MPCK視角下的高中數(shù)學(xué)定理教學(xué)

MPCK視角下的高中數(shù)學(xué)定理教學(xué)

---------以正弦定理教學(xué)的再設(shè)計(jì)為例

作者：

施小斌/沈新權(quán)

作者簡(jiǎn)介：

施小斌（1981-）,男，浙江省臺(tái)州市玉環(huán)中學(xué)高級(jí)教師,

主要從事高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和解題研究；沈新權(quán)，浙江省

嘉興市第一中學(xué).

原發(fā)信息：

《中國(guó)數(shù)學(xué)教育：高中版》（沈陽(yáng)）2015年第20156期第

11-15頁(yè)

期刊名稱(chēng)：《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》

復(fù)印期號(hào)：20印年11期

一、MPCK理論

美國(guó)斯坦福大學(xué)教授、著名教育家舒爾曼在1986年提出了教師的專(zhuān)

業(yè)知識(shí)結(jié)構(gòu)理論，其核心要素是學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（Pedagogical

ContentKnowledge）,簡(jiǎn)稱(chēng)PCK[1].香港中文大學(xué)黃毅英教授在此基礎(chǔ)

上則把數(shù)學(xué)教師從事專(zhuān)業(yè)教學(xué)所應(yīng)具備的核心知識(shí)稱(chēng)為MPCK

（MathematicsPedagogicalContentKnowledge）.MPCK是由數(shù)學(xué)

學(xué)科知識(shí)（MK）、T殳教學(xué)法知識(shí)（PK）、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)

（CK）,以及教育技術(shù)知識(shí)（TK）融合而成的[2].MPCK的本質(zhì)是教師如

何根據(jù)學(xué)習(xí)者的不同興趣和能力來(lái)組織、表達(dá)和調(diào)整具體的課題、問(wèn)題或

論點(diǎn)，以促進(jìn)他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解和掌握知識(shí)⑶.

說(shuō)得簡(jiǎn)單一點(diǎn)，MPCK就是數(shù)學(xué)內(nèi)容和教育學(xué)、心理學(xué)與學(xué)習(xí)論的有

關(guān)原理融合而成的與教學(xué)相關(guān)的綜合性知識(shí)，是關(guān)于某一領(lǐng)域的數(shù)學(xué)教學(xué)

內(nèi)容該如何進(jìn)行表達(dá)、呈現(xiàn)和解釋,從而轉(zhuǎn)化成使學(xué)生更容易接受和理解

的知識(shí).其核心就是如何將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)及學(xué)生的學(xué)

習(xí)形態(tài)，以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)

素養(yǎng)⑷.MPCK理論是教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)的基礎(chǔ)，教師對(duì)教學(xué)

內(nèi)容的理解和把握程度，運(yùn)用教學(xué)方法的適當(dāng)程度,以及課堂教學(xué)的效果

如何很大程度上取決于教師的MPCK.

二、MPCK視角下的定理教學(xué)

數(shù)學(xué)定理是由受邏輯限制證明為真的陳述.數(shù)學(xué)定理是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的

主要內(nèi)容，是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的重要依據(jù)，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題以及培養(yǎng)學(xué)生

進(jìn)行推理論證的重要工具，因此數(shù)學(xué)定理的教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著十

分重要的地位.定理教學(xué)的成功與否不僅直接關(guān)系到學(xué)生對(duì)定理內(nèi)容的理解

與掌握程度，也直接關(guān)系到學(xué)生運(yùn)用定理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，更關(guān)系到

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成與提高.在高中數(shù)學(xué)定理的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師可以運(yùn)用

MPCK理論來(lái)呈現(xiàn)定理的背景，突出定理的核心內(nèi)容，體現(xiàn)定理的本質(zhì)，

以此來(lái)指導(dǎo)定理的教學(xué)，評(píng)估定理的教學(xué)過(guò)程和教學(xué)效果.

