重慶市西南大學(xué)附中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研模擬試題含解析

重慶市西南大學(xué)附中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為()A． B． C． D．2．某學(xué)校高一、高二年級(jí)共有1800人，現(xiàn)按照分層抽樣的方法，抽取90人作為樣本進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查.若樣本中高一年級(jí)學(xué)生有42人，則該校高一年級(jí)學(xué)生共有（）A．420人 B．480人 C．840人 D．960人3．已知直線yx+2，則其傾斜角為（）A．60° B．120° C．60°或120° D．150°4．某幾何體的三視圖如圖所示(實(shí)線部分)，若圖中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則該幾何體的體積是()A． B． C． D．5．某校有高一學(xué)生450人，高二學(xué)生480人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校高一高二學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從高一學(xué)生中抽取15人，則n為（）A．15 B．16 C．30 D．316．如果，且，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．7．如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列命題中，正確的命題序號(hào)是①函數(shù)的最小正周期為②函數(shù)的振幅為③函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為④函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是⑤函數(shù)的解析式為A．③⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③8．在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，成等差數(shù)列，，則的周長(zhǎng)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知為遞增等比數(shù)列，則（）A． B．5 C．6 D．10．在的二面角內(nèi)，放置一個(gè)半徑為3的球，該球切二面角的兩個(gè)半平面于A，B兩點(diǎn)，那么這兩個(gè)切點(diǎn)在球面上的最短距離為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．關(guān)于函數(shù)有下列命題：①由可得必是的整數(shù)倍；②的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，其中正確的序號(hào)是____________.12．已知直線與相互垂直，且垂足為，則的值為_(kāi)_____.13．若,則____________.14．已知，且，則________.15．已知，則___________.16．函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列的公比為，是的前項(xiàng)和；（1）若，，求的值；（2）若，，有無(wú)最值？說(shuō)明理由；（3）設(shè)，若首項(xiàng)和都是正整數(shù)，滿足不等式，且對(duì)于任意正整數(shù)有成立，問(wèn)：這樣的數(shù)列有幾個(gè)？18．已知不共線的向量，，，.（1）求與的夾角的余弦值；（2）求.19．如圖，在邊長(zhǎng)為2菱形ABCD中，，且對(duì)角線AC與BD交點(diǎn)為O．沿BD將折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置．（1）若，求證：平面ABCD；（2）若，求三棱錐體積．20．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱(chēng)為“鱉臑”.已知三棱維P-ABC中，PA⊥底面ABC.(1)從三棱錐P-ABC中選擇合適的兩條棱填空_________⊥________，則該三棱錐為“鱉臑”;(2)如圖，已知AD⊥PB垂足為D,AE⊥PC，垂足為E,∠ABC=90°.(i)證明:平面ADE⊥平面PAC;(ii)作出平面ADE與平面ABC的交線l,并證明∠EAC是二面角E-l-C的平面角.(在圖中體現(xiàn)作圖過(guò)程不必寫(xiě)出畫(huà)法)21．在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且（1）求的大?。海?）若，求的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

首先求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)垂直求出斜率，點(diǎn)斜式寫(xiě)方程即可.【詳解】有題知：，解得：，交點(diǎn).直線的斜率為，所求直線斜率為.所求直線為：，即.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查如何求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)考查了兩條直線的位置關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.2、C【解析】

先由樣本容量和總體容量確定抽樣比，用高一年級(jí)抽取的人數(shù)除以抽樣比即可求出結(jié)果.【詳解】由題意需要從1800人中抽取90人，所以抽樣比為，又樣本中高一年級(jí)學(xué)生有42人，所以該校高一年級(jí)學(xué)生共有人.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣，先確定抽樣比，即可確定每層的個(gè)體數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.3、B【解析】

根據(jù)直線方程求出斜率，根據(jù)斜率和傾斜角之間的關(guān)系即可求出傾斜角．【詳解】由已知得直線的斜率，則傾斜角為120°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查斜率和傾斜角的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．4、A【解析】

由三視圖得出原幾何體是由半個(gè)圓錐與半個(gè)圓柱組成的組合體，并且由三視圖得出圓柱和圓錐的底面半徑，圓錐的高，圓柱的高，再由圓柱和圓錐的體積公式得解.【詳解】由三視圖可知，幾何體是由半個(gè)圓錐與半個(gè)圓柱組成的組合體，其中圓柱和圓錐的底面半徑，圓錐的高，圓柱的高所以圓柱的體積，圓錐的體積，所以組合體的體積．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體的三視圖和空間幾何體圓柱和圓錐的體積，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】根據(jù)分層抽樣原理，列方程如下，n450+480解得n＝1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．6、D【解析】

由，且，可得．再利用不等式的基本性質(zhì)即可得出，．【詳解】，且，．，，因此．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

根據(jù)圖象求出函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)逐一判定．【詳解】由圖象可知，，最大值為，，因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)，，由，即可判定錯(cuò)，正確，由得對(duì)稱(chēng)軸方程為，，故正確；由，，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故錯(cuò)；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)圖象求正弦型函數(shù)函數(shù)的解析式，及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．8、A【解析】

依題意求出，由正弦定理可得，再根據(jù)角的范圍，可求出的范圍，即可求得的周長(zhǎng)的取值范圍．【詳解】依題可知，，由，可得，所以，即，而．∴，即．故的周長(zhǎng)的取值范圍為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的值域求法的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．9、D【解析】

設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得，又由，求得，進(jìn)而可求解的值，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，設(shè)其公比為，因?yàn)?，則有，又由，且，解得，所以，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)題意，作出截面圖，計(jì)算弧長(zhǎng)即可.【詳解】根據(jù)題意，作出該球過(guò)球心且經(jīng)過(guò)A、B的截面圖如下所示：由題可知：則，故滿足題意的最短距離為弧長(zhǎng)BA，在該弧所在的扇形中，弧長(zhǎng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，二面角的定義，屬綜合基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②【解析】

