人教版(新教材)高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)(必修1)：第二課時(shí) 函數(shù)的最大(小)值學(xué)案

第二課時(shí)函數(shù)的最大（小）值

課標(biāo)要求

素養(yǎng)要求

借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)通過(guò)圖象經(jīng)歷函數(shù)最值的抽象過(guò)程，發(fā)

的最大值、最小值，理解它們的作用和展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)

意義.算素養(yǎng).

課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究■■■■■■唧

教材知識(shí)探究

A情境引入

科考隊(duì)對(duì)“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨(dú)特的沙漠氣候進(jìn)行科學(xué)

考查，如圖是某天氣溫隨時(shí)間的變化曲線.請(qǐng)根據(jù)曲線圖說(shuō)說(shuō)氣溫的變化情況？

問(wèn)題1該天的最高氣溫和最低氣溫分別是多少？

問(wèn)題2設(shè)該天某時(shí)刻的氣溫為火沙，則1x）在哪個(gè)范圍內(nèi)變化？

問(wèn)題3從函數(shù)圖象上看，氣溫的最大值（最小值）在什么時(shí)刻取得?

提示1.該天的最高氣溫為25℃,最低氣溫為一5℃.

2.該天某時(shí)刻的氣溫變化范圍是『一5℃,25℃』.

3.氣溫的最大值在/=17處取得，氣溫的最小值在/=6時(shí)取得.

A新知梳理

函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值是一個(gè)整體概念

最大值最小值

條件一般地,設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)/滿足：x^l,

都有

玲)沙

xo^I,使得"o)=M

結(jié)論稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值稱M是函數(shù)y=/(x)的最小值

幾何意義?￥)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)版)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)

教材拓展補(bǔ)遺

『微判斷』

1.若對(duì)任意X?/,都有人x)WM,則M是函數(shù)Ax)的最大值.(X)

提示M是存在的，并且xo^I,使得八比)=寐

2.一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)最小值.(X)

提示最大(小)值至多有1個(gè).

3.如果函數(shù)有最值，則最值一定是其值域中的一個(gè)元素.(J)

4.如果函數(shù)的值域是確定的，則它一定有最值.(X)

提示值域確定，但不一定有最值.

5.因?yàn)椴坏仁絝>—1總成立，所以一1是Hx)=f的最小值.(X)

提示人x)=f的最小值為0.

『微訓(xùn)練』

1.函數(shù)人x)=|x|,XGr-1,3J,則五x)的最大值為.

『解析』根據(jù)圖象可知，1AX)max=3.

『答案』3

2.函數(shù)在『2,3J上的最小值為.

『解析』'?？=一［在『2,3J上遞減，???ymin=/(3)=5.

X1乙

『答案』I

3.函數(shù)y=—3/+2在區(qū)間『一1,2』上的最大值為.

『解析』函數(shù)y=-3f+2的對(duì)稱軸為x=0,又0?『一1,2』，

.,.?max=/0)=2.

『答案』2

4.已知函數(shù)人x)=：在區(qū)間『1,2J上的最大值為A,最小值為B,貝UA-B=

Ji

『解析』因?yàn)樵凇?,2』上為減函數(shù)，

：.A=J(1)=1,5=/(2)=3，則A—5=；.

『答案』3

『微思考』

若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間『。，?！簧蠟樵龊瘮?shù)，則火》)的最大值與最小值分別是多少？

提示最大值為犬。)，最小值為/(a).

課堂互動(dòng)郵題型剖析刪

題型一利用圖象求函數(shù)的最值關(guān)鍵是作出函數(shù)的圖象

%2-x(0WxW2),

『例1』已知函數(shù)./(%)=<2求函數(shù)八元)的最大值、最小值.

1(x>2)9

x-l

解作出40的圖象如圖：

由圖象可知，當(dāng)x=2時(shí)，兀0取最大值為2；當(dāng)時(shí)，兀0取最小值為一：.

所以/(x)的最大值為2,最小值為一；.

規(guī)律方法用圖象法求最值的三個(gè)步驟

(ft)~|作出函數(shù)圖象

@~|在圖象上找到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)|

0,_______________________,

(X)——|確定函數(shù)的最大(小)值|

x2,—IWxWl,

『訓(xùn)練1』⑴已知函數(shù)於)=1則加)的最大值、最小值分別為

一，x>l.

lx

(2)若xGR,改)是y=2~x2,y=x這兩個(gè)函數(shù)中的較小者，則火助的最大值為

()

A.2B.1

C.-lD.無(wú)最大值

『解析』(1)作出函數(shù)火x)的圖象(如圖(1)).由圖象可知，當(dāng)％=±1時(shí)，五x)取最

大值五±1)=1.當(dāng)x=0時(shí)，五x)取最小值汽0)=0,

故人X)的最大值為1,最小值為0.

