《6.3向心加速度》教學設(shè)計、導學案同步練習

15/28《6.3向心加速度》教學設(shè)計【教材分析】1．勻速圓周運動的加速度方向；2．向心加速度的大小?！窘虒W目標】1．理解向心加速度的概念。2．知道向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系式。3．能夠運用向心加速度公式求解有關(guān)問題。【核心素養(yǎng)】物理觀念：建立向心加速度的方向和大小的方法微元法的物理觀念?？茖W思維：培養(yǎng)學生思維能力和分析問題的能力，培養(yǎng)學生探究問題的熱情，樂于學習的品質(zhì)?？茖W探究：體驗向心加速度的導出過程，領(lǐng)會推導過程中用到的數(shù)學方法?？茖W態(tài)度與責任：通過向心加速度的方向及公式的學習，培養(yǎng)學生認識未知世界要有敢于猜想的勇氣和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度?！窘虒W重點】1．理解勻速圓周運動中加速度的產(chǎn)生原因，掌握向心加速度的確定方法和計算公式。2．向心加速度方向的確定過程和向心加速度公式的推導與應用。【教學難點】向心加速度方向的確定過程和向心加速度公式的推導與應用【教學過程】教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設(shè)計意圖導入新課做曲線運動的物體速度一定是變化的，因此做曲線運動的物體，一定有加速度，圓周運動是曲線運動，那么做圓周運動的物體，加速度的大小和方向如何確定呢？——這就是我們今天要研究的課題。回憶做曲線運動的物體速度一定是變化的，因此一定存在加速度。為引出本節(jié)課題做圓周運動的物體，加速度的大小和方向做鋪墊。講授新課一、勻速圓周運動的向心加速度及其方向1．向心加速度的方向：總是指向圓心，方向時刻改變，方向總是與速度方向垂直。物體做勻速圓周運動時，合力的方向總是指向圓心，根據(jù)牛頓第二定律，物體運動的加速度方向與它所受合力的方向相同，即：物體做勻速圓周運動時的加速度總指向圓心。物體做勻速圓周運動時，合力的方向總是指向圓心，根據(jù)牛頓第二定律，物體運動的加速度方向與它所受合力的方向相同，即：物體做勻速圓周運動時的加速度總指向圓心。2．向心加速度：任何做勻速圓周運動的物體的加速度都指向圓心，這個加速度叫做向心加速度。3．向心加速度的作用只改變速度的方向，對速度的大小無影響。注意：無論an的大小是否變化，其方向時刻改變，所以圓周運動的加速度時刻發(fā)生變化，圓周運動是變加速曲線運動思考討論1：變速圓周運動的加速度和向心加速度有什么關(guān)系？做變速圓周運動的物體，加速度并不指向圓心，該加速度有兩個分量：一是向心加速度；二是切向加速度，切向加速度改變速度的大小。因此一般情況下，物體做圓周運動的加速度方向不一定指向圓心。思考討論2：勻速圓周運動的加速度和向心加速度有什么關(guān)系？勻速圓周運動是否為勻變速運動？勻速圓周運動的加速度和向心加速度含義相同。由于勻速圓周運動的加速度始終指向圓心，其大小不變，但方向時刻在改變，所以勻速圓周運動不是勻變速運動。思考討論3：向心加速度與合加速度之間有什么關(guān)系？對于勻速圓周運動而言，物體的加速度即為向心加速度，因此其方向一定指向圓心；物體做變速圓周運動時，合加速度必有一個沿切線方向的分量和指向圓心方向的分量，其指向圓心方向的分量就是向心加速度。對于非勻速圓周運動，沿切線方向的加速度改變線速度的大小。4．向心加速度的物理意義思考討論：向心加速度是從哪個角度描述速度變化快慢的？說明理由？因為向心加速度的方向總指向圓心，與速度方向垂直，所以向心加速度只改變速度方向，不改變速度大小，因此向心加速度是描述速度方向改變快慢的物理量，向心加速度大，即速度方向改變得快。二、向心加速度的大小1．向心加速度表達式思考討論：由向心力的表達式，你能推導出向心加速度表達式嗎？由向心力：Fn=m或Fn=mrω2根據(jù)牛頓第二定律F＝ma，得an=或an=rω2注意：向心加速度的公式適用于任何圓周運動。