專題05 因式分解（教師版）

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)七年級下冊培優(yōu)專題真題匯編卷專題05因式分解考試時間：100分鐘試卷滿分：100分難度系數(shù)：0.43一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填寫在括號內(nèi)）1．（2分）（2023春?鼓樓區(qū)校級期中）已知a、b、c是△ABC的三條邊，且滿足a2+bc＝b2+ac，則△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形解：已知等式變形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，則△ABC為等腰三角形．故選：A．2．（2分）（2022春?贛榆區(qū)期中）下列從左到右的變形，是因式分解的是（）A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．x2+1＝x（x+） D．a(chǎn)2b+ab2＝ab（a+b）解：A、（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16，是整式的乘法運算，故此選項不符合題意；B、x2+2x+1＝x（x+2）+1，不符合因式分解的定義，故此選項不符合題意；C、分母含有字母，不符合因式分解的定義，故此選項不符合題意；D、a2b+ab2＝ab（a+b），是因式分解，故此選項符合題意．故選：D．3．（2分）（2021春?沭陽縣期中）下列等式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2 C．ma+mb﹣1＝m（a+b）﹣1 D．8x3y2＝2x3?4y2解：A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，符合因式分解的定義，故本選項符合題意；B、（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，屬于整式的乘法運算，故本選項不符合題意；C、ma+mb﹣1＝m（a+b）﹣1，不符合因式分解的定義，故本選項不符合題意；D、8x3y2＝2x3?4y2，不符合因式分解的定義，故本選項不符合題意；故選：A．4．（2分）（2023秋?平山縣期末）下列各式從左到右的變形，是因式分解的是（）A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10 C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．x2+1＝x（x+）解：A、（x+3）（x﹣3）+6x不是幾個整式的積的形式，故不是因式分解，故本選項錯誤；B、x2+3x﹣10不是幾個整式的積的形式，故不是因式分解，故本選項錯誤；C、等式右邊是幾個整式的積的形式，故是因式分解，故本選項正確；D、等式右邊是分式的積的形式，故不是因式分解，故本選項錯誤．故選：C．5．（2分）（2023春?東臺市月考）下列從左到右的變形中，是因式分解的是（）A．（x+3）2＝x2+6x+9 B．a(chǎn)2﹣4＝（a+2）（a﹣2） C．3xy2＝3x?y?y D．x2+2x+2＝x（x+2）+2解：A．（x+3）2＝x2+6x+9，從左到右的變形是整式乘法，不屬于因式分解，故選項不符合題意；B．a(chǎn)2﹣4＝（a+2）（a﹣2），從左到右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；C．3xy2＝3x?y?y，等式左邊不是多項式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；D．x2+2x+2＝x（x+2）+2，等式右邊不是整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意．故選：B．6．（2分）（2022春?高新區(qū)校級期末）若多項式2x2+ax﹣6能分解成兩個一次因式的積，且其中一個一次因式2x﹣3，則a的值為（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5解：∵多項式2x2+ax﹣6能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故選A．7．（2分）（2022春?高新區(qū)期中）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值為（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2023＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2023＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2023＝x2+x3﹣x2﹣2x+2023＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2023＝x﹣x2﹣2x+2023＝﹣x2﹣x+2023＝﹣（x2+x）+2023＝﹣1+2023＝2022．故選：C．8．（2分）（2022春?江陰市期中）若一個正整數(shù)能表示成另兩個正整數(shù)的平方差，即x＝a2﹣b2（其中a、b、x為正整數(shù)），則稱這個正整數(shù)為完美數(shù)．