廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班沖刺訓(xùn)練題（三）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班沖刺訓(xùn)練題（三）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，所?故選：D2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限．故選:B．3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.1 B.2 C.4 D.6〖答案〗B〖解析〗因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，可得，所以，又由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得.故選：B.4.設(shè)，是兩個(gè)不同平面，，是兩條不同直線，則的一個(gè)充分條件是（）A.，， B.，，C.，， D.，，與相交〖答案〗C〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)滿足，，時(shí)，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)滿足，，時(shí)，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，，又，所以，故，，是一個(gè)充分條件，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)滿足，，與相交時(shí)，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故D錯(cuò)誤；故選：C.5.已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，且與拋物線（）的焦點(diǎn)重合，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，又因?yàn)?，則點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的漸近線上，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.6.設(shè)，，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，于是，即，由，，得，則或，即或（不符合題意，舍去），所以.故選：D7.已知半徑為的球的球心到正四面體的四個(gè)面的距離都相等，若正四面體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則正四面體的棱長(zhǎng)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則其高為．當(dāng)正四面體內(nèi)接于球時(shí)，最小，此時(shí)，得．當(dāng)球與正四面體的每條棱都相切時(shí)，最大，因?yàn)榍蚯蛐牡秸拿骟w的四個(gè)面的距離都相等，所以當(dāng)球與正四面體的每條棱都相切時(shí)，借助正四面體和球的結(jié)構(gòu)特征可知切點(diǎn)均為棱的中點(diǎn)，且球心到正四面體的頂點(diǎn)的距離為，利用勾股定理可得，得．故正四面體的棱長(zhǎng)的取值范圍為．故選：C.8.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，的平分線的長(zhǎng)為，則邊上的中線的長(zhǎng)等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知，設(shè)，則，如圖所示，由可得，整理得，即，又因?yàn)椋?，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，由是邊上的中線，得.所以，中線長(zhǎng).故選：A二、選擇題9.已知變量和變量的一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（）的散點(diǎn)落在一條直線附近，，，相關(guān)系數(shù)為，線性回歸方程為，則（）參考公式：，.A.當(dāng)越大時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)，時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（）的相關(guān)系數(shù)滿足D.當(dāng)，時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（）的線性回歸方程滿足〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)與符號(hào)相同，則，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，將這組數(shù)據(jù)添加后，不變，故相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式中的分子和分母均不變，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，將這組數(shù)據(jù)添加后，不變，故線性回歸方程中的斜率的表達(dá)式中的分子和分母均不變，所以，故D正確；綜上所述，正確的有B、C、D.故選：BCD.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為B.函數(shù)有極小值且極小值為C.若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的曲線的切線方程為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)A：由題意可知的定義域?yàn)椋?，令，解得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，取得極大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由上分析可作出的圖象，要使方程有兩個(gè)不等實(shí)根，只需要與有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故C正確.對(duì)D：設(shè)曲線在處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則切線斜率，得，解得，所以切線斜率，所以切線方程為，故D正確.故選：ACD11.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)，在上（在第一象限），點(diǎn)在上，以為直徑的圓過焦點(diǎn)，（），則（）A.若，則 B.若，則C.的面積最小值為 D.的面積大于〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義，，又，則，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為點(diǎn)，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過焦點(diǎn)，所以，且，所以，又因?yàn)椋?