2．向心加速度的各種表達式由勻速圓周運動向心加速度的基本公式，結(jié)合各物理量間的關(guān)系，你能推導出勻速圓周運動向心加速度的幾種表達形式？由an=rω2an=v=ωrω=2π/T=2πf=2πn得an=vωan=（）2ran=（2πf）2ran=（2πn）2r思考與討論：從公式an＝v2/r看，線速度一定時，向心加速度與圓周運動的半徑成反比；從公式an＝ω2r看，角速度一定時，向心加速度與半徑成正比。自行車的大齒輪、小齒輪、后輪的半徑不一樣，它們的邊緣有三個點A、B、C，如圖所示。其中哪兩點向心加速度的關(guān)系適用于“向心加速度與半徑成正比”，哪兩點適用于“向心加速度與半徑成反比”？給出解釋。B、C兩點在同一輪上，同軸傳動時，這兩點的角速度相同，由公式an＝ω2r知ω一定時，向心加速度與半徑成正比。A、B兩點在同一個鏈條上，兩點的線速度大小相同，由an＝v2/r知v一定時，向心加速度與半徑成反比?！纠}】如圖所示，在長為l的細繩下端拴一個質(zhì)量為m的小球，捏住繩子的上端，使小球在水平面內(nèi)做圓周運動，細繩就沿圓錐面旋轉(zhuǎn)，這樣就成了一個圓錐擺。當繩子跟豎直方向的夾角為θ時，小球運動的向心加速度an的大小為多少？通過計算說明：要增大夾角θ，應該增大小球運動的角速度ω。分析由于小球在水平面內(nèi)做圓周運動，向心加速度的方向始終指向圓心?？梢愿鶕?jù)受力分析，求出向心力的大小，進而求出向心加速度的大小。根據(jù)向心加速度公式，分析小球做圓周運動的角速度ω與夾角θ之間的關(guān)系。解：根據(jù)對小球的受力分析，可得小球的向心力Fn＝mgtanθ根據(jù)牛頓第二定律可得小球運動的向心加速度：an＝Fn/m＝gtanθ（1）根據(jù)幾何關(guān)系可知小球做圓周運動的半徑r＝lsinθ（2）把向心加速度公式an＝ω2r和（2）式代入（1）式，可得cosθ＝g/lω2從此式可以看出，當小球運動的角速度增大時，夾角也隨之增大。因此，要增大夾角θ，應該增大小球運動的角速度ω。拓展學習推導向心加速度公式用運動學的方法求做勻速圓周運動物體的向心加速度的方向與大小。1．向心加速度的方向（1）一物體沿著圓周運動，在A、B兩點的速度分別為vA、vB，畫出物體經(jīng)過A、B兩點時的速度方向。（2）平移vA至B點，根據(jù)矢量運算法則，做出物體由A點到B點的速度變化量Δv。由于物體做勻速圓周運動，vA、vB的大小相等，所以，Δv與vA、vB構(gòu)成等腰三角形。（3）假設(shè)由A點到B點的時間逐漸減小直到極短，在勻速圓周運動的速度大小一定的情況下，A點到B點的距離將非常小，作出此時的Δv。Δv逐漸趨向于平行OAA點到B點的時間極短時，Δv與vA、vB都幾乎垂直，因此Δv的方向幾乎沿著圓周的半徑，指向圓心。由于加速度a與Δv的方向是一致的，所以從運動學角度分析也可以發(fā)現(xiàn)：物體做勻速圓周運動時的加速度指向圓心。2．向心加速度的大小推導向心加速度公式由圖可知，當Δt足夠小時，vA、vB的夾角θ就足夠小，θ角所對的弦和弧的長度就近似相等。因此，θ＝v\Δv，在Δt時間內(nèi)，速度方向變化的角度θ＝ωΔt。由此可以求得：Δv＝vωΔt將此式代入加速度定義式a＝Δv\Δt，并把v＝ωr代入，可以導出向心加速度大小的表達式為an＝ω2r上式也可以寫成an＝v2/r它與根據(jù)牛頓第二定律得到的結(jié)果是一致的。課堂練習1．質(zhì)量相等的A、B兩質(zhì)點分別做勻速圓周運動，若在相等的時間內(nèi)通過的弧長之比為2：3，而轉(zhuǎn)過角度之比為3：2，則A、B兩質(zhì)點周期之比為——————，向心加速度之比為——————。答案：2：3；1：12．一物體在水平面內(nèi)沿半徑R=20cm的圓形軌道做勻速圓周運動，線速度v=0.2m/s，那么，它的向心加速度為0.2m/s2，它的角速度為_______rad/s，它的周期為_______s。答案：1；2π3．關(guān)于向心加速度的說法正確的是（）A．