下列各數(shù)中不是完美數(shù)的是（）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019解：設(shè)k是正整數(shù)，∴（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，∴除1以外，所有的奇數(shù)都是完美數(shù)，∴B，D選項都是完美數(shù)，不符合題意；∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，∴除4以外，所有能被4整除的偶數(shù)都是完美數(shù)，∴C選項是完美數(shù)，不符合題意，∵2022既不是奇數(shù)也不能被4整除，∴2022不是完美數(shù)，符合題意．故選：A．9．（2分）（2020春?高郵市期末）利用因式分解簡便計算69×99+32×99﹣99正確的是（）A．99×（69+32）＝99×101＝9999 B．99×（69+32﹣1）＝99×100＝9900 C．99×（69+32+1）＝99×102＝10096 D．99×（69+32﹣99）＝99×2＝198解：69×99+32×99﹣99＝99（69+32﹣1）＝99×100＝9900．故選：B．10．（2分）（2023秋?海門市校級月考）已知長方形的周長為16cm，它兩鄰邊長分別為xcm，ycm，且滿足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，則該長方形的面積為（）cm2．A． B． C．15 D．16解：∵長方形的周長為16cm，∴2（x+y）＝16，∴x+y＝8①；∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，∴（x﹣y﹣1）2＝0，∴x﹣y＝1②．聯(lián)立①②，得，解得：，∴長方形的面積S＝xy＝＝（cm2），故選：A．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請將正確答案填寫在橫線上）11．（2分）（2022春?洪澤區(qū)期中）一個長、寬分別為m、n的長方形的周長為16，面積為6，則m2n+mn2的值為48．解：∵一個長、寬分別為m、n的長方形的周長為16，面積為6，∴2（m+n）＝16，mn＝6，即m+n＝8，mn＝6，則原式＝mn（m+n）＝48，故答案為：4812．（2分）（2023春?鹽都區(qū)期中）4a2b2c，6ab3的公因式為2ab2．解：4a2b2c，6ab3的公因式為2ab2．故答案為：2ab2．13．（2分）（2023春?姜堰區(qū)期末）如果x2﹣y2＝8，x﹣y＝2，那么代數(shù)式x2+y2的值是10．解：∵x2﹣y2＝8，∴（x+y）（x﹣y）＝8，∵x﹣y＝2①，∴x+y＝4②，①+②得：x＝3，把x＝3代入①得：y＝1，把x＝3，y＝1代入x2+y2得：x2+y2，＝32+12，＝9+1，＝10，故答案為：10．14．（2分）（2023春?姜堰區(qū)期末）已知a+b＝﹣3，ab＝﹣10，則a2b+ab2的值是30．解：a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣10）×（﹣3）＝3015．（2分）（2023春?泗洪縣期末）已知x+y＝2，x2﹣y2＝4，則x2023﹣y2023＝22023．解：∵x2﹣y2＝4，∴（x+y）（x﹣y）＝4，x+y＝2①，∴x﹣y＝2②，由①②解得：x＝2，y＝0，∴x2023﹣y2023＝22023﹣02023＝22023．故答案為：22023．16．（2分）（2023春?高新區(qū)期中）劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)注》中指出：“勾、股冪合為弦冪，明矣．”也就是說，圖1中直角三角形的三邊a、b、c存在a2+b2＝c2的關(guān)系．他在書中構(gòu)造了一些基本圖形來解決問題．如圖2，分別將以a為邊長的正方形和b為邊長的正方形置于以c為邊長的大正方形的左下角和右上角，若（c﹣a）（c﹣b）＝18，則a+b﹣c＝6．解：圖中陰影部分面積等于c2﹣b2＝a2+b2﹣b2＝a2，如圖所示：AB＝c﹣b，AC＝c﹣a，DE＝a﹣（c﹣b）＝a+b﹣c，∵（c﹣a）（c﹣b）＝c2﹣bc﹣ca+ab＝18，∴AB?AC＝18，即S矩形ACDB＝18，∵S陰影＝2S矩形ACDB+a2﹣（a+b﹣c）2＝a2，∴（a+b﹣c）2＝36，∵a+b＞c，即a+b﹣c＞0，∴a+b﹣c＝6，故答案為：6．17．（2分）（2022春?興化市月考）若a+b＝3，ab＝﹣1，則代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值為﹣9．解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，∵a+b＝3，ab＝﹣1，∴ab（a+b）2＝﹣1×32＝﹣9．故答案為：﹣9．18．（2分）（2022春?海州區(qū)校級期末）若m2＝n+2022，n2＝m+2022（m≠n），那么代數(shù)式m3﹣2mn+n3的值﹣2022．解：∵m2＝n+2022，n2＝m+2022，∴m2﹣n2＝n﹣m，∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，∵m≠n，∴m+n＝﹣1，∵m2＝n+2022，n2＝m+2022，∴m2﹣n＝2022，n2﹣m＝2022，∴原式＝m3﹣mn﹣mn+n3＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）＝2022m+2022n＝2022（m+n）＝2022×（﹣1）＝﹣2022．故答案為：﹣2022．19．（2分）（2023春?梁溪區(qū)校級期中）已知a，b，c是△ABC的三邊，b2+2ab＝c2+2ac，則△ABC的形狀是等腰三角形．