4.4.1 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念-高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第第頁(yè)4.4.1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念（2種題型分類(lèi)基礎(chǔ)練+能力提升練）【夯實(shí)基礎(chǔ)】題型一：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用1.(1)下列給出的函數(shù)：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(eq\r(3)－1)x；④y＝eq\f(1,3)log3x；⑤y＝logxeq\r(3)(x>0，且x≠1)；⑥y＝logeq\f(2,π)x.其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的為()A．③④⑤ B．②④⑥C．①③⑤⑥ D．③⑥【答案】D【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)定義知，③⑥是對(duì)數(shù)函數(shù)，故選D.2.若函數(shù)y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a＝________.【答案】4【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，,a2－5a＋4＝0，))解得a＝4.3.已知對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(16,4)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝__________.【答案】－1【解析】設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為f(x)＝logax(a>0且a≠1)，由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，∴f(x)＝log2x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log2eq\f(1,2)＝－1.4．若函數(shù)f(x)＝(a2＋a－5)logax是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a＝________.【答案】2【解析】由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a>0且a≠1，所以a＝2.題型二：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域5.求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\f(1,\r(log\f(1,2)x＋1))；(2)f(x)＝eq\f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．[解](1)要使函數(shù)f(x)有意義，則logeq\f(1,2)x＋1>0，即logeq\f(1,2)x>－1，解得0<x<2，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,2)．(2)函數(shù)式若有意義，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,2－x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－1，,x<2，))解得－1<x<2，故函數(shù)的定義域?yàn)?－1,2)．(3)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x＋8>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2，,x>\f(1,2)，,x≠1.))故函數(shù)y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2，且x≠1)))).6．求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq\f(1,x－3)；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．[解](1)要使函數(shù)有意義，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,x－3≠0，))解得x>2且x≠3，所以函數(shù)定義域?yàn)?2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函數(shù)有意義，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4x>0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得－1<x<0或0<x<4，所以函數(shù)定義域?yàn)?－1,0)∪(0,4)．【能力提升】一、單選題1．函數(shù)y＝eq\f(1,log2x－2)的定義域?yàn)?)A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)【答案】C【解析】要使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,log2x－2≠0，))解得x＞2且x≠3，故選C.2．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝3x的反函數(shù)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值為()A．－log23 B．－log32C.eq\f(1,9) D.eq\r(3)【答案】B【解析】由題意可知f(x)＝log3x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log3eq\f(1,2)＝－log32，故選B.3．函數(shù)y＝log2x的定義域是[1,64)，則值域是()A．R B．[0，＋∞)C．[0,6) D．[0,64)【答案】C【解析】由函數(shù)y＝log2x的圖象可知y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，因此，當(dāng)x∈[1,64)時(shí)，y∈[0,6)．4．函數(shù)y＝eq\r(x)ln(1－x)的定義域?yàn)?)A．(0,1) B．[0,1)C．(0,1] D．[0,1]【答案】B【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,1－x>0，))得0≤x<1，故選B.二、多選題5.下列函數(shù)，表示相同函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BD【分析】?jī)蓚€(gè)函數(shù)相同要求定義域相同，對(duì)應(yīng)法則相同，依次判斷即可【詳解】對(duì)于A：，分別為指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算，不為相等函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由于故是相等函數(shù)，故B正確；對(duì)于C：定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，不是相等函?shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋耘c是同一函數(shù)，故D正確；故選：BD6.存在函數(shù)滿足：對(duì)于任意都有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).【詳解】對(duì)于A，取可得，取可得，與函數(shù)定義矛盾，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，設(shè)，則，所以可化為，B正確，對(duì)于C，設(shè)，則，所以可化為，C正確，對(duì)于D，設(shè)，則，所以可化為，D正確，故選：BCD.7.函數(shù)在上是減函數(shù)，那么（