基于MPCK視角的高中數(shù)學(xué)定理教學(xué)，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該

思考學(xué)生為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)定理？學(xué)生將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)定理的背景是什

么？該定理的核心內(nèi)容是什么？定理的作用是什么？學(xué)生在學(xué)習(xí)該定理時(shí)

可能存在哪些學(xué)習(xí)困惑？如何解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的困惑？在教學(xué)中如何呈

現(xiàn)、組織和調(diào)整這些核心知識(shí)以及定理的應(yīng)用？

三、正弦定理教學(xué)引入設(shè)計(jì)中存在的問(wèn)題

在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)過(guò)程中，教師的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）、

一般教學(xué)法知識(shí)（PK）、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)（CK）和教育技術(shù)知識(shí)

（TK）決定著教學(xué)設(shè)計(jì)的質(zhì)量.若教師的MPCK中的某一方面有所不足，

就會(huì)影響到其所做的教學(xué)設(shè)計(jì)的科學(xué)性，很多時(shí)候甚至?xí)绊懙秸n堂教學(xué)

的效果.以正弦定理的引入為例，以往的關(guān)于正弦定理引入的教學(xué)設(shè)計(jì)中存

在著以下三個(gè)方面的常見(jiàn)問(wèn)題.

1.測(cè)量產(chǎn)生不了正弦定理

在眾多的關(guān)于正弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)里，不少設(shè)計(jì)都提到了“用量角

器、刻度尺、計(jì)算器，測(cè)量任意角三角形的三邊與三角，然后計(jì)算比值猜

想結(jié)論

2.不恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境產(chǎn)生不了正弦定理

有些教學(xué)設(shè)計(jì)用情境問(wèn)題引出正弦定理.有教學(xué)設(shè)計(jì)使用如下情境.如

圖1,船從港口B航行到港口C,測(cè)得BC的距離為600m,船在港口C

卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒(méi)有測(cè)得CA的距離，如果船

上有測(cè)角儀我們能否計(jì)算出點(diǎn)A,點(diǎn)B之間的距離？

教師希望通過(guò)將此問(wèn)題抽象為已知三角形中的兩角及其夾邊，求另一

邊的解三角形問(wèn)題，從而引入正弦定理.先不要說(shuō)學(xué)生是否知道測(cè)角儀長(zhǎng)什

么樣？有什么用？就算從問(wèn)題解決的角度來(lái)說(shuō)，不用正弦定理通過(guò)作直角

三角形也能解決此問(wèn)題.情境問(wèn)題只是數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，來(lái)源于實(shí)際的一個(gè)

鋪墊，因此，這樣的引入不夠自然，有點(diǎn)牽強(qiáng)附會(huì).其實(shí)在數(shù)學(xué)史上，正弦

定理的發(fā)現(xiàn)是源于阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾?巴塔尼在進(jìn)行球面三角研究過(guò)程中，

利用平面三角的知識(shí)來(lái)證明球面余弦定理所產(chǎn)生的問(wèn)題，后來(lái)他將問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為在直角三角形內(nèi)來(lái)求解，但當(dāng)時(shí)阿爾?巴塔尼并不知道平面三角形的正

弦定理.后來(lái)德國(guó)數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯在1464年出版的著作《論各種三角

形》中才對(duì)正弦定理的內(nèi)容十分清晰地加以表達(dá).換句話說(shuō)，正弦定理的發(fā)

現(xiàn)其實(shí)就是從直角三角形中得來(lái)的，上述的教學(xué)情境與正弦定理的產(chǎn)生并

沒(méi)有本質(zhì)上的聯(lián)系.

3.空降的開(kāi)頭不能引起學(xué)生探究正弦定理的興趣

四、運(yùn)用MPCK理論進(jìn)行正弦定理的教學(xué)再設(shè)計(jì)

1.認(rèn)識(shí)正弦定理的地位與作用

正弦定理是初中"三角形的邊角關(guān)系"以及"解直角三角形"內(nèi)容的

直接延續(xù)，也是三角函數(shù)知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，同時(shí)更是解可轉(zhuǎn)化

為三角形計(jì)算的其他數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具.正弦定理

教學(xué)的第一節(jié)課的主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，做好MPCK視角下的

"正弦定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅要復(fù)習(xí)與正弦定理相關(guān)的一系列舊知識(shí)，

使學(xué)生在學(xué)習(xí)正弦定理的過(guò)程中逐步體會(huì)聯(lián)系及發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且要

培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與探究能力，以及提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

2.運(yùn)用MPCK理論進(jìn)行正弦定理教學(xué)再設(shè)計(jì)的幾個(gè)基本環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)1:回憶三角形的邊角關(guān)系.

