圓的位置關系課件

圓的位置關系

一、基礎知識

1.直線與圓的三種位置關系

直線與圓有三種位置關系：直線與圓相交、直線與圓相切、直線與圓相離.

當直線與圓有唯一公共點時，叫做圓與直線相切。與圓0相交的直線叫做圓的割線，與圓0相切的直

線叫做圓的切線.如果。0的半徑為r,?0到直線1的距離

相交相切相離

例1.如圖，已知RtZkABC的斜邊AB=8cm,AC=4cm.

(1)以點C為圓心作圓，當半徑為多長時，直線AB與。C相切？為什么？

(2)以點C為圓心，分別以2cm和4cm為半徑作兩個圓,A

這兩個圓與直線AB分別有怎樣的位置關系？

例2.如圖，AB為。。的直徑，C是。。上一點，D在AB的延長線上，且NDCB=?NA.

(1)CD與。O相切嗎？如果相切，請你加以證明，如果不相切，請說明理由.

(2)若CD與。O相切，且ND=30°,BD=10,求。。的半徑.

練習

一、選擇題.

1.如圖，AB與。O切于點C,OA=OB,若。O的直徑為8cm,AB=10cm,那么OA的長是()

A.屈B.屈C.V14D瓜(、

2.下列說法正確的是()(

A.與圓有公共點的直線是圓的切線.R

B.和圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線；AcB

C.垂直于圓的半徑的直線是圓的切線；

D.過圓的半徑的外端的直線是圓的切線

3.已知。O分別與AABC的BC邊，AB的延長線，AC的延長線相切，則NBOC等于()

A.-(ZB+ZC)B.90°+-ZA

22

C.90°--ZAD.1800-ZA

2

二、填空題

1.如圖，AB為。O直徑，BD切。。于B點，弦AC的延長線與BD交于D?點，?若AB=10,AC=8,

則DC長為.

2.如圖，P為OO外一點，PA、PB為。。的切線，A、B為切點，弦AB與PO交于C,半徑

為1,PO=2,則PA,PB=,PC=AC=,BC=______/AOB=.

3.設I是aABC的內心，O是△ABC的外心，/A=80°,則/BIC=?,?ZBOC=.

三、綜合提高題

1.如圖，P為。O外一點，PA切。O于點A,過點P的任一直線交(DO于B、C,?連結AB、AC,

連PO交。O于D、E.

(1)求證：ZPAB=ZC.

(2)如果PA2=PD?PE,那么當PA=2,PD=1時，求。O的半徑.

2.設a、b、c分別為AABC中/A、NB、NC的對邊，面積為S,則內切圓半徑r=—,?其

P

中P=』(a+b+c)；(2)RtAABCZC=90°,則r=L(a+b-c)

22

3.如圖1,平面直角坐標系中，。01與x軸相切于點A(-2,0),與y軸交于B、C兩點，OiB的

4

延長線交x軸于點D(—，0),連結AB.

3

(1)求證：ZABO=ZABO；

(2)設E為優(yōu)弧AC的中點，連結AC、BE交于點F,請你探求BE?BF的值.

(3)如圖2,過A、B兩點作。。2與y軸的正半軸交于點M,與BD?的延長線交于點N,當。。2

的大小變化時，給出下列兩個結論.

①BM-BN的值不變；②BM+BN的值不變，其中有且只有一個結論是正確的，請你判斷哪一個結

論正確，證明正確的結論并求出其值.

(友情提示：如圖3,如果DE〃BC,那么三=牝)

ACAB

0i

(1)⑵⑶

模塊二、切線長定理

例1.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾

角.

如圖，已知PA、PB是。0的兩條切線.

求證：PA=PB,ZOPA=ZOPB.

例2.如圖，已知。。是AABC的內切圓，切點為D、E、F,如果AE=1,CD=2,BF=3,且AABC的面積

為6.求內切圓的半徑r.

例3.如圖，。。的直徑AB=12cm,AM、BN是兩條切線，DC切。。于E,交AM于D,交BN于C,設

AD=x,BC=y.

(1)求y與x的函數(shù)關系式，并說明是什么函數(shù)？

(2)若x、y是方程2t2-30t+m=0的兩根，求x,y的值.

(3)求△COD的面積.

N

練習

一、選擇題.

1.如圖1,PA、PB分別切圓0于A、B兩點，C為劣弧AB上一點，NAPB=30°,則NACB=().

A.60°B.75°C.105°D.120°

A

(4)

2.從圓外一點向半徑為9的圓作切線，已知切線長為18,從這點到圓的最短距離為().

A.9石B.9(石-1)C.9(75-1)D.9

3.圓外一點P,PA、PB分別切。。于A、B,C為優(yōu)弧AB上一點，若NACB=a,則/APB=()

A.180°-aB.90°-aC.90°+aD.180°-2a

二、填空題

1.如圖2,PA、PB分別切圓。于A、B,并與圓0的切線，分別相交于C、D,已知PA=7cm,則4PCD

的周長等于.