(2)在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象(如圖(2)中實(shí)線部分)，則兀0max=/U)=l,

故選B.

『答案』(1)1

題型二利用單調(diào)性求函數(shù)的最值關(guān)鍵是正確判斷函數(shù)的單調(diào)性

『例2』已知函數(shù)八x)=尤+；.

(1)求證人功在『1,+8)上是增函數(shù)；

(2)求人x)在『1,4J上的最大值及最小值.

⑴證明設(shè)lWxi<%2,

則汽修)一五X2)=(XI+5)-(X2+()

（X1—X2）（X1X2—1）

X1X2

,.TW%1<%2,/.Xl-X2<0,X1X2>1?

."?X1X2—1>0,

.（X1—X2）（X1X2—1）

■<0,即火Xl)勺(X2).

X1X2

在『1,+8)上是增函數(shù).

(2)解由(1)可知兀0在『1,4』上單調(diào)遞增,

??.當(dāng)尤=1時(shí)，火力取得最小值，最小值為火1）=2,

17

當(dāng)x=4時(shí)，火》）取得最大值，最大值為五4）=彳.

綜上所述，人x）在『1,4J上的最大值是子，最小值是2.

規(guī)律方法1.利用單調(diào)性求最值：

首先判斷函數(shù)的單調(diào)性；然后利用單調(diào)性寫(xiě)出最值.

2.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系：

⑴若函數(shù)在閉區(qū)間『a,4上是減函數(shù)，則於）在『06』上的最大值為尬）,

最小值為73;

（2）若函數(shù)在閉區(qū)間『。，6』上是增函數(shù)，則於）在『04上的最大值為型）,

最小值為人初

/+2尤+a

『訓(xùn)練2』已知函數(shù)八%）=--------,『1,+8）.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)兀X）的最小值；

⑵若對(duì)任意的x?『1,+8）,1x）>0恒成立，試求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解（1）當(dāng)〃=,時(shí)，火工）=-------=%+套+2.

任取沏，冗2金『1,+°°）,且x1<%2,

所以人為）-1Ax2）=（XI—X2）（1一5總），

因?yàn)榧?lt;九2且即>1,%2>1,所以沏一X2<0,X1X2>1?

所以1—2xiX2>°'所以（X1—X2）（1—云知<0，

所以/（X1）勺（X2）,即函數(shù)人力在『1,十8）上是增函數(shù).

17

所以函數(shù)於）在『1,+8）上的最小值為式1）=1+]+2=].

+2x+a

（2）因?yàn)槿四?—;一>0在『1,+8）上恒成立，

所以f+Zx+aX）在『1,+8）上恒成立.

iEy=x2'~\-2x~\-a,『1,+°°）,

所以y=（x+l）2+a—1在『1,+8）上單調(diào)遞增，故當(dāng)》=1時(shí)，y取得最小值,

最小值為3+a.

所以當(dāng)3+a>0,即a>—3時(shí),人工）>0怛成立，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為（一3,+-）.

題型三二次函數(shù)的最值關(guān)鍵是開(kāi)口方向及對(duì)稱軸與定義域的關(guān)系

『例3』已知函數(shù)火x）=f—ax+1,

⑴求而c）在『0,1』上的最大值；

（2）當(dāng)。=1時(shí)，求人x）在閉區(qū)間『/,/+1』QGR）上的最小值.

解⑴因?yàn)楹瘮?shù)於）=f—依+1的圖象開(kāi)口向上，其對(duì)稱軸為尸宗

所以區(qū)間『0,1』的哪一個(gè)端點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，則在哪個(gè)端點(diǎn)取到最大值，

當(dāng)六;，即aWl時(shí)，於）的最大值為五1）=2—a；

當(dāng)?>[,即a>l時(shí),於）的最大值為五0）=1.

（2）當(dāng)a=l時(shí)，y（x）=x2—x+1,其圖象的對(duì)稱軸為x=；.

