商場(chǎng)只對(duì)乙種商品進(jìn)行如表的優(yōu)惠促銷活動(dòng)：打折前一次性購(gòu)物總金額優(yōu)惠措施少于等于480元不優(yōu)惠超過(guò)480元，但不超過(guò)680元其中480元不打折，超過(guò)480元的部分給予6折優(yōu)惠超過(guò)680元按購(gòu)物總額給予7.5折優(yōu)惠按表的優(yōu)惠條件，若小華一次性購(gòu)買乙種商品實(shí)際付款576元，求小華在該商場(chǎng)購(gòu)買乙種商品多少件？24．（2022秋?包河區(qū)月考）小林在某商店購(gòu)買商品A，B共三次，只有其中一次購(gòu)買時(shí)，商品A，B同時(shí)打折，其余兩次均按標(biāo)價(jià)購(gòu)買，三次購(gòu)買商品A、B的數(shù)量和費(fèi)用如表所示，購(gòu)買商品A的數(shù)量/個(gè)購(gòu)買商品B的數(shù)量/個(gè)購(gòu)買總費(fèi)用/元第一次購(gòu)物651140第二次購(gòu)物371110第三次購(gòu)物981062（1）在這三次購(gòu)物中，第次購(gòu)物打了折扣；（2）求出商品A、B的標(biāo)價(jià)；（3）若商品A、B的折扣相同，問(wèn)商店是打幾折出售這兩種商品的？25．（2022秋?定遠(yuǎn)縣期中）被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”的《九章算術(shù)》是中國(guó)古代算法的扛鼎之作．《九章算術(shù)》中記載：“今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕．一雀一燕交而處，衡適平．并燕、雀重一斤．問(wèn)燕、雀一枚各重幾何？”譯文：“今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕．將一只雀、一只燕交換位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量為1斤．問(wèn)雀、燕每1只各重多少斤？”請(qǐng)列方程組解答上面的問(wèn)題．26．（2021秋?宣州區(qū)校級(jí)期末）某工廠第一季度生產(chǎn)甲、乙兩種機(jī)器共480臺(tái)．改進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)后，計(jì)劃第二季度生產(chǎn)這兩種機(jī)器共554臺(tái)，其中甲種機(jī)器產(chǎn)量要比第一季度增產(chǎn)10%，乙種機(jī)器產(chǎn)量要比第一季度增產(chǎn)20%．該廠第一季度生產(chǎn)甲、乙兩種機(jī)器各多少臺(tái)？27．（2020秋?定遠(yuǎn)縣月考）某中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備從某體育用品商店一次性購(gòu)買若干個(gè)足球和籃球（每個(gè)足球的價(jià)格相同，每個(gè)籃球的價(jià)格相同），已知購(gòu)買3個(gè)足球和2個(gè)籃球共需310元；購(gòu)買2個(gè)足球和5個(gè)籃球共需500元．求購(gòu)買一個(gè)足球、一個(gè)籃球各需多少元？28．（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩(shī)：我問(wèn)開店李三公，眾客都來(lái)到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩(shī)中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無(wú)房可?。蝗绻恳婚g客房住9人，那么就空出一間房．（1）求該店有客房多少間？房客多少人？（2）假設(shè)店主李三公將客房進(jìn)行改造后，房間數(shù)大大增加．每間客房收費(fèi)20錢，且每間客房最多入住4人，一次性訂客房18間以上（含18間），房費(fèi)按8折優(yōu)惠．若詩(shī)中“眾客”再次一起入住，他們?nèi)绾斡喎扛纤悖?9．（2022秋?包河區(qū)期末）我市某包裝