向心加速度越大，物體速率變化越快B．向心加速度的大小與軌道半徑成反比C．向心加速度的方向始終與速度方向垂直D．在勻速圓周運動中向心加速度是恒量答案：C4．A、B兩艘快艇在湖面上做勻速圓周運動（如圖），在相同的時間內(nèi)，它們通過的路程之比是4：3，運動方向改變的角度之比是3：2，則它們（）A．線速度大小之比為3：4B．角速度大小之比為3：4C．圓周運動的半徑之比為8：9D．向心加速度大小之比為1：2答案：C5．轉(zhuǎn)筆是一項深受廣大中學生喜愛的休閑活動，其中也包含了許多的物理知識。假設(shè)某同學將筆套套在筆桿的一端，在轉(zhuǎn)筆時讓筆桿繞其手指上的某一點O在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動，則下列敘述中正確的是（）A．筆套做圓周運動的向心力是由筆桿對其的摩擦力提供的B．筆桿上離O點越近的點，做圓周運動的向心加速度越大C．當筆桿快速轉(zhuǎn)動時筆套有可能被甩走D．由于勻速轉(zhuǎn)動，筆套受到的摩擦力大小不變答案：C拓展提高1．兩架飛機在空中沿水平面上做勻速圓周運動，在相同的時間內(nèi)，它們通過的路徑之比為2：3，運動方向改變的角度之比為4：3．它們的向心加速度之比為多少（）A．2：3B．8：9C．2：1D．1：2答案：B2．如圖所示皮帶傳動輪，大輪直徑是小輪直徑的3倍，A是大輪邊緣上一點，B是小輪邊緣上一點，C是大輪上一點，C到圓心O的距離等于小輪半徑，轉(zhuǎn)動時皮帶不打滑。則A、B、C三點的角速度大小之比，線速度大小之比，向心加速度大小之比分別為（）A．ωA：ωB：ωC=1：3：3B．vA：vB：vC=3：3：1C．a(chǎn)A：aB：aC=3：6：1D．a(chǎn)A：aB：aC=1：9：3答案：B3．下列關(guān)于勻速圓周運動的說法中，正確的是（）A．因為向心加速度大小不變，故是勻變速運動B．由于向心加速度的方向變化，故是變加速運動C．用線系著的物體在光滑水平面上做勻速圓周運動，線斷后。物體受到離心力作用，而背離圓心運動D．向心力和離心力一定是一對作用力和反作用力答案：B觀察圖片說出向心加速度的方向。學生思考討論學生思考討論問題2學生思考討論問題3思考討論向心加速度的物理意義學生由向心力的表達式推導出向心加速度表達式推導出向心加速度的各種表達式。學生思考與討論在教師的引導下分析計算學生閱讀課文理解用運動學的方法求做勻速圓周運動物體的向心加速度的方向與大小。學生練習理解向心加速度的方向。理解做變速圓周運動的物體，加速度并不指向圓心，切向加速度改變速度的大小。理解勻速圓周運動加速度和向心加速度相同，方向時刻在改變理解向心加速度與合加速度之間的關(guān)系。理解向心加速度是描述速度方向改變快慢的物理量。鍛煉學生的推導能力鍛煉學生的邏輯思維能力。理解公式an＝v2/r和an＝ω2r的含義。鍛煉學生的分析計算能力鍛煉學生的自主學習能力，體驗向心加速度的導出過程，領(lǐng)會推導過程中用到的數(shù)學方法。鞏固本節(jié)知識課堂小結(jié)1．做勻速圓周運動的物體，其向心加速度的方向沿半徑指向圓心，方向時刻變化，勻速圓周運動為變加速曲線運動。2．向心加速度只改變做圓周運動的物體的速度方向，而切向加速度改變做圓周運動的物體的速度大小。an=an=rω2an=（）2ran=（2πf）2r3．向心加速度意義：描述速度方向變化的快慢的物理量。梳理自己本節(jié)所學知識進行交流根據(jù)學生表述，查漏補缺，并有針對性地進行講解補充。板書一、勻速圓周運動的向心加速度及其方向1．方向：總指向圓心，方向時刻改變，方向總是與速度方向垂直。2．向心加速度：任何做勻速圓周運動的物體的加速度都指向圓心，這個加速度叫做向心加速度。3．物理意義：向心加速度是描述速度方向改變快慢的物理量。二、向心加速度的大小an=an=rω2an=（）2ran=（2πf）2r《6.3向心加速度》導學案【學習目標】1．理解向心加速度的概念。2．知道向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系式。