對(duì)①，可令求出的通式，再進(jìn)行判斷；對(duì)②，將代入檢驗(yàn)是否為0即可【詳解】對(duì)①，令得，可令，，①錯(cuò)；對(duì)②，當(dāng)時(shí)，，②對(duì)故正確序號(hào)為：②故答案為②【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題12、【解析】

先由兩直線垂直，可求出的值，將垂足點(diǎn)代入直線的方程可求出的點(diǎn)，再將垂足點(diǎn)代入直線的方程可求出的值，由此可計(jì)算出的值.【詳解】，，解得，直線的方程為，即，由于點(diǎn)在直線上，，解得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，解得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了由兩直線垂直求參數(shù)，以及由兩直線的公共點(diǎn)求參數(shù)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】故答案為.14、或【解析】

利用正切函數(shù)的單調(diào)性及周期性，可知在區(qū)間與區(qū)間內(nèi)各有一值，從而求出?！驹斀狻恳?yàn)楹瘮?shù)的周期為，而且在內(nèi)單調(diào)增，所以有兩個(gè)解，一個(gè)在，一個(gè)在，由反正切函數(shù)的定義有，或?！军c(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的性質(zhì)及反正切函數(shù)的定義的應(yīng)用。15、；【解析】

把已知式平方可求得，從而得，再由平方關(guān)系可求得．【詳解】∵，∴，即，∴，即,∴.故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，考查正弦的二倍角公式，在用平方關(guān)系求值時(shí)要注意結(jié)果可能有正負(fù)，因此要判斷是否只取一個(gè)值．16、【解析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)表示開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸方程為的拋物線，當(dāng)函數(shù)在上是減函數(shù)時(shí)，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出相應(yīng)的不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2），最小值，最大值；，最小值，無(wú)最大值；（3）個(gè)【解析】

（1）由，分類(lèi)討論，分別求得，結(jié)合極限的運(yùn)算，即可求解；（2）由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，求得，再分和兩種情況討論，即可求解，得到結(jié)論；（3）由不等式，求得，在由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得到，根據(jù)不等式成立，可得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由題意，等比數(shù)列，且，①當(dāng)時(shí)，可得，，所以，②當(dāng)時(shí)，可得，所以，綜上所述，當(dāng)，時(shí)，.（2）由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得，因?yàn)榍遥?，①?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)有最小值，無(wú)最大值；②當(dāng)時(shí)，中，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，且；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，且；分析可得：有最大值，最小值為；綜上述，①當(dāng)時(shí)，的最小值為，最大值為；②當(dāng)時(shí)，的最小值為，無(wú)最大值；（3）由不等式，可得，又由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得，因?yàn)槭醉?xiàng)和都是正整數(shù)，所以，又由對(duì)于任意正整數(shù)有成立，可得，聯(lián)立可得，設(shè)，由為正整數(shù)，可得單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以，且所以，當(dāng)時(shí)，，即，解得，此時(shí)有個(gè)，當(dāng)時(shí)，，即，解得，此時(shí)有個(gè)，所以共有個(gè).【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，數(shù)列的極限的計(jì)算，以及數(shù)列的單調(diào)性的綜合應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，極限的運(yùn)算法則，以及合理分類(lèi)討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類(lèi)討論思想，以及分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于難題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）先計(jì)算出，再代入公式，求出余弦值；（2）直接利用公式計(jì)算求值.【詳解】（1）設(shè)的夾角為，∵，∴，又，可得，∴.（2）.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)量積求向量的夾角、模的計(jì)算，考查基本運(yùn)算求解能力.19、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

(1)證明與即可.(2)法一：證明平面,再過(guò)點(diǎn)做垂足為,證明為三棱錐的高再求解即可.法二：通過(guò)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.法三：通過(guò)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】證明：（1）∵在菱形ABCD中,,,AC與BD交于點(diǎn)O．以BD為折痕,將折起,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置,∴,又,,∴,∴,∵,∴平面ABCD（2）（法一）：∵,,取的中點(diǎn),則且,因?yàn)榍?,所以平面,過(guò)點(diǎn)做垂足為,則平面BCD,又∴,解得,∴三棱錐體積．（法二）：因?yàn)?,取AC中點(diǎn)E,,,,又（法三）因?yàn)榍?,所以平面,,所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的證明與錐體體積的求解方法等.需要根據(jù)題意找到合適的底面與高,或者利用割補(bǔ)法求解體積.屬于中檔題.20、（1）BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.（2）(i)見(jiàn)證明；(ii)見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)已知填BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC均可；（2）(i)先證明PC⊥平面ADE，再證明平面ADE⊥平面PAC;(ii)在平面PBC中，記DE∩BC，=F，連結(jié)AF，則AF為所求的l.再證明∠EAC是二面角E-l-C的平面角.【詳解】（1）BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.（2）（i）在三棱錐P-ABC中，BC⊥AB，BC⊥PA，BC∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，又AD?平面PAB，所以BC⊥AD，又AD⊥PB,PB∩BC=B，所以AD⊥平面PBC.又PC?平面PBC，所以PC⊥AD，因?yàn)锳E⊥PC且AE∩AD=A，所以PC⊥平面ADE，因?yàn)镻C?平面PAC，所以平面ADE⊥平面PAC.（ii）在平面PBC中，記DE∩BC=F，連結(jié)AF，則AF為所求的l.因?yàn)镻C⊥平面AED，l?平面AED，所以PC⊥l，因?yàn)?/p>