2.如圖3,邊長為a的正三角形的內切圓半徑是.

3.如圖4,圓0內切RtZ\ABC,切點分別是D、E、F,則四邊形0ECF是.

三、綜合提高題

1.如圖所示,EB、EC是。0的兩條切線，B、C是切點，A、D是。0上兩點，如果NE=46°,NDCF=32°,

求NA的度數(shù).

2.如圖所示，PA、PB是。0的兩條切線，A、B為切點,

求證NAB0=，NAPB.

2

3.如圖所示，已知在△ABC中，NB=90°,0是AB上一點，以0為圓心，0B為半徑的圓與AB交于點

E,與AC切于點D.

(1)求證:DE/70C；

(2)若AD=2,DC=3,且AD2=AE?AB,求——的值.

BC

模塊三：圓與圓位置關系

1、圓與圓的位置關系

圓與圓的位置關系共有5種，是由兩圓的公共點來定義的：

兩圓沒有公共點一一外離或內含；

兩圓有唯一公共點一一外切或內切；

兩圓有兩個公共點一一相交.

2、兩圓位置關系的判定

除定義外，既可根據(jù)兩圓半徑與圓心距的關系來判定，又可根據(jù)兩圓內、外公切線的總條數(shù)來判定.

設兩圓的半徑分別為R、r(R>r),圓心距為d.

(1)d>R+rO兩圓外離O兩圓有4條公切線；

(2)d=R+rO兩圓外切O兩圓有3條公切線；

(3)R—r<d<R+ro兩圓相交o兩圓有2條公切線；

(4)d=R—ro兩圓內切O兩圓有1條公切線；

(5)—兩圓內含o兩圓沒有公切線；

3、兩圓位置關系的性質定理：

(1)圓是軸對稱圖形，兩個圓也組成一個軸對稱圖

形，通過兩圓圓心的直線(連心線)是它的對稱軸;

(2)如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上;

(3)如果兩圓相交于A、B,那么連心線垂直平分

公共弦AB；

(4)如果兩個半徑不等的圓相離，那么內公切線交

點、外公切線交點都在連心線所在的直線上，并且

該直線平分兩外公切線所夾的角和兩內公切線所

夾的角；

(5)如果兩條外公切線分別切圓Oi于A、B兩點，

切圓Ch于C、D兩點，那么兩條外公切線長相等，

且AB、CD都被OiC>2垂直平分.

4、兩圓關系常用輔助線

(1)作相交兩圓的公共弦，利用圓內接四邊形性質或公共圓周角，溝通兩圓的角的關系；

(2)兩圓相切，作過切點的公切線，利用弦切角定理溝通兩圓角的關系；

(3)作相交兩圓的連心線，利用過交點的半徑、公共弦、圓心距構造直角三角形，解決有關計算問題;

(4)兩圓相切，作連心線，利用連心線經(jīng)過切點的性質，解決有關計算問題；

(5)有關公切線問題，常平移公切線，組成以公切線、圓心距、兩圓半徑差(或和)為三邊的直角三

角形，通過解直角三角形來解決.

例1.兩個同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖1所示(點0,0,是圓心)，分隔兩個肥皂泡的肥

皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求NTPN的大小.

(1)⑵

例2.如圖1所示，。。的半徑為7cm,點A為。。外一點，0A=15cm,

求：(1)作。A與。0外切，并求。A的半徑是多少？

(2)作。A與。。相內切，并求出此時。A的半徑.

例3.如圖1所示，半徑不等的。Oi、。。2外離，線段0102分別交。Oi、。€>2于點A、B,MN為兩圓

的內公切線，分別切。€）卜于點M、N,連結MA、NB.

（1）試判斷NAMN與/BNM的數(shù)量關系？并證明你的結論.

（2）若將“MN”為兩圓的內公切線改為“MN為兩圓的外公切線”，其余條件不變，ZAMN與/BNM

是否一定滿足某種等量關系？完成下圖并寫出你的結論.

練習

一、選擇題.

1.已知兩圓的半徑分別為5cm和7cm,圓心距為8cm,那么這兩個圓的位置關系是（）

A.內切B.相交C.外切D.外離

2.半徑為2cm和1cm的。Oi和。Ch相交于A、B兩點，且OiALChA,則公共弦AB的長為（）.

A.---cmB.----cm

55

3.如圖所示，半圓0的直徑AB=4,與半圓0內切的動圓Oi與AB切于點M,設。01的半徑為y,AM=x,

則y關于x的函數(shù)關系式是（）.

1,1,

A.y=—x2+xB.y=--x2+x

44

1,

八1

C.y=--x、2-xD.y=-x2-x

44

二、填空題.

1.如圖1所示,兩圓。01與。。2相交于A、B兩點，則OiO2所在的直線是公共弦AB的

2.兩圓半徑R=5,r=3,則當兩圓的圓心距d滿足時，兩圓相交；當d滿足時，兩

圓不外離.

3.如圖2所示，?和。02內切于T,則T在直線上，理由是；

若過。2的弦AB與。02交