3．能夠運用向心加速度公式求解有關(guān)問題?！緦W習重難點】1．理解勻速圓周運動中加速度的產(chǎn)生原因，掌握向心加速度的確定方法和計算公式。2．向心加速度方向的確定過程和向心加速度公式的推導與應用。【新知探究】要點一對向心加速度的理解1．加速度定義公式：a＝eq\f(Δv,Δt)，a的方向與Δv的方向一致。2．速度的變化量Δv＝是矢量式，其運算規(guī)律符合平行四邊形定則。3．方向：總是沿著圓周運動的半徑指向圓心，即方向始終與運動方向垂直。（1）勻速圓周運動雖然線速度的大小不變，但速度方向時刻改變，Δv就是由于速度方向的變化產(chǎn)生的。0時，Δv指向圓心，所以加速度指向圓心?！?時，Δv指向圓心，所以加速度指向圓心。4．物理意義：描述線速度方向改變的快慢。5．圓周運動的性質(zhì)：不論加速度an的大小是否變化，an的方向是時刻改變的，所以圓周運動一定是變加速運動。要點二向心加速度的幾種表達式1．不同形式的各種表達式（1）對應線速度：an＝eq\f(v2,r)（2）對應角速度：an＝rω2（3）對應周期：an＝eq\f(4π2,T2)r（4）對應轉(zhuǎn)速：an＝4π2n2r（5）推導公式：an＝ωv2．理解（1）當半徑一定時，向心加速度的大小與角速度的平方成正比，也與線速度的平方成正比。隨頻率的增加或周期的減小而增大。（2）當角速度一定時，向心加速度與運動半徑成正比。（3）當線速度一定時，向心加速度與運動半徑成反比。an與r的關(guān)系圖像，如圖1所示。圖1由an—r圖像可以看出：an與r成正比還是反比，要看ω恒定還是v恒定。3．向心加速度公式也適用于非勻速圓周運動（1）向心加速度不一定是物體做圓周運動的實際加速度。①對于勻速圓周運動，其所受的合外力就是向心力，其只產(chǎn)生向心加速度，因而勻速圓周運動的向心加速度是其實際加速度。②圖2而對于非勻速圓周運動，例如豎直平面內(nèi)的圓周運動，如圖2所示，小球的合力不指向圓心，因而其實際加速度也不指向圓心，此時的向心加速度只是它的一個分加速度，還有切向加速度。向心加速度表達速度方向改變的快慢，切向加速度表達速度大小改變的快慢。（2）an＝eq\f(v2,r)＝rω2＝ωv，適用于勻速圓周運動和變速圓周運動，要注意的是變速圓周運動的線速度和角速度都是變化的，利用向心加速度公式只能求某時刻的向心加速度。要求某一時刻的向心加速度，必須用該時刻的線速度或角速度代入進行計算?！緦W習小結(jié)】1．做勻速圓周運動的物體，其向心加速度的方向沿半徑指向圓心，方向時刻變化，勻速圓周運動為變加速曲線運動。2．向心加速度只改變做圓周運動的物體的速度方向，而切向加速度改變做圓周運動的物體的速度大小。3．向心加速度意義：描述速度方向變化的快慢的物理量。答疑解惑如何理解向心加速度的含義？分析：速度矢量的方向應當用它與空間某一確定方向（如坐標軸）之間的夾角來描述。做勻速圓周運動的物體的速度方向（圓周的切線方向）時刻在變化，在Δt時間內(nèi)速度方向變化的角度Δφ等于半徑在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度，如做勻速圓周運動的物體在一個周期T內(nèi)半徑轉(zhuǎn)過2π弧度，速度方向變化的角度也是2π弧度。因此，確切描述速度方向變化快慢的，應該是角速度。即ω＝eq\f(Δφ,Δt)＝eq\f(2π,T)上式表示了單位時間內(nèi)速度方向變化的角度，即速度方向變化的快慢。角速度相等，速度方向變化的快慢相同。由向心加速度公式an＝ω2r＝eq\f(v2,r)＝vω可知，向心加速度的大小除與角速度有關(guān)外，還與半徑或線速度的大小有關(guān)，從a＝vω看，向心加速度等于線速度與角速度的乘積。圖3例如：在繞固定軸轉(zhuǎn)動的圓盤上，半徑不同的A、B、C三點，它們有相同的角速度ω，但線速度不同，，，，如圖3所示。因此它們的速度方向變化快慢是相同的，但向心加速度的大小卻不相等，。