遼寧省大連市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省大連市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知，，則角的終邊位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由，，根據(jù)三角函數(shù)的符號(hào)與角的象限間的關(guān)系，可得角的終邊位于第四象限.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)虛部為.故選：C.3.如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，則原平面圖形的面積為（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)樵谥庇^圖中，，所以，所以原圖形是一個(gè)底邊長(zhǎng)為，高為的直角三角形，故原圖形的面積為．故選：A.4.1988年3月14日，LanyShaw在舊金山科學(xué)博物館組織舉辦了最早的大型以為主題的活動(dòng)，之后博物館繼承了這一傳統(tǒng)，后來3月14日成為了國(guó)際圓周率日（日）.歷史上，求圓周率的方法有多種，其中的一種方法：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)和外切正邊形的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值.按照這種方法，的近似值的表達(dá)式是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗單位圓的內(nèi)接正邊形的邊長(zhǎng)為，則其內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)為，單位圓的外切正邊形的邊長(zhǎng)為，則其外切正邊形的周長(zhǎng)為，則有.故選：B.5.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4，圓心角為的扇形，過該圓錐頂點(diǎn)作截面，則截面面積的最大值為（）A. B.8 C. D.6〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得，設(shè)圓錐的軸截面三角形頂角為，則，又因?yàn)?，所以，，所以過圓錐頂點(diǎn)作軸截面，軸截面面積最大時(shí)即頂角為，所以最大值為.故選：B.6.某校學(xué)生為測(cè)量操場(chǎng)上的旗桿高度，在與旗桿底端位于同一水平高度的共線三點(diǎn)，，處，測(cè)得旗桿頂端處的仰角分別為，，，且，則旗桿的高度為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)旗桿的高度，由，可得，在中，因?yàn)椋?，可得，即，解得，所以旗桿的高度為.故選：C.7.菱形十二面體是由12個(gè)全等的菱形構(gòu)成的，其有24條棱，14個(gè)頂點(diǎn)，它每個(gè)面的兩條對(duì)角線之比為，已知一個(gè)菱形十二面體的棱長(zhǎng)為，體積為16，則該菱形十二面體的內(nèi)切球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，設(shè)菱形十二面體內(nèi)切球的球心為，其中一個(gè)面為菱形，過作平面的垂線，以為垂心，連接，可得四棱錐，如下圖所示：由棱形十二面體的性質(zhì)，可知為菱形的中心，即，易知棱形十二面體體積等于十二個(gè)四棱錐的體積，故四棱錐的體積，由題意，可得，，在菱形中，易知，，由，且，則，，故菱形的面積，在四棱錐中，，由內(nèi)切球的性質(zhì)，可得其半徑為，其體積.故選：C.8.已知函數(shù)（，，）在區(qū)間上單調(diào)，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，在區(qū)間單調(diào)，，，，，，，，，，，，，，，，.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題.每題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.）9.設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，根據(jù)平行的傳遞公理，可得A正確；對(duì)于B，由題意，作長(zhǎng)方體，連接，如下圖所示：設(shè)為平面，為平面，，，顯然，，，但與不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意，作長(zhǎng)方體，連接，如下圖所示：設(shè)為平面，，，顯然，，但與為異面直線，不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可得，D正確.故選：AD.10.在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且，，，則角的值可能為（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗由正弦定理，得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?故選：AB.11.如圖，正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為1，.若將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，且四點(diǎn)共面，點(diǎn)，分別位于兩側(cè)，連接，則（）A.平面B.C.多面體的體積為原多面體的體積的2倍D.點(diǎn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)相等〖答案〗BC〖解析〗正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為1，，可得，則三棱錐的側(cè)棱互相垂直，正三棱錐的側(cè)棱互相垂直，于是旋轉(zhuǎn)前后的正三棱錐和可以放在正方體中，四邊形為該正方體的一個(gè)側(cè)面，如圖所示，對(duì)于A中，，而平面，則不平行于平面，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，如圖所示，連接，因?yàn)?，則，所以B正確；對(duì)于C中，多面體的體積為，原多面體的體積為，所以多面體的體積為原多面體的體積的2倍，所以C正確；對(duì)于D中，根據(jù)題意，點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度相同，但旋轉(zhuǎn)半徑不同，則運(yùn)動(dòng)的軌跡不相等，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.12.在中，，，，為中點(diǎn)，在上，且，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C.的面積為 D.〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?，所以，又為AC中點(diǎn)，所以，，又，所以，，故A錯(cuò)；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于D，令，因?yàn)锽，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以，解得，故D正確；對(duì)于C，由D可得，即，則，，則，故C正確．故選：BCD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知實(shí)數(shù)，滿足，為虛數(shù)單位，則________.