①當(dāng)時(shí)，於）在『/,/+1J上是增函數(shù)，.\Ax）min=/⑺=戶一f+1；

②當(dāng)f+1/，即/W—T時(shí)，於）在『/,/+1』上是減函數(shù)，

.,.?min=^+l）=r2+r+l；

③當(dāng)/<|</+1,即一時(shí)，函數(shù)於（在t,1上單調(diào)遞減，在1,t+\上單調(diào)

遞增，

所以五X）min=E）=*

規(guī)律方法1.含參數(shù)的二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法

解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題，首先將二次函數(shù)化為y=a（x+h）2+k的形

式，再依a的符號(hào)確定拋物線的開(kāi)口方向，依對(duì)稱軸x=—/7得出頂點(diǎn)的位置，

再根據(jù)x的定義區(qū)間結(jié)合大致圖象確定最大或最小值.

2.對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題，一般有如下幾種類型：

（1）區(qū)間固定，對(duì)稱軸變動(dòng)（含參數(shù)），求最值；

（2）對(duì)稱軸固定，區(qū)間變動(dòng)（含參數(shù)），求最值；

(3)區(qū)間固定，最值也固定，對(duì)稱軸變動(dòng)，求參數(shù).

通常都是根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)和對(duì)稱軸的相對(duì)位置進(jìn)行分類討論.

『訓(xùn)練3』已知二次函數(shù)五x)=f—2x+3.

(1)當(dāng)xGF-2,0J時(shí)，求加0的最值；

(2)當(dāng)『一2,3J時(shí)，求人x)的最值；

(3)當(dāng)無(wú)eU,r+lj時(shí)，求的最小值g⑺.

解?=X2-2X+3=(X-1)2+2,其對(duì)稱軸為X=1,開(kāi)口向上.

(1)當(dāng)x?『一2,0』時(shí)，五x)在『一2,0』上是減函數(shù)，

故當(dāng)x=—2時(shí)，汽x)有最大值五-2)=11；

當(dāng)x=0時(shí)，/x)有最小值10)=3.

(2)當(dāng)x?『一2,3』時(shí)，<%)在『一2,3』上先遞減后遞增，

故當(dāng)x=l時(shí)，兀0有最小值<1)=2.

又2—1|>|3—1|,

.\Ax)的最大值為五-2)=11.

(3)①當(dāng)t>l時(shí)，。)在『/,r+U上是增函數(shù)，

所以當(dāng)X=/時(shí)，?￥)取得最小值，

此時(shí)g(/)=/(/)=F—2/+3.

②當(dāng)/W1W/+1,即OWtWl時(shí)，

“X)在『/,/+1J上先遞減后遞增，

故當(dāng)x=l時(shí)，犬x)取得最小值，此時(shí)g(f)=/(l)=2.

③當(dāng)即/<0時(shí)，於)在『/,/+1J上是減函數(shù)，

所以當(dāng)無(wú)=t+l時(shí),汽x)取得最小值，

此時(shí)g(t)=j[t+l)=t2+2,

Ci2—2/+3,t>\,

綜上得g?)={2,0W/W1,

l?+2,t<0.

題型四函數(shù)最值——實(shí)際應(yīng)用

『例4』某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需

400x—2(0WJCW400),

增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)=2其

.80000(x>400).

中X是儀器的月產(chǎn)量.

（1）將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)/U）;

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？（總收益=總成

本+利潤(rùn)）

解（1）設(shè)月產(chǎn)量為X臺(tái)，則總成本為20量0+100%,

—2+300x—20000（0W尤W400）,

從而火x）=j2

.60000-100%（x>400）.

⑵當(dāng)0WxW400時(shí)，?=-|（X-300）2+25000；

，當(dāng)X=300時(shí)，?max=25000,

當(dāng)x>400時(shí)，/（x）=60000—100x是減函數(shù)，

?<60000-100X400<25000.

當(dāng)尤=300時(shí)，?max=25000.

即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為25000元.

規(guī)律方法對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先要審清題意，確定自變量和因變量的條件

關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而分析函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問(wèn)題.

同時(shí)要注意自變量的取值范圍.

『訓(xùn)練4』近年來(lái)，“共享單車”的出現(xiàn)為人們“綠色出行”提供了極大的方

便，某共享單車公司計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資240萬(wàn)元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，

每座城市至少要投資80萬(wàn)元，由前期市場(chǎng)調(diào)研可知：甲城市收益尸（單位：萬(wàn)元）

與投入資金。（單位：萬(wàn)元）滿足P=4、伍一6,乙城市收益。（單位：萬(wàn)元）與投入

fl

1〃+2,80WoW120,

資金a（單位：萬(wàn)元）滿足Q=廣設(shè)甲城市的投入資金為x（單

,32,120<aW160.