又如：A、B兩個物體分別沿半徑為和做圓周運動，＝eq\f(1,2)，它們的角速度不同，設(shè)，因此它們的線速度的關(guān)系為，顯然，這兩個物體有相同的向心加速度，即。但速度方向變化的快慢卻不同。綜上所述：向心加速度是由于速度方向變化而引起的速度矢量的變化率。速度方向變化是向心加速度存在的前提條件，但向心加速度的大小并不簡單地表示速度方向變化的快慢，確切地說：當半徑一定時，向心加速度的大小反映了速度方向變化的快慢，當線速度一定時，向心加速度的大小正比于速度方向變化的快慢。典例剖析一、對向心加速度的理解例1關(guān)于向心加速度，下列說法正確的是（）A．向心加速度是描述線速度變化的物理量B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小C．向心加速度大小恒定，方向時刻改變D．向心加速度的大小也可用a＝eq\f(vt－v0,t)來計算解析加速度是描述速度變化快慢的物理量，向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量，因此A錯，B對。只有勻速圓周運動的向心加速度大小恒定，C錯。公式a＝eq\f(vt－v0,t)適用于勻變速運動，圓周運動是變加速運動，D錯。答案B方法總結(jié)深刻理解向心加速度的物理意義是描述速度方向改變快慢的，方向始終指向圓心，所以它是變量。二、對向心加速度的表達式的理解例2如圖4所示圖4為質(zhì)點P、Q做勻速圓周運動時向心加速度隨半徑變化的圖線。表示質(zhì)點P的圖線是雙曲線，表示質(zhì)點Q的圖線是過原點的一條直線。由圖線可知（）A．質(zhì)點P的線速度大小不變B．質(zhì)點P的角速度大小不變C．質(zhì)點Q的角速度隨半徑變化D．質(zhì)點Q的線速度大小不變解析由an＝eq\f(v2,r)知：v一定時，an∝eq\f(1,r)，即an與r成反比，由an＝rω2知：ω一定時，an∝r。從圖像可知，質(zhì)點P的圖線是雙曲線，即a與r成反比，可得質(zhì)點P的線速度大小是不變的。同理可知：質(zhì)點Q的角速度是不變的。答案A方法總結(jié)由an＝eq\f(v2,r)＝ω2r分析，an究竟與半徑成正比還是成反比，要看清是v一定還是ω一定。三、傳動裝置的向心加速度的計算例3如圖5所示，O、O1為兩個皮帶輪，O輪的半徑為r，O1輪的半徑為R，且R>r，M點為O輪邊緣上的一點，N點為O1輪上的任意一點，當皮帶輪轉(zhuǎn)動時，（設(shè)轉(zhuǎn)動過程中不打滑）則（）圖5A．M點的向心加速度一定大于N點的向心加速度B．M點的向心加速度一定等于N點的向心加速度C．M點的向心加速度可能小于N點的向心加速度D．M點的向心加速度可能等于N點的向心加速度解析因為兩輪的轉(zhuǎn)動是通過皮帶傳動的，又因皮帶在傳動過程中不打滑，故兩輪邊緣各點的線速度大小一定相等，在O1輪邊緣上任取一點Q，因為R>r，所以由an＝eq\f(v2,r)可知，aQ<aM，再比較Q、N兩點的向心加速度大小，因為Q、N是在同一輪上的兩點，所以角速度ω相等，又因為RQ>RN，則由an＝ω2r可知，aQ>aN，綜上可見，aM>aN。選項A正確。答案A方法總結(jié)分析傳動問題關(guān)鍵有兩點：其一是同一輪上的各點角速度相同；其二是皮帶不打滑時，與皮帶接觸的各點線速度相同。再正確的選擇an＝ω2r或an＝v2/r，進行求解。效果自測1．關(guān)于質(zhì)點做勻速圓周運動，下列說法正確的是（）A．由an＝eq\f(v2,r)知an與r成反比B．由an＝ω2r知an與r成正比C．由ω＝eq\f(v,r)知ω與r成反比D．由ω＝2πn知ω與轉(zhuǎn)速n成正比答案D解析由關(guān)系式y(tǒng)＝kx知，y與x成正比的前提條件是k為定值。只有當v一定時，才有an與r成反比；只有當ω一定時，才有an與r成正比。2．在勻速圓周運動中，下列物理量中不變的是（）A．角速度B．線速度C．向心加速度D．轉(zhuǎn)速答案AD解析線速度和向心加速度都是矢量，方向時刻改變，是變量，故只有AD正確。3．