(1)回顧一下初中學(xué)過(guò)的三角形中的邊角關(guān)系.

(2)如圖2,RfABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c,三個(gè)角為NA,ZB,Z

C,其中NC=90。，試寫(xiě)出此直角三角形的邊角關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】回憶舊知識(shí)，啟發(fā)學(xué)生思考學(xué)習(xí)三角形邊角關(guān)系時(shí)的著

眼點(diǎn)把學(xué)生頭腦中已有的"大邊對(duì)大角、小邊對(duì)小角"和"直角三角形中

的邊角關(guān)系"知識(shí)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn).

環(huán)節(jié)2:初步感受求解三角形邊角關(guān)系的問(wèn)題.

(1)在&ABC中，如果BC=12,zA=30°,zB=45°,如何求AC的

長(zhǎng)度？

(2)在SBC中，如果BC=12,zA=120°,zB=45°,如何求AC

的長(zhǎng)度？

【設(shè)計(jì)意圖】如何找三角形的邊角關(guān)系？直接由直角三角形的邊角關(guān)

系去猜想正弦定理有點(diǎn)牽強(qiáng)附會(huì).我們通過(guò)兩個(gè)問(wèn)題，從具體的解三角形的

問(wèn)題出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生借助直角三角形去探求AC的長(zhǎng)度.對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題，一

開(kāi)始，學(xué)生可能會(huì)感到有點(diǎn)陌生，但結(jié)合環(huán)節(jié).1,可以引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖

突，激起學(xué)生的求解欲望，為進(jìn)一步探究正弦定理做好思想準(zhǔn)備.

環(huán)節(jié)3:由特殊到一般，通過(guò)歸納、猜想得到并證明正弦定理.

(1)RfABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c,三個(gè)角為NA,zB,zC,其中n

C=90°,能否建立邊長(zhǎng)a,b與NA,zB之間的某種等量關(guān)系？如果把Rt

△ABC改為任意AABC,是否有類(lèi)似的結(jié)論？

(2)設(shè)SBC的三邊長(zhǎng)為a,b,c,三個(gè)角為NA,zB,zC,我們

能不能建立a,b,c與NA,ZB,ZC之間的某種關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】從特殊的三角形開(kāi)始探索，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)

思想方法，這也能重現(xiàn)數(shù)學(xué)史上正弦定理發(fā)現(xiàn)與提出的軌跡.有了環(huán)節(jié)2的

兩個(gè)問(wèn)題的解決方法，完成環(huán)節(jié)3的第二個(gè)問(wèn)題則是水到渠成的事

情.MPCK視角下的正弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)，切忌將結(jié)論直截了當(dāng)?shù)馗嬖V學(xué)

生.

環(huán)節(jié)4:利用正弦定理再回頭解決環(huán)節(jié)2中的兩個(gè)問(wèn)題.

【設(shè)計(jì)意圖】利用得到的正弦定理，對(duì)于環(huán)節(jié)2的兩個(gè)問(wèn)題可以直接

求出AC的長(zhǎng)，省去了添加輔助線的過(guò)程，讓學(xué)生感受到正弦定理的簡(jiǎn)潔

性，可以突出正弦定理在解決三角形邊角關(guān)系問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用價(jià)值.

環(huán)節(jié)5:對(duì)正弦定理的進(jìn)一步理解.