位：萬(wàn)元），兩城市的總收益為?r）（單位：萬(wàn)元）.

⑴當(dāng)投資甲城市128萬(wàn)元時(shí)，求此時(shí)公司總收益；

（2）試問(wèn)如何安排甲、乙兩座城市的投資，才能使公司總收益最大？

解（1）當(dāng)x=128時(shí)，此時(shí)甲城市投資128萬(wàn)元，乙城市投資112萬(wàn)元，所以總

收益加28）=4[2X128—6+；X112+2=88（萬(wàn)元）.

（2）設(shè)甲城市投資x萬(wàn)元，則乙城市投資（240—%）萬(wàn)元,

x280,

依題意得<解得80W尤W160.

240-^^80,

當(dāng)80Wx<120時(shí)，120<240—xW160,

於)=45一6+32=4產(chǎn)+26<26+16VB.

當(dāng)120WxW160時(shí)，80^240-^120,

共X)=4\l2x-6+型240—x)+2=—^x+4,\/2%+56.

令1=疝,則P『2啊，4/』，

所以y=—；P+4//+56=—3（7—86產(chǎn)+88,

當(dāng)t=8?即x=128時(shí)，y的最大值為88.

因?yàn)?8>26+16正，所以當(dāng)甲城市投資128萬(wàn)元，乙城市投資H2萬(wàn)元時(shí)，公

司總收益最大，且最大收益為88萬(wàn)元.

核心素養(yǎng)L全面提升內(nèi)

一、素養(yǎng)落地

1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，應(yīng)提升推理、計(jì)算的能力，重點(diǎn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、

邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.函數(shù)的最大值M首先是一個(gè)函數(shù)值，它是值域的一個(gè)元素，即定義中一定存

在一個(gè)點(diǎn)xo,使火次）=屐

3.定義域內(nèi)全部元素都滿足人冷

4.最大值〃是函數(shù)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)，也就是函數(shù)的整個(gè)圖象都在直線

的下方.

5.最小值有類似定義.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.函數(shù)兀o=—2x+l（x?『一2,2J）的最小、最大值分別為（）

A.3,5B.13,5

C.1,5D.5,-3

『解析』因?yàn)榇蝬）=—2x+l在『一2,2』是減函數(shù)，所以當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)

的最小值為-3.當(dāng)％=—2時(shí)，函數(shù)的最大值為5.

『答案』B

2.函數(shù)2x,xG『0,3J的值域?yàn)?)

A.『0,3JB.『一1,0J

C.『一1>+°°)D.『一1,3J

『解析』,函數(shù)2x=(x—Ip-1,x?『0,3』，，當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)y

取得最小值為一1,當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取得最大值為3,故函數(shù)的值域?yàn)椤阂?,

3』，故選D.

『答案』D

3.若函數(shù)丁=奴+1在『1,2』上的最大值與最小值的差為2,則實(shí)數(shù)。的值是

()

A.2B.-2

C.2或一2D.0

『解析』由題意aWO,當(dāng)a>0時(shí)，有(2a+l)—(a+l)=2,解得a=2；當(dāng)a<0

時(shí)，有(a+1)—(2a+1)=2,解得a=-2.綜上知a=±2.

『答案』C

4.函數(shù)?t)=、6—x—3x在區(qū)間『2,4』上的最大值為.

『解析』??5:后三在區(qū)間『2,4』上是減函數(shù)，j=-3x在區(qū)間『2,4』

上是減函數(shù)，函數(shù)兀0="\/6—X—3x在區(qū)間『2,4』上是減函數(shù)，.\/(x)max=A2)

=、6—2—3X2-4.

『答案』-4

5.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部

分)，則其邊長(zhǎng)x為m.

『解析』設(shè)矩形花園的寬為》則壺=曰52，即尸40—X,矩形花園的面積

S=x(40—x)=—f+40x=—(x—20)2+400,其中%e(0,40),故當(dāng)x=20m

時(shí)，面積最大.

『答案』20

三、審題答題

示范(三)利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

2

『典型示例』(12分)已知函數(shù)HX)=F.