關(guān)于北京和廣州隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度，下列說法中正確的是（）A．它們的方向都是沿半徑指向地心B．它們的方向都在平行于赤道的平面內(nèi)指向地軸C．北京的向心加速度比廣州的向心加速度大D．北京的向心加速度比廣州的向心加速度小答案BD解析如圖所示，地球表面各點的向心加速度方向都在平行于赤道的平面內(nèi)指向地軸，選項B正確，A錯誤；設(shè)地球半徑為R0，在地面上緯度為φ的P點，做圓周運動的軌道半徑r＝R0cosφ，其向心加速度為an＝ω2r＝ω2R0cosφ。由于北京的地理緯度比廣州的大，cosφ小，兩地隨地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，因此北京隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度比廣州的小，選項D正確，選項C錯誤。4．一物體以4m/s的線速度做勻速圓周運動，轉(zhuǎn)動周期為2s，則物體在運動過程中的任一時刻，速度變化率的大小為（）A．2m/s2 B．4m/s2 C．0 答案D5．甲乙兩球均在水平面上做勻速圓周運動，甲球的軌道半徑是乙球軌道半徑的2倍，甲球的轉(zhuǎn)速是30r/min，乙球的轉(zhuǎn)速是15r/min，則兩小球的向心加速度之比為（）A．1∶1 B．2∶1 C．8∶1答案C解析ω＝2πn，an＝ω2r，故eq\f(a甲,a乙)＝（eq\f(n甲,n乙)）2eq\f(r甲,r乙)＝8∶1，C項正確。6．如圖所示，壓路機前后輪半徑之比是1∶3，A、B分別是前后輪邊緣上的點，C為后輪上的一點，它到后輪軸心的距離是后輪半徑的一半。則當壓路機運動后三點A、B、C的角速度之比為________，向心加速度之比為________。答案3∶1∶16∶2∶1解析壓路機在地面上行駛，不打滑時，兩輪邊緣的線速度大小相等，這里的地面好像是連接兩輪的皮帶。因壓路機前后輪在相等時間內(nèi)都滾過相同的距離，則前、后輪邊緣上的A、B線速度大小相等，而同一輪上的B、C點具有相同的角速度。根據(jù)vA＝vB，ωB＝ωC和v＝ωr可得ωA∶ωB＝eq\f(vA,rA)∶eq\f(vB,rB)＝eq\f(1,rA)∶eq\f(1,rB)＝3∶1所以ωA∶ωB∶ωC＝3∶1∶1根據(jù)an＝ω2r，可得aA＝ωeq\o\al(2,A)rA，aB＝ωeq\o\al(2,B)rB，aC＝ωeq\o\al(2,C)rC所以aA∶aB∶aC＝（3ωC）2rA∶（ωeq\o\al(2,C)·3rA）∶（ωeq\o\al(2,C)·eq\f(3,2)rA）＝9∶3∶eq\f(3,2)＝6∶2∶1．探究歸納題型①對向心加速度的認識例1：關(guān)于勻速圓周運動，下列說法正確的是（）A．由an＝eq\f(v2,r)知，勻速圓周運動的向心加速度恒定B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小C．勻速圓周運動不屬于勻速運動D．向心加速度越大，物體速率變化越快答案BC解析向心加速度是矢量，且方向始終指向圓心，因此為變量，所以A錯；由向心加速度的意義可知B對，D錯；勻速運動是勻速直線運動的簡稱，勻速圓周運動其實是勻速率圓周運動，屬于曲線運動，很顯然C正確。拓展探究下列關(guān)于勻速圓周運動中向心加速度的說法正確的是（）A．向心加速度越大，物體速率變化越快B．向心加速度越大，物體速度變化越大C．向心加速度越大，物體速度方向變化越快D．在勻速圓周運動中向心加速度是恒量答案C歸納總結(jié)深刻理解向心加速度的物理意義及矢量性，是做對的前提。題型②向心加速度的表達式的應用例2：如圖1所示，圖1一球體繞軸O1O2以角速度ω旋轉(zhuǎn)，A、B為球體上兩點，下列幾種說法中正確的是（）A．A、B兩點具有相同的角速度B．A、B兩點具有相同的線速度C．A、B兩點的向心加速度方向都指向球心D．