第三節(jié) 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

第三節(jié)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差二、相關(guān)系數(shù)1

前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對于多維隨機變量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本節(jié)要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)2

任意兩個隨機變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y),定義為⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、協(xié)方差2.簡單性質(zhì)⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)1.定義1Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}3可見，若X與Y獨立，則Cov(X,Y)=0.3.計算協(xié)方差的一個簡單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)4例1設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率分布如下：求協(xié)方差解：由上表可知的邊緣概率分布為：5所以又于是6注：①由不能推出與獨立.上題中,但是與不獨立.②若則與不獨立，即它們之間具有某種聯(lián)系.7若X1,X2,…,Xn兩兩獨立,，上式化為D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.隨機變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系8協(xié)方差不適宜用作描述隨機變量之間的相關(guān)性.二、相關(guān)系數(shù)如果隨機變量X

與Y中的任一個與其數(shù)學(xué)期望的離差很小，則無論隨機變量X與Y之間多么密切的聯(lián)系，它們的協(xié)方差總是很接近于零.2.協(xié)方差是有量綱的量.其量綱等于X及Y的量綱的乘積.9為了得到描述隨機變量之間的相關(guān)性的與量綱無關(guān)的數(shù)字特征.將標準化：定義與的協(xié)方差叫做與的相關(guān)系數(shù).則10即定義2

若稱為與的相關(guān)系數(shù),記為事實上相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)11性質(zhì)1任意兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)的絕對值不大于即證：12又因為，所以得到因為方差不可能為負數(shù)，由此得所以有類似可得13性質(zhì)2當且僅當隨機變量與之間存在線性關(guān)系時，相關(guān)系數(shù)的絕對值等于并且證：因為所以于是14從而，所以當時，當時，由性質(zhì)1的證明過程知若則即以等于的概率取唯一值——它的數(shù)學(xué)期望：15所以，當時，即其中16說明：相關(guān)系數(shù)刻畫了與之間線性相關(guān)的程度.當時，當越接近時，線性相關(guān)關(guān)系越明顯；當

時,則與之間不存在線性相關(guān)關(guān)系.表明與有近似的線性相關(guān)關(guān)系，當時，當

時,則與之間有嚴格的線性關(guān)系.當越接近時，線性相關(guān)關(guān)系越弱；17性質(zhì)3若隨機變量與獨立，注意：反之不成立.則定義3

若相關(guān)系數(shù)則稱與不相關(guān),即與無線性關(guān)系.

與不相關(guān),與相互獨立

與不相關(guān)與相互獨立，若服從二維正態(tài)分布，則與相互獨立

與不相關(guān),即18例1.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率分布如下

-1

1

-1

1

0.25

0.5

0

0.25求

解

的概率分布分別為

-11

0.250.75則

-11

0.750.2519又的概率分布為

-11

0.50.5故

從而有2021例3.設(shè)服從上的均勻分布，是常數(shù),求討論線性相關(guān)性.解

22

當時,此時與有線性關(guān)系;但與有嚴格的函數(shù)關(guān)系：所以與不獨立.與時,當或不相關(guān).此時當時,與有線性關(guān)系;此時2