）A．在上遞增且無(wú)最大值 B．在上遞減且無(wú)最小值C．在定義域內(nèi)是偶函數(shù) D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)E．，滿足在上是減函數(shù)【答案】ADE【分析】先求得的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷出的單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性以及的取值.【詳解】由得，函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè)則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，D正確；因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以，所以E正確；由上述分析知在上遞增且無(wú)最大值，A正確，B錯(cuò)誤；又，所以C錯(cuò)誤，故選：ADE.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、最值、奇偶性，屬于中檔題.8.對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)C．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D．沒(méi)有最小值【答案】AD【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定A,B.再去絕對(duì)值將寫(xiě)成分段函數(shù)判斷C,D即可.【詳解】對(duì)A,B,因?yàn)?故,又,故為偶函數(shù).故A正確,B錯(cuò)誤.對(duì)C.因?yàn)?當(dāng)時(shí),因?yàn)樵跒闇p函數(shù),故為減函數(shù),所以在區(qū)間為減函數(shù).故C錯(cuò)誤.對(duì)D,因?yàn)楫?dāng)時(shí),為減函數(shù).故且當(dāng)時(shí),.故沒(méi)有最小值.故D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)的判定,需要根據(jù)奇偶性的定義以及函數(shù)圖像變換與單調(diào)性的結(jié)合分析,屬于中檔題.三、填空題9．已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，則a＝________.【答案】－7【解析】由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.10．已知函數(shù)y＝loga(x－3)－1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．【答案】(4，－1)【解析】y＝logax的圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，則y＝－1.11．已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(8，－3)，則f(2eq\r(2))＝________.【答案】－eq\f(3,2)【解析】設(shè)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，則－3＝loga8，∴a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝logeq\f(1,2)x，f(2eq\r(2))＝logeq\f(1,2)(2eq\r(2))＝－log2(2eq\r(2))＝－eq\f(3,2).12．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0，))若f(a)＝eq\f(1,2)，則a＝________.【答案】－1或eq\r(2)【解析】當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝log2x，由f(a)＝eq\f(1,2)得log2a＝eq\f(1,2)，即a＝eq\r(2).當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝2x，由f(a)＝eq\f(1,2)得2a＝eq\f(1,2)，a＝－1.綜上a＝－1或eq\r(2).13．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2019)＝8，則f(xeq\o\al(2,1))＋f(xeq\o\al(2,2))＋…＋f(xeq\o\al(2,2019))的值等于________．【答案】16【解析】∵f(xeq\o\al(2,1))＋f(xeq\o\al(2,2))＋f(xeq\o\al(2,3))＋…＋f(xeq\o\al(2,2019))＝logaxeq\o\al(2,1)＋logaxeq\o\al(2,2)＋logaxeq\o\al(2,3)＋…＋logaxeq\o\al(2,2019)＝loga(x1x2x3…x2019)2＝2loga(x1x2x3…x2019)＝2×8＝16.四、解答題14．若函數(shù)y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1，0)．(1)求a的值；(2)求函數(shù)的定義域．[解](1)將(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，則－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>－2}．15．若函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表達(dá)式，并畫(huà)出大致圖象．[解]∵f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0.又當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝lg(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，∴f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx＋1，x>0，,0，x＝0，,－lg1－x，x<0，))∴f(x)的大致圖象如圖所示．16．若不等式x2－logmx<0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]由x2－logmx<0，得x2<logmx，在同一坐標(biāo)系中作y＝x2和y＝logmx的草圖，如圖所示．要使x2<logmx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)恒成立，只要y＝logmx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)的圖象在y＝x2的上方，于是0<m<1.∵x＝eq\f(1,2)時(shí)，y＝x2＝eq\f(1,4)，∴只要x＝eq\f(1,2)時(shí)，y＝logmeq\f(1,2)≥eq\f(1,4)＝logmmeq\f(1,4)，∴eq\f(1,2)≤meq\f(1,4)，即eq\f(1,16)≤m.又0<m<1，∴eq\f(1,16)≤m<1.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)).17．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)f（x）的值域；(2)若，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算將函數(shù)化簡(jiǎn)，再使用換元法即可求得函數(shù)值域;(2)用換元法得到兩根的關(guān)系，再根據(jù)方程有兩根，以及韋達(dá)定理，即可求得參數(shù)范圍.(1)因?yàn)槎x域?yàn)椋瑒t設(shè)，令，所以值域?yàn)?2)設(shè)，因?yàn)樗约?，即，所以則的兩根為整理得因?yàn)榻獾迷儆身f達(dá)定理可得:則

解得綜上，18.已知函數(shù)(a＞0且a≠1)的圖象過(guò)點(diǎn)．(1)求的值；(2)若，求的定義域并判斷其奇偶性．【答案】(1)；(2)定義域?yàn)?，偶函?shù).【分析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化計(jì)算作答.(2)由(1)求出的解析式，列不等式求定義域，利用奇偶性定義判斷作答.(1)因函數(shù)(a＞0且a≠1)的圖象過(guò)點(diǎn)，則，即，又且，解得，所以的值是3.(2)由(1)知，，則，由得，因此，的定義域?yàn)椋?，有，則，即有是偶函數(shù)，所以定義域?yàn)?，是偶函?shù).19.已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)a的值．(2)當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)橥瑫r(shí)成立，求b，c的值．【答案】(1)-1(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義求出a即可；（2）令，轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解，再由簡(jiǎn)單的指數(shù)方程求出即可.(1)因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)所以解得：(2)由（1）知，則，令，則，由題意，時(shí)，因?yàn)?，所以，即所以時(shí)，為增函數(shù)．故所以m，n為的兩個(gè)根．解得又為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，解得：．20.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)與點(diǎn).（1）求，的值；（2）若，且，滿足條件的的值.【答案】（1），；（2）.【分析】(1)由給定條件列出關(guān)于，的方程組，解之即得；(2)由(1)的結(jié)論列出指數(shù)方程，借助換元法即