A、B兩點的向心加速度數(shù)值相同答案A解析A、B為球體上兩點，因此，A、B兩點的角速度與球體繞軸O1O2旋轉(zhuǎn)的角速度相同，A對；如上圖所示，A以P為圓心做圓周運動，B以Q為圓心做圓周運動，因此，A、B兩點的向心加速度方向分別指向P、Q，C錯；設(shè)球的半徑為R，則A運動的軌道半徑rA＝Rsin60°，B運動的軌道半徑rB＝Rsin30°，eq\f(vA,vB)＝eq\f(ωrA,ωrB)＝eq\f(sin60°,sin30°)＝eq\r(3)，B錯；eq\f(aA,aB)＝eq\f(ω2rA,ω2rB)＝eq\r(3)，D錯。拓展探究關(guān)于勻速圓周運動的向心加速度，下列說法中正確的是（）A．由于an＝eq\f(v2,r)，所以線速度大的物體向心加速度大B．由于an＝eq\f(v2,r)，所以旋轉(zhuǎn)半徑大的物體向心加速度小C．由于an＝ω2r，所以角速度大的物體向心加速度大D．以上結(jié)論都不正確答案D歸納總結(jié)分析此類問題，要理解線速度、角速度、向心加速度的概念和定義式及v、ω、an、r之間的關(guān)系，并能正確選擇關(guān)系式。題型③傳動裝置的向心加速度的計算例3：如圖2所示，圖2O1為皮帶傳動的主動輪的軸心，輪半徑為r1，O2為從動輪的軸心，輪半徑為r2，r3為固定在從動輪上的小輪半徑。已知r2＝2r1，r3＝1.5r1。A、B、C分別是三個輪邊緣上的點，則質(zhì)點A、B、C的向心加速度之比是（假設(shè)皮帶不打滑）（）A．1∶2∶3 B．2∶4∶3C．8∶4∶3 D．3∶6∶2答案C解析因為皮帶不打滑，A點與B點的線速度大小相同，都等于皮帶運動的速率。根據(jù)向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。由于B、C是固定在同一個輪上的兩點，所以它們的角速度相同。根據(jù)向心加速度公式an＝rω2，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故選C。歸納總結(jié)討論圓周運動的向心加速度與線速度、角速度、半徑的關(guān)系，可以分為兩類問題：（1）皮帶傳動問題，兩輪邊緣線速度相等，常選擇公式an＝eq\f(v2,r)。（2）同軸轉(zhuǎn)動問題，各點角速度相等，常選擇公式an＝ω2r?！?.3向心加速度》分層作業(yè)(時間：40分鐘分值：100分)[合格考達標練]一、選擇題(本題共6小題，每小題6分，共36分)1．關(guān)于向心加速度，下列說法正確的是()A．向心加速度是描述線速度大小變化快慢的物理量B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小C．向心加速度的大小恒定，方向時刻改變D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝eq\f(v－v0,t)來計算B[向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小，它是描述線速度方向變化快慢的物理量，選項A錯誤，B正確；只有勻速圓周運動的向心加速度大小才恒定，選項C錯誤；公式a＝eq\f(v－v0,t)適用于平均加速度的計算，向心加速度是瞬時加速度，D錯誤．]2．做勻速圓周運動的兩物體甲和乙，它們的向心加速度分別為a1和a2，且a1>a2，下列判斷正確的是()A．甲的線速度大于乙的線速度B．甲的角速度比乙的角速度小C．甲的軌道半徑比乙的軌道半徑小D．甲的速度方向比乙的速度方向變化快D[由于不知甲和乙做勻速圓周運動的半徑大小關(guān)系，故不能確定它們的線速度、角速度的大小關(guān)系，A、B、C錯；向心加速度是表示線速度方向變化快慢的物理量，a1>a2，表明甲的速度方向比乙的速度方向變化快，D對．]3．A、B兩小球都在水平面上做勻速圓周運動，A球的軌道半徑是B球軌道半徑的2倍，A的轉(zhuǎn)速為30r/min，B的轉(zhuǎn)速為15r/min.則兩球的向心加速度之比為()A．1∶1 B．2∶1C．4∶1 D．