(1)從上面的討論中，我們發(fā)現(xiàn)在AABC中，I____柜一個(gè)確定的比

值，那么這個(gè)比值有什么幾何意義嗎？

(2)在RtMBC中，邊和其所對(duì)角的正弦值之比的幾何意義是斜邊

c.猜想，在一般的三角形中，邊與其所對(duì)角的正弦值之比是否也等于某一

固定的值，并且也具有某種幾何意義呢？這個(gè)固定的比值k是由△ABC中

的什么元素唯一確定呢？

(3)當(dāng)AABC的一條邊及其對(duì)角的大小確定時(shí)，這個(gè)三角形是不是

唯一確定的呢？

在這個(gè)問(wèn)題的思考過(guò)程中，展示利用幾何畫(huà)板軟件制作的課件，當(dāng)△

ABC的一條邊BC的大小和位置固定，BC所對(duì)的NA的大小也不變，此時(shí)

△ABC是不是會(huì)發(fā)生變化？點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？

(4)結(jié)合三角形的外接圓思考,在中，k等于什么?

【設(shè)計(jì)意圖】為了幫助學(xué)生進(jìn)一步理解正弦定理，在教學(xué)中，我們除

了有必要對(duì)正弦定理的不同形式(例如，I—I)等進(jìn)行呈現(xiàn)以外，還應(yīng)該

幫助學(xué)生理解正弦定理的本質(zhì).因此，在對(duì)正弦定理進(jìn)行教學(xué)再設(shè)計(jì)時(shí)，我

們?cè)O(shè)計(jì)了上面的一系列問(wèn)題，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理中的R.

環(huán)節(jié)6:小結(jié)以及啟發(fā)學(xué)生由正弦定理可以解決什么樣的解三角形問(wèn)

題.

學(xué)生通過(guò)自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理.正弦定理揭示了三角形

中任意兩邊與其對(duì)角的關(guān)系，大家思考一下，正弦定理能夠解決哪些問(wèn)

題？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)恰當(dāng)?shù)奶釂?wèn)，將學(xué)生再次引入到探究之中，學(xué)生對(duì)

已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行重新發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造和重新構(gòu)建，自覺(jué)運(yùn)用學(xué)到的研究方法

及結(jié)論解決具體的解三角形問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的方

法.

3.運(yùn)用MPCK理論分析正弦定理教學(xué)的再設(shè)計(jì)

從MK的角度分析，教師應(yīng)具備深厚且系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，能夠熟

悉所教的數(shù)學(xué)定理的背景和核心內(nèi)容，以及與其他一些相關(guān)定理之間的聯(lián)

系，并且熟練掌握用所教的定理可以解決和如何解決哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題或者實(shí)

際問(wèn)題等，這是把定理的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的前提，也是教好數(shù)學(xué)

定理的必要條件.因此，站在MK的角度，教師在進(jìn)行正弦定理的教學(xué)前，

首先應(yīng)該要思考并在教學(xué)中滲透這樣的問(wèn)題：為什么要解斜三角形？解斜

三角形必須要用正弦定理和余弦定理嗎？正弦定理和余弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)

的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒(méi)有回答

而學(xué)生又確實(shí)關(guān)心的問(wèn)題.通過(guò)這些問(wèn)題幫助學(xué)生理解正弦定理的內(nèi)涵和外

延，為講深及講透正弦定理做好鋪墊與準(zhǔn)備.環(huán)節(jié)1中的兩個(gè)問(wèn)題涉及邊邊

關(guān)系、角角關(guān)系和邊角關(guān)系，是學(xué)生已有的關(guān)于三角形邊角關(guān)系的知識(shí)基

礎(chǔ)，正弦定理正是"大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”這一結(jié)論的定量化描述，

也是RtMBC中，I_b—結(jié)論的直接推廣.通過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題，首先激活

學(xué)生關(guān)于三角形邊角關(guān)系的知識(shí)回憶，同時(shí)也為把RtMBC中___國(guó)一

結(jié)論進(jìn)行推廣埋下伏筆.在環(huán)節(jié)3中，借用環(huán)節(jié)2的兩個(gè)問(wèn)題引起學(xué)生對(duì)

類(lèi)似的三角形中的邊角問(wèn)題的思考：既然以上兩題的解決過(guò)程都轉(zhuǎn)化為直

角三角形，那么我們很自然地將問(wèn)題的重心回歸到研究特殊的三角形，即

由RfABC中的邊角關(guān)系，通過(guò)歸納猜想，得出廠的結(jié)論，最后將結(jié)

論推廣到一般的三角形，因?yàn)橛辛谁h(huán)節(jié)2的鋪墊，結(jié)論的證明就非常簡(jiǎn)單

T.