解：b2+2ab＝c2+2ac，a2+b2+2ab＝a2+c2+2ac，（a+b）2＝（a+c）2，a+b＝a+c，b＝c，所以此三角形是等腰三角形，故答案為：等腰三角形．20．（2分）（2023春?鼓樓區(qū)校級月考）n為自然數(shù)，若9n2+5n﹣26為兩個連續(xù)自然數(shù)之積，則n的值是2．解：9n2+5n﹣26＝（n+2）（9n﹣13），設(shè)兩個連續(xù)自然數(shù)分別為m，m+1，∴，解得：，∴，解得：此情況不符合題意，舍去．∴n的值為2．故答案為：2．三、解答題（本大題共8小題，共60分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）21．（6分）（2023春?秦淮區(qū)校級月考）分解因式（1）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）；（2）（y2﹣y）2+14（y﹣y2）+24．解：（1）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）＝9a2（2x﹣y）﹣（2x﹣y）＝（9a2﹣1）（2x﹣y）＝（2x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）；（2）（y2﹣y）2+14（y﹣y2）+24＝（y2﹣y）2﹣14（y2﹣y）+24＝（y2﹣y﹣2）（y2﹣y﹣12）＝（y﹣2）（y+1）（y﹣4）（y+3）．22．（6分）（2023春?宿豫區(qū)期末）若一個四位數(shù)M的個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是M去掉個位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則稱這個四數(shù)M為“勾股和數(shù)”．例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和數(shù)”；又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和數(shù)”．（1）判斷2023、5055是否是“勾股和數(shù)”，并說明理由；（2）請你寫出一個此題中沒有出現(xiàn)過的“勾股和數(shù)”；（3）一個“勾股和數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，記．當(dāng)G（M）是整數(shù)，且P（M）＝3時，求出所有滿足條件的M．解：（1）∵22+32＝13，20≠13，∴2023不是“勾股和數(shù)”，∵52+52＝50，∴5055是“勾股和數(shù)”；（2）例如：1323就是一個“勾股和數(shù)”；（3）由題意可知：0≤c≤9，0≤d≤9，是整數(shù)，，∴c+d＝9或18，10a﹣2cd+b＝9，∴當(dāng)c＝0時，d＝9，cd＝0，10a+b＝9，當(dāng)c＝1時，d＝8，cd＝8，10a+b＝25，當(dāng)c＝2時，d＝7，cd＝14，10a+b＝37，當(dāng)c＝3時，d＝6，cd＝18，10a+b＝45，當(dāng)c＝4時，d＝5，cd＝20，10a+b＝49，當(dāng)c＝5時，d＝4，cd＝20，10a+b＝49，當(dāng)c＝6時，d＝3，cd＝18，10a+b＝45，當(dāng)c＝7時，d＝2，cd＝14，10a+b＝37，當(dāng)c＝8時，d＝1，cd＝8，10a+b＝25，當(dāng)c＝9時，d＝0，cd＝0，10a+b＝9，當(dāng)c＝0時，d＝0，cd＝0，10a+b＝9，當(dāng)c＝9時，d＝9，cd＝81，10a+b＝171，綜上可知：10a+b＝9或25或37或45或49或171，由題意可知：0＜a≤9，0≤b≤9，當(dāng)10a+b＝9時，當(dāng)a＝1，則b＝﹣1（不合題意舍去），當(dāng)a＝2，則b＝﹣11（不合題意舍去），???綜上隨著a的增大，b值越來越小，都是負數(shù)，不合題意，故舍去；當(dāng)10a+b＝25時，當(dāng)a＝1，則b＝15（不合題意舍去），當(dāng)a＝2，則b＝5，當(dāng)a＝3，則b＝﹣5（不合題意舍去），當(dāng)a＝4，則b＝﹣15（不合題意舍去），當(dāng)a＝5，則b＝﹣25（不合題意舍去），???綜上：符合題意的有a＝2，則b＝5；當(dāng)10a+b＝37時，當(dāng)a＝1，則b＝27（不合題意舍去），當(dāng)a＝2，則b＝17（不合題意舍去），當(dāng)a＝3，則b＝7，當(dāng)a＝4，則b＝﹣3（不合題意舍去），當(dāng)a＝5，則b＝﹣13（不合題意舍去），???綜上：符合題意的有a＝3，則b＝7；當(dāng)10a+b＝45時，當(dāng)a＝1，則b＝35（不合題意舍去），當(dāng)a＝2，則b＝25（不合題意舍去），當(dāng)a＝3，則b＝15（不合題意舍去），當(dāng)a＝4，則b＝5，當(dāng)a＝5，則b＝﹣5（不合題意舍去），???綜上：符合題意的有a＝4，則b＝5；當(dāng)10a+b＝49時，當(dāng)a＝1，則b＝39（不合題意舍去），當(dāng)a＝2，則b＝29（不合題意舍去），當(dāng)a＝3，則b＝19（不合題意舍去），當(dāng)a＝4，則b＝9，當(dāng)a＝5，則b＝﹣1（不合題意舍去），???綜上：符合題意的有a＝4，則b＝9；當(dāng)10a+b＝171時，當(dāng)a＝1，則b＝161（不合題意舍去），當(dāng)a＝2，則b＝151（不合題意舍去），當(dāng)a＝3，則b＝141（不合題意舍去），當(dāng)a＝4，則b＝131（不合題意舍去），當(dāng)a＝5，則b＝﹣1（不合題意舍去），???