〖答案〗〖解析〗，是實(shí)數(shù)，且，所以.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)（其中）在上的值域?yàn)?，則的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)（其中）在上的值域?yàn)椋?，解?故〖答案〗為：.15.下面兩圖是正四面體與它的外接球被過球心的平面所被形成的截面圖，圖①中的三角形為正三角形，其面積為，圖②中三角形的面積為，則________.〖答案〗〖解析〗由題意，可作圖如下：設(shè)為正四面體的外接球球心，為底面正三角形的外接圓的圓心，平面，平面平面，，，在正四面體中，由為外接圓的圓心，則平面，由題意，設(shè)圖①中的三角形為，圖②中的三角形為，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，在正中，由為外接圓的圓心，則，且，易知，同理可得，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，在中，，設(shè)正四面體的外接球的半徑為，在中，，則，解得，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，則，易知，且其相似比為，則，則，故，，.故〖答案〗為：.16.如圖，在直三棱柱中，，，該三棱柱存在體積為的內(nèi)切球，為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線、與平面成角相等時(shí)，______，此時(shí)四面體的外接球表面積為______.〖答案〗1〖解析〗因?yàn)橹比庵膬?nèi)切球的體積為，所以，所以內(nèi)切球的半徑為，所以內(nèi)切圓半徑為1，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線直線、與平面成角相等時(shí)，，又，所以∽，所以，設(shè)，則，解得，所以，，從而，，，所以，即有，所以四點(diǎn)共圓，且圓心為的中點(diǎn)，其半徑為，因?yàn)?，，，平面，所以平面，如圖，將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，則中點(diǎn)即為四面體的外接球的球心，所以四面體的外接球的半徑為，此時(shí)四面體的外接球表面積為.故〖答案〗為：1.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.如圖，在直三棱柱中，，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）證明：平面.解：（1）因?yàn)槿庵鶠橹比庵缘酌?，底面，所以，在中，，為線段的中點(diǎn)，所以，又，平面，平面，所以平面.（2）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，如圖所示：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，在中有，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?18.已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期：（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值.解：（1），所以的最小正周期為.（2）因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.19.在中，角所對(duì)的邊分別為，向量，，.（1）求角的大??；（2）若，，點(diǎn)在邊上，為的平分線，求長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，所以，即，由正弦定理得：，，即，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以，?20.在正三棱臺(tái)中，，，為中點(diǎn)，在上，.（1）請(qǐng)作出與平面的交點(diǎn)，并寫出與的比值（在圖中保留作圖痕跡，不必寫出畫法和理由）；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）①作圖步驟：延長(zhǎng)，使其相交于，連接，則可得；作圖如下：作圖理由：在平面中，顯然與不平行，延長(zhǎng)相交于，由，則平面，由平面，則平面，由，，則平面，可得，故平面.②連接，如下圖所示：在正三棱臺(tái)中，，即，易知，則，由，且，則，顯然，由分別為的中點(diǎn)，則，且，易知，故.（2）由題意，過作平面的垂線，垂足為，并連接，如下圖所示：由（1）可知：且，則，由，，在側(cè)面中，過分別作的垂線，垂足分別為，如下圖所示：易知,，所以，在中，，則，棱臺(tái)的高，由圖可知直線與平面所成角為，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，所?21.已知函數(shù)（，）圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，當(dāng)時(shí)，，將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）后得到函數(shù)的圖像.（1）求函數(shù)與的〖解析〗式；（2）求滿足在內(nèi)恰有2023個(gè)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)與正整數(shù)的值.解：（1）由的最大值為，最小值為，因?yàn)?，可得，所以，可得，所以，將代入得，可得，解得，因?yàn)?，所以，所以，函?shù)圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍得.（2）由，函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根，設(shè)，討論方程的根，顯然，若方程的根，則在內(nèi)可對(duì)應(yīng)兩個(gè)，若方程的根，則在內(nèi)可對(duì)應(yīng)兩個(gè)，此時(shí)函數(shù)在內(nèi)只能有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，故必有，當(dāng)時(shí)，可得，，此時(shí)在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，可得，，此時(shí)內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)周期內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)在內(nèi)有2022個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，綜上所述，，.22.如圖，在四面體中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是直角三角形，點(diǎn)為直角頂點(diǎn).，，，分別是線段，，，上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形為平行四邊形，設(shè).（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，，則為何值時(shí)，四邊形的面積最小，并求出最小值：（3）當(dāng)平面平面時(shí)，求四面體體積的最大值.解：（1）四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平