從PK的角度分析，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方

法實(shí)施教學(xué)，以適當(dāng)、生動(dòng)的方式，通過(guò)教學(xué)把數(shù)學(xué)定理的內(nèi)涵和思想準(zhǔn)

確地傳達(dá)給學(xué)生.正弦定理的教學(xué)再設(shè)計(jì)中，環(huán)節(jié)3意在啟發(fā)學(xué)生嘗試證明

根據(jù)歸納和猜想所得到的正弦定理.環(huán)節(jié)5則是再次嘗試從不同途徑證明正

弦定理，并啟發(fā)學(xué)生尋找正弦定理中的比值與其外接圓的半徑R的關(guān)系,

從而加深學(xué)生對(duì)正弦定理的進(jìn)一步理解.借助環(huán)節(jié)4,可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)正弦

定理進(jìn)行理性思考，體會(huì)正弦定理的魅力.通過(guò)環(huán)節(jié)2，借助數(shù)學(xué)問(wèn)題或者

實(shí)際問(wèn)題引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，并引導(dǎo)學(xué)生探究問(wèn)題解決中的認(rèn)知沖突所

需要的數(shù)學(xué)"武器"（定理）.把環(huán)節(jié)2的這兩個(gè)問(wèn)題解決以后，教師再度

啟發(fā)學(xué)生：這兩個(gè)問(wèn)題的共同點(diǎn)是什么？對(duì)于一般的AABC,設(shè)其三邊長(zhǎng)

分別為a,b,c,如果知道其一條邊長(zhǎng)及兩個(gè)內(nèi)角的大小，如何求這個(gè)三

角形的其他的邊長(zhǎng)？由此引導(dǎo)學(xué)生渴望得到三角形的邊角關(guān)系的一個(gè)統(tǒng)一

的結(jié)論，初步得出定理的雛形.環(huán)節(jié)6也是對(duì)正弦定理的進(jìn)一步探究，引導(dǎo)

學(xué)生加深理解正弦定理所反映的三角形中的邊角關(guān)系以及用正弦定理可以

解決哪些問(wèn)題.

從CK的角度分析，教師要盡可能多地深入了解學(xué)生，除了要了解學(xué)

生對(duì)與定理相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)的掌握情況外，還要關(guān)注學(xué)生的心

理特征和學(xué)習(xí)差異，預(yù)測(cè)學(xué)生在學(xué)習(xí)定理時(shí)可能遇到的知識(shí)和思維障礙.因

此，正弦定理的再設(shè)計(jì)應(yīng)立足于學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和思維起點(diǎn)，我們根據(jù)學(xué)

生的知識(shí)基礎(chǔ)并借助特殊情形，在環(huán)節(jié)1和環(huán)節(jié)2中，通過(guò)教師的引導(dǎo)，

學(xué)生的自主探索，初步提煉出了正弦定理的本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)由表象過(guò)渡到

定理，逐步完成定理的構(gòu)建.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生成為了正弦定理的發(fā)現(xiàn)者

和創(chuàng)造者.統(tǒng)攬正弦定理的教學(xué)再設(shè)計(jì)，我們可以看到正弦定理的教學(xué)不只

是在傳授知識(shí)和技能上下工夫，更重要的是在此過(guò)程中，培養(yǎng)了學(xué)生觀察

和分析、歸納和猜想、特殊和一般等思維能力.

從TK的角度分析，教師要根據(jù)所教的定理內(nèi)容，合理運(yùn)用現(xiàn)代教育

技術(shù)，輔助定理的教學(xué).因此，在再設(shè)計(jì)時(shí)，通過(guò)環(huán)節(jié)5,我們借助幾何畫(huà)

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