教師公開招聘考試中學數學（向量）模擬試卷7

教師公開招聘考試中學數學（向量）模擬試卷7一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、已知向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則下列說法錯誤的是()．A、a⊥b的充要條件是x1x2+y1y2=0B、a2=x12+y12C、a.0=0D、a//b的充要條件是x1y2—x2y1=0標準答案：C知識點解析：兩個向量的數量積應為一個數而不是向量，任意非零向量與零向量的數量積均為0而不是零向量，故C項錯誤．2、有向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，則行列式表示的是()．A、a+bB、a—bC、a.bD、a×b標準答案：D知識點解析：由題=(y1z2—z1y2)i+(z1x2—x1z2)j+(x1y2—y1x2)k，即等于向量的向量積a×b．3、已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，兩向量的夾角為θ，則下列說法錯誤的是()．A、｜b｜cosθ=∈R，稱為向量a在b方向上的投影，投影的絕對值稱為射影B、(a+b).(a—b)=(x12—x22)+(y12—y22)C、cosθ=D、(λa).b=λ(a.b)=a.(λb)(λ∈R)標準答案：A知識點解析：｜b｜cosθ=∈R，稱為向量b在向量a方向上的投影，故A項錯誤；(a+b).(a—b)=a2—b2=｜a｜2—｜b｜2=(x12—x22)+(y12—y22)，B項正確；C、D項分別是向量的夾角公式和向量與實數相乘的結合律公式，均正確，因此本題選A．4、向量a=(m，2，1)，b=(2，—1，n)，已知a和b不平行，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：若a∥b，則，解得m=—4，n=．因此，當a和b不平行時，只需滿足m≠—4或n≠即可．5、已知a=—2i+mj+3k，b=ni—2j—k是空間中的兩個向量，則“a∥b”是“m=6，n=”的()．A、充分不必要條件B、充要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件標準答案：B知識點解析：當a∥b時，有，解得m=6，n=，所以“a∥b”是“m=6，n=”的充分條件；當m=6，n=時，a=—2i+6j+3k，b=—2j—k，則a=—3b，即a∥b，所以“a∥b”是“m=6，n=”的必要條件，因此本題選B．6、已知a=(1，—1，1)，b=(2，2，1)，則a在b上的投影為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：｜a｜cos即為a在b上的投影，將題干中的數代入，則有｜a｜cos=.7、已知空間內兩直線l1：和l2：，若l1∥l2，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由題意知直線l1，l2的方向向量分別為s1=(m，2，—1)，s2=(4，3，—n)，因為l1∥l2，所以，解得．8、在平行四邊形ABCD中，頂點A(3，2，0)，B(5，3，1)，C(0，—1，3)，則平行四邊形ABCD的面積為()．A、3B、C、D、6標準答案：C知識點解析：由題干可知，，所以，cos∠BAC=，又因為∠BAC是平行四邊形的內角，所以∠BAC∈(0，π)，sin∠BAC=.9、已知空間內兩直線l1：和l2：，則“l(fā)1⊥l2”是“m=—n=—2”的()．A、充分不必要條件B、充要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件標準答案：C知識點解析：由題意可知直線l1，l2的方向向量分別為s1=(2，m，—1)，s2=(n，3，—2)．若l1⊥l2，則有s1.s2=(2，m，—1).(n，3，—2)=2n+3m+2=0，無法推出m=—n=—2；若m=—n=—2，則s1=(2，—2，—1)，s2=(2，3，—2)，即s1.s2=0，所以l1⊥l2．綜上所述“l(fā)1⊥l2”是“m=—n=—2”的必要不充分條件．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、已知點P1=(x1，y1)，P2=(x2，y2)，O為坐標原點，若點P(x，y)分有向線段所成的比例為λ，即=_______(用表示)，x=_______，y=_______．