綜上：沒有符合題意的；∴求出的四位數(shù)分別為：2518，2581（不是勾股和數(shù)），3772，3727（不是勾股和數(shù)），4536，4563（是勾股和數(shù)），4945，4954（不是勾股和數(shù)），∴符合G（M）是整數(shù)，且P（M）＝3的勾股和數(shù)M是：3772，3727．23．（8分）（2023春?新吳區(qū)期中）小剛同學(xué)動手剪了如圖①所示的正方形與長方形紙片若干張．（1）他用1張1號、1張2號和2張3號卡片拼出一個新的圖形（如圖②）．根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系寫出一個你所熟悉的乘法公式，這個乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）如果要拼成一個長為（a+2b），寬為（a+b）的大長方形，則需要2號卡片2張，3號卡片3張；（3）當(dāng)他拼成如圖③所示的長方形，根據(jù)6張小紙片的面積和等于大長方形的面積可以把多項式a2+3ab+2b2分解因式，其結(jié)果是（a+2b）（a+b）；（4）小剛又選取了2張1號卡片，3張2號卡片和7張3號卡片拼成了一個長方形，請你畫出示意圖，并根據(jù)該圖寫出對應(yīng)的乘法公式．解：（1）由題意得，這個乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由如圖③可得要拼成一個長為（a+2b），寬為（a+b）的大長方形，則需要2號卡片2張，3號卡片3張，故答案為：2，3；（3）由圖③可知矩形面積為（a+2b）（a+b），∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故答案為：（a+2b）（a+b）；（4）如圖所示，即為所求；對應(yīng)的乘法公式為（2a+b）（a+3b）＝2a2+3b2+7ab．．24．（8分）（2023春?泗洪縣期中）小明同學(xué)動手剪了如圖①所示的正方形與長方形紙片若干張，分別標(biāo)上記號．（1）他用1張1號、1張2號和2張3號紙片拼出一個新的圖形（如圖②）．根據(jù)這個拼圖的面積關(guān)系寫出一個恒等式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；當(dāng)他拼成如圖③所示的一個大長方形時，其長為（a+2b），寬為（a+b），仔細觀察圖形，可以完成因式分解：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．（2）請你利用1張1號紙片，6張2號紙片和5張3號紙片，拼出一個長方形，在下面虛線區(qū)域畫出圖形并仿圖③標(biāo)出邊長．（3）根據(jù)所畫的圖形，寫出一個恒等式：（a+2b）（a+3b）．解：（1）正方形的面積＝（a+b）2，也等于各部分面積之和即：a2+2ab+b2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．由圖可得：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+2b）（a+b）；（2）如圖所示：（3）a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b）．故答案為：（a+2b）（a+3b）．25．（8分）（2023春?鼓樓區(qū)校級期中）我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如圖①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請回答下列問題：（1）寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）猜測（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的條件下，若a、b、c分別是一個三角形的三邊長，請判斷該三角形的形狀，并說明理由．解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd，故答案為：a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd；（3）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴122＝2×48+（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2＝144﹣96＝48；（4）∵a2+b2+c2＝48，ab+ac+bc＝48，∴a2+b2+c2＝ab+ac+bc，即a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴該三角形是等邊三角形．26．（8分）（2023春?江都區(qū)期中）先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．（1）分組分解法：將一個多項式適當(dāng)分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：①ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；（3）多項式x2﹣6x+1有最小值嗎？如果有，當(dāng)它取最小值時x的值為多少？解：（1）a2﹣b2+a﹣b＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b