8∶1D[由題意知A、B兩小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以兩小球的向心加速度之比aA∶aB＝ωeq\o\al(2,A)RA∶ωeq\o\al(2,B)RB＝8∶1，D正確．]4．(多選)一個小球以大小為an＝4m/s2的向心加速度做勻速圓周運動，半徑r＝1m，則下列說法正確的是()A．小球運動的角速度為2rad/sB．小球做圓周運動的周期為πsC．小球在t＝eq\f(π,4)s內(nèi)通過的位移大小為eq\f(π,20)mD．小球在πs內(nèi)通過的路程為零AB[由a＝ω2r得角速度ω＝eq\r(\f(a,r))＝2rad/s，A對；周期T＝eq\f(2π,ω)＝πs，B對；小球在t＝eq\f(π,4)s內(nèi)通過eq\f(1,4)圓周，位移大小為eq\r(2)r＝eq\r(2)m，C錯；小球在πs內(nèi)通過的路程為一個圓周的長度2πr＝2πm，D錯．]5．如圖所示，半徑為R的圓環(huán)豎直放置，一輕彈簧一端固定在環(huán)的最高點A，一端系一帶有小孔穿在環(huán)上的小球，彈簧原長為eq\f(2,3)R.將小球從靜止釋放，釋放時彈簧恰無形變，小球運動到環(huán)的最低點時速率為v，這時小球向心加速度的大小為()A.eq\f(v2,R) B.eq\f(v2,2R)C.eq\f(3v2,2R) D.eq\f(3v2,4R)A[小球沿圓環(huán)運動，其運動軌跡就是圓環(huán)所在的圓，軌跡的圓心就是圓環(huán)的圓心，運動軌跡的半徑就是圓環(huán)的半徑，小球運動到環(huán)的最低點時，其向心加速度的大小為eq\f(v2,R)，加速度方向豎直向上．選項A正確．]6．如圖所示，兩輪壓緊，通過摩擦傳動(不打滑)，已知大輪半徑是小輪半徑的2倍，E為大輪半徑的中點，C、D分別是大輪和小輪邊緣上的一點，則E、C、D三點向心加速度大小關(guān)系正確的是()A．a(chǎn)nC＝anD＝2anE B．a(chǎn)nC＝2anD＝2anEC．a(chǎn)nC＝eq\f(anD,2)＝2anE D．a(chǎn)nC＝eq\f(anD,2)＝anEC[同軸轉(zhuǎn)動，C、E兩點的角速度相等，由an＝ω2r，有eq\f(anC,anE)＝2，即anC＝2anE；兩輪邊緣點的線速度大小相等，由an＝eq\f(v2,r)，有eq\f(anC,anD)＝eq\f(1,2)，即anC＝eq\f(1,2)anD，故選C.]二、非選擇題(14分)7．在男女雙人花樣滑冰運動中，男運動員以自身為轉(zhuǎn)動軸拉著女運動員做勻速圓周運動．若運動員的轉(zhuǎn)速為30r/min，女運動員觸地冰鞋的線速度為4.8m/s，求女運動員做圓周運動的角速度、觸地冰鞋做圓周運動的半徑及向心加速度大?。甗解析]男女運動員的轉(zhuǎn)速、角速度是相同的，由ω＝2πn得ω＝2×3.14×30/60rad/s＝3.14rad/s由v＝ωr得r＝eq\f(v,ω)＝eq\f(4.8,3.14)m＝1.53m由a＝ω2r得a＝3.142×1.53m/s2＝15.1m/s2.[答案]3.14rad/s1.53m15.1m/s2[等級考提升練]一、選擇題(本題共4小題，每小題6分，共24分)1．如圖所示，半徑為R的圓盤繞過圓心的豎直軸OO′勻速轉(zhuǎn)動，在距軸為r處有一豎直桿，桿上用長為L的細線懸掛一小球．當圓盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，小球也以同樣的角速度做勻速圓周運動，這時細線與豎直方向的夾角為θ，則小球的向心加速度大小為()A．ω2R B．ω2rC．ω2Lsinθ D．ω2(r＋Lsinθ)D[小球運動的軌跡是水平面內(nèi)的圓，如題圖中虛線所示，其圓心是水平面與轉(zhuǎn)軸OO′的交點，所以圓周運動的半徑為r＋Lsinθ，由an＝rω2，可知其加速度大小為ω2(r＋Lsinθ)，選項D正確．]2.一小球質(zhì)量為m，用長為L的懸繩(不可伸長，質(zhì)量不