FORMTEXT標準答案：知識點解析：根據線段定比分點的向量公式可知，即(x，y)=.11、若x，y∈R，i，j是平面直角坐標系內x，y軸正方向上的單位向量，若向量a=(x+1)i+yj，b=(x—1)i+yj，且｜a｜+｜b｜=4，則點N(x，y)的軌跡方程是_______．FORMTEXT標準答案：知識點解析：依題意可知點N(x，y)到F1(—1，0)，F(xiàn)2(1，0)距離之和為4，根據橢圓的定義可知N的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，且c=1，2a=4，所以b2=3，因此N的軌跡方程為.12、已知向量a=2i+2j—k，則與其方向相同的單位向量a′=________．FORMTEXT標準答案：知識點解析：13、在平面直角坐標系中，已知兩點A(1，2)，B(3，—1)，O為坐標原點，若點C(x，y)滿足，其中λ+μ=1，則點C的軌跡方程是________．FORMTEXT標準答案：3x+2y—7=0知識點解析：由題，根據三點共線定理可知，A，B，C三點共線．因此點C的軌跡是A，B所在的直線，故點C的軌跡方程是y—2=，即3x+2y—7=0．14、已知空間內兩個平面α：x—my+2z=4，β：—x+y—2z=1，若α與β的二面角的正切值為，則m=_______．FORMTEXT標準答案：3或知識點解析：依題意可知，α，β的一個法向量分別是n1=(1，—m，2)，n2=(—1，1，—2)．設α，β的二面角為θ，因為θ∈[0，π]，tanθ=，所以cosθ=—cos＜n1，n2＞=，即cos＜n1，n2＞=，解得m=3或m=.15、已知｜a｜=1，｜b｜=2，｜a—b｜=，則a與b的夾角為_______．FORMTEXT標準答案：知識點解析：｜a—b｜2=(a—b)2=a2—2a.b+b2=1—2a.b+4=3，所以a.b=—1，故cos＜a，b＞=，所以a與b的夾角為．16、若向量m，n的夾角為60°，｜m｜=2，｜n｜=，則(m+2n)(m—n)=_________．FORMTEXT標準答案：知識點解析：(m+2n)(m—n)=m2+m.n—2n2=｜m｜2+｜m｜｜n｜cos60°—2｜n｜2=4+2×—2×3=．17、已知向量a=2i+3j—k，b=—i+2j—2k，c=2ma—3nb，若c⊥x軸，則m=_______．(用n表示)FORMTEXT標準答案：知識點解析：依題意有c=2m(2i+3j—k)—3n(—i+2j—2k)=(4m+3n)i+(6m—6n)j—(2m—6n)k，取x軸單位方向向量e=(1，0，0)，因為c⊥x軸，所以c⊥e，即c.e=(4m+3n，6m—6n，—2m+6n).(1，0，0)=4m+3n=0，所以m=．三、解答題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)18、已知函數y=，如圖過點M(0，—1)作斜率為k的直線l交該函數圖像于A，B兩點．若該函數曲線的焦點F與A，B，C三點按圖中順序連接成平行四邊形，求點C的軌跡方程．標準答案：由題干可知，拋物線焦點坐標為F(0，1)，設A,B,C三點坐標分別為.因為F(0，1)，M(0，—1)，所以.又因為M、A、B三點共線，所以．所以，即x1x2(x1—x2)=4(x1—x2)．因為x1≠x2，所以x1x2=4．又因為四邊形ACBF為平行四邊形，所以，所以，所以y=.又因為x1=x—x2，即x=x1+x2，所以x2=4y+12．又因為y==1.所以點C的軌跡方程是y=—3(y＞1).知識點解析：暫無解析在正方體ABCD—A′B′C′D′中，=a．19、證明：AB′⊥CD′.標準答案：如圖所示，建立空間直角坐標系．由圖知A(a，0，0)，B′(a，a，a)，C(0，a，0)，D′(0，0，a)，所以=(0，a，a)，=(0，—a，a)，因為=0×0+a×(—a)+a×a=0，所以，即AB′⊥CD′．知識點解析：暫無解析20、求二面角D—A′C′—B的正切值．標準答案：設面DA′C′的法向量為，n1=(x1，y1，z1)，面BA′C′的法向量為n2=(x2，y2，z2)，二面角D—A′C′—B的平面角為α．由圖知=(—a，a，0)，=(—a，0，—a)，因為n1⊥面DA′C′,所以.令z1=1，則x1=y1=—1，所以面DA′C′的一個法向量為，n1=(—1，—1，1)．同理可得面BA′C′的一個法向量為n2=(1，1，1)．所以cos1，n2>=.所以cosα=，所以tanα=.知識點解析：