，即，，由焦半徑公式，故B正確；對(duì)于C，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)都在第一象限，設(shè)，，由焦半徑公式可得，，所以，令，設(shè)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，設(shè)，，則，，所以，同理令，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，綜上，面積的最小值為，故C錯(cuò)誤：對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)都在第一象限，，，，則，所以，即，所以當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，同理可得，即，所以，綜上，的面積大于，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.若，則______.〖答案〗20〖解析〗由，令可得，，∴.在中，令，可得，∴.故〖答案〗為：2013.選手甲和乙進(jìn)行乒乓球比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，采用五局三勝制，則在甲最終獲勝的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為______.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)甲獲勝為事件，比賽進(jìn)行三局為事件，，，故.故〖答案〗為：.14.已知，若關(guān)于的不等式有整數(shù)解，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗不等式，即，設(shè)，，設(shè)，，所以單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，即，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不等式有整數(shù)解，即有整數(shù)解，若時(shí)，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，所以無整數(shù)解，不符合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋@然0，1是的兩個(gè)整數(shù)解，符合題意，綜上可知，.四、解答題15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意知：數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又，所以，整理得：，又當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足上式，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，可得，故；解法1：由，可得，即，則，又由，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.解法2：由，可得，當(dāng)，即時(shí)，，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，三棱錐的體積為，平面與平面的交線為.（1）求四棱錐的體積，并在答卷上畫出交線（注意保留作圖痕跡）；（2）若，，且平面平面，在上是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1），，∵，∴，∴，延長(zhǎng)，，設(shè)的延長(zhǎng)線和的延長(zhǎng)線交點(diǎn)為，連接，則平面和平面的交線為直線.（2）取的中點(diǎn)，連接，∵，是的中點(diǎn)，∴，∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，，，解得.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線，分別為，軸，以過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則，，，，∴，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得，設(shè)平面的法向量為，則，即令，可得，平面與平面夾角的余弦值為∴，整理得，解得：或，即在直線上存在點(diǎn)，平面與平面的夾角的余弦值為，此時(shí)或，則或.17.在第二十五屆中國(guó)國(guó)際高新技術(shù)成果交易會(huì)上，中國(guó)科學(xué)院的科研團(tuán)隊(duì)帶來了可以在零下70攝氏度到零上80攝氏度范圍內(nèi)正常使用的寬溫域鋰電池，為新能源汽車在冬季等極端溫度下的使用提供了技術(shù)支撐．中國(guó)新能源汽車也在科研團(tuán)隊(duì)的努力下，在世界舞臺(tái)上扮演著越來越重要的角色．已知某鋰電池生產(chǎn)商對(duì)一批鋰電池最低正常使用零下溫度進(jìn)行了檢測(cè)，得到如下頻率分布直方圖．（1）求最低正常使用零下溫度的第60百分位數(shù)；（2）若以抽樣檢測(cè)的頻率作為實(shí)際情況的概率．①若隨機(jī)抽取3塊電池，設(shè)抽到鋰電池最低正常使用零下溫度在的數(shù)量為，求的分布列；②若鋰電池最低正常使用零下溫度在之間，則為類鋰電池．若以抽樣檢測(cè)的頻率作為實(shí)際情況的概率，從這批鋰電池中隨機(jī)抽取10塊，抽到塊為“類鋰電池”的可能性最大，試求的值．解：（1）設(shè)最低正常使用零下溫度的第60百分位數(shù)為，由直方圖可知最低正常使用零下溫度在的頻率為0.4，在的頻率為0.65，因此最低正常使用零下溫度的第60百分位數(shù)一定在內(nèi)，則有，解得，所以最低正常使用零下溫度的第60百分位數(shù)為28℃．（2）①由題意可知的可能值是0,1,2,3，，；；；，所以的分布列為01230.0640.2880.4320.216②由題意可知，設(shè)抽到類鋰電池的數(shù)量為，則，若抽到塊的可能性最大，則，，即即解得，由于，故．18.將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變），所得曲線為.記，過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，直線，與分別交于點(diǎn).（1）求的方程；（2）設(shè)直線，的傾斜角分別為，（，），求的值.解：（1）設(shè)所求軌跡上的任意點(diǎn)為，與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，根據(jù)題意，可得，即代入方程，可得，整理得，所以曲線的軌跡方程為.（2）設(shè)，，，，由題知，所以直線的斜率不可能為0，設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組，整理得，，由韋達(dá)定理得，，，又因?yàn)椋c(diǎn)在橢圓上，所以,，，同理可得，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，即，所以，所以.19.已知函數(shù)．（1）若對(duì)于任意恒成立，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)的零點(diǎn)按照從大到小的順序構(gòu)成數(shù)列，，證明：；（3）對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，證明：．（1）解；根據(jù)題意可知，不等式在上恒成立，設(shè)，則，，設(shè)，則，，則，若，存在區(qū)間，使在區(qū)間上單調(diào)遞減；則，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，不滿足題意，